GÉOMÉTRIE DES ARABES

Depuis le VIII* siècle jusqu'au XlIP, l'Europe demeura plongée dans une ignorance profonde. L'amour et la culture des sciences furent concentrés, pendant ce long intervalle,

chez un seul peuple, les Arabes de Bagdad et de Cordoue. C'est à eux que nous avons dû la connaissance des ouvrages grecs qu'ils avaient traduits pour leur usage, et qu'ils nous ont transmis, longtemps avant qu'ils nous parvinssent dans leur langue originale. Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que c'était là la seule obligation que nous eussions aux Arabes; et Ton a négligé de rechercher et d'étudier leurs propres ouvrages, pensant que l'on n'y devait trouver rien d'original, ni d'étranger aux doctrines et à l'érudition grecques. C'est une erreur sur laquelle on revient aujourd'hui, surtout depuis que l'on connaît les ouvrages hindous, et qu'on sait que les Arabes y ont puisé les principes du calcul algébrique, qui les distingue essentiellement des ouvrages grecs. Mais il y a trop peu de temps que celte erreur est détruite, et les ouvrages arabes nous sont encore inconnus. Un assez grand nombre existent depuis plusieurs siècles en Europe, la plupart dans leur langue originale et quelques-uns en latin, ayant été traduits dans le XII* et le XIIl' siècle. Faisons des vœux pour que leur importance soit appréciée et pour qu'ils ne tardent pas à sortir des bibliothèques où ils sont restés enfouis : alors seulement on pourra songer à une véritable histoire scientifique des Arabes. Pour le moment, il n'est possible de réunir que quelques faits principaux et quelques données éparses, qui ne permettraient pas de juger, avec confiance, de la part que cette grande et illustre nation a prise dans l'œuvre de la propagation et du perfectionnement des sciences mathématiques, et où n'apparaîtrait pas, dans un jour suffisant, le caractère que ces sciences ont reçu du mélange des éléments grecs et hindous qui les ont constituées. Mais ce caractère se montre dans les ouvrages des Européens au XV* siècle, ouvrages imités de ceux des Arabes; et c'est là, pour le moment, que nous pourrons l'étudier et le reconnaître avec évidence.

Le goût et l'ardeur des Arabes, pour les sciences, se développèrent rapidement au VIII* siècle, où commença le règne des Abbassides. Ces princes, nobles imitateurs des Ptolémées d'Egypte, firent de Bagdad le centre de tous les talents du monde ^ Ils recueillirent avec activité toutes les lumières qu'ils purent trouver chez les nations que les successeurs du Prophète et les Ommiades avalent subjuguées. Les Arabes s'approprièrent ainsi des sciences toutes faites 2, dont ils devinrent les seuls dépositaires, quand, par suite d'une fatalité attachée à l'espèce humaine, elles déclinaient et se perdaient chez les peuples qui les avaient créées et perfectionnées pendant des siècles. Les Grecs surtout, et les Hindous ^ furent tributaires dans ce contingent scientifique. Telle est l'origine des sciences, de la Géométrie particulièrement, chez les Arabes.

Les Éléments d'Euclide paraissent être le premier ouvrage qu'ils traduisirent, sous le

• Libri, Histoire des sciences mathématiques en Italie, lom. I«%pag. 117.

* « On ne peut point douter que les Arabes n'aient eu, depuis la fondation du Khalifat et l'établissement de leur empire, une grande estime pour les arts et pour les sciences, puisqu'ils ont traduit en leur langue tous les meilleurs livres grecs, hébreux, chaldéens et indiens. » (D'Horbelot, Bihl. orientale, au mot Elm [science]).

