GÉOMÉTRIE DES INDIENS

Ayant reçu des Arabes, dans nos fréquentes communications avec ce peuple, notre système de numération, nous lui avions d'abord fait honneur de cette idée ingénieuse et féconde, qui a rendu de si grands services aux sciences, et à l'Astronomie principalement. Mais on a reconnu depuis, par différents documents émanés des Arabes eux-mêmes, que cet honneur appartenait aux Indiens. Une si belle et si utile invention, qui, avec neuf

» Histoire des Sciences mathématiques en Italie, par M. Libri ; Discours préliminaire, tom. I, pag 3.

signes seulement, prenant des valeurs de position suivant une loi très simple, pouvait exprimer tous les nombres imaginables, et abrégeait singulièrement les calculs, si pénibles chez les Latins, était propre à mériter à ses auteurs l'estime de l'Europe qui l'avait adoptée universellement, et à faire penser que le peuple hindou avait été capable d'autres progrès dans les sciences mathématiques.

En effet, on ne tarda point à apercevoir quelques indications qui annonçaient que ce peuple avait cultivé aussi une Arithmétique supérieure, d'où dérivait celle qui nous a été transmise des Arabes par Fibonacci, sous le nom û'Algebra et Almucabala, et qui forme aujourd'hui notre Algèbre.

L'histoire des sciences était vivement intéressée à l'éclaircissement de ces premières indications.

Depuis une vingtaine d'années elles ont reçu une confirmation complète.

Au commencement de ce siècle, MM. Taylor, Strachey et Colebrooke < nous ont fait connaître les ouvrages mathématiques de deux auteurs hindous, qui passent pour les plus célèbres de leur nation, Brahmegupta et Bhascara Acharya; le premier du W" et le second du Xll"" siècle de l'ère vulgaire. Ces ouvrages traitent de V Arithmétique, de V Algèbre et de la Géométrie. L'Arithmétique et l'Algèbre en sont la partie la plus considérable, et confirment pleinement l'opinon émise en faveur des Indiens, comme inventeurs de ces deux branches de la science du calcul, telles que nous les avons reçues des Arabes, et même dans un état de plus grande perfection.

En effet, les commentaires de divers auteurs hindous, qui accompagnent le texte de ces deux ouvrages, attribuent à un auteur encore plus ancien que Brahmegupta, et qu'ils nomment Aryabhalta, la résolution de l'équation du premier degré à deux inconnues, en nombres entiers, par une méthode semblable à celle de Bachet de Méziriac, qui a paru en Europe, pour la première fois, en 1624. « Les ouvrages de Brahmegupa et de Bhascara renferment des recherches d'un ordre beaucoup plus élevé. Outre la résolution générale de l'équation à une seule inconnue du second degré, et celle de quelques équations dérivatives des degrés supérieurs, on y trouve la manière de déduire, d'une seule solution, toutes les autres solutions entières d'une équation indéterminée du second degré à deux inconnues; et cette Analyse, que nous devons à Euler, était connue aux Indes depuis plus de dix siècles. Un calcul qui a de la ressemblance avec les logarithmes, des notations particulières fort ingénieuses, et surtout une grande généralité dans l'énoncé des problèmes, attestent les progrès de l'Analyse indienne. Cette science, que les Hindous appliquaient à la Géométrie et à l'Astronomie, était pour eux un puissant instrument de recherche, et l'on doit citer avec éloge plusieurs problèmes géométriques dont ils avaient trouvé d'élégantes solutions. »

Nous nous bornerons à cette indication succincte des travaux analytiques des Hindous, que nous avons empruntée de VHistoire des Sciences mathématiques, de M. Libri. Mais

*■ Bija Ganita, or the Jlgebra ofthe Hindus^ bij Edv. Strachey. London; 1813, in-4». — Lilavati or a treatise on Arithmelic and Geomelry by Bhascara Acharya, (ranslaied from the original sanscrit by J. Taylor, Bombay; 1816, in-4». — Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the sanscrit of Brahmegupta and Bhascara; translated by H. T. Colebrooke. London; 1817, in-i».

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il nous faut entrer dans plus de développements pour faire connaître leur Géométrie, qui est ici notre objet spécial.

On s'est borné, dans les extraits et les analyses qu'on en a donnés,, à citer quelques propositions, qui sont : le carré de l'hypoténuse; la proportionnalité des côtés dans les triangles équiangles; les segments faits par la perpendiculaire sur la base d'un triangle; l'aire de celle figure, en fonction des trois côtés; un rapport approché de la circonférence au diamètre; la valeur des côtés des sept premiers polygones réguliers inscrits au cercle; une relation entre la corde d'un arc, son sinus verse et le diamètre; et enfin quelques propositions sur le calcul des distances, par l'ombre du gnomon *.

On a cru voir, généralement, dans ces diverses propositions, et conséquemment dans la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupla et de Bhascara, des Éléments de Géométrie, ou du moins les propositions élémentaires et primordiales sur lesquelles reposait toute la science des Hindous. Aussi a-t-on regardé leurs connaissances géométriques comme infiniment inférieures à leurs connaissances en Algèbre 2.

Mais en cherchant à nous rendre compte, par une étude approfondie de la partie géométrique des ouvrages hindous-, de la signification de plusieurs propositions dont on n'avait point encore parlé, et du rôle que ces diverses vérités, qui paraissaient d'abord sans lien entre elles et comme jetées au hasard, jouent dans cet ouvrage, nous avons été conduit à reconnaître, d'une part, que les propositions dont il n'avait point encore été fait mention étaient précisément celles qui avaient le plus de valeur; et ensuite, que l'ouvrage de Brahmegupla, principalement, loin de nous offrir des Éléments de Géométrie, ou le résumé des propositions les plus usitées chez les Hindous, roulait simplement sur une seule et unique théorie géométrique.

Celte théorie est celle du quadrilatère inscrit au cercle. Brahmegupla y résont celle question, digne d'être remarquée : Construire un quadrilatère inscriptible, dont l'aire, les diagonales, les perpendiculaires et diverses autres lignes, ainsi que le diamètre du cercle^ soient exprimés en nombre rationnels.

Tel est l'objet de l'ouvrage de Brahmegupla, si nous ne nous abusons dans notre interprétation de la plupart de ses propositions, dont le sens doit être deviné à cause de la concision extrême des énoncés, oîi manque la plus grande partie des conditions qui devraient y entrer.

On sera étonné sans doute de voir réduire à de telles questions ce qu'on a pu regarder, avant une lecture attentive, comme formant des Éléments de Géométrie. Ces questions

' Voir Correspondance polytechnique, loni. 111, janvier 1816 ; article traduit par M. Terquem, de l'ouvrage de M. Hutton, intitulé Tracts on Mathematical, etc , 3 vol. in-S"; Londres, 1812. M. Hullon avait reçu ces neufs et précieux documents sur l'Algèbre et la Géométrie des Indiens, de M. Slrachey, avant que les publications de ce savant orientaliste eussent paru. — Edimburg lîeview, 1817, n» LVII. — Delambre, Hisloire de l'Astronomie ancienne, t. I ; et Histoire de l'Jslronomie du Moyen âge, Discours préliminaire — Journal des savans, septembre 1817.

* They (the //indus) cullivated Jlgebra much more, and with greater success, than Geomelry ; as is évident from the comparatively low state of their Knowledge in the one, and the hiyh pitch oftheir attainments in the ot^er. Colebhooke; Brahmegupta and Bhascara, Jlgebra, Dissertation, p. XV.

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dénotent, sinon un savoir très étendu, du moins une certaine habileté en Géométrie, et une habitude du calcul. Sous ce rapport, elles sont dans l'esprit algébrique des Hindous. Elles nous font voir qu'il nous reste entièrement à connaître leurs Éléments de Géométrie, et elles sont propres à nous faire désirer de retrouver encore d'autres fragments semblables, du temps de Brahmegupla, ou d'un temps antérieur; car elles nous prouvent que la Géométrie alors a été cultivée avec succès.

L'ouvrage de Bhascara n'est qu'une imitation très imparfaite de celui de Brahmegupta, qui y est commenté et dénaturé. On y trouve, en plus, quelques questions nouvelles sur le triangle rectangle (qui étaient étrangères à la question traitée par Brahmegupta) ; une expression approximative remarquable de l'aire du cercle en fonction du diamètre ; la valeur des côtés des sept premiers polygones réguliers inscrits, en fonction du rayon ; et une formule pour le calcul approximatif de la corde en fonction de l'arc, et vice versa.

Mais les propositions les plus importantes de Brahmegupla, relatives à sa théorie du quadrilatère inscriplible au cercle, y sont omises, ou énoncées comme inexactes. Ce qui montre que Bhascara ne les a pas comprises.

Celte circonstance, et les commentaires de différents scoliastes, nous paraissent prouver que, depuis Brahmegupla, les sciences, dans l'Inde, ont été en déclinant, et que l'ouvrage de ce géomètre a cessé d'y être compris. On sait, du reste, que dans l'âge présent, les savants indiens sont d'une ignorance profonde en mathématiques '.

Nous allons présenter une analyse succincte de l'ouvrage de Brahmegupla. Ensuite nous analyserons semblablement celui de Bhascara; et nous signalerons les différences notables que nous avons trouvées entre ces deux ouvrages, écrits à six siècles d'intervalle.