SYSTÈME DE NUMÉRATION

Le passage de la Géométrie de Boèce, dont il s'agit, paraît être resté inaperçu pendant longtemps, quoique les manuscrits des œuvres de cet écrivain ne soient pas rares, et que sa Géométrie ail été imprimée dès 1491, puis en 1499 et en 1570. Ce n'est, je crois, que vers le milieu du XVII* siècle que Isaac Vossius, dans ses notes sur la Géographie de Pomponius Mêla, fit connaître ce passage, et signala les neuf caractères ou chi/fres^ qu'il contenait. Depuis, c'a été une question souvent agitée, de savoir si c'est bien précisément de notre système de numération que Boèce veuf parler, et si les Grecs en ont eu connaissance, ainsi qu'il le rapporte.

Ce point historique offrait un grand intérêt, par lui-même, et comme devant être d'une haute importance dans la question plus générale de l'origine du calcul indien, et des voies qu'il avait suivies pour se répandre au loin, et apparaître tout à coup parmi nous, au commencement du Xill* siècle, dans de nombreux ouvrages '.

Cependant on n'a point encore été d'accord, jusqu'ici, sur la vraie signification du passage de Boèce, et l'opinion émise le plus généralement a été en faveur d'une autre pièce, du X* siècle, qui est une lettre et un petit Traité, attribués à Gerbert (devenu pape en 999,

* 1" L'ouvrage de Léonard Fibonacci, de Pise, commençant ainsi : Incipit liber Abbaci, composilus a Leonardo filio Bonacci Pisano, in anno 1202; et dans lequel se trouvent aussi, pour la première fois, en Europe, les principes de l'Algèbre;

2» Le Traité (C Arithmétique pratique, de Jordan Nemorarius (vers 1200), resté manuscrit dans la Bibliothèque savilienne, sous le titre : Algorismus Jordani. tam in integris quam in fractis demonstratus. Cet ouvrage est diflférent de l' Arithmétique spéculative en dix livres, du même auteur, mise au jour et illustrée par Fabre d'Étaples, en 1496;

3° Le Trailé d'Arithmétique de Sacro Bosco, intitulé : Traclatus Algorismi, écrit en 1236, en vers, et commençant par ces deux-ci :

Hœc algorismus, as prœsens, dicitur in quâ Talibus Indorum fruimur bis quinque figuris ;

4» Un passage du Spéculum doctrinale, de Vincent de Beauvais (1194-1264), intitulé: De computo et algorismo (livre XVI, chap. 9), où la connaissance de nos neuf chiffres, et de leurs valeurs de position, ainsi que l'usage du zéro, sont parfaitement exposés;

5" L' Algorisme, ou Trailé d' Arithmétique, écr'a en français par un anonyme, sous Philippe le Hardi (1270-1285). (M. Daunou, dans le Discours sur l'état des letlres en France, au XlIP siècle, mis en tête du tom. XVI de VHisloire littéraire de la France (in-4», Paris, 1824), fait mention de ce Traité, qu'il dit exister dans la Bibliothèque de S'«-Geneviève, sous le n« BB 2, in-4"; mais, malgré les recherches réitérées de MM. les conservateurs de cette Bibliothèque, nous n'avons pu l'y trouver);

6» Le Traité de Maxime Planude, écrit en grec, vers la fln du XII l« siècle, sous le titre: Calcul selon les Indiens, dit le grand calcul.

Il est assez singulier qu'aucun de ces traités d'Arithmétique, qui sont si précieux pour l'histoire des sciences, et qui marquent un grand pas dans l'esprit humain, n'ait encore été imprimé.

Outre ces ouvrages, il existe d'autres écrits du même temps, tels que le Calendrier de Roger Bacon, les Letlres de Jordan Nemorarius, et les traités De spherœ et De computo, de Sacro Bosco, où il est fait usage des chiffres arabes.

sous le nom de Sylvestre H), où l'on a aperçu notre système de numération, et l'on a répété, depuis que Wallis a émis cette opinion dans son Histoire de l'Algèbre, que Gerberl, le premier, nous a fait connaître le système de numération indien, qu'il avait appris des Sarrazins, en Espagne. Et c'est l'opinion émise encore dernièrement par l'illustre président de la Société asiatique de Londres, dans sa savante dissertation sur l'origine de l'Algèbre '. Mais il faut dire ici que c'est plutôt d'après le témoignage unique d'un historien du XII* siècle, Guillaume de Malmesbury, dont les paroles ^ ont été empruntées et reproduites, un siècle après, par Vincent de Beauvais ^, qu'on a fondé cette opinion, que sur le Traité même de Gerbert, que l'on a rarement lu, et que Wallis particulièrement n'a pas connu. Et, chose assez singulière, si c'eût été l'examen de ce Traité qui eût servi de base à l'opinion de Wallis, nous ne balancerions pas à dire que la question agitée au sujet du passage de Boèce est résolue par cela même, et qu'à Boèce doit être reporté l'honneur attribué à Gerbert. Car la comparaison que nous avons faite du Traité de Gerbert avec le passage de Boèce, ne nous laisse aucun doute qu'ils roulent absolument sur le même sujet et sur le même système de numération, et que l'un et l'autre ont la même origine. Cette remarque, qui n'avait pas encore été faite, aura besoin d'être justifiée; j'y reviendrai dans un autre moment, et je ferai alors quelques autres observations, auxquelles peut donner lieu le Traité de Gerbert *. Je dois ici me renfermer uniquement dans l'examen du pas-

* This (Gerbert), upon his return, he communicated to Christian Europe, teaching the melhod of nutnbert under the désignation of kbacus, a name apparently first inlroduced by htm (raliones numerorum Abaci), by rules abstruse and difficult to be understood, as William of Malmesbury affirms. It was probably owing to this obscurily of his rules and manner or treating the Arabian, or rather Indian arithmetic, thut it mode so little progress between his lime and that of the Pisan [Leonardo of Pisa). (Colebrooke, Brahmegupta and Bhascara, Jlgebra, dissertation, pag. lui).

* Jbacum cerle primus a Saracenis rapiens, régulas dédit, quœ a sudanlibus abacistis vix intelliguntur . Voir De gestis Anglorum libri V. (Livre 2, pag. 64 et 65.)

' Spéculum historiale. Duaci, 1624, in-f». Voir livre 24, chap. XCVIII, pag. 997.

* Par exemple, ce Traité, et la lellre d'envoi qui lui sert de préface, sont-ils bien de Gerbert? Et en supposant qu'ils roulent sur notre syslème de numération (ce que Je crois), leur origine directe vient-elle des Sarrazins; d'Espagne? Ces deux questions, qui sont soulevées ici pour la première fois depuis que, sur l'autorité de Malmes< bury, on a fait honneur à Gerberl de l'importation du syslème arabe, ne sont peul-èlre pas dépourvues d'inlérêt. Car cette lettre et le Traité, qu'on croit généralement être restés manuscrits, sont imprimés en entier, sous le titre de numerorum divisione, dans les Œuvres de Bède (672-733), comme élant de cet écrivain. Il est assez étonnant qu'ils n'y aient pas été aperçus, surtout par Monlucla et par Delambre, qui, l'un et l'aulre, ont parlé de ce chapitre des Œuvres malhémaliques de Bède. (Voir Histoire des Mathématiques, lom. l", p3g. 49S, et Histoire de rAslronomie ancienne, lom. I*'', pag, 322.)

Maintenant, ce sera peut-être un point d'histoire à résoudre, de savoir si la lettre et le système de numération attribués à Gerbert, sont de lui ou de Bède.

Sans vouloir aborder celte question, qui est du ressort des savants écrivains qui conlinuent VHistoire littéraire de la France, nous nous permettrons de dire que la grande ressemblance, quant au fond et dans les moli mêmes, que nous reconnaissons entre ce Traité et le passage de Boèce, nous porte à le croire de l'écrivain le plus rapproché de ce dernier; c'est-à-dire de Bède, qui ne lui est postérieur que de deux siècles. Une autre raison, c'est que, du temps de Gerbert, les Maures d'Espagne devaient se servir, comme les Indiens et les Arabes, du zéro (ou du point, comme zéro); de sorte que Gerbert, en transmettant leur système de numération, aurait fait usage et aurait parlé expressément du zéro, dont nous ne pouvons trouver aucune trace dani-

sage de la Géométrie de Boèce, qui est la partie la plus importante de cet ouvrage, surtout comme document historique unique.

Voici la traduction, à peu près littérale, qui nous paraît rendre le sens de ce passage :

« Les Anciens avaient coutume d'appeler digits toute espèce de nombre au-dessous de > la première limite, c'est-à-dire ceux que nous comptons depuis un jusqu'à dix, qui sont » 1,2, 5, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

» Ils appelaient articulés tous ceux de l'ordre des dizaines, et des ordres suivants à t l'infini *.

» Nombres composés tous ceux qui sont compris entre la première et la seconde limite, » c'est-à-dire entre dix et vingt, et tous les autres suivants, excepté les limites.

» Et nombres incomposés tous les digits et toutes les limites 2.

» Les nombres multiplicateurs changent de place entre eux; c'est-à-dire que tantôt le

le Traité en question, oti nous supposons que ce signe auxiliaire est suppléé par l'enaploi de colonnes, comme dans Boèce, ainsi que nous allons le dire. Enfin, une troisième considération, qui rend admissible l'opinion que Bède a pu écrire ce Traité, c'est que Ton trouve nos chiffres dans quelques manuscrits très anciens des œuvres de cet écrivain, ainsi que l'a remarqué Wallis dans son Histoire de V Algèbre (pag. dl).

• C'est-à-dire tout décuple ou centuple, etc., d'un digit.

Celle distinction des nombres, en digits et en articulés, avait pour objet surtout de donner des dénominations spéciales au chiffre des unités et à celui des dizaines, dans un nombre exprimé par deux chiffres, tel que 27; parce que ces deux chiffres, considérés dans un calcul, pouvaient bien ne pas représenter les véritables unités et dizaines de la question. C'est ce quia lieu, par exemple, si le nombre 27 résulte, dans une multiplication, du produit du premier chiffre du multiplicateur par le deuxième ou le troisième chiffre du multiplicande.