*0n lit, dans la Bibl. orientale de D'Herbelot, au mot ketab (qui signifie Trailé), les titres d'un grand nombre d'ouvrages que les Arabes avaient traduits ou imités des ouvrages indiens, sur toutes les parties des sciences mnthi'nialifjucs et philosophiques.

règne d'Almansor, dans le VIIJ* siècle. Bientôt après on dut, aux encouragements éclairés du calife Al Mamoun (qui commença à régner à Badgad, en l'an 814), la connaissance des ouvrages d'Archimède, d'Apollonius, d'Hypsicle, de Menelaiis, de Théodose, et de TAImageste de Ptolémée.

Dès lors les progrès des Arabes dans les sciences furent rapides, et le IX* siècle compta des Géomètres habiles et d'un savoir très étendu.

Trois frères, Mohammed, Hamet et Hasen, fils de Musa ben Schaker, furent célèbres, par les traductions qu'ils donnèrent de divers ouvrages grecs et hindous, et par leurs propres écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques, dont plusieurs nous sont parvenus. Des Tables astronomiques, que Mohammed ben Musa avait dressées dans le système indien, furent longtemps célèbres dans TOrieiit. Mais un ouvrage beaucoup plus précieux et plus important à nos yeux, est son Traité d'Algèbre, le plus ancien qui fût connu jusqu'à ces derniers temps, où ceux des Hindous nous sont parvenus. C'est dans cet ouvrage que nous avons puisé nos premières connaissances algébriques, d'abord par l'entremise de Léonard de Pise, qui avait été s'instruire en Arabie, ensuite en l'ayant nous-mêmes à notre disposition, et en le traduisant au XIII* siècle. De là, on a regardé Mohammed ben Musa comme l'inventeur de l'Algèbre ', et son nom est resté, à juste titre, en grande réputation chez les Géomètres européens. Cependant son ouvrage,

• Cardan dit, au commencement de son Ars magna : Hœc ars olim à Mahomete, Mosis Arabis (ilio, initium sumpsit. Elenim Intjus rei locuples testis Leonardus Pisanus.

Il répète la même chose dans son Trailé De subtililale (liv. 16), où il place Mohammed ben Musa après Archylas, et le neuvième parmi les douze plus grands génies de la Terre. Huic Mahometus Moisis filius Arabs, Algebraticœ ul ila dicam arlis inventor, succcdit. Ob id inventum ab artis nomine cognomen adeptus est.

Tartalea attribue aussi, à Mohammed ben Musa, l'invention de l'Algèbre, qu'il appelle, dans le litre de la 11* partie du Traité général des nombres et des mesures : Anlica pratica speculativa del arle magna, delta in Jrabo Algebra et Almucabala, over regola délia casa, trovata da Maumelh, figlio de Moise arabo, la quale se puo dire la perfetta arte del calculare, etc.

On avait attribué d'abord Tinvenlion de l'Algèbre à Geber, autre Géomètre arabe. Ainsi, Slifel, célèbre algébriste allemand, contemporain de Cardan, écrit au professeur Milichius : Tuo quoque consilio usus, Algebram iquum persuasisti bonis rationibus à Gebro astronome, autore ejiis, ita esse nuncupatam) multis eœemplis illusiratum scripsi [Jrithmeiica intégra, pag. 226 v'');et appelle souvent l'Algèbre, fiegru/a Getn. Cette opinion était encore partagée au XVII* siècle {voir Kepler, Harmonices Mundi, lib. I, prop. 45); mais comme elle n'avait pas d'autre fondement que la ressemblance des mots, elle n'a pu se soutenir, surtout quand on a connu la vraie étymologie du mot Algèbre, qui provient de la double dénomination Algebv v Almocabelah, dont se servent toujours les Arabes, et qui signifie opposition et comparaison. Celte dénomination, que nous avons remplacée par le seul mot Algèbre, se rapporte assez bien aux équations, dont le mécanisme est le fondement de toute la science.

