Réciproquement

5i le sommet d'un angle, dont les deux côtés tournent autour de deux points fixes, comme pôles, parcourt une ligne droite, les segments que ses deux côtés feront sur une droite fixe de longueur donnée, parallèle à celle qui Joint les deux points fixes, auront e^itre eux une relation du premier degré;

Et si le sommet de l'angle parcourt une conique, les quatre segments aurofU entre eux une relation constante, du second degré.

242. Ce dernier théorème exprime une propriété générale des coniques^ qui est la clef d'un grand nombre de propositions concernant le cercle^ démontrées par Stewart dans son ouvrage intitulé : Propositiones geometricae inore veterum demonstratœ. Quelques théorèmes du même Géomètre , donnés comme porismes par R. Simson dans son Traité des Porismes, sont aussi des conséquences du théorème précédent.

Si^ au lieu de prendre la transversale parallèle à la droite qui joint les deux points fixes ^ on lui suppose une direction arbitraire^ on conclura^ du théorème (232)^ la propriété des coniques que jious avons énoncée dans le paragraphe 34 de notre quatrième Époque^ et de laquelle peuvent dériver aussi plusieurs des propositions de Stewart^ relatives au cercle.

243. Reprenons le cas général des figures dans Tespace^ et supposons que, dans le théorème (234), les trois transversales passent par un même point du plan ÂBG; nous aurons le théorème suivant :

Etant donnés un triangle et un angle trièdre ayant son sommet situé dans son plan , et dont les trois arêtes correspondent respectivement à ses trois côtés;

Si, par ces trois côtés, on mène trois plans qui fassent respectivement, sur les trois arêtes correspondantes de l'angle trièdre, à partir de son sommet,

trois segmcnls qui soient tels qiCil y ait, entre leurs valeurs invei^ses, une relation du degré n , le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

244. Nous avons démontré, dans la première partie de cet écrit (§ XV, n° 77), que dans ce cas, où les segments ont entre leurs valeurs inverses une relation du degré n, le plan déterminé par leurs extrémités enveloppe une surface a laquelle on peut mener, par une même droite, n plans tangents. Supposant que la surface soit plane, on conclut de là et du théorème précédent, que :

Etant donnés y dans l'espace, un triangle et un angle trièdre ayant son sommet situé dans le plan du triangle; si, par chaque point d'un plan transversal quelconque, on mène trois plans passant par les trois côtés du triangle, ils rencontreront respectivement les trois arêtes de l'angle trièdre en trois points; et le plan déterminé par ces trois points passera par un point fixe.

Cest le théorème que nous avions présenté comme la généralisation d'un porismc d'Euclide, pouvant servir à la construction de figures corrélatives dans Tespace (cinquième Époque, § 32), et dont nous avons déjà donné une démonstration (1^« partie, § XX, n° 112).

245. Enfin, supposons, dans le théorème (234), que les trois transversales soient perpendiculaires au plan du triangle ABC : les segments A'a% B'6', C'& seront proportionnels aux tangentes des inclinaisons des trois plans a'BC, fr'CA, c'AB sur le plan ABC; et les valeurs inverses de ces segments seront proportionnelles aux cotangentes de ces inclinaisons; le théorème peut donc prendre cet énoncé :

Si, par tes trois côtés d'un triangle, on mène trois plans, de manière que les cotangentes de leurs inclinaisons sur le plan du triangle aient entre elles tme relation constante, du degré n , le point d'intei^section de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

246. Dans Téquation (4), au rapport anharmonique des quatre points A'^

D', a', A", exprimé par

t kfi

on peut substituer le rapport anharmonique des quatre plans menés par le côté BC du triangle ABC et par les quatre points A', D', a', A", respectivement. Aux deux autres rapports anharmoniques qui entrent dans Téqualion^ on substituera pareillement les rapports anharmoniques de quatre plans : ces rapports s'expriment entre les sinus des angles que les plans font entre eux. Maintenant^ si Ton considère que les sinus relatifs aux plans qui passent par les points D'^ E'^ F' sont constants^ et qu'on peut les comprendre dans les coefficients de Téquation^ on aura une équation entre les sinus des inclinaisons des trois plans a'BC, b'Ck, e'AB, sur le plan ABC et sur les trois plans ûxes A''BC, B"CA, C'AB; ceux-ci forment^ avec le plan ABC, un tétraèdre fixe ; on a donc ce théorème :

Eta7it donné un Iclraèdre; si, par les trois arêtes d la base, on mène trois plans, de manière que les rapports des sinus de leurs inclinaisons sur la base, aux sinus de leurs inclinaisons sur les faces respectivement adjacentes aux trois arêtes, aient entre eux une relation du degré n, le lieu géométrique du point d'intersection des trois plans sera une surface de Cordre n.

