BC.BC B'C.B'C AB.AB' A'B.A'B

AC.AC A'C.A'C

Ainsi chacune des trois équations (A) comporte les deux autres. (5) La propriété des six points, d'être en involution, peut être exprimée par une équation entre six segments seulement, formés par ces points entre eux. Celte équation sera :

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA', ou AB'.BC.C'A'=AC.C'B'.BA', ou AB.B'C'.CA'=AC'. CB.B'A', ou AB .B'C.C'A'=AC. CB.B'A'.

Ainsi, chacune de ces quatre équations (B) exprime Vinvolution des six points, et suffit pour que les trois autres aient lieu.

(6) Les équations (B) se déduisent (acilement des équations (A), par voie de multipli-

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calion; et, réciproquement, celles-ci se déduisent, aussi aisément, des équations (B). Mais puisque chacune des sept équations constitue, à elle seule, l'involution de six poinls, il faut que d'une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe; c'est-à-dire d'une des trois équations (A) les deux autres, et d'une des équations (B) les trois autres. C'est en effet ce que l'on peut faire par le calcul, en transformant les différents segments de l'équation proposée en d'autres qui se prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette sorte de vériflcalion a posteriori est longue, exige des tâtonnements, et n'a rien d'élégant.

Aussi l'on se sert, pour montrer que l'une des sept équations (A) et (B) comporte les six autres, de cette propriété géométrique des six points : on peut faire passer, par ces six poinls, les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère. C'est ainsi qu'ont fait MM. Brianchon et Poncelet.

Mais nous avons trouvé que la notion du rapport anharmonique de quatre points procure une démonstration encore plus simple et plus directe, et conduit à beaucoup d'autres relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d'utilité. Nous traiterons de cet objet dans la seconde partie de cette Note.

(7) Les équations (A), entre huit segments, sont faciles à former. La nature des relations (B), dans chacune desquelles n'entrent que six segments, ne paraît pas aussi facile, au premier abord, à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle que, croyonsnous, l'on pourra retenir sans efforts de mémoire.

Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun d'eux fera deux segments avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segments : le produit de trois de ces segments, qui n'ont pas d'extrémité commune, est égal au produit des trois autres.

(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D', et supposons que ces points forment une involulion avec les quatre points A, A' et B, B'; on aura l'équation