SUR LA GÉOMÉTRIE DE BRAHMEGUPTA

Les ouvrages de Brahmegupta, dont l'Europe est redevable au célèbre M. Colebrooke, sont extraits d'un Traité d'Astronomie, dont ils forment le douzième et le dix-huitième chapitre. Le douzième esl un Traité d'Arithmétique (intitulé Ganita), et le dix-huitième un Traité d'Algèbre (intitulé Cutlaca). La Géométrie fait partie du Traité d'Arithmétique, où elle occupe les sections IV, V,..., IX, sous les titres, dans le texte anglais : Plane figure, Excavations, Slacks, Saw, Mounds of Grain, et Measure by Shadow.

La section IV, intitulée : Figures planes, triangle et quadrilatère, se compose de vingttrois propositions, comprises sous les paragraphes 21-43.

Toutes ces propositions se réduisent à des énoncés, d'un style elliptique, extrêmement concis, et ne sont accompagnées d'aucune démonstration. Elles sont présentées d'une manière générale, sans le secours d'aucune ligure, et sans qu'il en soit fait aucune applica-

* A Poona, que l'on peut regarder comme le principal établissement des Bramines, il y a tout au plus dix ou douze personnes qui entendent le Lilavati ou le Bija-Ganita; et quoiqu'il y ait plusieurs astronomes de profession à Bombay, M. Taylor n'en a pas trouvé un seul qui entendît une page du Lilavati. (Delambre, Histoire de l'Astronomie ancienne, tom. l<"; pag. 545.)

tion numérique dans le texte. Mais des notes d'un auteur hindou, nommé Chaturveda, contiennent les figures et les applications qui s'y rapportent.

Quelques-unes des propositions, mais en petit nombre, sont intelligibles, et leur énoncé renferme toutes les parties qui composent une proposition complète. Mais les autres sont énoncées d'une manière très imparfaite, et ne font aucune mention d'une partie notable des conditions de la question, dont la connaissance est indispensable. Par exemple, s'il s'agit d'un quadrilatère, la proposition se réduit à l'expression des longueurs de ses quatre côtés, et laisse ignorer les autres conditions nécessaires pour construire le quadrilatère, ainsi que les propriétés de cette figure, qui ont été, dans l'intention de l'auteur, l'objet de celte proposition. Toutes ces propositions de Brahmegupta ont donc besoin d'être devinées.

Le sens que nous leur avons donné nous a porté à regarder l'ouvrage comme ayant eu pour objet de résoudre les quatre questions suivantes, relatives au triangle et au quadrilatère :

1 » Trouver, en fonction des trois côtés d'un triangle, son aire et le rayon du cercle qui lui est circonscrit ;

2" Construire un triangle dans lequel cette aire et ce rayon soient exprimés en nombres rationnels ; les côtés du triangle étant eux-mêmes des nombres rationnels ;

3" Un quadrilatère étant inscrit au cercle, déterminer, en fonction de ses côtés, son aire, ses diagonales, ses perpendiculaires, les segments que ces lignes font les unes sur les autres par leurs intersections, et le diamètre du cercle i

4" Enfin, construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dans lequel toutes ces choses, son aire, ses diagonales, ses perpendiculaires, leurs segments, le diamètre du cercle, soient exprimés en nombres rationnels.

Du moins, ces quatre questions se trouvent résolues complètement dans les dix-huit premières propositions de l'ouvrage de Brahmegupta, qui suffisent pour leur solution, et dont aucune n'y est étrangère, de sorte qu'on peut dire que ce Traité est écrit avec intelligence et précision. Quelques autres propositions, qui viennent à la suite, roulent sur d'autres matières.

On peut regarder aussi l'ouvrage de Brahmegupta comme ayant eu pour objet unique une seule des quatre questions que nous venons d'énoncer, qui serait la dernière, relative au quadrilatère inscrit. Les trois autres seraient des prémisses indispensables pour la solution de celle là; et, en effet, toutes les propositions dont elles se composent ont leur application dans la solution complète de la question du quadrilatère.

Avant de passer à l'analyse de l'ouvrage de Brahmegupta, il nous faut faire connaître quelques expressions de la nomenclature mathématique des Hindous, dont ils font un usage très heureux pour énoncer les théorèmes d'une manière concise et sans le secours de figures; ce qui leur donne un caractère de généralité qui manquait souvent à la Géométrie des Grecs. Nous nous servirons ensuite des mêmes expressions : elles nous faciliteront le discours, et nous permettront quelquefois de conserver le style des géomètres indiens.

Dans un triangle, un côté est appelé la base, et les deux autres, les cniés ou les jambes; la perpendiculaire est la ligne abaissée, perpendiculairement sur la base, du point d'inter-

section des deux côtés ; les segments sont les parties comprises entre le pied de la perpendiculaire et les deux extrémités de la base.

Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit est appelé le côté, l'autre le droit {upright), et le troisième Vhypoténuse. Au mot droit, qui ne s'applique dans notre nomenclature mathématique qu'aux angles, nous substituerons celui de calhète, qui était employé par les Grecs et par les Latins.

i.o polygone de quatre côtés est appelé télragone (excepté dans le titre de l'ouvrage : Triangle et quadrilatère); l'un des quatre côtés est la base; son opposé est appelé le sommet {summit), et les deux autres les flancs.

Ne pouvant nous servir du mot sommet, qui s'applique invariablement dans notre langue, à un point, et jamais à une ligne, nous lui substituerons celui de corausle, à l'imitation des Latins, qui donnaient aussi un nom particulier au côté opposé à la base du quadrilatère, et l'appelaient coraustus. Ce mot se rencontre dans quelques anciens manuscrits, et a été reproduit, en 1496, dans la Margarita philosophica.

Les perpendiculaires du quadrilatère sont abaissées, sur la base, des deux sommets qui sont les extrémités supérieures des deux flancs; de sorle qu'elles correspondent respectivement aux deux flancs. Chacune d'elles fait sur la base deux segments. Le premier, situé entre la perpendiculaire et le flanc correspondant, est appelé le segment, l'autre est son complément. Les Indiens se servent du mot diagonale dans la même acception que nous.

Dans le rectangle, les dénominations sont spéciales. Le rectangle est appelé oblong ; et deux côtés contigus sont appelés, comme dans le triangle rectangle, le côté et le droit; nous dirons le côté et la cathète.

Le mol trapèze {trapezium) est employé plusieurs fois sans être défini. On voit par une note de M. Colebrooke, placée au commencement de la partie géométrique de Bhascara, et empruntée du scoliaste Ganesa, que ce mol, qui répond à la dénomination sanscrite vishama-chaturbhiija, s'applique au tétragone qui a ses quatre côtés inégaux.

C'est la signification qu'il avait chez les Grecs {voir la définition 34* du 1" livre d'Euclide) et qui a été conservée jusqu'ici chez les géomètres anglais *. C'est la significa-

' Aujourd'hui, en France, le mot trapèze s'applique exclusivement au quadrilatère qui a deux côtés parallèles, et ses deux autres côtés non parallèles. C'est vers le milieu du siècle dernier qu'il a pris cette nouvelle signification; jusque-là il avait eu celle d'Euclide.

Cependant il avait déjà reçu à différentes époques, même éloignées, cette signification particulière; car, dans la proposition 174« du T"" livre des Colleclions mathématiques de Pappus, ce mot s'applique nécessairement à un quadrilatère qui a deux côtés parallèles et ses deux autres côtés quelconques; et, dans le Commentaire d'Eulocius sur la 496 proposition du 1" livre des Coniques d' Apollonius ^ il a la même signification. Dans les temps modernes nous la trouvons exprimée formellement dans un ouvrage de Peucer : Elementa doctrinœ de circulis cœlestibus, in -8", 1569, oii nous lisons : Quœ vero non TrapaXXTiXo'ypafxfxa sunt, aul duas habent lineas œquabiliter distantes, ut xpaTreÇta, mensulœ; aut nullas prorsus paralMas lineas habent, ut TpaTiE^oeiY];.

Les Latins avaient appelé mensa, ou mensula, le quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Slevin l'a appelé hache, parce que, dit-il, il ressemble mieux à une hache qu'à une table. {Œuvres mathématiques de Stevin, pag. 373.)

Du reste, toutes les dénominations relatives aux diverses formes du quadrilatère, ont beaucoup varié.

Le:ectangle, appelé par les Grecs exepojAexei;, a pris le nom de tetragonus parle altéra longior chez les

tion que nous lui donnerons aussi dans les propositions de Brahmegupla. Mais, pour que ces propositions aient un sens, il nous faut nécessairement supposer que le trapèze a ses diagonales à angle droit. Dans deux propositions seulement celte restriction n'est pas nécessaire; il y a lieu de croire cependant qu'elle entrait dans l'esprit de Brahmegupta. Cette première condition dans la construction du trapèze n'est pas la seule que l'auteur hindou ait dû observer. Nous avons reconnu qu'en outre ce trapèze doit être inscriptible au cercle. Aucune de ces deux conditions ne se trouve indiquée, ni dans le texte de Brahmegupta, ni dans les notes du scoliaste Chaturveda. Le mot trapèze n'est employé que deux fois par Bhascara, et nous voyons que, dans les deux cas, l'auteur l'applique à un quadrilatère construit d'une manière particulière, et qui a ses diagonales rectangulaires.

Nous emploierons le mot trapèze dans ce sens, à défaut d'un autre mot, voulant conserver une expression abréviative, qui contribuera à faire ressortir le caractère propre des propositions de l'auteur hindou.

La signification que nous venons d'attribuer au mot trapèze suffit déjà, avec la condition que cette figure est inscriptible au cercle, pour donner un sens à plusieurs de ces propositions, mais non pas à toutes; et, dans plusieurs autres, il faut admettre pareillement, quoiqu'elles ne concernent pas le trapèze, qu'il s'agit encore du quadrilatère inscriptible. Dans celles-ci, le quadrilatère a deux côtés opposés égaux entre eux, ou bien trois côtés égaux.

Ces premières suppositions suffisent pour efi'ectuer la construction des figures sur lesquelles roulent les propositions de Brahmegupta; mais cela n'est pas assez : il faut encore suppléer au silence de l'auteur, et découvrir quelles sont les propriétés dont ces figures, ainsi construites, jouiront; propriétés qui ont fait le véritable objet de l'ouvrage. Cette question se présentera également pour d'autres propositions relatives au triangle, où les conditions particulières de construction de celte figure sont bien indiquées, mais où il n'est rien dit des propriétés dont elle jouira.