D'autres écrivains, à la tête desquels on trouve Regiomontanus et Scheubel, avaient regardé Diophante comme le premier inventeur de l'Algèbre, et cette opinion a prévalu généralement; parce qu'en effet, Diophante avait une grande antériorité sur les Arabes. Mais aujourd'hui la question de priorité est entre les Grecs et les Hindous. Brahmegupta est postérieur de deux siècles à Diophante, mais la perfection de son ouvrage annonce certainement que l'Algèbre avait déjà une existence très ancienne dans l'Inde.

Car, ainsi que le dit Peletier dans son Algèbre, c'est là une de ces choses qui, loin de devoir leur invention à un seul auteur, n'ont pris règle, forme et ordre qu'après un long temps de circuitions, d'inter missions et de continuelles exercitations d'esprit.

auquel, ne fûl-ce que par reconnaissance, étaient si légitimement dus les honneurs de l'impression, est resté manuscrit, et depuis trois siècles dans l'oubli, quand pour la première fois, en 1831, M. Rosen l'a publié en arabe et en anglais. M, Libri vient aussi de reproduire, dans le premier volume de son Histoire des sciences en Italie, l'une des traductions latines que l'on conservait à la Bibliothèque royale. Celle-ci n'est pas aussi complète que le manuscrit dont s'est servi M. Rosen. La partie géométrique, entre autres, ne s'y trouve pas.

On sait que Mohammed ben Musa avait tiré des Indiens une partie de ses connaissances mathématiques '. Nous devons penser que c'est d'eux qu'il reçut l'Algèbre. Son ouvrage présente des points de ressemblance certains avec les leurs, et nullement avec celui de Diophante. Mohammed y fait usage, comme les Indiens, de considérations géométriques, pour mettre dans tout son jour la certitude des opérations de l'Algèbre ; on distingue surtout la manière dont il démontre, par jcette méthode, les règles pour la résolution de l'équation du second degré, dont il considère trois cas 2. L'ouvrage contient

' Casiri, Bibliotheca Arabico-Hispana, pag. 427-428. — Colebrooke, Brahmegupta and Bhascara Algebra; Dissertation, pag. lxxii. — F. Rosen, Algebra of Mohammed ben Musa. Préface, p.ig. viii.

* Ces trois cas, dont l'auteur ne donne que des exemples numériques, sont exprimés par les trois équations littérales :

ax^ -^ bx — c = 0 , ax^ — bx — c = 0 , ax* — 6a; -t- c = 0.

Le quatrième cas que peut présenter l'équation générale du second degré est

ax^ -4- 6a; H- c = 0 ,

où tous les termes sont positifs. Mohammed n'en parle pas, parce que les racines, dans ce cas, sont toujours négatives.

Dans les autres équations, il ne prend que les racines positives^ et laisse de côté, comme insignifiantes, les racines négatives.

Dans la troisième, ax^ — 6a; -h c = 0, où les deux racines

x=: — ±: — yb* — iac 2a 2a

sont positives (supposé qu'elles soient réelles), Mohammed dit qu'on les calcule l'une et l'autre, mais que, dans chaque cas, il faut s'assurer qu'elles répondent à la question On essaie d'abord la première, qui provient du signe p/ws; et si elle ne convient pas, la seconde, qui provient du signe moins, conviendra cerlainemeul. ( Wlien you meet icilh an instance which refers you lo this case, Iry ils solution by addition, and if that do not serve, then subtraction cerlainly will, pag. H.)

Les Indiens admettaient aussi les deux racines, dans les cas où elles convenaient toutes deux {Bija-Ganita, §§ 150, 139), et en rejetaient une, comme absurde, dans d'autres cas (ibid., §§ 140, 141). Par exemple, dans cette question : Vombre d'un gnomon qui a 12 doigts de hauteur, étant diminuée du tiers de Vhypolénusef devient 14 doigts : quelle est Vombre? On est conduit, pour déterminer l'ombre, à une équation du second degré, dont les deux racines sont positives et égales à — et à 9. La première convient parce qu'étant plus grande que 14, elle peut, étant diminuée du tiers de l'hypoténuse, devenir égale à 14; mais la seconde, étant plus petite que 14, doit être rejetée, dit Bhascara, à cause de son absurdité {by reason of ils incongruity).