Les dénominations de digilis et articulés {digitus et ariiculus) méritent bien d'être remarquées ici, car on peut dire qu'elles suffiraient seules pour indiquer qu'il est question de notre système de numération, avec lequel elles se sont toujours présentées depuis : au X* siècle ou anlérieurement, dans le Trailé allribué à Gerberl; au XIII» siècle, dans les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais, etc ; et, à la Renaissance, dans tous les Traités d'Arithmétique, qui commencent toujours comme ce passage de Boèce (voir Opusculum de praxi numerorum quod algorismum vacant, pièce 1res ancienne, trouvée et mise au jour en 1305, par Josie Clicthovée; Margarita philosophica ; Summa de Arithmetica, de Lucas di Borgo; Algorithmus demonslratus, de Schoner; Septem parlium Logisticœ arithmetices questiones, de Schroter ; Arithmetica practica in quinque partes digesla, de Morsiaims; Arithmetica practica libris IV absoluta, (.VOroace Fine; Arithmetica; pralicœ methodus facilis, de Gemma Frisius, etc.)

* Ainsi les limites étaient des nombres, et n'étaient autres que les articulés.

Il n'y avait donc, dans le fait, que trois es|)èces de nombres : les digits, les articulés et les nombres composés.

Cette division des nombres, en trois espèces, était enseignée dans tous les Traités d'Arithmétique, à la Renaissance. Le mol limes, que nous avons traduit par limite, était aussi employé dans plusieurs ouvrages; mais il n'y désignait pas des nombres : il s'appliquait à des collections de nombres. On appelait limite (latiaè) les différents ordres d'unités, dizaines, centaines, etc., que les Grecs appelaient eweaSèî. Ainsi primus limes était l'ordre ou la colonne des unités; secundus limes, l'ordre ou la colonne des dizaines; et ainsi de suite.

Le passage suivant de \\4lgorithmus demonslratus, de Schoner, définit bien ueltement la signification des mots digilus, ariiculus, numerus compositus, et limes.

Digitus est omnis numerus minor decem. Ariiculus est omnis numerus qui digitum décuplai, aut digiti decuplum, aut decupli decuplum, et sic in infinitum. Separantur autem digiti etarticuli in limites. Limes est collectio novem numerorum, qui aut digiti sunt, aut digilorum œque mulliplices, quilibet sui relativi. Limes itaque primus digitorum. Secundus primorum articulorum. Tertius est secundorum articulorum. Et sic in infinitum. Numerus compositus est qui constat ex numeris diversorum limitum. Item numerus compositus est qui pluribus figuris significativis rcprœsentatur.

» plus grand est le mulliplicateur du plus pelil, et tantôt le plus petit est le multiplicateur » du plus grand. Souvent un nombre est multiplicateur de lui-môme. Mais les nombres » les plus petits sont toujours diviseurs des plus grands.

» Des pythagoriciens, pour éviter de se tromper dans leurs multiplications, divisions et

• mesures (car ils étaient en toutes choses d'un génie inventeur et subtil), avaient ima- » giné pour leur usage un tableau, qu'ils appelèrent, en riionneur de leur maître, table

• de Pythagore; parce que ce qu'ils avaient tracé, ils en tenaient la première idée de ce » philosophe. Ce tableau fut appelé, par les Modernes, abacus.

» Par ce moyen, ce qu'ils avaient trouvé par un effort d'esprit, ils pouvaient en rendre » plus aisément la connaissance usuelle et générale, en le montrant pour ainsi dire à l'œil. » Ils donnaient à ce tableau une forme assez curieuse, qui est représentée ci-dessous. »

Jci se trouve la table de multiplication dans les éditions de Boèce, et probablement dans les manuscrits que les divers écrivains qui ont disserté sur ce passage ont eu à leur disposition, car toujours ils ont raisonné dans cette supposition; et Weidier, particulièrement, s'en est fait un argument pour prouver que ce sont bien nos chiffres et notre système de numération que Boèce a décrits *. Mais cette table de Pythagore ne se trouve pas dans un très beau manuscrit du Xl^ siècle, appartenant à la Bibliothèque de Chartres, qui est souvent plus correct que l'édition de 1570. Celte circonstance m'a fait naître l'idée que peut-être ce n'était pas la table de multiplication (à laquelle, sur l'autorité môme de ce passage, on avait donné depuis le nom de Pythagore), dont Boèce avait réellement parlé; et j'ai pensé dès lors que la difficulté que l'on avait trouvée à donner un sens aux paroles de l'auteur, pouvait provenir de ce qu'on voulait les appliquer à cette table de multiplication. Mais que faut-il mettre à sa place? Notre manuscrit ne répond pas entièrement à celte question; cependant il peut mettre sur la voie.

Voici ce que nous y trouvons :

Sur une première ligne, sont les neuf caractères par lesquels Boèce représentait les neuf premiers nombres : un, deux, trois..., neuf. Ils y sont écrits de droite à gauche, et au-dessus d'eux sont leurs noms, comme il suit :

Sipos CELENTis. Temenias. Zenis. Caltis. Quimas. Arbas. Ormis. Axdras, Igin'.

♦ Spicileginm observationum ad historiam notarum numeralium perlinentium, etc. Viltemberg, in-4"

(28 pages), 1755.

* Ces noms avaient déjà été trouvés, dans un manuscrit, par le savant orientaliste Creaves. Le célèbre Huef, évêque d'Avranchos, pensait qu'ils y avaient été insérés postérieurement à Boèce, en faveur des Orientaux, au temps oîila connaissance des lettres arabes s'introduisait parmi nous. 11 attribuait aux quatre suivants : Arbas, Quimas, Zenis et Temenias, une origine hébraïque {Demonstralio Evangelica, prop. i. Voir aussi Heilbronner, Historia matheseos, p. Hi).

On voil, à la suite du neuf, un rond dans lequel est inscrite la lettre a; nous parlerons plus loin de ce dixième signe.

Au-dessous de cette première ligne en est une seconde, sur laquelle sont les chiffres romains I, X, C, M,X, C, M. F, etc...., écrits de droite à gauche.

Trois autres lignes, ensuite, contiennent en chiffres romains d'autres nombres, qui sont respectivement la moitié, le quart et le huitième de ces premiers.

Enfin, sur deux autres lignes, sont d'autres caractères romains représentant les fractions de l'once; et, sur une dernière ligue, sont les nombres 1, 2, 3, 4, 12, écrits en

chiffres romains.

De tout cela, nous ne prenons que la ligne des chiffres I, X, C, M, X, etc.; et nous supposons que la table dont Boèce veut parler, « que les Anciens, dit-il, appelaient table de Pythagore, et à laquelle les Modernes ont donné le nom û' Abaque, » n'était point la table de multiplication, mais un tableau destiné à faire les calculs, dans le nouveau système de numération qu'il va exposer.

Voici ce qui caractérisait ce tableau, et ce qui le rendait propre à cet usage.

Dans la partie supérieure, était une ligne horizontale, divisée en un certain nombre de parties égales; et des lignes verticales partaient des points de division. Ces lignes, prises deux à deux consécutivement, formaient des colonnes.

Sur les portions de la ligne horizontale, comprises entre ces colonnes, étaient inscrits, en allant de droite à gauche, les chiffres romains I, X, C, M, X, C, M.T, X.M.Ï, etc., signifiant un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, mille mille, dix mille mille, etc.; comme il suit :

A l'aide de ce tableau, substitué à la table de multiplication, nous allons pouvoir, je crois, donner un sens intelligible au texte de Boèce, dont je reprends la traduction :

« Voici comment ils se servaient du tableau qui vient d'être décrit. Ils avaient des > apices ou caractères , de diverses formes. Quelques-uns s'étaient fait des notes û'apic^s,

» telles que 1 répondait à l'unité; yj à deux; \ik à trois; ' 1 - à quatre;

» 1. k cinq; V à six; i> à sept; O à huit; et enfin Q à neuf '. Quelques

* Nous reproduisons ici les neuf chiffres sous la forme qu'ils ont dans ce passage de notre manuscrit. Plusieurs

9 autres, pour faire usage de ce tableau, prenaient les lettres de Talphabet; de manière

» que la première répondait à l'unité, la seconde à deux, la troisième à trois, el les

» suivantes aux nombres naturels suivants. D'autres, enfin, se bornaient à employer, dans

» ces opérations, les caractères usités avant eux pour représenter les nombres naturels.

» Ces apices (quels qu'ils fussent), ils s'en servaient, comme de la poussière •; de

> manière que, s'ils les plaçaient sous Tunité, chacun d'eux ne représentait toujours que » des digits. »

Cette dernière phrase el les suivantes sont très importantes. C'est là que nous croyons voir ce qui fait précisément le caractère propre de notre système de numération, c'est-àdire la valeur de position des chiffres. Pour les comprendre, il faut fixer son attention sur le tableau que nous avons décrit et tracé ci-dessus. Car c'est ici que se montrent l'utilité el l'usage de ce tableau.

Nous reprenons la dernière phrase de Boèce, et nous continuons :

ï S'ils plaçaient ces divers apices sous l'unité (c'est-à-dire dans la colonne des unités), » ils représentaient toujours les digits.

» Plaçant le premier nombre, c'est-à-dire deux (car l'unité, comme il esl dit dans les » Arithmétiques, n'est pas un nombre, mais l'origine el le fondement des nombres), » plaçant donc deux sous la ligne marqué dix, ils convinrent qu'il signifierait vingt; que » trois signifierait trente; quatre, quarante; et ils donnèrent, aux autres nombres suivants, 9 les significations résultant de leur propre dénomination.

> En plaçant les mêmes apices sous la ligne marquée du nombre cent, ils établirent j) que 2 signifierait deux cents; 5, trois cents; 4-, quatre cents; et que les autres répon- B draienl aux autres dénominations.

