Reprenons les trois équations (a
aa o!q!
oid ad
yc y'c'
yd r'd'
Ces équations comprennent la construction complète des figures homographiques les plus générales. Car elles donnent les positions des trois points «S^SyS correspondant respectivement aux trois points a, 6, y; et ceux-ci déterminent un plan et un point de la figure proposée. Ce plan est celui des trois points; et ce point est Tinterseclion des trois plans menés respectivement par ces trois points et par les arêtes bc,ca, ab du premier tétraèdre. Les trois autres points a, &, y' déterminent^ semblablement^ un plan et un point de la seconde figure^ correspondant respectivement au plan et au point de la première.
Ainsi les trois équations serviront à la construction des points et des plans d'une figure homographique d'une figure proposée.
279. Les quatre points a, b, c, d, qui sont les sommets du premier tétraèdre auquel on rapporte la figure proposée, peuvent être pris arbitrairement dans Tespace, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan; il en est de même des quatre points a', b\ &, d\ qui leur correspondent dans la figure homographique qu'on veut construire.
On pourra donner à ces divers points difTérentes positions qui simplifie-
roni les trois équations ci-dessus, ou qui établiront, entre les figures, des relations de position particulières, propres à la transformation de certaines propriétés de grandeur métrique ou angulaire, de superficie ou de volume. 280. Supposons le sommet d du premier tétraèdre situé à Finfini : les segments arf, erf, yrf, seront infinis; les faisant entrer dans les constantes >.,/u, V, les trois équations prendront la forme
aa= >
rc = v —7, y a
281. Mais il nous faut peut-être démontrer rigoureusement ces équations, c'est-à-dire faire voir que nous pouvions comprendre, dans les coeffî cients, les segments infinis. Pour cela, reprenons Féquation
att ea oc a' c'a' ad sd a'rf' e'd'
qui nous a servi (274) à démontrer les trois équations («).
Le point d étant à Finfini, les deux segments ady ed^ sont infinis, et leur rapport est égal à Tunité; Féquation se réduit donc à
%a Gt'a' c'a'
€(1 fx'd' ' t'rf' OU
OLU
aa I s a\
(ea : p^^ est une constante indépendante de la position du point « et de son homologue a' ; on a donc
CL tt OL d
«a = -— X consl. == > -r;; a a ca
Ainsi il est prouvé que^ dans nos formules de construction des figures homographiques^ nous pouvons faire entrer^ dans les constantes , les segments infinis.
282. D'après cela^ supposons que le point d étant k Finfini^ auquel cas on a les formules (b), son point homologue d^ soit aussi à Tinfini : les formules (a) deviendront
oa = >.a'a',
(c). . . . , \tb = (^î'b',
283. Si^ au contraire^ les points d, d' étant à distances finies^ les deux plans abc y a^b^& sont Fun et Tautre à Finfini , les formules seront de la forme
ad = X ad' ,
(d) { 6rf = p6'd',
Yd= V y'd'.
Ces formules comprennent le mode de transformation par accroissement^ dans des rapports données^ des coordonnées des points d'une figure. Mais la transformation qu'elles donnent est plus générale que celle-ci^ parce que les coordonnées de la seconde figure peuvent être comptées sur d'autres axes que celles de la figure proposée.
Nous consacrerons deux des paragraphes suivants (§§ XXIII et XXIV) à ce mode de déformation homographique^ qui est susceptible de nombreuses applications.
284. Si l'on suppose le point d à l'infini^ et le plan a'b^d aussi à l'infini^ les formules deviendront
aa =
re —
2 8 S. Toutes ces formules sont très-simples. Elles expriment divers théorèmes de Géométrie qui seraient nouveaux et qui pourraient offrir quelque intérêt; mais comme ils ne sont que des corollaires du théorème général (275), nous nous dispenserons de les énoncer.
286. Les formules (a) peuvent donner lieu encore à d'autres cas particuliers du mode général de construction des figures homographiques , qu'on obtient en donnant aux sommets a', fr', &, rf', du second tétraèdre , différentes positions particulières par rapport au premier tétraèdre. Il est deux de ces cas dont nous ferons Fobjet de deux paragraphes particuliers (§§ XVII et XXII), à cause de leur importance.
287. Les formules (a') et (a'') sont susceptibles aussi d'une discussion analogue à celle des formules (a), et de différents cas particuliers, comme celles-ci. Mais nous n'entrerons pas dans cet examen, qui n'offre aucune difficulté, surtout si l'on a égard aux théorèmes (176 et 177) qui se rapportent à cette question.
288. Le théorème (275) donne lieu à deux propositions de Géométrie, que l'on peut considérer comme indépendantes de la théorie des figures homographiques.