Lucas di Borgo suit en tout point Mohammed ben Musa ; il considère trois cas aussi; il donne la solution

aussi, comme ceux des Indiens, une partie géométrique sur la mesure des surfaces.

On y remarque les trois expressions y» l/lO et |J^ du rapport approché de la circonférence au diamètre, qui, comme nous l'avons dit, ont été connues des Indiens • ; et les trois nombres 15, 14 et 15 pris pour les côtés d'un triangle, que nous avons trouvés aussi dans les ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara.

L'ouvrage de Mohammed est beaucoup moins étendu que ceux-ci ; il ne traite pas comme eux des équations indéterminées du second ni du premier degré. Nous en trouvons la raison dans la préface de l'auteur, qui nous apprend qu'il a composé ce Traité succinct à la demande du calife Al Mamoun, pour faciliter une foule d'opérations qui se présentent dans le commerce des hommes et dans les besoins de la vie.

Ce passage suffirait pour nous prouver que les Arabes possédaient alors des ouvrages plus étendus et d'un ordre plus élevé, si nous ne savions pas qu'en efTel ils connaissaient les savants ouvrages des Indiens, et qu'eux-mêmes ont écrit sur la résolution des équations du troisième degré, comme nous le dirons plus loin.

Quoi qu'il en soit, c'est un fait bien remarquable et digne de la méditation des savants de l'Europe, qu'un traité d'Algèbre, regardé comme élémentaire au IX" siècle chez les Arabes, et en quelque sorte comme manuel pratique à l'usage du peuple, a été, sept cents ans après, VArs magna des Européens, et la base et l'origine de leurs grandes découvertes dans les sciences 2.

de chacun dans une strophe de quatre vers latins; puis il la justifie par des considérations géométriques. Quant au cas oîi les deux racines sont positives, il reconnaît qu'elles peuvent convenir l'une et l'autre dans certaines questions, mais que dans d'autres l'une seulement satisfait. {Siche luno e lallro modo satisfa el thema. Ma a le voile se hane la verita a luno modo. A le voile a lallro. El perche se cavando la radiée delditlo rémanente de la mita de lecose non salis facesse al thema. E tu la dilta R {radiée) agiongi a la mita de le cose, e havurai el quesilo : et mai fallara che a uno de li doi modi non sia salisfatto el qiiesito, cioe giongnvndola, overo cavandola del dimeccamento de le cose, etc. (Summa de Arithmelica, etc. Dislinclio 8, tractatus 5, art 12.)

Ces rapports manifestes, qui ont lieu entre l'ouvrage de Mohammed ben Musa et ceux des Indiens, d'une part el celui de Lucas di Borgo,de l'autre, montrent bien l'origine de l'Algèbre des Européens, et l'influence directe que les ouvrages arabes ont eue sur les progrès et le caractère des sciences mathématiques à la Renaissance. Tel a été l'objet de celte Note.

• Il paraît que le rapport ^j^^ = ^^ = 3,14160 est dii aux indiens, et qu'ils l'avaient trouvé en calculant le côté du polygone régulier de 768 côtés. G/' Indiani, corne apparisce da un libro dei Bramini, intitolato Ajin- Akbari, avean Irovato con ingegnosissimo metodo Geometrico, mediante rinscrizione di un poUgono regolare di 768 lati, che la circonferenza del circolo sta al diametro corne 3 927 a 1 250. (Saggio sulla sloria délie matematiche, opéra delsig. P. Franchlm; Lucca, 1821 ; in-S"). Th. Simpson est parvenu de lui-même au rapport 3,1416, par l'inscription du polygone de 768 côtés; il a obtenu même le rapport plus approché ^i^-i^oy ses É'ém. de Géom.) Sa méthode est très simple; je ne sais pourquoi l'on n'en parle jamais,