» Et ainsi de suite dans les colonnes suivantes : et ce système n'exposait à aucune

> erreur. »

On peut voir, croyons-nous, dans ceci une description assez claire du principe de notre système de numération, la valeur déposition des chiffres, croissant suivant une progression décuple,enallantdedroite à gauche. Lesco/on«es dont il était fait usage, etqui sont formellement indiquées dans le texte par le mot paginula ou pagina (petite bande), permettaient de se passer du zéro, parce que là où nous l'employons, on laissait la place vide. Un passage de l'Arithmétique de Planude s'accorde avec cette supposition, que, dans l'origine de notre système de numération, on se servait de colonnes qui dispensaient de l'usage du zéro. Car Planude dil que le zéro (xt^i^pa) se met dans le vide; et comme les places augmentent

sont différents, comme on voit, de ceux qui se trouvent avec leurs noms en dehors du texte, ce qui fait supposer que ceux-ci ont été ajoutés par quelque copiste. Cela nous confirme dans l'opinion que celte ligne de chiffres ne faisait pas partie, dans l'autographe de Boèce, du tableau dont il parle; et que ce tableau se composait seulement de colonnes verticales, au haut desquelles étaient inscrits les nombres un, dix, cent, mille, elc, signifiant unités, dizaines, centaines, elc.

' Ha varie ceu pulverem dispergere ... Boèce fait allusion sans doute à la poussière, au pulvis eruditus de Cicéron {De naturâ Deorum, lib. Il), que les Anciens étendaient sur leurs abaques, pour y Iracer leurs figures de Géométrie.

les valeurs des chijfresy ainsi font les zéros qui remplissent les places vicies '. Ainsi, antérieurement à l'usage du zéro, il y avait des places vides; ce qui ne pouvait se faire qu'au moyen de colonnes. Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des zéros; de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient fait l'office du zéro. Ensuite on aurait changé cette figure en celle du zéro actuel, qui est d'une description plus simple.

Après avoir exposé succinctement le principe du nouveau système de numération, Boèce donne les règles de la muliiplication et de la division. Voici comment il s'exprime :

« Dans les multiplications et les divisions, il faut savoir, et observer avec soin, dans 9 quelle colonne on doit placer les digits, et dans laquelle les articulés. Car si un » nombre des unités est multiplicateur d'un nombre des dizaines, on place les digits dans » les dizaines, et les articulés dans les centaines; si le même nombre est multiplicateur » d'un nombre des centaines, on place les digits dans les centaines, et les articulés dans » les mille; s'il est multiplicateur d'un nombre des mille, on placé les digits dans les » mille, et les articulées dans les dix mille; et multiplicateur d'un nombre des cent mille, > on place les digits dans les cent mille, et les articulés dans les mille mille.

p Mais si un nombre des dizaines est multiplicateur d'un nombre des dizaines, on t place les digits dans la colonne marquée cent, et les articulés dans les mille;

> S'il est multiplicateur d'un nombre des centaines, on place les digits dans les mille, » et les articulés dans les dix mille;

B Multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digits dans la colonne des dix » mille, et les articulés dans celle des cent mille;

» Et multiplicateur d'un nombre des cent mille, on place les digits dans les mille » mille, et les articulés dans les dix mille mille.

» Semblablement, un nombre des centaines étant multiplicateur, etc. »

Tout ce passage est très intelligible, et répond parfaitement aux règles que nous observons pour la multiplication; il confirmerait, au besoin, le sens que nous avons donné aux phrases précédentes. C'est dans ce passage principalement qu'on a trouvé de l'analogie avec notre système de numération.

Viennent ensuite les règles de la division. L'auteur commence ainsi :

« Maintenant les divisions, de quelques grands nombres qu'il s'agisse, deviennent » faciles pour le lecteur dont l'esprit est préparé par ce qui précède. Aussi nous n'en par- » lerons que sommairement; et, s'il se rencontre quelque difficulté, nous laissons à l'atten- » tion du lecteur le soin de la résoudre. »

L'obscurité du texte ne nous permet pas d'en traduire la suite; nous supposons qu'il nous est parvenu tronqué et défectueux; mais cette suite n'est pas nécessaire pour fixer notre opinion sur le système de numération que Boèce vient d'exposer; ce qui précède suffît.

' Delambre, Histoire de l'Astronomie ancienne, tom. I", pag. 519.

Les règles que l'auteur donne pour la division, nous paraissent se rapporter aux cinq cas suivants :

1° Diviser des dizaines par des dizaines, ou des centaines par des centaines, etc.;

2" Diviser des dizaines, ou des centaines, ou des raille, etc., par des uuilés; ou bien des centaines ou des milles, etc., par des dizaines;

3° Diviser des dizaines ou un nombre composé de dizaines et d'unités, par un nombre composé de dizaines et d'unités;

A" Diviser des centaines ou des mille, etc., par un nombre composé de dizaines et d'unités;

5° Enûn, diviser des centaines ou des mille, par un nombre composé de centaines et d'unités.

Ici se termine le premier livre de la Géométrie de Boèce.

Le passage que nous venons de rapporter est le seul que l'on ait cité comme traitant d'un nouveau système de numération, et c'est le seul probablement qui se trouve dans les manuscrits sur lesquels on a travaillé jusqu'ici. Mais celui que nous avons sous les yeux contient encore, à la fin du second livre, un second passage sur le môme sujet, qui mérite d'être connu, car il nous paraît montrer bien distinctement la valeur de position des chiffres. Le voici :

Après le tableau des fractions de l'once, Boèce ajoute :

« Dans la formation du tableau ci-dessus, ils (les Anciens) se servaient de caractères de

> différentes sortes et de formes différentes. Mais nous, nous n'en employons pas d'autres,

> dans tout ouvrage de ce genre, que ceux que nous avons tracés dans la construction de D Vabaqiie. Nous avons assigné la première ligne de ce tableau aux unités ; la seconde aux » dizaines; la troisième aux centaines; la quatrième aux mille; et enfin, les autres lignes » aux limites ' des autres nombres. Si on place des apices sur la première ligne, ils » représenteront des unités; sur la seconde des dizaines, sur la troisième des centaines, 9 sur la quatrième des mille, et ainsi de suite des autres. *

Ensuite Boèce donne les valeurs des fractions de l'once, dont auparavant il a donné seulement les noms : digitiis, statera, quadrans, drachma, etc.

Tout ce passage se rattache évidemment au tableau des divisions de l'once, et doit être rétabli dans l'ouvrage de Boèce.

De ce qui précède, nous croyons pouvoir conclure que le système de numération exposé par Boèce, est le système décimal, dans lequel les neuf chiffres dont il se sert prenaient des valeurs de position, croissant en progression décuple, en allant de droile à gauche; et enfin, que ce système de numération était précisément celui des Indiens et des Arabes, et le nôtre actuel; avec cette différence légère, que, dans la pratique, les places où nous mettons le zéro, restaient vides alors; et que cette dixième figure auxiliaire était suppléée par l'emploi de colonnes marquant dislinctivement l'ordre des unités, dizaines, centaines, etc.

' Ici Boèce donne au mol limes une acception semblable à celle qu'il a prise chez les Modernes. Voir, dans une note ci-dessus, le passage que nous avons cité de V Algorithmus demonstralus, de Schoner.

Nous devons ajouter ici que, dans le manuscrit dont nous nous servons, à la suite des neuf chiffres tracés avec leurs noms sur une même ligne, se trouve, après le neuf, un dixième caractère, qui est un rond dans lequel est une petite lettre a. Ce dixième signe représente, bien probablement, le zéro; l'a qui y est inscrit est peut-être la terminaison du mot sijphra; ou la première lettre du mot arcus, que nous trouvons employé dans une autre pièce contenue dans le même manuscrit, et relative au même système de numération, pour exprimer le mol colonne, parce que les colonnes qui y sont tracées sont surmontées d'arcs de cercles, de sorte que cette lettre a voudrait dire que le rond tient lieu d'une colonne. Celte origine du zéro serait assez naturelle.

Nous ne supposons pas que celte dixième figure se soit trouvée dans l'autographe même de Boèce; elle aura été ajoutée plus tard. Mais il est bon de la remarquer dans un manuscrit du XI" siècle, parce que c'est une opinion partagée par des écrivains d'une grande autorité, que le zéro ne nous a été apporté qu'au commencement du XI II* siècle, par Fibonacci.

F.e sens que nous avons donné au passage de Boèce a reposé sur celte double supposition, que le mol abacus, qui s'y trouve employé, ne s'applique point à la table de mulliplkation, comme on l'avait supposé jusqu'ici, mais bien à un tableau, d'une disposition particulière, propre à la pratique des nombres, dans notre système de numération. Celte double supposition n'est pas contredite par les documents littéraires qui nous restent sur la signification ancienne du mol abacus, et se trouve confirmée par celle qu'il a prise dans le Moyen âge, et qu'il avait encore au XVI* siècle.

En effet :

i" On sait, par divers auteurs grecs et romains, qui ont fait usage, avant Boèce, des mots aêa^ et abacus, qu'ils signifiaient proprement im tableau sur lequel les Anciens faù saient leurs calculs d'Arithmétique et leurs figures de Géométrie. [Voir Polybe, V* livre ; Plutarque, Vie de Caton d'Utique, sur la fin; Perse, satire i", vers 131; Martianus Capella, De nuptiis Philologiœ et Mercurii ; liber VI, de Geometriâ.)

2" Nulle part, avant Boèce, il n'est parlé ni de la table de multiplication, ni de la table de Pythagore : ce n'est que sur l'autorité de ce passage de sa Géométrie, oiî s'est trouvée, dans des manuscrits, la table de multiplication, qu'on a appliqué, depuis, à celle table, les noms de mensa pythagorica, et de abacus pythagoriciis.

El il est à remarquer que, dans son Traité d'Arithmétique, où Boèce a fait un grand usage de cette table, pour mettre en évidence les propriétés des nombres considérés, dans leurs diverses catégories, en nombres triangulaires, pentagonaux, etc., il ne l'a désignée ni sous le nom de Pythagore, ni par le mol abacus.