La figure construite dans le théorème (275) étant homographique à la figure proposée, aux points de celles-ci, qui seront sur un même plan, correspondront des points situés aussi sur un même plan; on peut donc énoncer ce simple théorème de Géométrie :
Étant donnes un tétraèdre SABC et un plan, mené arbitrairement dans l'espace;
Si, par chaque point de ce plan, on mène trois plans, passant par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre, et rencontrant les arêtes opposées en a,e, y, et qu'on forme les rapports des segments que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont
aS 6S yS
^' ifi' rC' Puis, qu'on ait un second tétraèdre quelconque S'A'B'C, et qu'on
prefifie, sur ses trois arêtes au sommet, trois points a', S', y tels, que les trois rapports
soiefit^ respectivement, aux trois premiers, dans des raisons données et constantes ;
Les plans menés par les trois points «', S', y', et par les trois arêtes B'C, A'C, A'B', respectivement, se rencontreront en un jmnt qui aura pour lieu géométrique un plan.
289. Les trois points «, S, y, dans le théorème (27S), déterminent un plan appartenant à la figure proposée^ et les points J, 6\ / déterminent le plan correspondant^ dans la figure homographique; donc^ si le premier plan tourne autour d'un point fixe^ le second tournera aussi autour d'un point; on en conclut donc ce théorème :
Etant donnés un tétraèdre SABC et un point, situés d'une manière quelconque dans l'espace ;
Si autour de ce point on fait tourner un plan transversal, qui rencontre les trois arêtes SA, SB, SC, au sommet du tétraèdre, en trois jmnts a, S, y; et qu'on forme les rapports des segments que ce plan fait sur ces arêtes, lesquels rapports sont
aS 6S yS ^' €B' ^'
Puis, qu'ion prenne un second tétraèdre quelconque S'A'B'C , et qu'on mène un plan transversal qui rencontre ses arêtes au sommet, S'A', S'B', S'C, ew trois points «', &, y' tels, que les trois rapports
fr%t
soient aux trois premiers dans des raisons comtantes, ce plan passePHt toujours , dam toutes ses positions, par un même point.
290. Ce théorème et le précédent, que nous venons de déduire de la
théorie des figures homograpbiques ^ en renfermeot, Fiin et Taotre^ toaleb doctrine. Si Fun ou Fautre de ces deux théorèmes était démontré m pnon et directement , nous en conclurions notre principe de déformation bomo^nphique, comprenant les relations de description et les relations de grandeor des figures.
Cest Fun ou Fautre de ces deux théorèmes dont nous avons voolo parler dans notre Aj)erçu historique sur les méthodes en Géo^nétrk (cinquiènie Époque, § 28), en disant que toute la doctrine de transformation de$ fi furet en d'autres du même genre ^ reposait sur un seul et unique théorème de Géométrie. Nous donnerons dans un autre écrit, qui traitera du rapport anhannonique et de ses nombreuses applications, la démonstration directe et géométrique de ce théorème. De sorte que le principe de déformation homographique se trouvera démontré directement, et indépendanuneot du princi|>e de dualité.
§ XVI. Construction analytique des figures homographiques.
291. La propriété des figures homographiques, exprimée par le théorème (276), conduit à Fexpression analytique la plus générale de ces figures, dans le système des coordonnées de Descartes.
En effet, prenons trois axes coordonnés quelconques ox, oyyOz, auxquels nous rapporterons les deux figures. Soient
Xx -^ By ^ Cz — i = Oy A'x + B'yH-C'jr — i = 0, A'x + B'y -^ C'z -4=0, A"x-f-B 'y-4-C"z— i = 0,
les équations de quatre plans appartenant à la figure proposée; et
ax -k- bx -^ cz — i = 0, a'x + b'y ^ c'z — i = 0, a"x-^6"y-t-r"«-1==0,
les équations de quatre plans donnés qui doivent correspondre^ dans la nouvelle figure^ à ces quatre premiers, respectivement.
Soient X, Y, Z les coordonnées d'un point M de la figure proposée, eiXy y, z celles du point m qui lui correspondra dans la figure cherchée. II faut déterminer ces coordonnées Xy t/y Zy en fonction de X, Y, Z.
Le rapport des perpendiculaires abaissées, du point M, sur le premier et \^ quatrième plan de la première figure, est égal à
AX -♦- BY -t- CZ — i
X const. ;
la constante étant indépendante des coordonnées X, Y, Z, et ne renfermant que les coefficients A,B^ C, A'", B'", C", des équations des deux plans, et les quantités angulaires relatives aux axes coordonnés, que nous supposons obliques pour plus de généralité ^.
Le rapport des perpendiculaires abaissées du point m (a?, y y z)y de la seconde figure, sur le premier et le quatrième plan de cette figure, aura une expression semblable à la précédente.
pn aura donc, d'après le théorème (276), les trois équations suivantes, entre les coordonnées de deux points homologues dans les deux figures :
ax -\- hy -\- €z —
a'"x -4- fc"'y
