DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

238. Dans les applications que nous avons faites du principe d'honoographic, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites situés à Tinfini, qui se transformaient, dans la figure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer, à FinOni, des figures plus compliquées; alors le principe d'homographie sera très-utile, parce qu'il offrira le moyen de représenter avec vérité l'image de ces figures, dans un plan situé à distance finie. Tout ce qui se passerait à l'infini, dans la question proposée, aura lieu, ou s'exécutera en réalité^ sur ce plan. Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants.

Ainsi, par exemple, quand on a deux surfaces du second degré, si l'on veut connaître la nature des relations qui ont lieu entre les deux courbes d'intersection de ces surfaces par un plan situé à l'infini, il suffira de concevoir deux surfaces homographiques, et de les couper par un plan réel qui représentera l'infini de la première figure; les relations générales des deux sections, transportées aux deux surfaces primitives, deviendront des propriétés de ces deux surfaces.

Cette marche va nous conduire aisément à trois propriétés des surfaces du second degré; propriétés dont on n'a connu jusqu'ici que des cas particuliers, et que nous allons présenter dans une généralité nouvelle, qui en fera mieux connaître la nature et la raison première.

Mais nous sommes obligé de rappeler, préalablement, les propriétés générales du système de deux coniques situées dans un même plan.

259. Quand on a deux coniques quelconques dans un plan , il y a à considérer :

{"* Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que tan quelconque d'entre eux a même polaire, par rapport à l'une ou à l'autre courbe : cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres

points.

Ces trois points sont toujours réels, quand les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout; et l'un d'eux seulement est réel, quand les coniques ne se coupent qu'en deux points.

Quand les deux coniques se coupent en quatre points, ces trois points A, B, C, sont les points de concours des côtés opposés, et le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points d'intersection des deux courbes.

2*^ Deux droites L, L', toujours réelles , sur lesquelles sont les points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux courbes, et qui jouissent de la propriété que si, par un point pris sur l'une d'elles, on mène quatre tangentes aux deux coniques, les droites qui joindront les points de contact de la première courbe, aux points de contact de la seconde, passeront, deux à deux, par deux points fixes. Nous avons désigné ces deux droites par le nom d'axes de symplose {Annales de Mathématiques , avril et juillet 4828), pour les distinguer des autres sécantes communes aux deux coniques, lesquelles, deux à deux, peuvent être aussi, dans certaines circonstances, des axes de symptose, c'est-à-dire, peuvent jouir de la propriété que nous venons d'énoncer; mais qui peuvent bien aussi, selon la disposition des deux coniques, quand elles sont des hyperboles, ne pas jouir de cette propriété.

S"" Enfin les deux points fixes dont nous venons de parler, qui sont des points de concours des tangentes (réelles ou imaginaires) communes aux deux coniques. La propriété caractéristique de ces points consiste en ce qu'wne transversale menée par l'un d'eux, si elle rencontre l'une des

coniques^ rencontre aussi l'autre; et les tangetites aux points de rencontre se coupent, deux à deux, sur les deux axes de symptose.

Ces deux points^ qui^ dans le cas de deux coniques semblables et semblablement placées, sont leurs centres de similitude , ont été appelés par M. Poncelet^ dans le cas générai de deux coniques quelconques^ leurs centres d'hoMologie. {Traité des propriétés projectives / p. 164.)

Quand les deux coniques se coupent en quatre points, elles peuvent avoir trois systèmes de deux centres d'homologie, ou n'en avoir qu'un seul. Quand elles ne se coupent qu'en deux points, ou qu'elles ne se coupent pas du tout, elles n'ont qu'un seul système de deux eeotres d'homologie. {Annales de Mathématiques, t. XIX, p. 30.)

260. Quand les deux coniques sont les courbes d'intersection de deux surfaces du second degré, par un même plan transversal, chaque plan, mené par l'un de leurs deux axes de symptose, coupe les deux surfaces suivant deux coniques, qui ont évidemment aussi cette droite pour axe de symptose.

Si le plan transversal ne coupait qu'une des deux surfaces, Tune des coniques serait imaginaire ; mais les deux axes de symptose subsisteraient toujours, parce qu'il existe généralement trois systèmes de deux axes de symptose; ce qui prouve que l'un de ces systèmes est toujours réel, ainsi qu'il arrive dans toutes les questions qui admettent généralement trois solutions.