On ne trouve, après Boèce, qu'un seul auteur ancien, Bède, qui ait appelé mensa pythagorica seu abacus mtmerandi, une table de multiplication, beaucoup plus étendue que celle dont nous faisons usage. Mais il faut vérifier si ce double titre esl bien dans les manuscrits de Bède, surtout dans les plus anciens.

5° Le mot abacus esl employé dans la lettre et dans le Traité De numerorum divisione^ attribués à Gerberl, et là évidemment il ne désigne pas la table de multiplication, mais

bien \o nouveau système de numération que l'auteur expose. Or, comme nous l'avons dit dans une note précédente, ce système est absolument le même que celui de iJoèce; nous devons donc en conclure que, dans Boèce aussi, le mot abacus a une signification particulière, qui se rapporte à ce système.

Nous supposerons que Boèce s'est servi de ce mot abacus (sous-entendant peut-être pylhagorkus) pour désigner le tableau propre à faire les calculs, dans le nouveau système de numération; et qu'un écrivain postérieur, tel qye Gerberl, a donné ce nom au système lui-même.

Cette conjecture semble confirmée par l'opinion que Wallis a fondée sur de nombreux documents historiques, savoir : que le mot abacus, dans le Moyen âge et à la Renaissance, a été employé comme synonyme de algorismus [De Atgebrà tractalus, pag. 16); que l'un et l'autre ont toujours désigné la pratique des nombres par les chiffres arabes, c'est-à-dire notre système de numération < [ibitl.^ pag, 19); et que, dans quelque auteur où l'on trouvera le mot algorismus, on pourra conclure, avec certitude, que ces chiffres étaient connus au temps de cet écrivain *.

Le passage de la Géométrie de Boèce, et le Traité de numerorum divisione, attribué à Gerbert, sont jusqu'ici les seuls monuments anciens de notre système de numération, qui nous soient connus. Nous en avons trouvé un troisième, à la suite de la Géométrie de Boèce, dans le manuscrit du XI' siècle, dont nous avons parlé. Nous ferons connaître cette pièce dans un autre écrit. Elle confirmera, croyons-nous, le sens que nous avons donné au passage de Boèce. Les neuf chiffres y ont les noms igin, andras, etc.; et leurs valeurs, c'est-à-dire les nombres qu'ils expriment, sont indiqués par neuf vers que voici :

Ordine primigeno ' nomen possidet /gin.

Andras ecce locum previndicat ipse secundum. Ormis post numerus non composilus sibi primus.

' Nous voyons qu'en effet, au commencement du XIII" siècle, Fibonacci appelle son Traité d'Arithmétique Liber abbaci.

Un siècle après, un autre auteur italien, Paolo di Dagomari, qui eut de la célébrité comme géomètre, astronome et littérateur, était surnommé Paolo deW abbaco, c'est-à-dire Paul de r Arithmétique, k cause de sa grande habileté dans la science des calculs.

A la fin du XV» siècle, Lucas Paccioli dit que notre système d'Arithmétique a été appelé ab(UU8, pour dire, à la manière des Arabes, muodo arabica; mais que, suivant d'autres, ce mot dérive d'un mol grec (Somma de Arithmetica. Distinclio ia; de numeratione.)

Un ouvrage du même temps, de Fr. Pellos, a pour titre : Sen segue de la art de arithmeticha, e semblanlment

de jeumetria dich ho nonimat compendion de lo abaco complida es la opéra per Fr. Pellos Impresso in

Thaurino, lo présent compendion de Abaco per 1492

Enfin Cliclhovée, au commencement du XVI« siècle,appelie son Traité d'Arithmétique, Praxis numerandi quem abacum dicunt, et y joint un Traité semblable, d'un auteur.ancieu qui lui est inconnu, et qu'il intitule : Opusculum de Praxi numerorum quod algorismum vocanl. Ce qui prouve bien qu'au temps de Clictbovée, abacus et algorismus étaient synonymes et s'appliquaient à notre système de numération, comme l'a pensé Wallis.

* El ubicunque in scriplore aliquo Algorismi nomen reperitur,ccrlo concludas figuras hasce eâ œlate fuisse cognitas (de algebra tractatus, pag. 12). ' loi se trouve un blanc dans le manuscrit. Le mot sibi conviendrait.

Denique bis binos succedens indicat Arbas. Significat quinos ficto de nomine Quimas. Sexta tenet Calcis perfecto munere gaudens. Zenis enim digne septeno fulget honore.

Octo beatificos Tcmenias exprimil unus.

Hinc sequitur Sipos est qui rota namque vocatur*.

Nous ne nous sommes occupe, dans cette Note, que de rechercher la vraie signification du passage de Boèce, et de fixer notre opinion sur la question de savoir s'il se rapportait à notre système de numération. Mais ce passage a donné lieu à une autre question, qui est même celle qui a été le plus souvent discutée : c'est de savoir si, comme le dit Boèce, ce système a été connu des pythagoriciens. Plusieurs écrivains l'ont pensé ^\ mais le plus grand nombre n'ont pu admettre que les Grecs aient possédé un système de numération supérieur au leur, et dont ils auraient méconnu l'excellence au point de le laisser se perdre dans l'oubli. Celte objection est grave; et Montucla, pour y répondre, suppose qu'il s'agit des Grecs d'un temps rapproché, où le savoir et l'amour des sciences étaient déjà sur leur déclin. Cette supposition est plausible; mais est-il bien nécessaire d'y avoir recours? Nous pensons que Montucla ne la faite que parce que l'on s'exagère, en général, la différence qu'il y a entre le système de numération des Grecs et celui des Indiens, et la difficulté prétendue d'opérer dans le premier. Il nous semble qu'au contraire, les deux systèmes diffèrent très peu l'un de l'autre. Tous deux ont pour base la progression décuple, et expriment un nombre quelconque de la même manière, par unités, dizaines, centaines, mille, etc., au moyen des neuf nombres radicaux et générateurs : un, deux,

trois, , neuf, qui forment l'ordre des unités, et servent à former l'ordre des dizaines,

des centaines, des mille, etc. En un mot, les deux systèmes de numération reposent, l'un et l'autre, sur la même formule suivante, qui exprime la composition d'un nombre quelconque :

N = A.40' + B.10'-*-+- C.lO'^'-t- --t-E.dO' h- F,

où chacun des nombres générateurs : A, B, C , E, F, est l'un quelconque des neuf

premiers : un, deux, trois, , 7ieuf.

* Ce dernier vers s'applique ici au chiffre 9. Néanmoins, dans la suite de l'écrit, le 9 est appelé celentis. Quelle est la raison de ce double nom, sipos et celentis, qui se trouve aussi, comme nous l'avons vu ci-dessus, dans le manuscrit de Boèce?

Dans ce nouvel écrit on remarque, à la suite des neuf chiffres, comme aussi dans celui de Boèce, un rond, qui représente sans doute le zéro. Le mot sipos, dans le principe, u'aurait-il pas été destiné à cette dixième figure, à laquelle il convient bien? Alors il manquerait ici un vers pour le chiffre 9, celentis.

Nous soumettons ces questions aux lecteurs à qui la connaissance de l'hébreu pourra en faciliter la solution.

* Conrad Dasypodius, Isaac Vossius, Huet, Dom Calmet, Edouard Bernard, Weidler, Jean Ward, Bayer, Villoison, Montucla.

lia paru en Italie, au commencement de ce siècle, une nouvelle dissertation sur la question qui nous occupe; elle a pour litre iMemorie sulle cifre arabiche. Milan, 1813, grand in-4". Nous ne nous sommes pas encore procuré cet écrit.

INOTES. 475

Quelle esl donc la différence réelle entre les deux systèmes de numération? C'est qu'après avoir représenté, dans l'un et l'autre, les neuf nombres de l'ordre des unités par neuf caractères particuliers, les Grecs représentent les neuf nombres de chacun des ordres suivants par d'autres caractères différents, tandis que les Indiens les représentent par les neuf premiers caractères eux-mêmes, dont les valeurs diverses sont différentiées et indiquées par les places qu'ils occupent : et comme ces places sont les mômes dans les deux systèmes, on voit que les calculs ne doivent point être plus difliciles dans l'un que dans l'autre, et qu'ainsi, il n'y avait pas de raison bien majeure pour substituer le système indien, quoique plus savant et plus complet, au système grec; substitution qui aurait pu se faire entre les mathématiciens, mais qu'il n'aurait pas été facile d'imposer à tout un peuple. On en trouve la preuve chez les Romains, dont le système de numération rendait les calculs extrêmement pénibles, et qui néanmoins l'ont conservé, quoiqu'ils connussent celui des Grecs, qui lui était infiniment supérieur.

Une objection qui, au premier abord, paraît très forte contre l'opinion de ceux qui pensent que les Grecs ont connu le système indien, c'est que, dans le leur, ils n'avaient pas de moyen pour exprimer de très grands nombres (ils s'arrêtaient à quatre-vingt-dix-neuf millions), et qu'Archimède a écrit un livre des Principes, pour remédier à ce défaut, et s'est servi, dans son Arénaire, du moyen qu'il avait imaginé. Si, dans l'école de Pythagore, dit-on, on avait possédé le système indien, Archimède l'eût connu, et n'aurait pas eu besoin de chercher les moyens d'exprimer de grands nombres, puisqu'il lui aurait suffi de proposer ce système. Sans doute, si Archimède avait voulu créer un nouveau système de numération, on en conclurait qu'il ne connaissait pas celui des Indiens; mais tel n'a point été son but : il n'a voulu que trouver le moyen d'exprimer de grands nombres, dans le système même" des Grecs. Qu'a-t-il fait pour cela? Il a appliqué à ce système, à partir de la limite où il cessait de satisfaire aux besoins du calcul, le système indien, c'est-à-dire la valeur de position des chiffres. Est-ce là une preuve qu'Archimède ignorait ce système indien? Peut-on dire même qu'il n'en avait pas parlé dans son livre des Principes, qui ne nous esl pas parvenu, et qui roulait sur la numération, et appliquait, au système des Grecs, le principe des valeurs de position des chiffres? Dans son Arénaire, il n'a point eu à entrer dans les détails qui se seront trouvés dans les Principes, parce que cet ouvrage n'avait pas pour objet d'exprimer de grands nombres, comme on paraît le croire quelquefois ; il avait pour objet uniquement de calculer le nombre des grains de sable qui se trouveraient dans la sphère décrite du Soleil comme centre et embrassant les étoiles fixes. Et, ce nombre calculé, il voulait l'exprimer dans le système de numération des Grecs. C'est pour cela qu'il propose de donner, aux chiffres placés au delà de la huitième colonne, des valeurs de position qui étaient les mêmes que dans le système indien.

