AX -4- BY -4- CZ

AX-hBY^CZ-I A'"B -4- B"T -H C'"Z — 1

A"X-4-BT-i-C"Z — 1

* L*expres8ion de la perpendiculaire abaissée, d*un point {x\ y' y z% sur le plan qui a pour

ëqiiation

ar-4-6y-4-c3 — 1 = 0, est

<qj^-4-^y^-4-cs^— i) r i — C08.» j.y— COS.* jr,> — ''cos.*y,t 4-icos.x.y. cos. j,5. cos. y. s l^a* tm.*if,s+^' &in.*s,:r-4-c* 9iu.*x,y— iai»8iii.y,s.8in.s,xco».isx,{yj—iac8in. s^y. 8in.x,yco9.(yr,ys)~i^cMin. z.x. siii .r.y cos. txs.jry '

De ces trois équations^ on tirera les valeurs des trois inconnues x,yj z, qui déterminent la position du point m correspondant, dans la seconde figure y au point M de la proposée.

Ainsi le problème est résolu.

292. Les trois équations (1) renferment toute la théorie des figures homographiques. En donnant des valeurs convenables aux divers coeflScients qui y entrent, on exprimera, par ces formules, les difTérenls modes particuliers de transformation. Mais nous n'entrerons point ici dans la discussion de ces formules, qui ne peut offrir aucune difficulté, surtout si Ton prend pour base la discussion des modes de construction géométrique, donnée dans le paragraphe précédent.

293. La première figure étant donnée, de forme et de position, par rapport aux trois axes coordonnés, les douze coefficients A, B, C, A', B', C, A", B", C", A'", B'", C" sont des quantités connues, et il n'y a d'arbitraires, dans les formules (1), que les quinze coefficients a, fr, c, a', 6', c', a", fr'', c", a'", fr'", c''', ly [JL et y, qui servent à déterminer la forme de la nouvelle figure et sa position, dans l'espace, par rapport à la première.

Ainsi , pour effectuer la construction la plus générale des figures homographiques, tant par rapport à leur forme qu'à leur position dans r espace, on a à disposer de quinze coefficients arbitraires.

Mais, si l'on fait abstraction de la position de la nouvelle figure par rapport à la première, et qu'on ne considère que sa forme, on n'aura à disposer que de neuf coefficients. Car il faut six conditions, et par suite six coefficients indépendants, pour fixer la position d'une figure dans l'espace, comme on le voit par les formules du déplacement d'un corps solide, que nous avons données dans la note de la page 677. Il s'ensuit que, des quinze coefficients a y by Cy etc., six serviront à déterminer la position de la seconde figure dans l'espace, et les neuf autres, à déterminer sa forme. Et en effet, cinq plans donnés, correspondant à cinq plans de la première figure, suffisent pour déterminer la seconde figure, quelles que soient leurs positions dans l'espace; Il suffit donc de chercher combien de données sont nécessaires pour déterminer la forme de la pyramide tronquée formée par ces cinq plans. Or, fun d'eux

coupe les quatre autres suivant un quadrilatère qu'on détermine par cinq conditions^ et il reste à déterminer les quatre inclinaisons de ces quatre plans sur le premier; ce qui se fait par quatre données. Il en faut donc, en tout, neuf. Ainsi, une figure étant donnée, pour construire une figure homographique de la forme la plus générale, en faisant abstraction de sa position dans l'espace, on a à disposer de neuf coefficioits arbitraires.

294. Les valeurs des trois coordonnées x^y^z^ d'un point de la seconde figure, en fonction des coordonnées X, Y, Z du point correspondant de la première figure, tirées des trois équations (1), seront de la forme

__ aX -»- 6Y -♦- rZ — 1

«"X-4-rY-4-y'^Z-~1 a'"XH-6"T-f-r'"Z— i

Il n'est pas nécessaire de calculer les expressions de ^, y, ^, pour vérifier qu'elles sont en efîet de cette forme ; en voici une démonstration a priori.

Considérons les trois plans coordonnés yoZy zoXy xoy, comme appartenant à la seconde figure, et cherchons les plans correspondants, dans la première figure : soient

ax -4- 6y -^ yz — i = 0 , OLX •+- ^'y ■+■ y'z — i = 0, a"x-+-ry-4-r"x— i = 0,

leurs équations.

Concevons qu'on ait cherché le plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde (273); et soit

son équation.

La distance du point m (x, y, z) de la seconde figure, au plan xoy^ sera proportionnelle au rapport des distances du point M (X,Y, Z), de la première

figure^ aux plans qui correspondent^ Tun au plan xoy^ et Fautrc à Tinfini ; ce rapport est

aX -♦- 6Y -♦- yZ — I

X const.

a"'X-4-ê"'YH-r'"Z — 1

La distance du point m au plan yoz est égale à la coordonnée x multipliée par une constante; on a donc une équation de la forme

aX -H 6Y -♦■ >'Z — i

On aura des valeurs semblables pour les valeurs de y et de z. C'est ce que nous voulions démontrer.

Ainsi les formules (2) expriment la construction des figures homographiques les plus générales^ quant à leur forme et à leur position.

295. Dans ces formules^ les coordonnées des points des deux figures sont comptées sur les mêmes axes coordonnés. Si l'on voulait rapporter celles de la seconde figure à d'autres axes que celles de la première^ on pourrait simplifier les formules.

Car regardons les trois axes ox^ oy, ozy comme appartenant à la seconde figure^ et soient OX, OY, OZ les trois droites correspondant à ces axes dans la première figure; prenons-les pour trois nouveaux axes coordonnés^ auxquels se rapporteront les coordonnées des points de la première figure; soit

aX-f-6Y-+-rZ— 1=0

l'équation du plan de cette première figure qui correspond à l'infini de la seconde; on aura, d'après le théorème (176), les trois équations

/ ax

aX -4- 6Y -4- rZ — i

mY

a'X^6Y-f-rZ— 1

" ,X -♦- 6Y -4- rZ — r

*/, ju, Vy étant trois constantes.

Si ToD prend les trois axes coordonnés OX^ OY^ OZ^ de manière que le plan ZOY soit parallèle au plan qui^ dans la première figure^ correspond à Tinfini de la seconde , Téquation de ce plan sera simplement

Et les formules seront

aX

Telles sont les formules les plus simples qui expriment^ dans toute la généralité possible ^ la construction des figures homographiques.

296. Pour les figures planes^ les formules les plus générales^ relatives à un même système d'axes coordonnés^ sont

aX^SY— i a'x^e'Y — i

Ces formules ont été données^ par Waring^ pour transformer une courbe en une autre {Transforniare unam curvam in allerani), dans ses Miscellanca analylica de œqualtonibm algebf^aicis et cxirvarum proprietatibus , în-4**, Cantabrigiœ 1 762 ; puis dans son Traité des courbes géométriques^ intitulé : Propielafes atgebraicarum curvarum, in-i.% 1772. L^auteur se borne à dire que la nouvelle courbe sera du même degré que la proposée^ sans faire entrevoir quelles seront les propriétés communes aux deux courbes^ et quels pourront être les usages et les applications de ce mode de transformation. Il ajoute seulement que la construction d'une courbe semblable, à une courbe donnée^ et la construction d'une courbe dont les coordonnées de chaque point sont dans des rapports constants avec les coordonnées du point correspondant d'une courbe proposée^ sont des cas particuliers de ses for-

mules. Dans la préface du second ouvrage, Waring dît que ce mode de transformation est la généralisation de la méthode de Newton, comprise dans son Lemme 20 du l®*" livre des Principes. Mais nous ferons voir, dans la suite de ce paragraphe, que cette généralisation ne porte point sur la forme des figures , mais seulement sur leurs positions respectives.

Ainsi, quoique Waring ait donné, pour transformer une courbe en une autre du même degré, les formules mêmes qui expriment la construction de nos figures homographiques, nous pouvons dire, néanmoins, que notre théorie de la traîis formation homographique est nouvelle, tant sous le rapport des propriétés des figures que Ton y considère , que sous le rapport de ses usages pour la démonstration et pour la généralisation des propositions de Géométrie.

297. Reprenons les formules (5); les coordonnées Xy y, de la nouvelle figure, sont comptées sur les mêmes axes que les coordonnées X, Y de la figure proposée. Si Ton veut se servir de deux systèmes d'axes coordonnés difl*érents, on pourra simplifier les formules, comme dans le cas des figures à trois dimensions, et les réduire à la forme

Ces formules expriment la construction des figures homographiques les plus générales, de forme et de position. Les deux axes oXy oy étant considérés comme deux droites appartenant à la seconde figure, les axes OX, OY sont les droites correspondantes, dans la premièra figure; Tune de ces droites, OY, est prise parallèle à la droite qui correspond, dans la première figure, a Finfini de la seconde, et cette droite est celle qui a pour équation

298. On peut encore trouver des formules répondant à toute la généralité de construction des figures homographiques, et néanmoins un peu plus simples que ces dernières.

En eiïet^ qu'on rapporte les points de la première figure à deux axes coordonnés^ dont Tun OX soit la droite qui correspond^ dans celte figure^ à Tinfini de la seconde^ et dont l'autre OY soit pris arbitrairement; et qu'on rapporte les points de la seconde figure à deux axes coordonnés dont le premier^ Oâ?^ soit la droite qui correspond à l'infini de la première figure^ et l'autre, oy, soit la droite correspondant à l'axe OY de la première figure ; on aura, d'après le théorème (176), les équations

Ainsi ces deux équations, quoique très-simples, expriment les figures homographiques les plus générales.

Ce sont précisément les formules données par. Newton.

Nous pouvons donc dire que les formules de Newton sont aussi générales que celles de Waring, puisque les unes et les autres répondent à la forme et à la position, les plus générales, des figures homographiques. Mais il y a cette difîérence entre les unes et les autres, que, dans celles de Waring, les points sont rapportés à un même système d'axes coordonnés, tandis que^ dans celles de Newton, il y a deux systèmes d'axes coordonnés différents.

299. Jusqu'ici nous avons supposé, aux deux figures, une généralité absolue de position l'une par rapport à l'autre. Mais une question se présente naturellement : c'est de rechercher quelle position relative il faut donner aux deux figures^ pour qu'étant rapportées à un même système d'axes coordonnés, elles soient exprimées par les formules les plus simples.

Les considérations précédentes conduisent à la solution de cette question. En effet, quelles que soient les formqjes relatives à un même système d'axes coordonnés, ces formules donneront lieu, si l'on change la position relative des deux figures, à des formules de même forme, relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Les formules relatives à un même système d'axes coordonnés ne pourront donc pas être plus simples que les formules les plus simples relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Celles-ci sont les for^

mules (7); il faut donc voir si ces formules conviennent à un même système

d'axes coordonnés^ c'est-à-dire si Ton peut placer deux figures homogra-

phiques données^ de manière qu'il existe^ dans leur plan^ un système d'axes

coordonnés pour lequel les formules qui lient entre elles les deux figures

soient de la forme

Voici la solution de cette question.

Que l'on cherche la droite 1^ dans la première figure^ qui correspond à l'infini de la seconde ; et la droite J'^ de la seconde figure^ qui correspond à l'infini de la première. Que Ton place les deux figures de manière que les deux droites soient superposées sur une même droite L. Cette position y qui laisse encore quelque chose d'arbitraire^ puisqu'on peut faire glisser l'une des deux droites sur l'autre^ satisfait à la question. On prendra la droite L pour l'axe des y. Voici comment on déterminera l'axe des x. Il existe toujours , dans deux figures homographiques quelconques^ quelle que soit leur position^ une certaine droite qui^ considérée comme appartenant à Tune des deux figures^ est elle-même son homologue dans l'autre. (Voir ci- après ^ § XXV.) Ainsi ^ pour la position que nous venons de donner aux deux figures^ il existe une telle droite. C'est cette droite qu'on prendra pour l'axe des X.

De cette manière^ l'axe des y, considéré comme appartenant à la première figure^ correspond à l'infini de la seconde; et^ considéré comme appartenant à la seconde figure^ il correspond à l'infini de la première. Et l'axe des x, considéré comme appartenant à l'une des deux figures^ sera son homologue dans l'autre. Donc, d'après les théorèmes (476 et 477), on aura les formules t

^ x' ^ x ' Ce qu'il fallait démontrer.

300. Ainsi nous pouvons dire que, étant données deux figures dont les points se correspondent un à un, et sont liés par les équations suivantes entre

les coordonnées \yY de chaque point de la première figure et les coordonnées x^y du point correspondant de la seconde figure, rapportées aux mêmes axes coordonnés :

aX-*-6Y — 4 a'XH-6Y' — 4

on peut, en changeant la position relative des deux figures, trouver un système d'axes coordonnés tel, que les relatiom entre les coordonnées de deux points correspondants soient de la for^ne

X fxY

Ce théorème est Tun de ceux dont la démonstration semblerait être particulièrement du domaine de TÂnalyse^ puisqu'il s'agit d'un changement de système d'axes coordonnés. Mais cette voie serait longue et difficile^ parce qu'il ne suffit pas de changer le système de coordonnées; il faut encore changer la position relative des deux figures proposées^ ce qui exigerait^ en Analyse^ de très-longs calculs. Les considérations géométriques^ au contraire^ procurent une démonstration extrêmement simple du théorème^ et une solution de la question qui en dépend.

§ XVII. Théorie des figures homologiques. — Leur constructigin.

301. Soient a^ b, c^t/ quatre points d'une figure dans l'espace; formons une figure homographique^ dans laquelle les quatre points correspondant à ces points^ respectivement^ soient ces points eux-mêmes.

Soient un cinquième point m de la figure proposée^ et m' son homologue dans la figure homographique. Soient a. S, y les points où les trois plans mbc, mca, 7/ia6 rencontrent les trois arêtes^ arf, 6rf, cd du tétraèdre abcd, et «', S', /, les points où les trois plans m'bc, m'ca, m^ab rencontrent les mêmes arêtes; nous avons vu qu^on aura

^*» T.-'û;^' rfi-^Sc' ^-^■- «^^^.«.274.)

Le point m^ peut être pris arbitrairement dans Fespace. Supposons qu'il soit situé sur la droite dm ; et soit i le point où cette droite rencontre le plan abc. On aura

aa aoL 9m 9m' da ' rfa' dm ' dm' '

parce que Tun et l'autre membre de celte équation expriment le rapport anharmonique des quatre plans abCy mbCy m'bc, dbc. Comparant cette équation à la première des trois précédentes^ on en conclut cette valeur de X :

âm 9m'

dm ' dm'

On trouvera que /u et v ont la même valeur ; de sorte que les trois cœffi'' cients constants y X, ft, v, sont égaux entre eux.

302. Réciproquement^ quand ces trois cœ^ients sont égaux, chaque point m', de la seconde figure, est situé sur la droite menée, du point carres-^ pondant m, au sommet d du tétraèdre abcd. Car soit m'' le point où le plan mbc rencontre la droite dm : on aura

aa aa 9m 9m

da ' da' dm ' dm"

Soit m'" le point où le plan m^ac rencontre la même droite dm; on aura

66 66' 9m 9m'" M''d^^dm'dnr'

Les premiers membres de ces deux équations sont égaux ^ puisque nous supposons^ dans les équations (1)^ ^=i^; les seconds membres sont donc égaux aussi; d'où Ton conclut que les points m'', m'^' se confondent; c'està-dire que les deux plans m'bc, m'ca passent par le même point de la droite dm; on, encore^ que les deux droites cm', dm se rencontrent

Ainsi ^ qu4ind X «=» /u^ les deux droites dm^ cm^ se rencontrent toujours, quels que soient les deux points homologues m, m^

Pareillement^ si Ton a X = y^ les deux droites dm y bin^ se rencontreront. Donc si Ton a en même temps X = ^u = y, les deux droites cm' y bm' rencontreront la droite dm; c'est-à-dire que le point m' sera sur la droite dm.

Ainsi, quand, dans les équations (1), on a > =/ji = y, deux points homologues quelconques, des deux figures, sont toujours en ligne droite avec le point d.