Et réciproquement.

247. Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par une arête d'un tétraèdre, sur les deux faces adjacentes, est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, d'un point de ce plan, sur ces deux faces; le théorème donne donc le suivant :

Etant donné un tétraèdre; si Fon prend, dans l'espace, un point qui soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre, étant divisées par sa dislance à la quatrième face, les trois quotients aient entre eux une relation constante, du degré n , ce point aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.

Et réciproquement.

248. Ainsi soient r, r', r", r'", les distances d'un point de Tespace aux quatre faces du tétraèdre : on aura^ entre les trois rapports

une relation du degré n,

^ni ^in ^in

Multipliant tous les ternies par r''^'', on aura une équation homogène du degré n, entre les distances r, r', r", r'".

Ainsi :

Quand un point est pris de manière que ses distances à quatre plans fixes aient entre elles une relation constante, du degré n, ce point a pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement, étant donnés une surface géométrique de tordre n , *(?/ quatre plans fixes, les distances de chaque point de la surface, à ces quatre plans, auront toujours entre elles une certaine relation homogène, du degré n.

249. Ainsi^ par exemple^ étant donnés quatre plans dans Tespace; si^ de chaque point d'un cinquième plan^ on abaisse^ sur ces premiers plans ^ des perpendiculaires r, r', r'^, r'"^ on pourra trouver trois quantités a, S, y, telles que l'on aura, entre ces quatre perpendiculaires, la relation constante

r -4 ar'-4- 6r"H-rr"' = 0.

Les trois quantités a^ 6, y y ne dépendront que de la position du cinquième plan par rapport aux quatre premiers^ et varieront avec la position de ce plan.

Pareillement^ si^ de chaque point d'une surface du second ordre^ on abaisse des perpendiculaires r, r', r", r'" sur quatre plans fixes, on pourra trouver neuf quantités constantes, a , b , c , d , e , f , g , h , i , telles qu'on aura, entre

ces perpendiculaires y la relation constante

Ces théorèmes sont des porismes. Ils sont propres à montrer la nature de ce genre de propositions^ et font voir comment nous avons pu dire/ dans notre Note III sur les Porismes d'EucIide, que la Géométrie de Descartes avait remplacé cette doctrine.

250. Les théorèmes démontrés dans ce paragraphe sont de ceux qui nWrent pas de difficuhés à la Géométrie analytique; mais par celte voie il faut une démonstration particulière pour chacun d'eux ^ et Ton ne découvre pas les rapports intimes qui ont lieu entre eux. II est intéressant de voir que tous ces théorèmes^ au nombre desquels se trouve le principe même de la Géométrie analytique en usage ^ sont ou des expressions diiïérentes ou des corolIah*es les uns des autres^ et tous des conséquences d'un même et unique principe exprimé par Féquation.

Tous ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à la Géométrie plane, el la plupart ont leurs analogues aussi dans la Géométrie de la sphère, où il sufGra de remplacer, par des rapports de sinus d'arcs de grands cercles, les rapports de segments rectilignes.

§ XIII. Généralisation du système de coordonnées en usage.

251. Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. De tous ces systèmes de coordonnées, il en est un que nous allons examiner, parce qu'il conserve une analogie parfaite avec le système en usage, dont il est une généralisation très-simple.

Concevons que, dans le théorème (232), les trois droites transversales soient les arêtes au sommet d'un tétraèdre OÂBG, dont la base soit le triangle ÂBG; et remplaçons les points a', 6', d^ dans Téquation, par les points a, 6, c. On aura ce théorème :

Si, par les trois arêtes à la base ABC d'un tétraèdre OABC, on mètie trois plans qui rencontrent respectivement les arêtes opposées aux points a, b, c^ tels que fon ait, entre les trois rapports

Oa 06 Oc Ââ' B6' Ce'

une relation constante, du degré n , le lieu géométrique du point d'intersection de ces trois plans sera une surface de l'ordre n*

Et réciproquement.