Le peu de documents qui nous restent, ne nous disent pas comment se faisait la fixation de ce point à partir duquel les chiffres avaient une valeur de position. Était-ce par un signe particulier? Ou bien fallait-il que les huit premières colonnes fussent en nombre complet? Ce qui aurait introduit dans le système grec la considération du zéro, sous une forme quelconque, telle qu'un point, un vide ou une colonne. On sait, du reste, que le zéro était

connu des Grecs, et qu'il leur servait à marquer l'absence de degrés ou de minutes, etc., dans leurs calculs des fractions sexagésimales '.

Toutes ces considérations n'étaient pas au-dessus du génie d'Archimède; mais rien, ce nous semble, ne doit nous autoriser à dire qu'il n'a pas pu en puiser le principe dans la connaissance du système indien; ou bien que, s'il avait connu ce système, il eût fait autrement dans son Arénaire.

Mais Apollonius, dira-t-on, s'est occupé aussi, après Archimède, de perfectionner le système de numération des Grecs : il a réduit à quatre colonnes les octades ou tranches de huit colonnes d'Archimède; s'il eût connu le système indien, il aurait appliqué, à partir de la deuxième colonne, le principe de valeur de position, qu'il appliquait à la cinquième.

Mais, pour juger le travail d'Apollonius, qui ne nous est point parvenu, et dont le résultat seul nous est connu par des fragments de Pappus, il faut rechercher pourquoi il s'est fixé à quatre colonnes, plutôt qu'à trois ou à cinq. La raison nous paraît être celle-ci: c'est que les Grecs avaient trente-six chiffres pour exprimer tous les nombres composés de quatre colonnes, tels que 2554. Les vingt-sept premiers chiffres étaient des lettres différentes de leur alphabet ; et les neuf suivantes, qui exprimaient les mille, étaient les neuf chiffres des unités, marqués d'un iota, ou d'un accent. C'étaient ces trente-six mêmes chiffres qui leur servaient à exprimer les nombres au delà des simples mille, jusqu'à la huitième colonne exclusivement; et, à partir de la cinquième colonne, ces chiffres représentaient des myriades, et on plaçait au-dessus d'eux la lettre m, ou bien après eux, et avant la quatrième colonne, les lettres mu pour désigner ces myriades. Ces signes étaient embarrassants, compliquaient les calculs, et pouvaient faire naître des erreurs; et Apollonius a voulu les supprimer. C'est ce qu'il a fait en imaginant les tranches de quatre colonnes, et en leur donnant des valeurs de position.

Nous voyons, dans cette idée d'Apollonius, de même que dans celle d'Archimède, l'intention de conserver religieusement les caractères employés par les Grecs, avec leur signification, et de les approprier à l'expression de tous les nombres possibles. Et nous voyons que ces deux grands géomètres sont parvenus à leur but de la manière la plus heureuse, en attribuant à ces caractères des valeurs de position, suivant le principe même de la numération indienne.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien?

SUR UN PASSAGE DE LA GÉOMÉTRIE DE BOÊCE, RELATIF AU PENTAGONE DE SECONDE ESPÈCE. — ORIGINE ET DÉVELOPPEMENT DES POLYGONES ÉTOILES.

Boèce, dans le premier livre de sa Géométrie, qui est une traduction de propositions prises des quatre premiers livres d'Euclide, ne donne, pour chaque théorème ou problème, que son énoncé et la figure qui s'y rapporte.

Sa dernière proposition, prised'Euclide, est le problème d'inscrire, à un cercle, un penta-

' Voir le Mémoire de M. Delambre, sur l'Arithmétique des Grecs.

gone régulier (proposilion 11* du 4* livre d'Euclide). Après l'énoncé de celle question, se trouve, suivant l'usage, la figure qui s'y rapporte, et cette (igure a cela de remarquable qu'elle présente à la fois le pentagone ordinaire et le pentagone étoile, ou de seconde espèce.

De plus, après celte figure se trouve une explication qu'on ne rencontrait pas à la suite des autres propositions, et qui nous a paru avoir pour objet de justifier celte double figure, ou plutôt ce nouveau pentagone, présenté comme répondant au problème proposé.

Comme ce passage de Boèce est assez dilficile à comprendre, et que nous pouvons très bien nous tromper dans la signification que nous lui donnons, nous allons le rapporter ici, en suivant le texte d'un manuscrit beaucoup plus correct que l'édition de Bàle (1570).

« Intra datum circulum, quinquanguliim quod est œquilaterum atque œtquiangulum » designare non disconvenit. »

Ici se trouve la figure qui répond à !a question, et l'auteur ajoute :

« Nam omnia quœcumque sunl numerorum ralione suâ constant; et proportionaliler » alii ex aliis constituuntur. Circumferentiœ œqualitate muUiplicationibus suis quidem » excedentes ; atque altemalim portionibus suis termimim facientes. »

Il faut inscrire dans le cercle un pentagone équilatéral et équiangle.

La figure qui répond à la question présente deux pentagones, dont l'un est de forme nouvelle, et diffère, par conséquent, du pentagone ordinaire. Boèce le justifie ainsi :

Car tout ce qui est exprimé en nombres a lieu par la propre raison des nombres ; et ceux-ci se déduisent proportionnellement les uns des autres.

Les arcs * deviennent plus grands d'une quantité égale à eux-mêmes, par leur doublement, et leurs cordes ^, prises de deux en deux, forment le périmètre^ de la figure.

Si celle traduction du texte de Boèce est admissible, elle nous paraît répondre à la construction du pentagone étoile. En effet, soient A, B, C, D, E les cinq sommets du pentagone régulier ordinaire. Les arcs que sous-lendent ses côtes sont AB, BC, CD, DE, EA. Qu'on les double, ils deviennent ABC, BCD, CDE, DEA, EAB ; et les cordes de ceux-ci sont AC, BD, CE, DA, EB. Qu'on prenne ces cordes de deux en deux, on a AC, CE, EB, BD, DA : considérées dans cet ordre, ces cordes forment le pentagone étoile.

• Circumferenlia est, dans plusieurs autres passages de Boèce, la dénomination des arcs du cercle.

' Nous traduisons proporlionibus par le mol cordes, parce que portio est la dénominalion du segment de cercle, qui n'en avait point d'autre chez les Latins. (Porlin circuit est figura quœ suh rcctd et circuli circumffrenlid continetur.) El ici nous supposons que Boèce a pris le tout pour la partie, c'esl-à-dire le segment pour sa corde, parce que le mot corde n'avait pas alors de dénominalion simple : on disait linea inscripta.

* Les Latins appelaient terminus l'extrémilé d'une ligne, et le périmètre d'un polygone ou d'une figure quelconque (Figura est quod sub aliquo vel aliquibus termijus continetur. Définition de Boèce).

Du reste, on ne doit peut-être pas s'étonner de trouver dans Boèce cette figure ; car il paraît, comme nous allons le montrer ci-dessous, qu'elle a été connue dans l'Antiquité, particulièrement de P^-thagorc ; de plus, on la retrouve, au XIIP siècle, dans le commentaire de Campanus sur Euclide ; et pendant trois ou quatre cents ans, la théorie des polygones étoiles, qu'on appelait alors polygones égrédiens, a été cultivée et avait même pris de l'extension. Mais cette théorie, depuis, s'est perdue et est restée ignorée parce que, sans le concours de l'Analyse algébrique, elle n'offrait qu'un intérêt de curiosité et n'apportait aucune utilité réelle en Géométrie. Mais l'illustre géomètre qui l'a créée de nouveau, au commencement de ce siècle, et dont elle porte le nom, lui a donné une importance qu'elle ne peut plus perdre, en montrant son véritable caractère scientifique, et le lien analytique qui l'unit nécessairement, et d'une manière indissoluble, aux polygones anciens*.

Néanmoins cette théorie peut faire honneur au Moyen âge, où l'on a si rarement l'occasion de signaler quelques traces de génie et quelques germes d'innovations fécondes. C'est pourquoi nous allons rapporter ce que nous avons trouvé, à ce sujet, dans l'histoire d'une époque dont il nous reste de trop rares documents.

Mais disons d'abord sur quelle autorité nous avons avancé que le pentagone étoile avait été considéré dans l'Antiquité, particulièrement par Pythagore.

Nous trouvons dans V Encyclopédie d'Alstedius 2, au 15* livre, qui traite de la Géométrie, immédiatement après la construction du pentagone régulier ordinaire, le passage suivant :

« Pentagonum etiam ita scribitur, et à superstitiosis notatur hoc nomine iesus. »

(Ici se trouve figuré le pentagone éloilé, avec les lettres i,€, s, w, s, placées à ses cinq sommets.)

« Si pentagono ita constructo addas lineam ex snperiori angulo in oppositum angu- » lum ductam, fiel illa figura, quam vocant sanitatem Pythagorae ; quia Pylhagoras, » hac figura deleclaliis, adscribebat singulis prominentibus angulis has quinque litteras » u, y, t., 6, a. Germani vocant ein Trudenfus : quia sacerdotes veteres Germanorum et » Gallorum vocabantur Druidœ : qui dicinlur calacos (peut-être calceos) hujus figurœ » g estasse. »

Kircher, dans son Arithmologia ^ (pars V, De Magicis amuletis), parle, dans le même sens, du pentagone étoile, qu'il s^ppeWe penthalpha, parce que deux côtés contigus forment, avec un autre côté qui les coupe, la lettre A. Il désigne ses sommets par les lettres u, y, t, 0, a. Voici le passage de cet auteur : « In quitus (sigillis magicis) nil frequentius occurrit, » quâm penlalpha et hexalpha ; est autem pentalpha nil aliud, quâm linearis figura in » quinque A diductum, quibus Grœci uyi.9a, id est salutem et sanitatem exprimebant ; que

* Voir article 15 du Mémoire sur les polygones et les polyèdres; par M. Poinsot {Journal de l'École polytechnique; X" Cahier, tom. IV.)

* Encyclopœdia universa. Herbonae, 1620, in-4«. — Item secunda aucta, ibid., 1630, in-fol., 2 vol. - Item Lugduni, 1649, in-fol., 2 vol.

•> Jrilhviologia,sive de abdilis numerorum mysteriis, quâ origo, antiquitas, el fabrica numerorum exponitur, etc. Romae, 1665, in-4».

» Antiochum vexillo imposilo, jussu Alexandri in somno appaientis, mox admirabilem à » Galatis victoriam reportasse M agi fingunt, eoque lanquam summœ felicilatis symbolo in » suis nugamentis utuntur. »

Ensuite Kircher rapporte plusieurs circonstances mystérieuses où l'on faisait usage du pentalpha.

Au XVI* siècle, le fameux alchimiste Paracelse a encore regardé l'étoile pentagonale comme l'emblème de la santé *.

Nous voyons, dans la Bibliothèque mathématique de Murhard, que le savant professeur Kàslner a traité du pentalpha et de Vhexalpha, dans ses Recueils de Géométrie {Geometrische Abhandlungen. Esrte Sammlung, Anwendungen der ebenen Géométrie und Trigonométrie. Gôttingen, 1790, in-S").

Passons à la théorie proprement dite des polygones étoiles.

Nous en trouvons les premiers germes dans les commentaires que Campanus, géomètre du Xill* siècle, a joints à sa traduction des Éléments d'Euclide, faite sur un texte arabe, et la première qui ait paru en Europe. Au sujet de la trente-deuxième proposition du premier livre, qui dit que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, Campanus a présenté le pentagone étoile comme exemple d'un polygone jouissant aussi de cette propriété du triangle, d'avoir la somme de ses angles égale à deux droits. Cette proposition a été reproduite dans les éditions de TEuclide de Zamberti, où se trouvent, avec les commentaires de ce géomètre, ceux de Campanus 2; et divers autres auteurs en ont fait usage dans leurs propres commentaires sur les Éléments d'Euclide; tels sont Lucas di Borgo ^ Peletier ^ et Clavius ^. Ramus, dans ses Scholœ mathematicœ *>, livre 9, a aussi cité le pentagone étoile, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, dont les angles ont leur somme égale à deux droits ^.

Mais tous ces géomètres se sont bornés, comme Boèce et Campanus, à la considération du pentagone étoile, sans faire entrevoir la théorie à laquelle ce genre de figures pouvait donner lieu. Nous trouvons que c'est un écrivain du commencement du XIV' siècle, Brad-

* « .... Stellam penlagonicam, seu Germanico idiomate pedem Truttœ, Theophrasto Paraceiso signum sanitatis. (Kepler, Harmonices Af und«, liber secundus, pag. 60.)

* Les Commentaires de Campanus ont été imprimés seuls en 1482 et 1491 ; puis, avec les Commentaires de Zamberti, en 1505, 1516, 1557, 1546.

5 Euclidis opéra a Campano interprète (idissimo translata. Lucas Paciolus, theologus insignis, altissima mathematicarum disciplinarum scientia rarissimus judicio casiigatissimo detersit, emendavit, etc. Veneliis, 1509, in-fol.

* Detnonslralioiium in Euclidis Elementa Geometrica, libri sex- Lyon, 1557, iii-B». llem, 1610, in-4o. — Les six premiers livres des Éléments géométriques d'Euclide, avec les démonstrations de Jacques Peletier, du Mans. Genève, 1628, in-8».

5 Euclidis elemenlorum, libri XV; accessit XVI de solidorum regularium comparatione, etc. Romse, 1574, in-B». A eu de nombreuses éditions.

6 Scholarum mathematicarum, libri XXXI, Francf., 1559,in-4». - Item, Basiicae, 1569. - Item, Francf., 1599. — Item, ibid., 1627.

' Sic quinquangulum è continuatis ordinatis quinquanguH lateribus factum œquat quinque interiores angulos duobus rectis.

wardin, qui, le premier, a étendu la théorie du pentagone étoile aux polygones d'un plus grand nombre de côiés, et qui a fondé la véritable doctrine des polygones étoiles.

L'ouvrage dans lequel nous la trouvons, a pour titre : Geometria speculativa Thome Bravardini, recoligens omnes conclusiones geomelricas studentibus arlium, et philosophiœ ArisloleliSy valde necessarias, simiil cum quodam tractattide quadraturâ circuli ; noviter edilio. Parisiis, apud Reginaldum Chauldiere, in-fol., vingt feuilles, sans date. La première édition de cette Géométrie était de 1496 ' ; plusieurs autres ont paru en 1505, 1508, etc. 2. Nous ne connaissons que celle que nous venons de citer.

Après avoir traité des polygones réguliers ordinaires, qu'il appelle figures simples, Bradwardin consacre un chapitre aux polygones étoiles, qu'il nomme figures à angles égrédients. il dit que ces polygones sont formés par le prolongement des côtés d'un polygone simple, jusqu'à leur rencontre deux à deux; et il ajoute qu'il n'a pas vu qu'il ait été parlé de ces nouvelles figures par d'autres géomètres que par Campanus, qui en a traité en peu de mots et accidentellement.

Voici l'analyse de celte partie de l'ouvrage de Bradwardin.

Le pentagone est la première figure à angles égrédients. La somme de ses angles est égale à deux droits. La somme des angles des autres polygones à angles égrédients va en augmentant de deux droits, comme dans l'ordre des figures simples.

Cela s'accorde avec la formule S = 2(m — 4), qui donne la somme des angles du polygone égrédient, de m côtés.

Les polygones égrédients du premier ordre donnent lieu, par le prolongement de leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux, aux polygones égrédients du second ordre; comme les polygones simples ont formé les polygones égrédients du premier ordre.

L'heptagone est la première figure à angles égrédients, du second ordre; il provient de l'heptagone à angles égrédients du premier ordre; celui-ci est la troisième figure du premier ordre.

Pareillement le pentagone égrédient, première figure du premier ordre, avait été formé du pentagone simple, troisième ligure de l'ordre des polygones simples. Cette analogie conduit Bradwardin à énoncer ce principe général : la première figure d'un ordre est formée par le prolongement des côtés de la troisième figure de Vordre précédent.

Enfin l'auteur termine en disant qu'il serait trop long de parler des angles de ces figures; mais qu'il croit, sans pouvoir l'assurer, que la première ligure de chaque ordre a la somme de ses angles égale à deux droits, et que, dans les autres figures, cette somme va en augmentant toujours de deux droits, en passant d'une figure à la figure suivante.

Les figures, représentées en marge de l'ouvrage, sont le pentagone, l'hexagone, l'heptagone et l'octogone du premier ordre; l'heptagone, l'octogone et le nonagone du second ordre, et enfin le nonagone, le décagone et le dodécagone du troisième ordre.

Deux siècles après Bradwardin, Charles de Bouvelles, dont on ne cite ordinairement qu'une prétendue solution de la quadrature du cercle, a reproduit, dans diverses éditions

• Heilbronncr, Historia Matheseos, pag. 5-23.

* Monlucla, fiisto're des Mathématiques, tom. ('"'', pag. .'i73.

d'un Traité de Géomélrie », la théorie des polygones égrédienls; mais moins complètement que n^avail fait Bradwardin. On trouve, dans son ouvrage : le pentagone égrédient, qu'il a appelé aussi saillant, et dont il prouve que la somme des cinq angles est égale à deux droits; l'hexagone égrédient, composé de deux triangles; l'Jieptagone égrédient, provenant du prolongement des côtés de l'heptagone ordinaire; l'heptagone plus égrédient, formé par le prolongement des côtés de l'heptagone égrédient, et dans lequel l'auteur prouve que la somme des angles est égale à deux droits.

On a fait mention de cette théorie dans l'extrait de la Géométrie de Bouvelles, inséré dans les Appendices de la Margarita philosophica ^^

Ces premières notions sur la théorie des polygones étoiles ont passé inaperçues dans les nombreuses éditions de cet ouvrage, comme dans celles de la Géométrie de Bouvelles, dont on n'a parlé qu'au sujet et sous l'inspiration d'une fausse solution de l'inscription de l'heptagone régulier au cercle, et d'une prétendue quadrature du cercle, empruntée du cardinal Nicolas De Cusa.

On trouve, dans les figures de la Perspective de Daniel Barbaro ^, le pentagone, l'hexagone et les deux heptagones étoiles. Mais il ne paraît pas que l'auteur ait eu l'intention de produireces nouveaux polygones; il a voulu seulement montrer que les polygones réguliers ordinaires donnent lieu, de deux manières, à d'autres polygones qui leur sont semblables. La première est de prolonger leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux (comme pour former le polygone de seconde espèce) : les points de rencontre sont les sommets d'un second polygone, semblable au proposé. La seconde manière est de tirer toutes les diagonales allant de chaque sommet an deuxième ou au troisième sommet après lui; elles forment, par leurs intersections, un autre polygone, semblable aussi au proposé. Mais, dans ces deux modes de construction, on forme aussi un polygone étoile, qui se trouve être la partie la plus remarquable de la figure.

Kircher, que nous avons cité déjà ci-dessns au sujet du pentalpha et de Y hexalpha, 2l fait usage, dans un autre ouvrage ^ de l'heptagone du second ordre (ou troisième espèce) pour rendre sensible l'explication comprise dans un passage remarquable de Dion Cassius, au sujet des sept jours de la semaine, que les Égyptiens ont consacrés aux dieux dont les sept planètes portaient le nom. Ces planètes étaient, dans l'ordre de leurs distances à la Terre ; Saturne, Jupiter, Mars, le Soleil, Vénus, Mercure et la Lune. Kircher les suppose

* Geomelriœ introductionis libri sex, breviscuHs annotalionibus explanali, quitus annectuntur libelli de circuli quadralttrâ, et de cubicalione splierœ, et introductio in perspeclivam Caroli Bovilli. Paris, 1303, in-fol.