D'après cela, voici le résumé des propositions que nous trouvons dans l'ouvrage de Brahmegupla. Nous les présenterons en donnant à celles dont l'énoncé était incomplet et inintelligible, le sens et l'interprétation dont nous venons de parler. Nous les plaçons par

Latins (voir Boèce, Casslodore). Au Moyen âge, Catnpanus et Vincent de Beauvais lui ont donné celui de télragone long, qu'il a conservé à la Renaissance, dans les ouvrages de Zamberli, de Tartalea, etc. Ensuite quelques auteurs l'ont appelé oblong {voir Alstedius; Encyclopœdia universa, lib. XV). Enfin il a pris en France le nom de rectangle (Mersenne, De la vérité des sciences, p. SI.')) qu'il a conservé. En Angleterre, il s'appelle toujours oblong.

Vincent de Beauvais, écrivain du XIII» siècle, auteur d'une encyclopédie intitulée Spéculum mundi, oîi se trouvent réunis, avec un immense savoir, une foule de documents précieux pour l'histoire, appelait climiam le rhombe des Grecs, qui est notre losange; simile climiam le rhomboïde, ou parallélogramme; et climinaria tous les quadrilatères irréguliers, c'est-à-dire les trapèzes des Grecs.

Campanus, écrivain du même temps, à qui l'on doit en Europe la première traduction d'Euclide, qu'il avait faite sur un texte arabe, a appelé le rhombe helmuayn; le parallélogramme, similis helmuayn; et le trapèze d'Euclide, helmuariphe. Ces noms étaient employés à la Renaissance; on les trouve dans la Géométrie pratique de Bradwardin,et dans les ouvrages de Lucas di Borgo et de Tartalea.

groupes, sans observer l'ordre qu'elles ont dans l'ouvrage indien; mais, au moyen des numéros de leurs paragraphes, on pourra établir cet ordre.

1° Quatre propositions sur le triangle, qui sont :

Première : Le carré de l'hypoténuse, dans le triangle rectangle; ^ 24.

Deuxième : La manière de calculer la perpendiculaire en fonction des côtés; ^ 22.

Troisième : L'aire du triangle, en fonction des trois côtés; g 21.

Quatrième : Une expression du diarrèlre du cercle circonscrit au triangle; § 27.

Ces propositions, les deux premières du moins, doivent être considérées comme des Jemmes, utiles pour la suite.

2° Trois propositions qui ont pour objet de construire un triangle dont les côtés et la perpendiculaire, et conséquemment l'aire et le diamètre du cercle circonscrit, soient des nombres rationnels :

Première : Triangle rectangle; g 55.

Deuxième : Triangle isoscèle; §35.

Troisième : Triangle scalène; g 54.

5" Neuf propositions sur le tétragone inscriptible au cercle, qui sont :

Première : L'aire du quadrilatère, en fonction des quatre côtés; § 21.

Deuxième : L'expression de ses diagonales ;§ 28.

Troisième : La manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit, en fonction des côtés; et une expression particulière de ce diamètre pour le trapèze (tétragone qui a ses diagonales rectangulaires ); g 26.

Quatrième : Une expression particulière de la diagonale et de la perpendiculaire, dans un tétragone inscrit, dont les flancs sont égaux ; g 25.

Cinquième : Manière de calculer les segments que les diagonales et les perpendiculaires font les unes sur les autres, dans un tétragone inscrit, dont les flancs sont égaux; g 25.

Sixième : Manière de calculer les perpendiculaires et les segments qu'elles font sur la base, dans le trapèze inscrit; g 29.

Septième : Manière de calculer les segments faits, sur les diagonales, par leur point d'intersection, dans le même quadrilatère; §| 50-51.

Huitième : Manière de calculer la perpendiculaire menée du point d'intersection des diagonales sur un côté, et le prolongement de cette perpendiculaire jusqu'au côté opposé; §§50-51.

Neuvième : Manière de calculer les segments que les perpendiculaires font sur les diagonales et sur les côtés, et ceux que les côtés opposés font sur eux-mêmes; § 52.

4° Quatre propositions sur la manière de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont les côtés, les diagonales, les perpendiculaires, les segments que ces lignes font les unes sur les autres, l'aire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit, soient des nombres rationnels :

Première : Construction d'un rectangle; § 55. ■

Deuxième : Construction d'un quadrilatère dont deux côtés opposés doivent être égaux; §56.

Troisième : Construclion d'un quadrilatère ayant trois côtés égaux; § 37.

Quatrième : Construction d'un quadrilatère ayant ses quatre côtés inégaux; § 38. Le quadrilatère construit est un trapèze; c'est-à-dire qu'il a ses deux diagonales rectangulaires.

Telles sont, suivant la signification que nous avons cru pouvoir leur donner, les propositions comprises dans les dix-huit premiers paragraphes de l'ouvrage de Brahmegupta, qui nous ont paru se rapporter à la théorie du quadrilatère inscriptible au cercle, et résoudre la question de construire un tel quadrilatère dont toutes les parties fussent rationnelles.

Le mot cercle n'est prononcé que dans deux propositions, celles des paragraphes 26 et 27, où il s'agit de trouver le rayon du cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère; et le mot rationnel n'est jamais prononcé. Un quadrilatère n'est défini que par l'expression des longueurs de ses côtés, sans qu'il soit rien dit des autres conditions de construction, que nous avons supposé être l'inscriptibilité au cercle; ni des propriétés dont jouira le quadrilatère, qui consistent en ce que toutes ses parties soient exprimées en nombres rationnels.

5° Cinq propositions, qui viennent à la suite des dix-huit premiers paragraphes, sont étrangères à la question du quadrilatère inscriptible.

La première concerne le triangle rectangle. Sous un énoncé très différent, celte proposition se réduit à ceci : Trouver, sur le prolongement, au delà de l'hypoténuse, de chaque côté de l'angle droit d'un triangle, un point dont les distances aux deux extrémités de l'hypoténuse fassent une somme égale à celle des deux côtés de l'angle droit ;^ 39.

Les quatre suivantes sont relatives au cercle :

Première : Expression de la circonférence et de l'aire du cercle, en fonction du diamètre.

Soit D le diamètre, R le rayon;

« Dans la pratique, on prend circonférence == 3D, et surface =3R2.

j> Pour avoir les valeurs vraies {the neat values), on prend circonférence = k iO.D^, et surface = 1^10. R*; » § 40.

Deuxième : « Dans un cercle, 1° la demi-corde est égale à la racine carrée du produit des deux segments du diamètre perpendiculaire; 2° le carré de la corde, divisé par quatre fois l'un des segments, plus ce même segment, est égal au diamètre ; » g 41.

Brahmegupta appelle le plus petit segment la flèche.

Quand deux cercles se rencontrent, ils ont une corde commune. La droite formée des deux flèches correspondant à cette corde, dans les deux cercles, s'appelle Vérosion.

Troisième : « La flèche est égale à la moitié de la différence du diamètre et de la racine carrée de la différence des carrés du diamètre et de la corde;

» L'érosion étant soustraite des deux diamètres, les restes, multipliés par les deux diamètres, et divisés par la somme de ces restes, donnent les deux flèches; § 42.

Quatrième, g 43 : Cette proposition est la même que la seconde partie du paragraphe 41.

Telles sont les vingt-trois propositions qui composent la section IV.

La section V est intitulée Excavations. Elle donne la mesure d'un prisme et d'une pyramide, et une méthode pour mesurer approximativement, dans la pratique, un corps irrégulier.

Dans les sections VI, VII et VIII, intitulées Stacks, Saw et Mounds of grain, Pauteur donne des règles approximatives pour mesurer des piles de briques, des pièces de bois et des tas de grains.

La section IX est intitulée Mesure par le gnomon.

L'auteur suppose une lumière placée sur un pied vertical, et un gnomon, qui est un style placé aussi verticalement. Il résout ces deux questions :

1° Connaissant la hauteur de la lumière, celle du gnomon, et la distance entre le pied de la lumière et celui du gnomon, trouver l'ombre projetée par le gnomon ; § S3.

2° Trouver la hauteur de la lumière, en connaissant les ombres portées par le gnomon placé dans deux positions différentes ; | 54.

Telles sont des propositions qui composent la partie géométrique de l'ouvrage de Brahraegupta.

Avant de nous livrer à l'examen de celui de Bhascara, nous allons faire quelques observations sur plusieurs de ces propositions.

La règle pour la construction d'un triangle rectangle, en nombre rationnels, s'exprime algébriquement ainsi :

Soit a un côté du triangle, et b une quantité quelconque, le second côté sera :

et l'hypoténuse :

Cette règle repose sur l'identité

Brahmegupta ne prononce pas, dans son énoncé, le mot rationnel; mais on trouve la même règle au paragraphe 58 de son Algèbre, et il l'intitule : Règle pour la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels.

Bhascara donne la même proposition, dans la partie géométrique du Lilavati, % 140, et il ajoute que les côtés seront rationnels.

Cette règle, pour la construction du triangle, est, comme on le voit, une généralisation des deux règles que Proclus, dans son Commentaire sur la quarante-septième proposition du premier livre d'Euclide, attribue à Pylhagore et à Platon, pour formel" un triangle rectangle en nombres entiers, un côté étant donné en nombre impair oi pair.

Ces deux règles des Géomèlres grecs sont exprimées par les formules :

©' -MGÎ -]•*«'. • ■

qu'on obtient en faisant successivement, dans celle de Brahmegupta, 6 = 1 et 6 == 2. La formule de Brahmegupta peut prendre la forme :

(a* ■+- by = (o' — 6')* H- 4a*ft».

Celte formule a été très usitée chez les géomètres modernes, où elle est le fondement de leurs méthodes pour la résolution des équations indéterminées du second degré. Brahmegupta s'en sert pour la construction du triangle isoscèle, dont les côtés et la perpendiculaire sont des nombres rationnels. Voici sa règle :

a e/ b étant deux nombres quelconques, (a^ -f- b^) sera l'expression des deux côtés égaux du triangle, et 2 (a^ — b^) sera la base : la perpendiculaire sera 2ab; § 53.

Pour former un triangle scalène dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels, on aperçoit, dans la règle algébrique de Brahmegupta, § 34, qu'il construit deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. Ce côté est la perpendiculaire du triangle scalène formé avec les autres côtés.

Plusieurs géomètres modernes ont résolu de cette manière la même question (voir les Commentaires de Bachet de Méziriac sur le 6* livre des Questions arithmétiques de Diophanle, et les Sectiones triginta miscellaneœ^ de Schooten, pag. 429).

Nous avons reconnu que les deux propositions sur le triangle isoscèle et le triangle scalène sont utiles pour la construction que Brahmegupta donne, sous les paragraphes 36 et 37, pour le létragone inscriptible au cercle, ayant deux ou trois côtés égaux.

La formule

(a^ -f- hy = (o' — by -+- 4a^6»,

qui a servi à Brahmegupta pour construire en nombres rationnels un triangle rectangle, quand un côté est donné, peut servir aussi pour le cas oix l'hypoténuse est donnée; car, soit c cette hypoténuse; faisons 6 = 1 dans la formule, et multiplions ses deux membres par j^i^^; elle deviendra

* Boèce, en se serrant aussi de ces deux formules, dans le 2« livre de sa Géométrie, attribue la seconde à Archjlas.

ce qui fait voir que les deux côlés du triangle seront de la forme

2ac c{a^ — \)

a étant un nombre arbitraire.