252. Puisqu'on a, pour tous les points d'une surface, une relation constante

^lOa 06 Oc\ ^ F — > — > — =0, \Aa B6 Ce/ '

entre les trois rapports

Oa 06 Oc Âô' B6' Ce'

il est clair qu'on peut, en prenant ces ti'ois rapports pour variables indépendantes, représenter la surface par cette équation ; c'est-à-dire que chaque système de valeurs de ces trois rapports, qui satisfera à l'équation, donnera trois points a, b, c, sur les trois axes fixes OÂ, OB, OC; et les plans menés par ces trois points et par les côtés BC, CÂ, ÀB, de la base ABC, se couperont en un point qui appartiendra à la surface.

Appelons ces trois rapports les coordonnées de ce point, et désignons-les ^^T x,y, z\ l'équation de la surface sera

Si cette équation est du premier degré, elle représentera un plan;

et, en général, si elle est du degré n, elle représentera une surface de Tordre n.

Deux équations du premier degré donneront tous les points d'une droite.

Ainsi une ligne droite sera représentée par les deux équations

X = az -4- a ,

En général, les formules que Ton aura à considérer, dans ce système de coordonnées, seront de même forme que les formules du système en usage; seulement les coordonnées courantes, au lieu d'être des lignes, seront des rapports, et leurs coefficients seront respectivement égaux aux coefficients des équations relatives aux mêmes questions, dans le système usité, multipliés par des constantes (230).

253. Les figures construites par ce système de coordonnées pouvant être considérées comme les homographiques des figures construites au moyen d'équations de même forme, dans le système ordinaire, on voit sur-le-champ que tous les points de ces dernières figures, qui se trouvaient à FinOni, ont pour correspondants, dans les premières, des points situés sur la base ÂBG.

Ainsi, des équations qui représentaient des droites parallèles entre elles, représenteront, dans le nouveau système, des droites concourant en un même point du plan ABC.

Des équations qui représentaient des plans parallèles entre eux, représenteront des plans passant par une même droite, située sur la base ABC.

Ainsi les deux équations

représentent une première droite ; et ces deux-ci :

X = az + a , y = 6^ -4- 6',

représentent une seconde droite qui rencontre la première en un point situé sur la base ABC.

Les deux équations

ax -+- 6y -4- cz -+- d == 0, ax -H hy -4- es -♦- d'= 0,

OÙ les coefficients des variables sont les mômes, représentent deux plans qui se coupent sur la base ABC.

Les deux équations

Ax*H-Bi/*-t-C:»H-K = 0,

représentent deux surfaces du second degré, ayant une courbe d'intersection sur le plan ABC; parce que, dans le système ordinaire, ces deux équations représentent deux surfaces semblables et semblablement placées, et qui, conséquemment, ont une courbe plane d'intersection (réelle ou imaginaire), située à Tintini.

2S4. Mais ces rapprochements entre les deux systèmes de coordonnées, propres à faire ressortir les propriétés caractéristiques du nouveau système, sont insuffisants pour mettre en état d'en faire usage dans les questions auxquelles ne s'applique pas le principe d'homographie. Car on sent qu'il sera indispensable de connaître les rapports qui ont lieu entre les coefficients de diverses équations et les éléments fixes du système.

Par exemple, on sait, dans le système ordinaire, ce qu'expriment les coefficients a, 6, dans les équations

X = az -f- a, y = bz -t- 6 ,

d'une ligne droite : ce sont des tangentes trigonométriques. Il faudra donc aussi savoir ce qu'expriment ces coefficients, et beaucoup d'autres, dans le nouveau système.

MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 743

Pour cela, il faudra exposer le système directement et avec méthode, comme si celui d'où nous le déduisons n'était pas connu. Alors ce nouveau système de coordonnées pourra conduire à des résultats qui échapperaient à la méthode de transformation homographique.