Il en serait de même si le plan transversal ne rencontrait aucune des deux surfaces, ou bien s'il en touchait une, ou s'il les touchait toutes deux.

Nous dirons que :

Quand on a deux surfaces du second degré et un plan transversal mené arbitrairement ,

i"" Il existe toujours dans ce plan deux droites h, V, qui sont telles qu'un plan mené, par l'une d'elles, coupe les deux surfaces suivafU deux coniques ayant cette droite pour l'un de leurs axes de symptose.

2^ Si ces deux coniques ont quatre points communs réels, les deux droites L, U seront deux des six cordes communes aux deux courbes;

les quatre autres cordes communes pourront jouir de la même propriété que ces deux premières^ mais ne jouiront pas nécessairement de cette propriété.

3** Enfin y dans tous les autres cas de la section des deux surfaces par le plan coupant y il n'existera que deux droites L, L'.

261. Considérons maintenant, dans le plan transversal, les trois points

A, B, C, relatifs aux deux coniques (259). Lun d'eux. A, est le point de concours des deux droites L, L'; ainsi il est toujours réel; il a la môme polaire dans les deux coniques; celte droite a pour polaires, dans les deux surfaces, les deux droites qui vont du point A aux pôles du plan transversal, par rapport aux deux surfaces respectivement.

Si les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout, les deux autres points B, C sont toujours réels. Cela a encore lieu quand une des coniques est imaginaire, c'est-à-dire quand le plan transversal ne rencontre pas Tune des deux surfaces. En eiïet, ces deux points

B, G jouissent de la propriété de diviser harmoniquemenl le segment compris (sur la droite qui les joint) entre les deux axes de symptose des deux coniques, et le segment compris dans une troisième conique, arbitraire, qui passerait par les quatre points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux proposées. Si Tune des deux coniques ou toutes deux sont imaginaires, ces deux segments ne pourront être superposés, parce qu'alors les deux axes de symptose rencontreraient la troisième conique, ce qui est impossible, parce que les points de rencontre appartiendraient aux deux premières, dont nous supposons au moins l'une imaginaire; donc ces deux segments ne sont point superposés; et l'on sait qu'alors les deux points B, C, qui les divisent harmoniquement l'un et l'autre, sont toujours réels. (Traité des propriétés jrrojeclives, p. 201.) Donc

Étant donnés deux surfaces du second degré et un plan tramversal :

1® Si ce plan rencontre, en quatre points, la courbe d intersection des

deux surfaces, ou ne la rencontre pas du tout, il existera dans ce plan trois

points y tels que les droites menées de Cun quelconque d'entre eux aux pôles

du plan , pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans

les deux surfaces, celte polaire commune sera la droite qui joindra les deux autres points;

2^ Si le plan transversal rencontre, en deux points, la courbe d'intersection des deux surfaces, deux des trois points en question seront imaginaires, et le troisième sera toujours réel; c'^est-à-dire qu'il existera dans le plan un point tel, que les deux droites qui le joindront aux pôles du plan, pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deua; surfaces. Celte polaire sera située dans le plan transversal.

Ces principes généraux vont nous conduire aisément aux théorèmes que nous avons en vue.

262. En eiïet^ considérons les deux surfaces et le plan transversal^ et formons la figure homographique^ de manière que le plan transversal passe à rinfini ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux diamètres de ces surfaces, parallèles entre eux^ et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux , parce qu'ils passeront par la droite correspondant à la droite BC, laquelle sera à Finfini; il en sera de même des droites menées^ des deux pôles ^ à chacun des points B^ G^ si ces points sont réels; dans ce cas^ la courbe d'intersection des deux nouvelles surfaces aura quatre asymptotes ou n'en aura aucune; et^ dans le cas où les points B^G sont imaginaires^ cette courbe d'intersection aura deux asymptotes. On conclut donc de là ce théorème^ dans lequel nous supposons les deux surfaces concentriques^ pour rendre l'énoncé plus facile :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, et, du reste ^ dans une position quelconque l'une par rapport à l'autre; si leur courbe d'intersection a quatre asymptotes, ou n'en a aucune, il existe toujours trois droites diamétrales dont chacune a même plan conjugué dans les deux surfaces; ces trois droites forment, dans l'une et l'autre surface, un système de diamètres conjugués;

Et si la courbe d'intersection des deux surfaces a seulement deux asymptotes, deux de ces trois droites diamétrales sont imaginaires, et la troisième est réelle; de sorte qu'il existe toujours une droite diamé^

irale, et il n'en existe qu'une, qui a même plan conjugué dans les deux surfaces.

263. On conclut donc de là que si l'une des deux surfaces est un eUipsolde, le système des trois diamètres conjugués communs existe toujours; parce que la courbe d'intersection des deux surfaces ne peut avoir aucune asymptote.

Mais 51 les deux surfaces sont des hyperboloïdes, elles n'ont plus nécessairement un système de trois diamètres conjugués communs, ainsi qu'on l'avait

supposé d'après l'énoncé, trop absolu, du théorème de Monge. {Coirespon-

daiice siêr F Ecole polytechnique, t. H, p. 319.)

264. Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan transversal, et considérons les deux droites L, V. Tout plan, mené par l'une d'elles, coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cette droite pour axe de symptose.

Faisons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à l'infini; les plans menés par l'une des deux droites L, V, deviendront des plans parallèles, et les deux coniques suivant lesquelles chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symptose à l'infini, ce qui prouve qu'elles seront semblables et semblablement placées. On a donc ce théorème :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré, placées arbitrairement l'une par rapport à l'autre; il existe toujours deux séries de plans parallèles , dont chacun coupe les deux surfaces suivant deux coniques semblables entre elles et semblablement placées.

Si l'une des surfaces est une sphère, on en conclut le théorème suivant, que Monge et Hachette ont démontré analytiquement, et dont M. Ponceleta donné une démonstration, purement géométrique, dans son Traité des propriétés projectives, p. 299 :

Dans toute surface du second degré , il existe deux séries de plans parallèles qui la coupent suivant des cercles.

265. Remarquons que les deux droites L, L' se coupent au point A, qui devient, dans la figure homographique, l'extrémité à l'infini d'une droite dia-

fnétrale^ ayant même plan conjugué dans les deux surfaces (que nous supposons eoncentric|ueSy; les plans qui coupent les deux surfaces suivant des coniques senililahles et semblablement placées^ sont donc parallèles à cette droite. Ainsi :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, les deux plans dianuHraux qui les coupent suivant des coniques semblables et semblablement placées, passent jmr l'un de leurs trois diamètres conjugués communs.

266. Quand les deux coniques^ comprises dans le plan transversal^ ne se coupent pas^ les droites h,\J ne rencontrent pas la surface; quand les deux coniques se coupent en deux points seulement^ Tune de ces droites passe par ces deux points, et la seconde ne rencontre pas les coniques; et enfin, quand les deux coniques se coupent en quatre points^ les droites L, L' passent par ces points, pris deux à deux. On conclut de là que :

Quand la courbe d'intersection de deux surfaces du secopul degré, concentriques, n\i aucune asymptote, les plans des deux séries de courbes en question y dam le théorème (264), les coupent suivant des ellipses;

Quand la courbe d'intersection des deux surfaces a deux asymptotes, les plans d'une des deux séries les coupent suivant des ellipses , et les plans de l'autre série suivant des hyperboles : ces derniers plans sont parallèles aux deux asymptotes;

El , quand la courbe d'intersection des deux surfaces a quatre asymptotes, les plans des deux séries les coupent suivant des hyperboles : les plans d'une série sont parallèles à deux asymptotes et les plans de l'autre série sont parallèles aux deux autres asymptotes.

267. Nous avons vu que, quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ont quatre points d'intersection réels, il peut y avoir, outre les axes de symplose L, V, deux autres systèmes de deux droites semblables (259); donc

Quand la courbe d'intersection de deux hypo^boloïdes a quatre asymptotes, il peut exister six séries de plans parallèles qui les coupent suivant

des coniques semblables et semblablement placées; ces plans sont parallèles u\ix asymptotes prises deux à deux.

268. Enfin ^ considérons les deux centres d'homologie des deux coniques suivant lesquelles un plan transversal coupe deux surfaces du second degré. Supposons que le plan transversal ait le même pôle dans les deux surfaces. Autour de ce pôle faisons tourner un plan tangent à la première surface : sa trace sur le plan transversal sera tangente à la courbe d'intersection de cette surface par ce plan transversal; eXy quand cette trace passera par Fun des des deux centres d'homologie, elle sera aussi tangente à la section de la seconde surface par le plan transversal. Donc, par la droite qui joint Tun des deux centres d'homologie au pôle du plan transversal, on peut mener deux plans tangents communs aux deux surfaces. Donc cette droite jouit de la propriété que, si Ton prend un quelconque de ses points pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, par cette droite on pourra mener deux plans tangents aux deux cônes; et dès lors un plan quelconque coupera les cônes suivant deux coniques ayant, pour Fun de leurs centres d'homologie, le point où ce plan coupera la droite en question. Nous dirons, par cette raison, que cette droite est un axe ce^itral d'homologie des deux cônes.