Cet ouvrage, moins Vintroductio in perspeclivam, a élé reproduit en français, sous le titre : Livre singulier et utile, touchant l'art et pratique de Géométrie, composé nouvellement en français, par maître Charles de Bouvelles, chanoine de Noyon. Paris, 1342, in-i". D'autres éditions ont paru en 1347, 1331, 1537 et 1608.

Bouvelles a composé beaucoup d'autres ouvrages, oii il s'est moairé philosophe, théologien, historien, orateur, poète et canonisle.

* Pag. 1231, 1233 et 1233 de l'édition de 1533. » Pentagonus uniformis dicitur, cujus latera non se muluo intercidunt. Egrediens verô, cùm ejus latera se invicem sécant Hcxagonus.... »

* La pralica délia perspettiva di monsignor Daniel Barbaro, Venise, 1369, in-fol.

* Ars magna lucis et umbrœ in decem libros digesta. Romae, 1646, in-fol., pag. 217 et 337.

rangées dans cet ordre, sur une circonférence de cercle ; et, eu passant successivement de la première à la quatrième, de la quatrième à la septième, de celle-ci à la troisième, etc., il trace une figure qu'il appelle heptagone (c'est l'heptagone de troisième espèce), dont les sommets consécutifs désignent les sept jours de la semaine, dans leur ordre naturel. Ainsi Saturne répond au samedi, le Soleil au dimanche, la Lune à lundi, Mars à mardi, Mercure à mercredi, Jupiter à jeudi et Vénus à vendredi. La formation de cet heptagone, dit Kircher, est une belle propriété du nombre sept.

Les ouvrages dont nous avons parlé jusqu'ici, bien que leurs auteurs aient joui d'une certaine célébrité, ne sont plus guère connus depuis longtemps; parce qu'en effet ils ne se recommandaient point par ces productions du génie qui immortalisent les œuvres et leurs auteurs, où l'on aime à rechercher encore, après des siècles, les pensées des inventeurs et les traces de leurs efforts. Il n'y a donc rien d'étonnant que le polygone de Boèce, celui de Campanus, et la théorie de Bradwardin, soient inconnus aujourd'hui. Mais nous avons à citer maintenant, dans l'histoire de cette théorie, un nom célèbre, un ouvrage mémorable, une de ces découvertes rares qui font la gloire des temps modernes, enfin des considérations analytiques qui, il y a deux siècles, auraient dû faire une impression profonde sur l'esprit des géomètres. Mais Kepler a devancé son siècle; car c'est de lui qu'il s'agit, et de l'ouvrage de VHarmonique du monde *, et de la belle proposition sur le rapport des carrés des temps des révolutions aux cubes des distances au Soleil, et de cette autre, d'un genre tout différent, qu'une même équation détermine les diverses espèces de polygones d'un même nombre de côtés. On observera sans doute, aujourd'hui, qu'aucune conception nouvelle ne s'était jamais présentée dans des circonstances en apparence plus favorables pour assurer rapidememt à l'auteur une gloire durable. Cependant la savante théorie de Kepler est tombée dans l'oubli; et, de son livre immortel, il n'est resté que l'énoncé de sa grande loi des mouvements des corps célestes; encore a-t-elle été méconnue et peut-être dédaignée par ses contemporains, parmi lesquels on nomme à regret et Descartes et Galilée ; encore a-t-il fallu que, près de quatre-vingts ans plus lard. Newton l'expliquât, la fît comprendre et lui donnât la vie ^I La théorie des polygones, qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée ; la simple curiosité ne s'en est pas mêlée; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Bailly, précisément au sujet des lois de Kepler : <î C'est donc en vain qu'on découvre des vérités; on parle à ses contemporains, ils n'écoutent pas! » Non, ce n'est pas en vain : mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir.

' Harmonices Mundi libri V. Lincii Austriae; 1619, in-fol.

' Kepler a prévu, en quelque sorte, que les découvertes qui lui avaient coûté dix-sept ans de travail, et de travail continu, ne seraient comprises qu'après un long intervalle de temps :

« Le sort en est jeté, dit ce grand homme, avec l'accent de l'enthousiasme, j'écris un livre qui sera lu par « ceux de l'âge présent ou par la postérité, il n'importe : qu'il attende son lecteur pendant cent ans ; Dieu n'a-l-il » pas attendu six mille ans le contemplateur de ses œuvres? » Jacio in aleam, librumque scribo, seu prœsentibus, seu posteris legendum; nihil interest : expectat ille suum leclorem per annos centum; si Deus ipse per annorum sexa millia conlemplatorem prœstolalus est! Harmonices Mundi, liber V; pag. 179.)

JNOTES. 483

L'ouvrage de Kepler est en cinq livres. Le premier, qui a pour litre : De figyrarum regnlarium, quœ proporliones harmonicas pariunt, orlu, classibus, ordine et dijferenliis, causé scientiœ et demonslrationis, est consacré à la théorie générale des figures régulières, et comprend en particulier celle des polygones étoiles '.

Dans le préambule, Kepler reproche à Ramus d'avoir critiqué le 10* livre d'Euclide, et d'avoir voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des polygones réguliers qui ne sont pas géométriquement inscriptibles au cercle, et en montrant ce qui les distingue de ceux qu'on sait inscrire. Il promet d'écrire sur cette partie de la Géométrie en philosophe, et d'une manière plus claire, plus aisée et plus populaire qu'on ne l'a fait jusqu'alors.

Ce livre commence par de nombreuses définitions, indispensables pour comprendre l'ouvrage, mais dont nous ne rapporterons ici que les deux ou trois suivantes.

Les figures régulières sont celles qui ont leurs côtés égaux et leurs angles égaux.

On les distingue en deux classes. Les unes sont primaires et radicales : ce sont les polygones réguliers ordinaires; et les autres sont éloilées; celles-ci sont Ibrmées par les prolongements des côtés d'une figure radicale.

Inscrire une figure au cercle, c'est déterminer, par une construction géométrique (c'est-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport de son côté au diamètre du cercle.

Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du 10* livre d'Euclide, dont il se servira. Et il commence, à la Proposition 55, à traiter des différents polygones réguliers. Il considère d'abord ceux qui sont géométriquement inscriptibles au cercle.

On remarque, quant aux polygones étoiles, le pentagone de seconde espèce, l'octogone et le décagone de troisième espèce, le dodécagone de troisième et de cinquième espèce, les penlédécagones de deuxième, quatrième et septième espèce, et l'étoile de vingt-quatre côtés, de cinquième, septième et onzième espèce.

Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement, il démontre que l'heptagone ordinaire et ses deux étoiles sont de ce nombre. Alors il a recours à l'Analyse, pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile, et de ne rien lui apprendre. Ce passage contient plusieurs aperçus analytiques qui auraient dû préserver l'ouvrage de l'oubli.

« On m'objectera, dit-il (pag. 34), l'art analytique, appelé Algèbre par l'Arabe Geber, ï et cossa par les italiens : car les côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir » être déterminés par cette méthode.

» Par exemple, pour l'heptagone, .Juste Byrge, qui dans ce genre a imaginé des choses » très ingénieuses et même incroyables, procède ainsi.... etc. »

Kepler cherche, par des considérations géométriques, l'expression du côté de l'heptagone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon; et il parvient à cette équation :

7 — 1 4y -+- liiij — I vj œquè valent figurœ nihili;

• Kepler ne dit pas si celte idée de polygones étoiles est de lui, ou s'il l'a empruntée de quelque ouvrage antérieur.

ou, suivant|nos symboles actuels,

OÙ X est le rapport du côté de l'heptagone au rayon du cercle.

« La valeur de la racine d'une telle équation, dit-il, est unique; car il y en a deux pour » le pentagone, trois pour l'heptagone, quatre pour le nonagone, et ainsi de suite. *

Il ajoute que (pour l'heptagone) les trois racines sont les côtés de trois heptagones différents, qu'on peut concevoir inscrits au même cercle.

Voilà l'interprétation bien nette des trois racines de l'équation qui donne le côté de l'heptagone régulier inscrit au cercle. Voilà la notion analytique qui nuit nécessairement la théorie des polygones étoiles à c'^lle des polygones des Anciens.

Kepler exprime encore, plus lom, ce même principe en des termes remarquables; car, en avouant les dllficultés que fait naître la fécondité même de l'Analyse, il reconnaît tout ce que cette méthode a de beau.

« Jusqu'ici, dit-il, le côté d'un polygone, et celui d'une étoile du même nom, avaient » eu chacun une description propre et sûre. Dans l'Analyse algébrique, ce qu'il y a surtout » d'admirable (quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre), c'est que » la chose demandée ne peut pas être donnée d'une seule manière. Mais, encore bien » que ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé » plus haut, qu'il y a autant de nombres qui satisfont à l'équation, qu'il se trouve, dans » la figure, des cordes ou des diagonales de longueurs différentes; comme dans le pen- » tagone, deux; dans l'heptagone, trois; dont un pour le côté, et les autres pour Icsdia- B gonales. C'est pourquoi, enfin, tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure » au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre. »

Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante, oij il démontre que la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc., parties, n'est pas possible géométriquement. « Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d'une propriété com- » mune à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l'une » d'elles. * »

Le second livre, intitulé : De fîgurarum regularium congruentiâ, traite encore des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe en revue les différentes manières d'assembler des polygones, soit de même espèce, soit d'espèces différentes, pour remplir exactement une surface plane, et pour former des polyèdres réguliers.

' Au milieu de ces considérations mathématiques, si justes et si profondes, on trouve quelques réflexions qui annoncent l'usage bizarre et chimérique que veut faire, de ses savantes spéculations sur les polygones, le génie de Kepler, dominé par les idées pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmographiques des nombres : tel est ce passage qui termine la Proposition 45*^ : « Il est donc prouvé que les côtés de ces » figures doivent rester inconnus, el sont de leur nature introuvables. Et il n'y a rien d'étonnant en ceci, que » ce qui ne peut se rencontrer dans l'Archétype du monde, ne puisse être exprimé dans la conformation de » ses parties. »

Ce sont de pareilles idées qui oui conduit Kepler à l'une des plus grandes découvertes que l'on ait jamais faites!

NOTES. AS\i

Le livre 3, De ortu proportionum harmonicarum, deque natnrâ et differenliis rerum ad cantum penitentium, qui ne traite que de Tharmonie musicale, est étranger à la Géométrie et à l'Astronomie.

Dans le livre 4, qui a pour titre : De configuralionibus harmonicis radiorum sideralium in Terra, eariimque effectu in ciendis Meteoris, aliisque Naluralibns, Kepler fait usage des polygones étoiles et de la valeur de leurs angles, auxquels il compare les configurations, ou dislances angulaires des planètes : ces angles correspondent à des circonstances et à des phénomènes sublunaires qui diffèrent suivant qu'ils appartiennent à tels ou tels polygones. Les configurations efficaces, celles qui sont propres à stimuler la nature sublunaire et les qualités intérieures de l'âme, sont exprimées par les angles des polygones inscriptibles géométriquement. On y trouve le carré, le triangle, le pentagone de seconde espèce, l'heptagone de troisième espèce, le décagone de troisième espèce, et le dodécagone de cinquième espèce.

Le 5* livre a pour titre : De harmonie perfectissimâ motuum cœlestiurn, ortuque ex iisdcm Excenlricitatum, semidiametrorumque et Temporum periodicorum. Kepler y compare les cinq corps réguliers aux rapports harmoniques, et cherche à y découvrir des analogies avec les mouvements des planètes. C'est dans ce 5' livre, comme l'indique le litre, que se trouve sa magnifique loi du rapport constant des carrés des temps des révo^ lutions des planètes aux cubes de leurs distances au Soleil *.

On voit, par l'analyse que nous venons de donner de l'ouvrage de Kepler, que la doctrine des polygones étoiles y joue un rôle important et nouveau, sous le rapport analytique. Cependant nous ne saurions en trouver depuis aucune trace, quoiqu'elle eût dû se présenter dans la théorie des sections angulaires, qui a occupé souvent les géomètres. Wallis particulièrement, qui, un demi-siècle seulement après Kepler, a écrit l'histoire de l'Algèbre et un Traité des Sections angulaires, n'aurait pas dû la passer sous silence. Ce Géomètre a bien vu que la seconde racine de l'équation du second degré, par laquelle on détermine

' On revient loujours, avec une sensibilité mêlée de vénération, sur les termes mêmes dont Kepler se sert pour annoncer sa grande découverte; ils expriment tout son bonheur, et toute l'importance qu'il a mise à pénétrer ce secret si caché :

« Après avoir trouvé les vraies dimensions des orbites par les observations de Brahé et par l'effort continu » d'un long travail, enfin, dit-il, enfin, j'ai découvert la proportion des temps périodiques à l'étendue de ces

* orbites;

Sera quidem retpexit inertem, Respexit tamen, et longo po$t tempore venit ;

» Et si vous voulez en savoir la date précise, c'est le 8 de mars de cette année 1618, que d'abord conçue dans » mon esprit, puis essayée maladroitement par des calculs, partant rejelée comme fausse, puis reproduite le » 15 de mai avec une nouvelle énergie, elle a surmonté les ténèbres de mon intelligence : mais si pleinement » confirmée par mon travail de dix-sept ans sur les observations de Brahé, et par mes propres médita- » tions parfaitement concordantes, que je croyais d'abord rêver et faire quelque pétition de principe :

• mais plus de doutes; c'est une proposition très certaine et très exacte, que \e rapport entre les temps » périodiques de deux planètes est précisément sesqui-altére du rapport des moyennes distances. • (Livre 5, pag. 18U.)

le côté du pentagone régulier inscrit au cercle, en donnait la diagonale ' ; mais celte interprétation géométrique de la racine étrangère ne suffisait pas ; il fallait la rapprocher de l'énoncé même de la question, pour y voir non pas seulement une diagonale, mais le côté d'un second pentagone. Cette idée, qui nous paraît si simple aujourd'hui, et qui complète la solution analytique de la question, a échappé à Bernoulii, à Euler, à Lagrange, et n'est venue que de nos jours à l'esprit d'un géomètre.

La doctrine des polygones égrédients, de Bradwardin, a été vivement combattue par un auteur du XVII* siècle, Jean Broscius, dans un ouvrage intitulé : Apologia pro Aristotele et Euclide contra P. Ramum et alios. Dantisci, 1652, in-4°. Elle n'avait rien à redouter d'aucune attaque, qui n'aurait dû servir même qu'à la propager et à en répandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet ouvrage de Broscius est peut-être le dernier qui ait traité de ces polygones, qui depuis sont tombés entièrement dans l'oubli, et qui n'ont même réveillé aucun souvenir, au commencement de ce siècle, quand M. Poinsol les a créés et remis sur la scène.

Voici ce que contient l'ouvrage de Broscius sur ces polygones.

D'abord il reprend fortement Bamus pour s'être servi du pentagone étoile, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, où la somme des angles était égale à deux droits, a Ce qui prouve, dit-il, l'ignorance de Bamus en Géométrie. Car cette figure est » un décagone qui a cinq angles rentrants et cinq angles saillants, et la somme de ces » angles est égale à seize droits. »

Broscius cite l'ouvrage de Bradwardin, et prouve qu'on peut former une infinité de figures dites à angles égrédients, de sept, neuf, onze, etc., côtés, dans lesquelles, comme dans celle de Bamus, la somme des angles soit égale à deux droits. Bradwardin n'avait fait que soupçonner cette belle proposition, sans la démontrer ; et Charles de Bouvelles ne l'avait appliquée qu'à l'heptagone égrédient de troisième espèce. Broscius va plus loin; il considère les figures de différentes espèces pour un même nombre de côtés, et donne la somme de leurs angles.

Il trouve qu'il y a trois espèces d'heptagones, y compris l'heptagone ordinaire, dans lesquels la somme des angles est 40, 6 et 2 droits ;

Trois espèces d'octogones, dans lesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits;

Six espèces de figures à quatorze angles égrédients (y compris le polygone ordinaire de quatorze côtés), dans lesquelles la somme des angles est égale à 24, 20, 16, 12, 8 et 4 droits;

Sept espèces de figures à quinze angles égrédients, dans lesquelles la somme des angles est égale à 26, 22, 18, 14, 10, 6 et 2 droits.

Ces résultats s'accordent avec la loi trouvée par M. Poinsot, d'après laquelle la somme

* Celle remarque avail déjà été faite probablement, un siècle et demi auparavant, par Stifel; car on trouve, dans son Algèbre, les expressions du côté et de la diagonale du pentagone régulier, en fonction du rayon du cercle circonscrit (voir son Arilhmetica intégra, fol. 178 v°). En supposant qu'il n'ait point obtenu ces expressions par la résolution de l'équation du second degré, leur forme a dû lui montrer que les carrés faits sur ces lignes sont les racines d'une semblable équation; car ce géomètre, très habile algébriste pour son temps, était fort exercé dans la résolution des équations du second degré.

des angles de chaque polygone est S=2 (wi— 2A), m étant le nombre de côtés du polygone, et h celui qui marque l'espèce, ou Vordre de celte figure.

Le point de vue sous lequel Broscius considère ces nouvelles figures, en les regar^Iant comme des polygones à angles saillants et rentrants alternativement, et dont les côtés ne se coupent pas, le conduit à un mode de construction nouveau de ces figures, et à une propriété curieuse d'isopérimétrie.

Prenons pour exemple un heptagone régulier ordinaire, et marquons les points milieux de ses sept côtés. Qu'autour de la droite qui joindra deux points milieux consécutifs, on fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche de l'heptagone, et que ce triangle s'applique entièrement sur la surface de la figure. Qu'on fasse tourner semblablemeni, autour de chacune des six autres droites joignant deux points milieux consécutifs, le petit triangle qu'elle retranchait de l'heptagone; tous ces petits triangles formeront, dans leurs nouvelles positions, un nouveau polygone de quatorze côtés, à angles saillants et rentrants alternativement.

Ce nouveau polygone de quatorze côtés a évidemment le même périmètre que l'heptagone proposé.

Maintenant, qu'autour de chaque droite qui joint deux sommets d'angles rentrants consécutifs, on fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche du polygone; on formera, de cette manière, un troisième polygone de quatorze côtés, ayant encore ses angles alternativement saillants et rentrants; et ce nouveau polygone aura évidemment son périmètre égal à celui du second; et, par conséquent, égal à celui du premier.

Les surfaces de ces trois polygones sont extrêmement différentes entre elles; puisque le second est intérieur au premier, et le troisième, intérieur au second.

Maintenant, on reconnaît aisément que le second polygone n'est autre que l'heptagone de seconde espèce, dans lequel les portions de ses côtés, comprises dans son intérieur, auraient été effacées; et que, pareillement, le troisième polygone n'est autre que l'heptagone de troisième espèce, dont les parties de ses côtés, comprises dans son intérieur, auraient aussi été effacées.

Voici donc une nouvelle manière de former les polygones égrédients, en les faisant dériver les uns des autres. Cette méthode méritait d'être remarquée, surtout à cause de celte circonstance singulière, que tous les polygones déduits ainsi d'un premier, quel qu'il soit, ont toujours le même périmètre.

Nous ne trouvons pas d'autre ouvrage où l'on ait parlé des polygones égrédients, jusqu'au commencement de ce siècle, où cette théorie a reparu toute nouvelle, sans que son célèbre auteur, et les géomètres qui l'ont admirée, se soient doutés du rôle qu'elle avait déjà joué pendant quatre siècles.