2S5. Nous avions déjà exposé succinctement le principe de ce nouveau système de coordonnées, dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet (t. VI, p. 81, année 1830); et nous en avons fait alors une application pour démontrer une des propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point. Nous n'insisterons pas davantage ici sur cet objet. Nous allons seulement démontrer une certaine relation générale entre les trois coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine; relation qui sera souvent utile dans les applicalions du système de coordonnées, et qui, du reste, est un théorème de Géométrie qui mérite par lui-même d'être connu.

Soient les trois axes coordonnés oxy oy, oz; par un point m, menons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés; ils rencontreront les trois axes aux points a, 6, c; les segments oay ob, oc y sont les coordonnées du point m : soient menés, par le point o, un axe fixe oK; el, par les points m, a, b, c, des plans parallèles entre eux; ils rencontreront l'axe oK en des points ft, a, 6 y y; et l'on aura, comme on sait,

o/!A = oa -f- o6 + oy,

ou

Oll 0/U, 0/A

Faisons la ligure homographique. Nous aurons trois axes o^x'y o^y'y o'z\ coupés en A, B, C, par le plan qui correspond ;i l'inflni de la première figure. Si, par un point m' et les trois côtés du triangle ABC, on mène trois plans, ils rencontreront les trois axes aux points a', 6', c' : que, par une droite prise dans le plan ABC, on mène quatre plans passant par les quatre points w*', a', //, c'y ils rencontreront un axe (/'K' en quatre points

ix', a, 6', y' ; et l'on aura, en appelant i le point où Taxe o'K' rencontre le plan ABC,

ta Oa

tê' 06

oy

oV

iy' oy

oV

' »>' OA

On a donc, à cause de Féquation (1),

ooL 06 oy Ou.

ta. 16 ly ifi

256. Celle équation exprime un Ihéorème de Géométrie, très-général, susceptible de j)Iusieurs corollaires, à cause de Tindéterminalion de direction de Taxe o'K', et de la position de la droite prise dans le plan ÂBC

Si Taxe o'K' est mené parallèlement au plan ABC, Féquation devient

oV -4- o'ê' -4- 0 v = oy .

Si, l'axe o'K' conservant une direction quelconque, on suppose que la droite prise dans le plan ABC soit à Finfini, on aura

o'ê' o'h' iî' B6'

iV A a'

iy' Ce'

Soit h le point où la droite o'm' rencontre le plan ABC : on aura aussi

iy

hm'

L'équation (2) devient donc

Att' W Ce' hm'

Les rapports

oV &b' oc' Aa' W Ce''

sont les coordonnées du point m^, dans le nouveau système de coordonnées; nous pouvons donc dire que :

La somme des coordonnées d'un point est égale à la dislance de ce point à l'origine y divisée par sa distance an point où la droite qui le joint à l'origine perce le plan de la base *.

2S7. Nous avons fait dériver le nouveau système de coordonnées du système en usage ^ par la transformation homographique. Si cette transformation était faite de manière que les trois points A^ B^ G, fussent à Finfini^ alors on aurait un nouveau système^ semblable au premier; et Féquation (2) du paragraphe précédent fait voir que Féquation d'une surface étant V {x^y^ z) =0 dans le premier système, Féquation de la surface correspondante, dans le second système, serait de la forme F (>^, j^y, vz) == 0.

Ajoutons que les trois axes du nouveau système étant indéterminés de position, on peut supposer qu'ils se confondent avec les premiers; de sorte que les équations F (a?, y, z)-— 0, F (Ax-, ju^, v^) = 0, qui se rapportent à un même système d'axes coordonnés, représentent deux surfaces honiographiques.

C'est un tel mode de déformation des surfaces dont nous avons fait usage dans la Correspondance polytechnique (t. III, p. 326, année 1813), pour appliquer immédiatement, aux surfaces du second degré, les propriétés de la sphère.

* Nous nous sommes servi de ee théorème, sans le démontrer alors, pour faire une application du nouveau système de coordonnées (Correspofulanre malhématique de M. Quetelet, t. VI, p. 86). Ce théorème est Fun de ceux auxquels se prête la méthode statique de J. Ceva. (Voir la Note vu de V Aperçu historique, p. 296.)

§ XIV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales