ET DES CERCLES OSCULATEURS DES COURBES GÉOMÉTRIQUES

450. Que Ton applique le théorème du paragraphe XI à une courbe plane géométrique; et que Ton prenne le point m infiniment voisin du point de la courbe où Ton veut mener la tangente; que les trois transversales mi y mjy ij soient menées arbitrairement; et que les points a, b soient ceux où les deux premières rencontrent Tare de la courbe duquel le point m est infiniment voisin; cet arc sera pris pour la tangente^ et le rapport ^ sera égal au rapport des sinus des angles que les deux droites mjy mi font avec cette tangente. Après avoir remplacé le premier rapport par le second, on pourra supposer que le point m soit sur la courbe même; alors en substituant, dans l'équation du numéro 227, au rapport^ le rapport des sinus des angles 6, a que les deux droites m/, mi font avec la tangente à la courbe au point ^n, on aura Téquation

sin.6 fw6'. m6".... im. to'.to".... jc.je\j&\... sm.a ma\ma ..,, jm.jb ,jo .„. te. te. ic ....

Tous les facteurs du second membre sont des segments faits sur les trois transversales arbitraires mi y mj\ ij\ de sorte que le second membre est connu. Conséquemment la direction de la tangente est déterminée.

Ainsi ce problème des tangentes , qui a eu une si grande célébrité il y a deux cents ans, qui était « le plus beau et le plus utile » que Descartes ait désiré savoir, se trouve résolu géométriquement, d'une manière tout à fait générale et très-simple, pour les courbes mêmes auxquelles s'appliquaient les deux solutions analytiques de ce philosophe.

Si Ton applique l'Analyse à cette solution, on obtiendra la formule employée en Géométrie analytique.

451. L'équation (2) conduit, avec la même facilité, à la solution d'un problème d'un ordre plus élevé que celui des tangentes, du problème des cercles osculateurs aux différents points d'une courbe géométrique.

En efTet^ soient pri$^ sur une courbe géométrique ^ trois points consécutifs b^ a y b'y inOniment voisins. Par le point a soit menée ^ arbitrairement^ une droite rencontrant 66' en w, et la courbe aux points a', a", •.,. Soient 6", 6'", .... les points où la corde 66' rencontre la courbe; et menons une transversale quelconque qui rencontrera ma en i, mb en j^ et la courbe en c^ c'y c", .... On aura Féquation

ma,ma',ma!\.. jb,jb\jb'\., icic.ic".** ta . ta . ta ... mh . ma. mo ... je ,jc .je .,.

Concevons le cercle qui passe par les trois points 6^ a^ 6' ; et soit e le point où la droite ma le rencontre ; on aura

ma . nti- =^ mb . mb' ;

d'où

mb.mb'

me = )

ma

et, d'après Téquation ci-dessus,

ma\ma'\.,. jh.jb'.jb'^^. ic.ic'.ic"...

me = X -r-^ — X

mb .... ta . ta . ta ... je .je .je ..•

Pour chaque transversale menée par le point a, on aura une équation semblable. Ainsi Ton déterminera autant de points qu'on voudra du cercle passant par les trois points 6, a, 6'. Et si Ton suppose que ces trois points se confondent, on aura le cercle osculateur à la courbe. Alors la droite 66' devient la tangente à la courbe, au point m; et ce point m se confond avec le point de réunion des trois points 6, a, 6'. La formule devient donc

fwo'.mo".... jm.j6".... tc.tc'.fc".. .

me = X ~ — -r~ X •; — : — :

mb .... tut .ta', ta".... je .je' .je" ,,„

La tangente au point m étant connue , il suffira de déterminer un seul point e, pour que le cercle osculateur soit connu. Si Ton veut calculer son diamètre ,

on mènera la transversale mi perpendiculaire à la tangente; alors l'expression de me sera la longueur du diamètre du cercle.

Oii convertira aisément cette solution graphique en la formule analytique connue.

432. Il est important d'observer que ^ pour ce genre de solution graphique des deux problèmes que nous venons de résoudre, la courbe doit être tracée complètement, de manière que les transversales menées la rencontrent en autant de points réels que la courbe en comporte; c'est-à-dire, en autant de points réels qu'il serait indiqué par le degré de l'équation de la courbe, exprimée dans le système de cordon nées en usage.