Bhascara a donné cette formule. Elle ne se trouve point dans l'ouvrage de Brahmegupta, parce qu'elle est inutile pour la solution de la question du quadrilatère inscrit, sur laquelle roulent toutes ses propositions.

Les paragraphes 26 et 27 sont les seuls où Brahmegupta ait fait mention du cercle circonscrit à la figure. Aucune condition semblable n'est indiquée dans aucune des autres propositions, qui nous ont paru se rapporter au quadrilatère inscriptible au cercle.

Le paragraphe 27, qui donne la manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit à un triangle, e- prime la formule connue : « le produit de deux côtés d'un triangle, divisé par » la perpei. .culaire abaissée sur le troisième côté, est le diamètre du cercle circonscrit. »

La manière de calculer le diamètre du cercle circonscrit au tétragone est la même; on considère le triangle formé par deux côtés contigus et une diagonale. L'expression des diagonales se trouve dans le paragraphe 28.

Pour le tétragone qui a ses deux diagonales rectangulaires, le diamètre est égal à la racine car e de la somme des carrés de deux côtés opposés.

Cette p «position repose sur la propriété, connue, des cordes qui se coupent à angle droit dans le cercle : La somme des carrés des quatre segments faits sur les deux cordes, par leur point d'intersection, est égale au carré du diamètre du cercle. Propriété qui est la onzième proposition du traité d'Archimède, qui porte le titre de Lemmes.

Le paragraphe 21, qui donne l'aire du triangle et du quadrilatère, en fonction des côlés, nous semble mériter une attention particulière, de la part surtout des personnes qui aiment à rechercher les documents historiques que peuvent présenter les annales des sciences.

Ce paragraphe se compose de deux parties, dont la première nous paraît susceptible de deux interprétations différentes. Si nous suivons textuellement son énoncé, elle exprime, en quelque sorte, une proposition négative ; elle dit que telle règle, pour le calcul de l'aire d'un triangle et d'un tétragone, est fausse. Au contraire, en faisant un léger changement au texte, nous en tirons une règle exacte pour le calcul du trapèze, qui joue le rôle principal dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Première interprétation :

1° Le produit des demi-sommes des côtés opposés donne une aire inexacte du triangle et du tétragone ;

2° La demi-somme des côtés est écrite quatre fois ; on en retranche successivement les côtés ; on fait le produit des restes : la racine carrée de ce produit est l'aire exacte de la figure *.

* Voici le texte de M. Colebrooke, qu'il faut avoir sous les yeux pour apprécier les deux interprétations de

INOTES. 429

Quoiqu'il ne soit aucunement fait mention de la condition d'inscription au cercle pour le tétragone, on ne peut douter qu'il ne s'agisse d'une telle figure, dans la seconde partie de la proposition ; car on y reconnaît la règle élégante qui sert pour le calcul de l'aire du tétragone inscrit, en fonction des quatre côtés. Cette règle comprend celle du triangle. Il suffit d'y supposer que l'un des côtés du tétragone est nul. C'est ainsi que l'a entendu Chaturveda qui, dans une note très courte, dit que pour le cas du triangle on retranche les trois côtés, respectivement, de trois des quatre demi-sommes écrites, et que la quatrième reste telle qu'elle est.

Celte formule de l'aire d'un triangle, en fonction des côtés, a été remarquée dans l'ouvrage de Brahmegupta, par les Géomètres qui en ont rendu compte, et a été regardée comme en étant la proposition la plus considérable: et l'on n'a jamais cité, croyons-nous, la formule de l'aire du quadrilatère. Celle-ci cependant méritait à tous égards la préférence; car, outre qu'elle est plus générale, plus difficile à démontrer, qu'elle suppose une Géométrie plus avancée, et, en un mot, qu'elle est d'une plus grande valeur sc-^^'jitifique, elle paraît, jusqu'ici, appartenir en propre à l'auteur hindou ; car on ne la Irouviiidans aucun ouvrage des Grecs, et il n'en est pas de même de la formule du triangle, comme nous le dirons plus loin.

• Passons à la première partie de la proposition qui nous occupe, et qui énonce, comme inexacte, une règle qui l'est en effet, pour l'aire du triangle et d'un tétragone quelconque, en fonction des côtés. st

Dans une note, Chaturveda fait huit applications numériques de cette règle oau triangle équilatéral, isoscèle ou scalène ; au carré, au rectangle, au tétragone qui a ses deux bases parallèles et ses deux flancs égaux; à celui qui a ses deux bases parallèles et trois côtés égaux ; et enfin au trapèze.

Pour le triangle, il fait la demi-somme des deux côtés, et il la multiplie par la demi-base. Il trouve toujours une aire inexacte. Cela doit être, car la demi-somme des deux côtés ne peut jamais être égale à la perpendiculaire.

Pour le tétragone, il multiplie la demi-somme des deux bases par la demi-somme des deux flancs. Il dit que le produit est l'aire exacte dans le cas du carré et du rectangle ; mais inexacte dans les trois autres cas.

Cette manière de calculer l'aire du tétragone était employée, comme exacte, par les arpenteurs romains. On la trouve dans le recueil intitulé : Rei agriœ auctores legesque variœ *, et même dans la Géométrie de Boèce (2* livre; De romboïde rubrica).

La règle pour le triangle se rencontre aussi, du moins pour le triangle équilatéral, chez les Gromatici Romani. L'une et l'autre ont encore été pratiquées, comme bonnes,

il nous a paru susceptible : The producl ofhalf the sides and eountersides is the gross area ofa triangle and tétragone. Half the sum of the sides set down four times, and severally lessened by the aides, being multiplied together, the square-root of the product is the exact area. < Cura Wilelmi Goesii. Amst., 167i, in-4<>; p. 313.

parmi nous, au Moyen âge. Car nous les trouvons dans les œuvres de Bède, parmi ces questions d'Arithmétique ad acuendos jtivenes ^ qu'on a regardées comme le germe du livre si connu des Récréations mathématiques ^, et que le prince abbé de Saint-Emeran a attribuées au célèbre Alcuin, le maître et l'ami de Charlemagne.

Ces deux règles, qui attestent que nous avons eu nos temps d'ignorance, auraient-elles pénétré dans l'Inde, où des géomètres, véritablement dignes de ce nom, les auraient reconnuesfausses? Ella proposition de Brahmegupta aurait-elle été destinée à substituer, à cette pratique ignorante, une règle vraiment exacte et géométrique?

Il semble, du moins à raison de leur identité, que ces règles des Occidentaux et celles que l'auteur hindou énonce comme fausses, ont une même origine. Car il n'en est pas de l'erreur comme de la vérité. La vérité, en Géométrie, est la loi commune ; elle est une, elle appartient à tous les temps, à toutes les intelligences qui savent la comprendre; et sa présence sur plusieurs points, chez plusieurs peuples, n'est pas une preuve de communications entre eux. Mais quant à l'erreur, ses formes n'ont pas de loi ; elles sont diverses, innombrables; et la conformité, dans ce cas, dénote une origine commune.

Cette circonstance offre peut-être quelque intérêt, comme fait historique attestant des communications scientifiques dans un temps éloigné, et prouvant, du reste, la haute supériorité des Hindous d'alors sur les Occidentaux contemporains.

Seconde interprétation de la proposition.

Dans notre seconde manière d'interpréter la proposition, nous changeons quelques mots du texte, et nous lui faisons dire :

1° Dans le trapèze, l'aire est égale à la demi-somme des produits des côtés opposés ;

2° Pour le triangle et le tétragone, la demi-somme des côtés est écrite quatre fois ; on en retranche séparément les côtés ; on fait le produit des restes ; la racine carrée de ce produit est faire de la figure ^.

» VenerabUis Bedœ opéra; 4 tom. in-fol.; Cologne, 1612 ; tom. I, colonnes 104 et 109. De campa quadrangulo;

un quadrangle a sa base égale à 34, le côté opposé égal à 32, et ses deux flancs égaux à 30 et à 32; son

aire est

l\ Il

De eampo triangulo; un triangle a ses flancs égaux à 30, et sa base égale à 18; son aire est

Ces règles fausses sont encore appliquées dans les questions intitulées : De civitate quadrangulâ; De civitate triangulâ.

* Monlucla, Histoire des Mathématiques, tom. I, pag. 496.

^ Voici quel pourrait être l'énoncé qui répondrait à cette interprétation; on verra quels légers changements il suffirait de faire au texte anglais pour l'obtenir : Balf the sum ofthe products of Ihe sides and countersides is the area of a trapezium. In a triangle ad tétragone half the sum of the sides set dowti four times, and severally lessened by the sides, being multipliet togelher, the square-root of the product is the area.

Il est toujours question, bien entendu, du trapèze et du tétragone inscriptibies au cercle.

Pour obtenir cet énoncé, il suffit de supprimer le mol inexact (gross), de remplacer tétragone par trapèze, et de faire passer le mot triangle dans la seconde phrase, en y introduisant celui de tétragone. Cette seconde phrase conserve sa signiiication primitive; et la première prend un sens clair, et devient une proposition assez belle qui, peut-être, n'avait point encore été remarquée. Sa démonstration est facile, car les deux diagonales étant à angle droit, il est évident que l'aire du trapèze est égale à la moitié du produit de l'une par l'autre. Mais ce produit, suivant le théorème de Ptolémée sur le quadrilatère inscrit, dont Brahmegupta s'est évidemment servi dans la proposition du paragraphe 28', est égal à la somme des produits des côtés opposés. Donc la moitié de cette somme est l'aire du trapèze.

On n'avait cité, jusqu'ici, du paragraphe 21, que la partie relative à la formule de l'aire du triangle, en fonction des trois côtés; et Pon n'avait point fait attention à la formule de l'aire du quadrilatère inscrit au cercle, qui aurait mérité à tous égards la préférence sur la première; ni à cette proposition, qui déclare inexactes des règles identiques à celles qui ont été pratiquées par les Latins, puis parmi nous dans le Moyen âge.

La formule de l'aire du triangle avait fait d'autant plus de sensation, dans l'ouvrage de Brahmegupta, qu'on ignorait généralement qu'elle eût été connue dans l'Antiquité, particulièrement des Grecs. Montucla, qui l'avait attribuée d'abord à Tartalea, n'en avait fait, ensuite, remonter l'origine qu'à Héron le jeune, écrivain du VIP siècle. Aussi, M. Delambre, en rendant compte de l'ouvrage de Brahmegupta, dans le discours qui précède son Histoire de l'Astronomie au Moyen âge, n'a trouvé d'autre objection à faire, dans l'intérêt des Grecs, contre cette formule du géomètre indien, si ce n'est que ce théorème très curieux n'est que d'une utilité fort médiocre en Astronomie. Mais nous devons convenir ici que ce théorème, qui est resté inaperçu dans l'histoire de l'École d'Alexandrie, y a été connu. On le trouve démontré dans un traité de Géodésie de Héron l'ancien (deux siècles avant l'ère chrétienne), intitulé la Dioptre, ou le Niveau, que M. Venturi, de Bologne, a traduit, il y a une vingtaine d'années, sous le titre // Traguardo, dans son Histoire de l'Optique ^. M. Venturi a encore trouvé ce théorème, sans démonstration, dans un fragment de Géométrie d'un auteur latin qui lui a paru être antérieur à Boèce. Nous l'avons vu aussi dans un manuscrit du XI* siècle, que possède la Bibliothèque de Chartres. Il y fait partie d'un Traité de la Mesure des figures, que nous croyons être le même écrit que cite M. Venturi, et que nous serions porté à attribuer à Fronlinus. Ainsi la priorité, quant à la formule de l'aire du triangle, ne peut appartenir à Brahmegupta. Mais ce géomètre peut la céder, sans rien perdre de l'estime qu'elle avait fait accorder à son ouvrage, puisque nous y trouvons la formule, beaucoup plus importante, de l'aire du

* Nous n'entendons pas dire que Brabmegupla a emprunté ce théorème de l'Almagesle de Ptolémée; mais qu'il l'a connu, et qu'il s'en est servi pour parvenir à l'expression des diagonales du quadrilatère inscrit, qu'il donne dans le paragraphe 28.

• Commentari sopra la storia e le teorie deW ottica. Bologna, 1814, in-^», pag. 77-147.

quadrilatère inscrit, en fonction des côtés, qui lui appartient incontestablement, comme ne s'étant trouvée dans aucun ouvrage antérieur.

Celle-ci avait paru jusqu'ici appartenir aux Modernes. Snellius l'énonce comme étant de lui, dans son commentaire sur la première proposition du livre De problematibus miscellaneis, de Ludolph Van Ceulen '. Mais nous avons quelque raison de croire qu'elle avait déjà été trouvée quelques années auparavant 2. Sa démonstration géométrique n'était pas sans difficulté, au dire même d'EuIer, qui en a donné une dans les Mémoires de Pétersbourg ^, trouvant très-embrouillées les deux que Philippe Naudé avait données précédemment, dans les Mémoires de Berlin ^. Cette proposition se trouve dans peu d'ouvrages, quoique souvent, dans le XVP siècle et depuis, on se soit occupé du quadrilatère inscrit, ainsi que nous le dirons plus loin.

Quant à la formule de l'aire du triangle, on la rencontre partout, chez tous les peuples et dans tous les temps. Les Arabes l'ont connue, et c'est d'eux que nous est venue la première démonstration que nous en ayons eue en Europe. On la trouve dans un ouvrage de Géométrie, des trois fils de Musa ben Schaker, traduit de l'arabe en latin, sous le titre Verba filiomm Moysi, filii Schaker, Mahumeli, Hameti, Hasen ^. Elle y est démontrée d'une manière géométrique, différente de celle de Héron d'Alexandrie; ce qui nous fait supposer que les Arabes l'avaient reçue des Indiens; d'autant plus que les trois fils de Musa ben Schaker disent, dans leur ouvrage, que cette formule a été employée par beaucoup d'écrivains, sans démonstration; et que d'ailleurs on sait que ces trois célèbres Géomètres avaient puisé une partie de leurs connaissances mathématiques dans les ouvrages indiens ^. M. Libri a remarqué la formule en question dans un Traité géométrique du juif Savodarsa, écrit vers le XII* siècle 7. Elle se trouve ensuite dans la Pratique de la Géométrie^ de Léonard de Pise, où elle est démontrée à la manière des trois frères arabes.

• Après avoir dit qu'auparavant on calculait séparément les aires des deux triangles dont se compose le quadrilatère, Snellius ajoute : Quantô operosior est hœc vulgata ad instigandam aream via^ tantô gratins novum hoc nostrum theorematum benevolo lectori fulurum speramus.

^ Praetorius, dans un ouvrage sur le quadrilatère inscrit au cercle, qui porte la date de 1398, et dont nous parlerons plus loin, dit que l'on a déjà cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, en fonction des côtés, et Yaire du quadrilatère.

' Novi commentarii, tom. 1"^ ann. 1747 et 1748. Variœ demonstrationes geometrœ. « La démonstration » analytique de celte formule n'est pas difficile, mais ceux qui ont cherché à en donner une démonstration » géométrique ont trouvé de très grandes difficultés. »

Les nova acla de Pétersbourg, tom. X, ann. 1792, contiennent une autre démonstration, par N. Fuss.

* Miscellanea Berolinensia, tom. III, ann. 1723.

" Cet ouvrage n'existe qu'en manuscrit. La Bibliothèque royale de Paris en possède un exemplaire qui est joint à un grand nombre d'autres pièces scientifiques intéressantes, traduites de l'arabe et réunies sous le titre Malhematica (Supplément latin, n» 49, in-fol. Voir VHistoire des Sciences mathématiques en Italie, de M. Libri. Tom. I»'-, pag. 266).

L'Académie de Bâle en possède aussi un manuscrit, sous le titre Liber trium fratrum de Geometriâ.

® Gasiri, Bibliotheca Arabico- HisPANAEscurialensis, etc. Mohammed ben Musa Indorum in prœclarissimis inventis ingenium et acumen ostendit. (Tom. I<^"-, pag. 427.) On lit encore, dans la table de l'ouvrage : Librum arlis Logislicœà Khala Indo editum enornavil. (Mohammed ben Musa.)

'' Histoire des Sciences mathématiques en Italie, p. 160.

II paraît qu'on l'a trouvée aussi, avec ia même démonstration, dans quelque écrit de Jordan Nemorarius, postérieur, de quelques années, à Léonard de Pise. A la Renaissance, celle formule a paru dans presque tous les ouvrages de Géométrie. Rcisch Ta donnée dans la Margarila pliilosophica, en 1496. Nous avons de fortes raisons de croire qu'il l'avait empruntée de l'auteur latin dont nous avons parlé plus haut. On la trouve ensuite, avec la démonstration de Léonard de Pise, dans la partie géométrique de la Summa de Arilhmetica, Geometria, etc., de Lucas di Borgo (Distinctio prima, capitulum oclavum, fol. 12), et dans la troisième partie du Traité général des nombres et des mesures, de Tartalea. Cardan l'a insérée, sans démonstration, dans sa Praclica arilhmetice •; et Oronce Fine dans sa Géométrie, livre 2, chap. IV. Ramus, dans ses Scholœ mathematicœ, a rapporté la démonstration de Jordan et de Tartalea, en critiquant leur manière d'énoncer la formule, el leur reprochant de dire que l'aire du triangle est la racine carrée du produit de quatre lignes, locution inusitée dans la Géométrie des Grecs, où le produit de deux ou de trois lignes avait une signification géométrique, mais non le produit de quatre lignes. Snellius, en reproduisant celte critique de Ramus, dans ses notes sur les ouvrages de Ludoiph Van Ceulen 2, a énoncé la règle à la manière des Grecs, en disant que l'aire du triangle est égale à celle d'un rectangle dont un côté est moyen proportionnel entre deux des quatre facteurs qui entrent dans l'expression algébrique, et dont l'autre côté est moyen proportionnel entre les deux autres facteurs. Millel Dechales s'est conformé aussi à ce style rigoureusement géométrique des Grecs.

La formule en question se trouve dans une infinité d'autres ouvrages, qu'il est inutile de citer ici. Presque tous se servent de la démonstration de Lucas di Borgo, laquelle est celle des Arabes, qui nous a été apportée par Fibonacci. Quelques-unes cependant sont différentes : telles sont celles de Newton ^ d'Euler ^ de Boscovich 6. Celles-ci doivent le degré de simplicité qui les distingue à la connaissance, a priori, de la formule dont il s'agit de trouver une expression géométrique. Celle de Héron et celle des Arabes ont le mérite d'être naturelles et de porter le cachet de l'invention. Mais probablement la voie algébrique, qui fait usage de l'expression de la perpendiculaire, est celle qui aura procuré originairement la découverte de cette formule, particulièrement chez les Indiens; car ce genre de démonstration est tout à fait dans l'esprit de leurs spéculations mathématiques, qui reposent sur l'alliance de PAIgèbre el de la Géométrie.

Nous terminerons nos observations sur cette formule par une remarque sur les trois nombres 13, 14 el 15, que les Indiens ont pris, dans l'application numérique qu'ils en ont faite. Ces nombres sont très remarquables, en ce qu'ils paraissent inséparables de la formule. Ce sont, non seulement ceux des Indiens, à plusieurs siècles d'intervalle, mais aussi

* Cap. 63. Demensuris superficierum ; art. i.

' De (igurarum transmutalione etsectione; Problema 35, pag. 73.

' Cursus mathemalicus. 1690, in-fol., lom. l". Trigonometriœ liber tertius, prop. X.

* Arithmétique universelle ; tom, I", problème XI.

^ Novi Commentarii de Pétersbourg; lom. I", ano. 1747 et 1748. ' Opéra, etc.; lom. V, opus 14.

ceux de Héron d'Alexandrie, de Héron le jeune ', des trois frères arabes : Mohammed, Hamet et Hasen; ceux de Léonard de Pise, de Jordan, de Lucas di Borgo, de Georges Valla 2, de Tarlalea, et de presque tous les écrivains qui ont reproduit la formule. Le morceau de Géométrie latin que nous avons cité, et la Margarila philosophica, sont peutêtre les seuls ouvrages qui ne s'en soient pas servis, ayant pris pour application numérique de la formule un triangle rectangle; mais ces ouvrages emploient les trois mêmes nombres dans d'autres passages, pour calculer l'aire d'un triangle en cherchant la valeur de la perpendiculaire. Pour la même question, traitée dans l'Algèbre de Mohammed ben Musa (l'un des trois frères arabes cités ci-dessus), on trouve pareillement ces trois nombres ^.

C'est une circonstance assez intéressante, aux yeux de l'historien, que partout se retrouve l'usage de la formule en question, et surtout des trois nombres 13, 14 et i5, employés dans les ouvrages les plus anciens, et chez tous les peuples, disons-nous; chez les Grecs, presque à l'origine comme au déclin de l'École d'Alexandrie; dans les Indes, chez les Latins, chez les Arabes; et, dès la Renaissance, dans toutes les parties de l'Europe où les sciences sont cultivées.

L'usage général de ces trois nombres semble dire qu'ils ont eu une origine commune. Telle avait été d'abord notre pensée, et nous avions regardé ces trois nombres comme une circonstance heureuse, propre à répandre quelque jour sur la question concernant la nature et l'étendue des communications scientifiques qui ont eu lieu, dans des temps reculés, entre l'Inde et la Grèce. Mais nous n'avons pas tardé à reconnaître que ces nombres n'offraient probablement pas les secours historiques que nous en avions espérés d'abord. En effet, on aura cherché naturellement, pour application numérique de l'expression de l'aire d'un triangle, soit par la formule en question, soit par le calcul de la perpendiculaire, trois nombres pour lesquels cette aire, et conséquemment cette perpendiculaire, fussent exprimées en nombres rationnels. La solution de cette question n'offre pas de difficulté. Elle se réduit à construire deux triangles rectangles en nombres rationnels, ayant un côté commun. C'est ainsi que Brahmegupta a fait, comme nous l'avons dit au sujet de son paragraphe 34. El il est à remarquer que la manière de construire un triangle rectangle, en nombres rationnels et entiers, était connue des Grecs et des Latins, qui se servaient des deux formules imaginées, l'une par Pythagore, et l'autre par Archytas ou Platon.

Maintenant, parmi tous les systèmes de deux triangles rectangles exprimés en nombres

' Voir son Traité de Géodésie, manuscrit qui se trouve à la Bibliothèque royale, sous le n» 2013.

Barocci a donné une traduction, accompagnée de commentaires, du Traité de Géodésie de Héron le jeune, et de son livre sur les machines de guerre, sous le litre : Heronis mechanici liber de Machinis bellicis, necnon liber de greodesid; in-4% Venetiis, 1572. Mais le manuscrit dont il s'est servi était incomplet, et la formule de l'aire du triangle ne s'y trouve pas.

* Georgii Vallœ Placenlini viri Clariss. De expetendis et fugiendis rébus opus, etc.; 2 vol. in-fol., Venise, ISOl. Liber XIV, et Geomelriœ V.; cap. VII, Dimensio universalis in omni triangulo.

' The Algebra of Mohammed ben Musa, edited and iranslaled by F. Rosen. London, 1831,in-8», pag.82 du texte anglais, et pag. 61 du texte arabe.

entiers, et ayant un côté commun, on aura pris celui où ces nombres sont les plus petits; ce sont ceux qui ont pour côtés, le premier 5, i% 13, et le second 9, 12, 15.

Plaçant ces deux triangles de manière que leurs deux côtés égaux se confondent et que les autres côtés des angles droits soient dans le prolongement l'un de l'autre, on forme le triangle scalène qui a sa base égale à 14, et ses deux autres côtés égaux à 13 et 15. C'est ainsi que différents géomètres, chacun de son côté, auront pu être conduits au triangle exprimé par les nombres 13, 14 et 15. Cependant nous devons dire qu'avec les deux triangles rectangles dont nous nous sommes servi pour former celui-là, on en peut former un autre encore plus simple. Pour cela, il faut superposer leurs deux côtés 9 et 5; il en résulte le triangle qui a pour base 4, et pour côtés 13 et 15. Sa hauteur est 12, comme pour le premier. Mais ce triangle est obtusangle; sa perpendiculaire tombe en dehors de sa base; et, bien que ce cas puisse se présenter aussi souvent que celui d'un triangle acutangle, on le regarde généralement comme étant moins propre à servir d'exemple. Ainsi, naturellement, on aura choisi le triangle dont les côtés sont 13, 14 et 15.

Ces considérations montrent que l'on ne doit pas conclure, de ce que les Indiens ont employé les nombres 13, 14 et 15, de même que Héron l'ancien, dans leurs applications de la formule de l'aire du triangle, qu'ils ont reçu cette formule du Géomètre d'Alexandrie. Mais l'eussent-ils reçue, les droits de Brahmegupta au titre de Géomètre habile n'en recevraient aucune atteinte, puisque son ouvrage contient une formule beaucoup plus importante et des questions plus difficiles, dont nous ne trouvons pas de traces chez les Grecs.

Le paragraphe 28 de Brahmegupta donne les expressions des diagonales d'un quadrilatère inscrit au cercle, en fonction des côtés. Ce sont les formules connues. Elles résolvent le problème où il s'agit de construire, Jivec quatre côtés donnés^ un quadrilatère inscriptible au cercle. De sorte que le géomètre indien a connu la solution de ce problème. Cette circonstance n'est pas indifférente. Car ce problème, agité chez les Modernes, y a eu pendant un temps quelque célébrité; et tous n'y ont pas réussi.

Nous donnerons une courte notice des Géomètres qui s'en sont occupés, dans nos observations sur le paragraphe 38, qui est une suite de ce premier problème.

Pour ne pas trop allonger cette Note, nous omettrons les observations auxquelles peuvent donner lieu les propositions des paragraphes 23, 25, 29, 30-31 et 32. Nous dirons seulement que la seconde partie du paragraphe 30-51 énonce une proposition assez remarquable. Brahmegupta montre comment on calculera la perpendiculaire abaissée du point d'intersection des deux diagonales du trapèze sur sa base, et donne (sans indiquer le moyen de la calculer), l'expression du prolongement de cette perpendiculaire jusqu'à la base supérieure. De cette expression, nous concluons immédiatement que cette perpendiculaire passe par le point milieu de la base supérieure. Proposition facile à démontrer, mais qui mérite d'être signalée dans l'ouvrage de Brahmegupta. Elle fait bien voir qu'il est question d'un quadrilatère qui satisfait aux deux conditions d'être inscriptible au cercle et d'avoir ses diagonales à angle droit.

Nous allons rapporter les énoncés des quatre propositions comprises sous les para-

graphes 35, 36, 37 et 38, qui nous ont paru résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptibie, et dont toutes les parties fussent rationnelles.

§ 35, Le côté est pris arbitrairement ; son carré est divisé par une quantité quelconque ; du quotient on retranche cette quantité; la moitié du reste est la cathète de l'oblong; et, si l'on y ajoute la quantité, on aura la diagonale.

Ainsi soient a le côté de l'oblong, 6 la quantité prise arbitrairement : la cathète et la diagonale seront

a^ \ i fa^ \ \ fa''

En effet, on a

~Ab"^ I ^l\b'~

D'après ce que nous avons déjà dit de celte formule, appliquée à la construction du triangle rectangle, on ne peut douter qu'il ne s'agisse ici de la construction d'un oblong dont les diagonales soient exprimées, comme les côtés, en nombres rationnels.

L'aire de l'oblong sera rationnelle aussi; et il en sera de même du diamètre du cercle circonscrit à l'oblong, puisque ce diamètre est égal aux diagonales.

§ 56. Que les diagonales d'un oblong soient les flancs d'un tétragone ; que le carré du côté de l'oblong soit divisé par une quantité prise arbitrairement, et que le quotient soit retranché de cette quantité ; le reste divisé par % augmenté de la cathète de l'oblong, sera la base; et, diminué de la cathète, sera la corauste.

Soient a et 6 le côté et la cathète de l'oblong, et c une quantité prise arbitrairement. Les deux flancs du tétragone seront égaux aux diagonales de l'oblong ; sa base sera égale à

et sa corauste, à

§ 37. Les trois côtés égaux d'un tétragone, qui a trois côtés égaux, ont pour valeur le carré de la diagonale de l'oblong. On trouve le quatrième côté en retranchant le carré de la cathète de trois fois le carré du côté de l'oblong.

Si ce quatrième côté est le plus grand, il sera la base du tétragone; s'il est le plus petit, il sera la corauste.

Ainsi soient a le côté de l'oblong et b sa cathète; a^ + 6^ sera le carré de sa diagonale. Nous supposons qu'il est formé suivant la règle du paragraphe 35; de sorte que sa diagonale, V" a^ -t- 6^, sera un nombre rationnel.

On prendra (a^ -4- b'^) pour la valeur des trois côtés égaux du tétragone, et (^a^ — 6'^) sera l'expression du quatrième côté.

§ 38. Les côtés des cathèles de deux triangles rectangles, multipliés réciproquement par

les hypoténuses, sont les quatre côtés inégaux d'un trapèze. Le plus grand est la base, le plus petit la corauste, et les deux autres sont les flancs.

Soient a, 6, c le côlé, la cathèle et l'hypoténuse du premier triangle; et a', b', c' le côté, la caltiète et l'hypoténuse du second triangle *. Les quatre côtés du trapèze seront ac\ bc\ a'c, b'c.

L'ordre dans lequel ces côtés seront placés est indiqué par l'auteur, puisque les deux extrêmes seront les bases et les deux moyens les flancs.

Les propositions que présentent ces quatre paragraphes sont évidemment incomplètes, puisque chacune se réduit à donner une construction particulière des quatre côtés d'un tétragone. Or, d'une part, ces côtés ne suffisent point, excepté dans la première, où il s'agit de l'oblong, pour la construction du tétragone; et ensuite, le tétragone étant construit, il n'est rien dit des propriétés dont il jouira, et qui ont dû faire l'objet de ces propositions. On doit donc penser que la construction des côtés, donnée par Brahmegupta, répond à une question qui avait été énoncée primitivement dans le titre de l'ouvrage, et qui en a disparu dans quelqu'un des manuscrits qui se sont succédé. Il fallait retrouver quelle avait été cette question; sans quoi l'on n'aurait point connu et l'on n'aurait su apprécier l'ouvrage de Brahmegupta. Le scoliaste Chatnrveda, dans l'application numérique qu'il fait des quatre propositions, paraît avoir ignoré complètement leur destination, et ne nous fournit aucune donnée ni aucune lumière à ce sujet.

Mais ayant reconnu qu'il est question, dans la plupart des autres propositions dont nous avons déjà parlé, du tétragone inscrit au cercle, nous avons pensé d'abord qu'il en était de même des quatre propositions dont il s'agit. Ensuite, la première de ces quatre propositions, exprimée algébriquement, nous présentant la formule qui sert pour la construction d'un rectangle dont les côtés et les diagonales soient des nombres rationnels, et celle-ci d'ailleurs faisant suite, dans l'ouvrage, aux deux propositions qui nous ont déjà paru avoir incontestablement pour objet de construire un triangle dans lequel les perpendiculaires, et conséquemment l'aire et le diamètre du cercle circonscrit, fussent exprimés en nombres rationnels, nous avons été conduit naturellement à supposer que c'était une question analogue que Brahmegupta avait résolue pour le tétragone inscrit.

En effet, en formant, avec les quatre côtés dont l'expression est donnée par chacune des quatre propositions, un tétragone inscriptible au cercle, et en appliquant à cette figure les différentes formules que contiennent les autres paragraphes de l'ouvrage, pour le calcul de l'aire du tétragone, de ses diagonales, de ses perpendiculaires, du diamètre du cercle circonscrit, et des segments que différentes lignes font les unes sur les autres, nous avons trouvé que toutes ces formules donnent des expressions rationnelles. Nous avons dû en conclure que tel avait été l'objet des quatre propositions de Brahmegupta. La proposition du paragraphe 38 nous donne lieu à plusieurs observations. Les quatre côtés du tétragone ont pour expressions ac', bc\ a'c et b'c. L'auteur a prescrit l'ordre dans lequel ils seront placés; les deux extrêmes seront opposés. D'après cette

* Nous désignerons plus loin ces deux triangles sous le nom de triangles générateurs.

règle, on reconnaît aisément qu'ils proviendront de la multiplication des deux côtés d'un même triangle par l'hypoténuse de l'autre; et les deux moyens, de la multiplication des deux côtés de celui-ci par l'hypoténuse du premier. Car la somme des carrés des deux côtés flc', bc\ est égale à la somme des carrés des deux autres côtés a'c, b'c; cette somme étant c^c'^. Ce qui prouve que si ac' est le plus grand côté, bc' sera le plus petit; conséquemment ac' et bc\ qui proviennent de la multiplication des côtés d'un même triangle par l'hypoténuse de l'autre, seront opposés entre eux, dans la construction du tétragone.

Nous concluons de là que la somme des carrés des deux côtés opposés est égale à la somme des carrés des deux autres côtés; et le quadrilatère étant supposé inscriptible au cercle, il résulte, de cette égalité des sommes des carrés des côtés opposés, que les deux diagonales du quadrilatère sont à angle droit. Ainsi il est démontré géométriquement que, dans le paragraphe 38, le mot trapèze s'applique exclusivement au quadrilatère qui a ses diagonales à angle droit.

Soit ABCD le trapèze; on aura

AB ==ac', BC = a'c, CD=6c', AD = 6'c. Les formules du paragraphe 28 donnent, pour ses diagonales :

AC = ab' -+- ba', BD = au' t- bb'. B

On peut calculer l'aire du trapèze par la formule du paragraphe 21 ; mais il est plus simple d'observer que, les diagonales étant à angle droit, cette aire est égale au demiproduit de ces deux lignes; ainsi son expression est |- {ab' -+- ba') {aa' -+- bb').

Le diamètre du cercle circonscrit est égal, suivant la seconde partie du paragraphe 26, à la racine carrée de la somme des carrés des deux côtés opposés, qui est ici

b'e" = c' Va^ -4- 6* = cd.

Les perpendiculaires BE, CF, abaissées des deux sommets B, C sur la base AD, calculées dans les deux triangles ABD, ACD, par la règle du paragraphe 22, ainsi qu'il est dit par Brahmegupta, au paragraphe 29, sont :

BE

66'), CF = - {ab' -v ba).

Les segments que ces perpendiculaires font sur la base AD, sont :

AE=-(a6'— 6a'), DE =-(aa' -» 66'), c c

DF = - (66' — aa'), AF = - [ah' ^ la'), c c

Les segments faits sur les deux diagonales, à leur point d'intersection, calculés par la règle du paragraphe 30-51, sont :

A0 = a6', C0 = a'6, BO ==aa', DO = 66'.

La perpendiculaire 01, dans le triangle AOD, calculée comme il est dit au paragraphe 30-31 (ou par une proposition résultant de la similitude des deux triangles EBD, lOD), est 01 = ^; et son prolongement OL, jusqu'à la base supérieure, est égal, suivant la règle du même paragraphe, à la demi-somme des deux perpendiculaires BE, CF, moins 01; d'où OL = J a'c.

Enfin nous n'avons pas besoin de donner les expressions des segments faits sur les diagonales et les perpendiculaires, par leur intersection, non plus que sur les côtés opposés; parce que tous ces segments, dans un quadrilatère quelconque, sont exprimés rationnellement en fonction des côtés, des diagonales et des perpendiculaires.

Ainsi toutes les parties de la figure sont rationnelles.

Nous pouvons donc regarder la proposition du paragraphe 38 comme ayant eu pour objet de former un télragone ayant ses quatre côtés inégaux, qui fût inscriptible au cercle, et dans lequel toutes les expressions que Brahmegupta a appris à calculer par ses autres propositions, fussent rationnelles.

Ces expressions ne sont pas calculées dans l'ouvrage indien. On ne doit pas en être étonné, puisque Brahmegupta se borne toujours au simple énoncé, le plus succinct possible, de ses propositions, sans en donner aucune démonstration, ni aucune vérification a posteriori.

Nous faisons cette observation parce que Bhascara donne, comme formant une proposition nouvelle qu'il s'attribue, les expressions des diagonales AC, BD, et reproche aux écrivains qui l'ont précédé, particulièrement à Brahmegupta, d'avoir omis cette règle, beaucoup plus courte, dit-il, que la formule du paragraphe 28, qu'ils ont donnée.

Les valeurs assignées aux côtés du quadrilatère, par l'énoncé de la proposition (§ 58), et les valeurs que nous avons trouvées pour les segments OA, OB, OC, OD, font voir que les côtés de chacun des quatre triangles AOB, BOC, COD, DOA, qui sont rectangles en 0 et qui composent le quadrilatère, proviennent respectivement de la multiplication des trois côtés de chaque triangle générateur par un côté de l'autre triangle. Ainsi les trois côtés du triangle AOB sont ac', ab\ aa'\ ils proviennent de la multiplication des côtés c', b', a', du second triangle générateur, par le côté a du premier.

On peut donc, non seulement déterminer les quatre côtés du quadrilatère, au moyen

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des deux triangles générateurs, mais aussi effectuer la construction du quadrilatère. Car il sulTil de former, comme nous venons de le dire, les quatre triangles rectangles AOB, BOC, COD, DOA, et de les réunir. C'est ainsi que les scoliastes, particulièrement Ganesa, dans ses notes sur l'ouvrage de Bhascara, ont compris la construction du quadrilatère, et ont suppléé, de la sorte, à la condition d'inscriptibilité au cercle, que nous supposons avoir été dans les intentions de Brahmegupta. On conçoit dès lors comment Chalurveda a pu faire des applications numériques des règles de Brahmegupta, en ignorant cette condition d'inscriptibilité.

Avec les quatre côtés d'un quadrilatère inscrit au cercle, on peut former deux autres quadrilatères, qui seront inscrits au même cercle. Ainsi a, ê, y, § étant les quatre côtés pris consécutivement, du quadrilatère, on peut les placer dans l'ordre a, &,d, y, ou bien dans l'ordre a, y, ^,d. Ces trois quadrilatères ont, deux à deux, une même diagonale; de sorte que, de leurs six diagonales, il n'y en a que trois différentes; les trois autres étant égales, respectivement, à ces trois premières *.

Si l'on applique cette remarque à la figure de Brahmegupta, les deux nouveaux quadrilatères ne seront plus des trapèzes, c'est-à-dire qu'il n'auront plus leurs diagonales à angle droit. Mais ces lignes seront encore rationnelles, ainsi que toutes les autres parties du quadrilatère, que nous avons calculées pour le trapèze. De sorte que les deux nouveaux quadrilatères satisfont à la question générale que nous supposons que Tauteur hindou s'est proposée; aussi aurait-il pu comprendre ces deux quadrilatères dans sa solution.

L'existence de ces deux nouveaux quadrilatères a été connue de Bhascara, qui a donné l'expression de la troisième diagonale, mais qui n'a nullement aperçu quel était l'objet de la proposition de Brahmegupta, soit par rapport à l'inscriptibilité au cercle, soit par rapport à la rationalité des différentes parties de la figure.

Celte troisième diagonale est égale à ce'. C'est précisément la valeur du diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère. Ce qui prouve que le quadrilatère a deux angles droits qui sont opposés. Cette forme particulière du quadrilatère, qui rpérite d'être remarquée, ne l'a pas été par Bhascara 2.

* Ces irois quadrilatères ont la même surface. Leurs trois diagonales différentes ont, avec celte surface et le diamètre du cercle circonscrit, une relation qui consiste eu ce que : Le produit des trois diagonales, divisé par le double du diamètre du cercle circonscrit, est égal à l'aire de l'un des quadrilatères.

Celte proposition paraît due à Albert Girard, qui l'a énoncée <lans sa Trigonométrie. Nous ne trouvons pas qu'elle ait élé reproduite depuis.

* Celle propriété du quadrilatère, d'avoir deux angles droits, fait voir que la question de construire un quadrilatère inscriplible au cercle, dont les côtés, l'aire, les diagonales, les perpendiculaires ainsi que le diamètre du cercle, soient exprimés en nombre rationnels, est susceptible d'une solution 1res simple, qui consiste à prendre, pour le diamètre du cercle, un nombre rationnel quelconque, et à décomposer, de deux manières différentes, le carré de ce nombre en deux autres carrés. Les racines de ces nombres carrés seront les côtés du quadrilatère. On formera, de cette manière, les mêmes quadrilatères que par la méthode de Brahmegupta.

Il est facile de voir que l'on peut encore opérer ainsi : Que l'on prenne un triangle scalène quelconque ABC, de manière que ses côtés et sa perpendiculaire soient des nombres rationnels; et que, par ses deux sommets B, C, on élève des perpendiculaires sur les côtés AB, AG, respectivement. Ces droites se couperont en un point D, et le quadrilatère ABDC satisfera à la question. Eu changeant l'ordre de ses côtés, on formera le trapèze de Brahmegupta.

NOTES. 44i

Reprenons les expressions de la perpendiculaire CF et du segment FD. On a

CF = {ab' -\- ha'), FD = - (66' — aa'). c c

Les deux lignes CF FD sont les côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est CD == bc'. Ces expressions ne contiennent pas explicitement la quantité c', ni par conséquent le côté CD, mais seulement les quantités o', 6', dont la somme des carrés est égale au carré de c', ou CO = a'6 et DO = 6' 6, dont la somme des carrés est égale au carré de CD. Ces expressions seraient donc encore rationnelles, quand bien mêmec' ou le côté CD, ne le serait pas. Par conséquent les lignes CF, FD donnent une solution géométrique de ce problème : Décomposer un nombre donné (carré ou non) en deux nombres carrés, connaissant une première solution de la question.

Remplaçant c'^ par A, on pourra exprimer ainsi, algébriquement, la question et sa solution :

Pour résoudre l'équation x^ + y^ = A, ew nombre rationnels, quand on connaît un premier système de racines x', y' de cette équation, on prendra arbitrairement trois nombres a, b, c, tels que l'on ait a^ -h b^ = c^ ; et les racines cherchées seront

ay' ■+■ bx'

by' — ax'

Ces formules, auxquelles conduit naturellement la question géométrique de Brahmegupla, contiennent virtuellement les formules générales pour la résolution de l'équation Cx^ =b A = ^^ ^ que l'on a trouvées, au grand étonnement des géomètres européens, dans l'Algèbre de cet auteur hindou, et qui, dans le siècle dernier, avaient fait honneur au grand Euler qui, le premier, y était parvenu parmi les Modernes.

* En effet, dans l'équation à résoudre, a;' -4-?/*:= A, et dans les deux équations de condition: a;'*-Ht/'*=A et a'-H6'î=t*, remplaçons x par x ^c, x' par x' ^c, a par a ^c; elles deviendront

Car» -i-y* = A , Ca;" + î/'* = A,

et les expressions des racines x ely deviendront, par ces substitutions,

ay' -4- bx'

Cox* — by'

Ce sont les racines de l'équation

Cx* -\-y^ = k.

Observons maintenant que ces racines satisfont à celte équation, quelles que soient les valeurs des deux

Les Indiens faisaient usage, concurremment, de l'Algèbre et de la Géométrie dans leurs spéculations mathématiques; de l'Algèbre pour abréger et faciliter la démonstration de leurs propositions géométriques, et de la Géométrie pour démontrer leurs règles d'Algèbre et peindre aux yeux, par des figures, les résultats de l'Analyse. Nous verrons des exemples de cette manière d'opérer dans plusieurs passages des ouvrages de Bhascara, et dans les ouvrages des Arabes, qui ont reçu des Indiens cette alliance de l'Algèbre à la Géométrie. Il paraît donc possible que les Indiens soient parvenus à leur solution des équations indéterminées du second degré, par des considérations géométriques puisées dans la question du paragraphe 58, et que ce soit là la raison primitive de la présence du morceau de Géométrie intercalé dans les Traités d'Arithmétique et d'Algèbre de Brahmegupta. Ce qui viendrait à l'appui de cette conjecture, c'est qu'il paraît que les Arabes s'étaient aussi occupés des équations indéterminées du second degré, et qu'ils les avaient résolues par des considérations géométriques; ce en quoi ils auraient été probablement les imitateurs des Indiens. Cela semble résulter d'un passage de Lucas di Borgo, qui, dans sa Summa de Arithmetica, Geometria, etc. {distinctio prima, tractatus quartatus), parle du Traité des nombres carrés de Léonard de Pise, où se trouvait résolue l'équation x^ -i- i/2 = A, par des considérations et des figures géométriques. Les formules de Léonard de Pise, que Lucas di Borgo rapporte i, sont les mêmes que celles que nous avons déduites de la question

nombres G el A, qui par conséquent peuvent être supposés négatifs. De sorte que l'équation peut prendre la forme

Ca;*±A = ?/«; et ses racines deviennent

ay' -+■ bx'

Cax' -+- bn'

Nous donnons le signe positif à la valeur de y, parce que cette variable n'entrant qu'au carré dans l'équation, son signe est indifférent.

Les équations de condition entre x' et y' d'une part, et a, b, c, de l'autre, sont

Ca;"±A = y'«,

Ca* -4- c« = 6^ ^

C'est-à-dire que x' et y' sont un système de racines de l'équation proposée; et que - et - sont un système de racines de l'équation Cx^ -4- 1 = y». ce

Les formules (1), qui résolvent l'équation Cx* ± A =y\ sont précisément celles que l'on trouve dans l'Algèbre de Brahmegupta (section Vil ; pag. 364 et art. 68 de la traduction de M. Colebrooke).

Ainsi ces formules générales pouvaient se déduire facilement de la simple question de Géométrie traitée par l'auteur indien.

< Cardan dit aussi avoir emprunté, de Léonard de Pise, ces mêmes formules, qu'il donna, sans démonstration, dans sa Practica Arithmetice (chap. 66, question 44). Viète est le premier qui les ait démontrées, au commencement du 1V« livre de ses Zététiques. Sa démonstration est analytique. Peu de temps après, Alexandre Anderson s'est aussi occupé de cette question d'Analyse indéterminée, et a démontré, par des considérations géométriques, les formules de Diophante, qui sont différentes de celles de Léonard de Pise (voir Exercitationum mathematicarum Decas prima. Paris, 1619, in-40).

Dans les notices historiques sur les équations indéterminées du second degré.on ne fait remonter qu'à Fermât

géométrique de Brahmegupla. Or, Léonard de Pise avait rapporté ses connaissances mathématiques de l'Arabie. Nous devons donc attribuer ses formules, pour la résolution des équations indéterminées du second degré, aux Arabes, et penser que ceux-ci les avaient reçues des Indiens.

Après avoir formé notre opinion sur les questions précises qui avaient été l'objet des paragraphes 21 à 38 de l'ouvrage de Brahmegupta, nous avons été curieux de savoir si, parmi les Modernes, et à quelle époque, les mêmes questions avaient été traitées; et si l'on pouvait établir une sorte de comparaison entre le travail des géomètres hindous et celui des géomètres européens

Voici ce que nous avons trouvé à ce sujet :

J.-B. Benedictis a résolu la question de construire, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère inscriptible au cercle (voir son recueil intitulé : Diversarum speculationum mathematicarum et physicarum liber. Taurini, 1585; in-fol.). Ce problème lui avait été proposé par le prince Charles-Emmanuel de Savoie.

En 1594, le célèbre Joseph Scaliger en inséra une solution inexacte dans ses djclometrica elementa duo (Leyde, in-fol.)- a, 6, c, d étant les quatre côtés donnés, on conclurait, de cette solution, que le diamètre du cercle auquel le quadrilatère formé avec ces quatre côtés serait inscrit, aurait pour expression V^a'* -4-62-1- Vc^ -+. d^. D'où il suivrait que le problème admettrait deux autres solutions, pour lesquelles les diamètres des cercles seraient Va^ -i- v^ -+- 1^6^ -f- d"^, l/a^ -h ri^ h- Vb^ -+- cK De sorte que Scaliger aurait, dans le fait, résolu avec la ligne droite et le cercle une question qui aurait dû dépendre, en Analyse, d'une équation du troisième degré Mais il est vrai que cette remarque, s'il l'a faite, ne pouvait l'arrêter; car on sait que sa grande réputation littéraire le portant à ambitionner aussi le premier rang parmi les malhémaliciens, il avait résolu non seulement le problème de la quadrature du cercle, qui était l'objet de ses C^jclomelrica elementa, mais aussi celui d'inscrire au cercle tout polygone régulier d'un nombre iAipair de côtés *.

Cet ouvrage fut réfuté aussitôt qu'il parut par Errard, de Bar-le-Duc, ingénieur du roi 2; et ensuite par Viète^ Adrianus Romanus''^ et Clavius^.

l'origine des travaux des géomètres modernes. On aurait dû citer, avant Fermât, Léonard de Pise, Lucas di Borgo, Cardan et Viète surtout, qui se sont servis des formules mêmes sur lesquelles repose et d'où peut se déduire la solution générale d'Euler.

' Elementum prias; prop. XV.

' Réfutation de quelques propositions du livre de M. De l'Escale, de la quadrature du cercle, par lui intitulé: Cyclometrica elementa duo. Lettre adressée au roi. Paris, septembre 1594; chez Auray, rue S«-Jeaude-Beauvais, au Bellérophon couronné.

Peu de mois suffisent à Errard pour montrer la fausseté des propositions 5« et G* de Scaliger, qui disent : 1» Que le circuit du dodécagone inscrit au cercle peut plus que le circuit du cercle; et 2» que le carré du circuit du cercle est décuple au carré du diamètre.

* Celte réfutation est l'objet du Pseudo-Mesolabum et alla quœdam adjuncta capitula, qui parut en 1596.

* Apologia pro Archimede, ad clnriss. virum Josephum Scaligerum. Exercitatioaes cyclicœ contra J. Scaligerum, Oroniium finœum, et Raymarum Ursum, in decem dialogos distinctœ. Wuceburgi, 1597, in-fol.

^ Voir sa Géométrie pratique.

Viète, à ce sujet, résolut la question du quadrilatère, et montra les paralogismes qui avaient égaré Scaliger. Sa solution parut en 1596, dans son Pseudo-Mesolabum.

Nous trouvons ensuite Prgetorius, qui consacra à cette question un livre intitulé : Problema, quod jubet ex quatuor redis lineis datis quadrilaterum fieri, quod sit in circulo, aliquot modis explicatum; à Johan. Prjetorio. Joachimico. Norinbergse, 4598, in-4'' (de 36 pages).

Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports; d'abord par quelques indications qu'il contient sur l'histoire du problème; et ensuite parce que, résolvant la même question que Brahmegupta, au sujet des conditions de rationalité de quelques parties de la figure, il nous fournit un point de comparaison entre les Indiens et nous, dans une question particulière et originale chez l'auteur hindou, comme chez l'auteur européen.

Prsetorius nous apprend qu'anciennement ce problème avait été traité, et que l'on avait cherché le diamètre du cercle circonscrit au quadrilatère, et l'aire de cette ligure; qu'ensuite Regiomontanus avait aussi proposé ces questions; puis, que Simon Jacob avait calculé les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle. Enfin, il cite la solution de Viète, et ajoute que, plus récemment encore, d'autres solutions en ont été données; mais qu'il ne les connaît pas.

Après ce préambule historique, Praetorius résout le problème en cherchant les expressions des diagonales, et montre comment on calculera le diamètre.

Ensuite il se propose de déterminer quatre nombres qui, étant pris pour les côtés du quadrilatère, donnent pour les diagonales, ainsi que pour le diamètre du cercle, des valeurs rationnelles. Et il résout cette question de difiTérentes manières. Dans l'une il trouve, pour les côtés du quadrilatère, les quatre mêmes nombres 60, 52, 25 et 39, qu'emploie Brahmegupta. Mais il ne les place pas dans le même ordre, et il forme ainsi un quadrilatère différent de celui du géomètre indien *. Dans Texemple suivant, il remarque qu'on peut changer deux côtés de place, et il forme avec d'autres nombres, qui sont 52, 56, 59 et 33, un autre quadrilatère inscriptible. Nous avons reconnu que ce quadrilatère a ses diagonales rectangulaires comme celui de Brahmegupta, ce que Praetorius n'a pas observé. Ce géomètre n'a pas remarqué non plus que différentes parties du quadrilatère, que Brahmegupta a calculées, étaient aussi exprimées en nombres rationnels, comme les diagonales et le diamètre du cercle. De sorte que l'on peut dire que Brahmegupta a plus approfondi cette question, et l'a traitée plus complètement que les Modernes.

* Prsetorius prend un triangle quelconque ABC, ayant ses côtés rationnels et tels, que sa perpendiculaire soit aussi rationnelle. Il le construit au moyen de deux triangles rectangles, comme nous l'avons dit au sujet du paragraphe 34 de Brahmegupta. Deux côtés de ce triangle, AB, AC, sont pris pour deux côtés consécutifs du quadrilatère cherché ; et le troisième, BC, pour la diagonale qui les sous-tend. Il reste à construire les deux autres côtés du quadrilatère : Praetorius détermine leurs longueurs en menant quelques lignes, et en faisant deux proportions. Cette solution peut être singulièrement abrégée; car nous avons reconnu qu'il suffit de mener, par les points B, C, deux droites perpendiculaires aux côtés AB et AC, respectivement. Ces droites sont les côtés cherchés.