Faisons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à Finfini; nous aurons deux surfaces concentriques, et Je théorème suivant :

Etant données deux surfaces du second degré, concentriques, il existe toujours deux droites diamétrales telles, que si l'on prend un point quelconque de Fune d'elles pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, cette droite sera un axe central d'homologie des deux côties; cestà-^ire que tout plan coupera ces deux cônes suivant deux coniques, qui auront un de leurs centres d'homologie au point où ce plan coupera cette droite.

269. Si Fon prend le sommet commun des deux cônes à Finfini, sur Fune des deux droites, ces cônes deviendront deux cylindres, qui auront pour axe commun cette droite. Tout plan les coupera donc suivant deux coniques

concentriques^ dont le centre sera sur cette droite; mais ce centre sera en même temps leur centre d'homologie; ce qui exige que les deux coniques soient semblables et semblablement placées. Les cylindres seront donc^ euxmêmes, semblables et semblablement placés. Donc:

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, il existe deux droites diamétrales telles, que si Von circonscrit, atix deux surfaces, deux cylindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablement placés.

270. Si Tune des surfaces est une sphère, il en résulte que :

Dans toute surface du second degré qui a un centre, il existe deux droites diamétrales telles, que si l'on circonscrit à la surfojce un cylindre qui ait ses arêtes parallèles à l'une d'elles, les sections droites de ce cylindre seront des cercles.

271. Quand les deux coniques, comprises dans le plan transversal (259), se coupent en quatre points, elles peuvent avoir six centres d'homologie; on en conclut que :

Quand la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré, concentriques, a quatre asymptotes, il peut exister six droites diamétrales telles, que si l'on circonscrit, aux deux surfaces, deux cylindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et setnblablem£nt placés.

§ XV. Construction géométrique des figures homographiques.

— Divers théorèmes de géométrie.

272. Pour construire une figure homographique d^une figure proposée, on pourra prendre arbitrairement, dans Fespace, les cinq points a', fr', c', rf', &, qui devront correspondre respectivement, dans la nouvelle figure, à cinq points désignés a, b, c, d, e, de la figure proposée.

Ces cinq points suffiront pour déterminer chaque point m' et chaque plan M' de la nouvelle figure, qui correspondront, respectivement, à chaque point m et à chaque plan M de la proposée.

Considérons les deux tétraèdres abcd, a^b^&dK Menons dans le premier les deux plans ehCy mbc^ qui rencontreront Tarête ad en e, «; et, dans le second^ les deux plans e^b^dy m'b'&y qui rencontreront l'arête a'rf' en c', «'. Les quatre points a'^ d'^ e'^ a' seront^ dans la seconde figure^ les homologues des quatre points a^ dy e^ a, de la première figure. On aura donc Téquation

aoL as a'a' oV

Les trois points a^y d^y e'y sont connus; cette équation fera donc connaître le point «'. De sorte que le plan mené par Farêle fr'c' du tétraèdre a'fr'c'rf', et par le point cherché m'^ sera déterminé. Par deux équations semblables on déterminera les plans qui passeront par les arêtes aCy aby respectivement^ et par le point cherché. Ce point sera donc déterminé par Fintersection de ces trois plans.

273. Maintenant^ déterminons le plan M' qui^ dans la seconde figure , correspond à un plan M de la première.

Soit ce le point où ce plan rencontre Farête ady et soit a' le point correspondant à a dans la seconde figure : ce sera le point où le plan cherché M' rencontre Farête a'd\ On aura^ entre les quatre points a y dySy ay et les quatre points a', rf', e', « , la relation

qui fera connaître la position du point a^

On déterminera^ par deux équations semblables^ les points où le plan cherché rencontre deux autres arêtes du tétraèdre a^V&d'. Ainsi ce plan sera déterminé.

Si le plan M de la première figure est à Finfini^ la solution restera la même; seulement^ dans Féquation précédente^ qui sert à déterminer la position du point J du plan cherché y le rapport ^ sera égal à Funité.

Le problème de la construction géométrique des figures homographiques est donc résolu complètement.

274. Ce mode de construction peut être exprimé par trois formules très-simples^ qui se prêteront à la discussion des diiïérents cas qui peuvent se présenter^ et qui nous conduiront à divers théorèmes de Géométrie ^ qui nous paraissent nouveaux.

Reprenons Féquation

CUL as a a ae

iU ' de dV ' d'i

dans laquelle e, a sont les points où les deux plans ebc, rnbc rencontrent l'arête ad; et s'y «', les points où les deux plans correspondants^ €'b'&, m'b^c\ rencontrent l'arête a'rf'. Écrivons-la sous la forme

Le rapport ^ î ^y est une quantité constante, puisqu'il ne dépend que de la position du point fixe e de la première figure et du point fixe e' qui lui correspond dans la seconde figure. Représentons ce rapport constant par >.; il viendra

aa a a

(^'^ rd=\'d'

Pareillement, 6 et S' étant les points où les deux plans fnac, m'a'd rencontrent, respectivement, les deux arêtes 6rf, fr'rf', des deux tétraèdres, on aura

("^ ; • • • 'ïd = ^^''

fx étant une constante.

Et enfin , \ V étant les points où les deux plans mab^ m'a^b\ rencontrent^

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. m

respectivement^ les deux arêtes cc/^ dd', on aura

yd y'd'

V étant une troisième constante.

275. De ces équations^ on conclut ce théorème général sur les figures homographiques :

Etant donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd'; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène trois plans, passant par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant resj)€ctivenienl les arêtes opposées en a, S, y, et que, sur les trois arêtes a'd', b'd', c'd' du second tétraèdre, on prenne trois points a', 6', y, déterminés par les trois équatiom

ta oLa' tb 6 '6' yc y'c'

^'"^^'' '^^^Wd:' W^^^r^'

>, ft, V, étant trois constantes, pnses arbitrairement :

Le point d'intersection des trois plans «'b'c', S'c'a', /a'b', appartiendra à une seconde figure qui sera homographique à la première.

276. Le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées^ d'un point quelconque du plan abc, sur les deux faces abc, dbc du premier tétraèdre; car s el p étant ces perpendiculaires^ on a

aa s sin. ((/a, dbc) ad p sin. (adf abc)

Pareillement^ le rapport^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées^ d'un point du plan a'fr'c', sur les deux faces a^b'c^, d'I/c' du second tétraèdre.

D'après cela, soient />, q, r, s les distances d'un point m de la première figure aux quatre faces du premier tétraèdre^ et p^, q', r', s' les distances du point homologue m', de la seconde figure, aux quatre faces corres-

7ê;8 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

pondantes du second tétraèdre; les trois équations (a) se changeront en celles-ci :

On conclut de là ce théorème général :

Etant donnée une figure dans l'espace , et étant pris deux tétraèdres quel-conques, dont les faces se correspondent une à une;

Si, de chaque point de la figure, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre , et quon prenne les rapports de la première aux trois autres :

Puis, qu'on cherche un point tel, qu'étant prises ses distances aux quatre faces du second tétraèdre, les rapports de la première aux trois autres soient respectivement dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports ; ce point, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions, aux points de la figure proposée, appartiendra à une secomle figure homographique à celle proposée.

277. Maintenant^ concevons le plan déterminé par les trois points «, ff, yle rapport ^ est égal à celui des perpendiculaires abaissées^ des points a, d, sur ce plan. Pareillement^ le rapport ^ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, des points o',rf', sur le plan «'S'/. D'après cela, soient P, Q, R,S les perpendiculaires abaissées, des quatre sommets du premier tétraèdre, sur un plan M, et P', Q', R', S', les perpendiculaires abaissées, des sommets du second tétraèdre, sur le plan correspondant M' de la seconde figure; on aura les trois équations

D'où Ton conclut ce théorème :

Étant domiée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont les sommets se correspondent un à un;

iMEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 759

Si, pour chaque plan faisant partie de la figure, on fonnc les rapports de ses distances aux quatre sommets du premier tétraèdre ;

Puis y qu'on mène un plan, de manière que les rapports de ses distances aux quatre sominets du second tétraèdre soient respectivement, aux premiers rapports, dans des raisom constantes, ce plan appartiendra, dans toutes ses positions , à une figure homographique à la proposée.