Cette construction fait voir que le quadrilatère de Praetorius a deux angles droits, et que sa seconde diagonale est précisément le diamètre du cercle circonscrit, ce que ce géomètre n'a peut-être pas aperçu.

Dans sa dernière solution, Praelorius prend, pour les côtés consécutifs du quadrilatère, les nombres 33, 25, 16 et 60, et il dit que « ce sont ceux que Simon Jacob a proposés, sans montrer la voie qui l'avait conduit à cette solution t>. Cela nous fait supposer que Simon Jacob avait résolu aussi, outre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, avec quatre côtés donnés, celle de trouver, en nombres rationnels, quatre côtés pour lesquels les diagonales du quadrilatère et le diamètre du cercle fussent rationnels *.

Nous ne connaissons que l'ouvrage de Prœtorius où, depuis Simon Jacob, on ait traité cette seconde question, quoique le problème de construire le quadrilatère inscriptible, avec quatre côtés donnés, ait continué d'occuper quelques géomètres. Ludolph Van Ceulen l'a résolu dans ses Problemata miscellanea, ainsi que Snellius, dans les noies dont il a enrichi sa traduction, du hollandais en latin, de cet ouvrage de Ludolph. Quoique Snellius y cite l'ouvrage de Praetorius, il n'a point fait mention des nouvelles questions que celui-ci avait résolues.

Enfin nous citerons J. De Billy (1602-1679), géomètre d'un grand mérite, qui cependant s'est mépris dans la construction du quadrilatère inscriptible avec quatre côtés parce qu'il a pensé que le problème était indéterminé, et que l'on pouvait prendre une condition de plus, telle qu'une relation entre les deux diagonales. Il crut le résoudre en se donnant le rapport des diagonales, puis leur somme, et enfin leur différence ^.

Nous avons cité, au sujet du paragraphe 21, les géomètres qui se sont occupés particulièrement de l'élégante formule pour l'aire du quadrilatère.

' Simon Jacob n'est cité par aucun historien des Mathématiques, et paraît être aujourd'hui tout à fait inconnu ; cependant nous trouvons, dans le premier volume de la Bibliothèque mathématique de Murhard, qu'il est auteur de deux ouvrages allemands qui ont eu un grand nombre d'éditions. Le premier, intitulé Recherches sur les lignes {Rechnvng auf der Unie; Francfort, in-S"), a paru en 15o7, et a été réimprimé en 1589, 1390, 1399, 1607, 1608 1610 et 1615. Le second, Nouveau traité élémentaire du calcul des lignes et des nombres, suivant la pratique italiunne {Ein neu und wohlgegrUndet Rechenbuch auf der Linie und Ziffern, sarnt der Welschen Practic, etc., in-4»), parut en 1S60 et a été réimprimé en 1563, 1600 et 1612.

Nous trouvons encore, dans la Bibliothèque mathématique de Murhard, que Simon Jacob, professeur de Mathématiques à Francfort-sur-Mein, a revu et fait paraître, en 1564, une édition d'un ouvrage de Pierre Apian (1300-1552), sur les calculs relatifs au Commerce.

Schooten cite Simon Jacob dans deux passages de ses Sectiones miscellaneœ, et l'appelle celebris arithmeticus (voy. Exercilationes mathematicœ, pag. 404 et 410). On y voit que ce géomètre avait imaginé plusieurs progressions telles, que chacun de leurs termes étant exprimé en fraction, le numérateur et le dénominateur étaient les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse était rationnelle.

* Diophantus geometra, sive opus conlextum ex arithmeticâ et geometriâ simul, etc. Paris, 1660, in-4'', pag. 188 et 189.

Jacques de Billy, que Heilbronner et Montucla citent à peine, fut un très savant algébriste, estimé des plus célèbres mathématiciens de son temps, en particulier de Fermai et de Bachet de Méziriac. On trouve, dans les Mémoires de Nicéron, lom. XL, la liste des nombreux ouvrages qu'il a mis au jour, et de ceux, en plus grand nombre, qui sont restés manuscrits; ceux-ci faisaient partie de la Bibliothèque des jésuites de Dijon : il paraît qu'il n'ont pas passé dans celle de la ville, car nous n'en trouvons aucun dans les catalogues de Haenel.

S'ils existent encore, il serait bien à désirer qu'on fît connaître au moins une analyse ou une table des matières traitées dans ces manuscrits, qui étaient au nombre d'une vingtaine.

La théorie du quadrilatère inscrit n'offre plus aujourd'hui aucune difiiculté, et a passé dans les ouvrages élémentaires où l'on donne le théorème de Ptolémée sur le produit des deux diagonales, et un second théorème sur le rapport de ces lignes : de ces deux propositions se déduisent les valeurs des deux diagonales. M. Legendre a complété cette théorie en donnant, dans les Notes jointes à ses Éléments de Géométrie, la démonstration, par le calcul, des formules pour l'aire du quadrilatère et le diamètre du cercle circonscrit. Mais nous ne sachons pas que l'on ait jamais, depuis Praetorius, résolu la question de construire un quadrilatère inscriptible, dont les parties fussent rationnelles; ni même que l'on ait fait attention à l'ouvrage de ce géomètre. L'apparition de cette question, dans le Traité de Brahmegupta, semble donner une sorte d'à-propos et un nouveau mérite à celui de Prsetorius '.

Nous terminerons ici nos observations sur les dix-huit premiers paragraphes de la partie géométrique de Brahmegupta. Les autres paragraphes offrent peut d'intérêt. Nous y remarquerons seulement le rapport de la circonférence au diamètre, exprimé par la proposition du paragraphe 40, lequel serait égal à V^IO. Il paraît, d'après le texte anglais 2, que Brahmegupta a regardé cette expression comme étant le rapport exact de la circonférence au diamètre. Chalurveda, dans ses notes, semble le croire aussi. Cela ne nous étonne point de la part de ce scoliaste; mais il est difficile de penser qu'un géomètre qui a été capable d'écrire sur la théorie du quadrilatère inscrit au cercle, et de résoudre les questions que nous avons trouvées dans l'ouvrage de Brahmegupta, ait commis celte faute. Il est vrai que la quadrature du cercle a été aussi l'écueil d'un grand nombre de géomètres modernes, qu'elle a entraînés dans des erreurs semblables, quoique plusieurs d'entre eux eussent donné des preuves d'un véritable et profond savoir en Mathématiques. Il nous suffira de citer Oronce Fine et Grégoire de Saint-Vincent.

L'expression V^IO est précisément le rapport que J. Scaliger disait avoir trouvé le premier, et croyait avoir démontré géométriquement : mais on connaissait depuis longtemps en Europe celte expression, qu'on savait n'être qu'approchée. On l'attribuait aux Arabes ou aux Indiens, et l'on supposait que ces peuples l'avaient regardée comme étant exacte.

En effet, Purbach (1425-1461), dans son livre intitulé : Tractatus Georgii Peurbachii super propositiones Ptolemœi de sinibus et chordis, s'exprime ainsi : Indi verd dicunt, si quis sciret radiées numerorum rectâ radiée carentium invenire, ille faciliter

* J. Praelorius (1SS7-1616) n'est cité généralement que comme inventeur de l'instrument géodésique appelé la planchette, qui pendant longtemps a eu le nom de Tabula Prœtoriana ; mais il fut un géomètre très habile et très considéré dans son temps. Snellius, en citant son ouvrage sur le quadrilatère, s'exprime ainsi :C/amstmu5 /. Prcetoriua harum artium scientia nulli secundus, de quatuor iineis in circula integrum librum publicavit, in quo multis modis ingeniosè sanè et acutè hoc idem problema effici posse demonstravit.

Le célèbre professeur de Mathématiques, Doppelmayer, lui a consacré une notice dans sa Biographie des mathématiciens et artistes de Nuremberg, 1730, In-fol. (en allemand), où l'on voit que Praetorius a imprimé peu d'ouvrages ; mais que plusieurs de ses manuscrits sont conservés à Altorf, où il a vécu, dans la plus grande estime, pendant quarante ans.

Ou trouve un extrait de cette notice dans l'ouvrage de Géodésie pratique de J.-J. Marinoni, intitulé : De re ichnographicd, cujus hodierna praxis exponitur, etc. Viennae Auslrtae, 1731, in-4".

* The diameter and the square of the semidiameter, being severally muUiplied by Ihree, are Ihe practical circumftrence ad area.The square-roots extracted from ten times the squares ofthe same are ihe neat values.

inveniret, quanta esset diameter respectu circumferentiœ. Et secundum eos, si diameter fueril unitas, erit circumferenlia radix de decem; si duo, erit radix de quadraginta; si tria, erit radix de nonaginta; et sic de aliis, etc. Regiomonlanns (1436-1476), au contraire, attribue le rapport i^lO aux Arabes. Voici ses paroles : Arabes olirn circulum quadrare polliciti ubi circumferentiœ suœ œqualem rectam descripsissent, hanc pronuntiavere sententiam : si circuli diameter fuerit ut unum, circumferentia ejus erit ut radix de decem. Quœ sentenda cum sit erronea... Buléon (1492-1572), dans le second livre de son ouvrage De quadralurâ circuli, libri duo (Lyon, 1559, in-S"), où il fait l'histoire de ce problème, et réfuie les paralogismcs qu'il avait déjà occasionnés, énonce en ces termes la même opinion que Regiomontanus : Tetragonismus secundum Arabes. Omnis circuli périme ir os ad diametrum décupla est potentià.... Palet igitur hujusmodi letragonismum secundum Arabes esse falsum, et extra limites Archimedis.

SUR LA GÉOMÉTRIE DE BHASCARA ACHARYA.

Les ouvrages de Bhascara sont, comme ceux de Brahmegupta, un Traité d'Arithmétique, que l'auteur appelle Lilavati, et un Traité d'Algèbre, qu'il appelle Bija-Ganita.

La Géométrie se trouve comprise dans le Lilavati, où elle forme les chapitres VI, VII, VIII, IX, X et XI, sous les paragraphes 135-247.

Le chapitre VI est le plus considérable; il traite des figures planes : les autres sont peu de chose, et ont les mêmes titres, excavations^ slacks, etc., que dans le Traité de Brahmegupta.

Le Bija-Ganita contient aussi quelques questions de Géométrie, qui s*y trouvent comme applications des règles de l'Algèbre, et qui sont résolues par le calcul. On remarque encore, dans cet ouvrage, quelques propositions algébriques, qui y sont démontrées par des considérations géométriques. Nous ferons connaître ces propositions isolées, après que nous aurons examiné la partie géométrique proprement dite.

Nous diviserons celle-ci en cinq parties : les trois premières seront relatives au triangle en général, au triangle rectangle et au quadrilatère; la quatrième comprendra quelques propositions sur le cercle; et, dans la cinquième, seront les règles pour la mesure des volumes, et le chapitre sur l'usage du gnomon.