' Jusqu'ici nous n'avions connu, des Arabes, que le Traité d'Algèbre de Mohammed ben Musa. C'est le seul du moins dont les Géomètres du XV1« siècle, Lucas di Borgo, Cardan, Peletier, Tartalea, Slevin, etc., .aient parlé. Mais beaucoup d'autres auteurs arabes ont écrit sur l'Algèbre; on trouve les noms de plusieurs d'entre eux, et les litres de leurs ouvrages, dans la Bibliothèque orientale de D'Ilerbelot, au mot Gebr; et au mot Ketab (pag. 966, 2'"-= colonne; 967, 1« col.; édit. in-fol. de 1697).

Il existe un ouvrage, traduit de l'arabe en anglais, à Calcutta, en 1812, qui traite de l'Arithmétique, de la Géométrie et de l'Algèbre, et dont je m'étonne que l'on ne parle pas, depuis quelques années qu'on s'occupe d'étudier l'histoire des sciences chez les Indiens el les Arabes. Nous trouvons le titre suivant de cet ouvrage, que

Mahommed avait écrit, sur les triangles plans ou sphériques, un Traité qu'on dit exister encore sous le titre : De figuris plants et sphœricis.

On possède aussi un ouvrage de Géométrie qu'il a composé, probablement en commun avec ses deux frères, Hamet et Hasen, car il a pour titre : Verba filiorum Moysi, filii Schaker, Mahumeti, Hameti, Hasen. Dans cet ouvrage se trouve démontrée la formule de Taire du triangle, en fonction des trois côtés; et l'application en est faite au triangle qui a pour ses côtés les trois nombres 15, 14 et 15, comme chez les Indiens. La démonstration est celle que Fibonacci et Jordan Nemorarius ont donnée au XIIF siècle, et que Lucas di Borgo et Tartalea nous ont fait connaître. Elle paraît appartenir aux Arabes, car elle est différente de celle de Héron d'Alexandrie.

Les trois fils de Miisa ben Schaker ont écrit beaucoup d'autres ouvrages, dont on trouve l'indication dans la Bibliotheca Arabico-Hispana, de Casiri (tom. I", pag. 418).

Alkindus, l'un de leurs plus célèbres contemporains, que Cardan met, comme Mohammed ben Musa, au nombre des douze plus puissants génies du monde ', a aussi écrit sur toutes les parties des Mathématiques. Cardan cite avec éloge son traité De régula sex quanlilatum ^. Nous avons dit, dans la Note VI, quel était l'objet de cette règle des six quantités, qui s'effectuait par le calcul ou par une construction géométrique déduite du théorème de Ptolémée.

Alkindus avait écrit sur l'Arithmétique des Indiens {De Arithmelicâ indicé), et sur l'Algèbre [De quantitate relalivâ, seu Algebrâ). Nous ne citerons pas ses autres ouvrages, qui sont extrêmement nombreux. Une partie doit se trouver encore dans les bibliothèques d'Espagne. Plusieurs, sans doute, offriraient de l'intérêt s.

nous ne connaissons pas encore, dans le catalogue de la Bibliothèque de M.Langlès, art. ^V)%The khoolasul-oolhisab, a compendium of arilhmetic and geometnj; in the arable language, bij Biihae-oodd-deen, of Amool in Syria.wilh a translation inlo persian and commenlary, by the late Muoluwee Ruoshun Ulee of Juonpoor : to which is added a treatise on algebra by Ntijm-ood-den Ulee khan, head Quazee, to the Sudr Deewanee and Nizamut Udalut. Revised and edited by Tarinee Churun lUitr, Muoluwee Jan Ulee and Ghoolam Ukbur Calcutta, Pereira, 1812, grand in-8».

M. Libri vient de mettre au jour un ouvrage d'Algèbre, traduit de l'original arabe en latin, et resté manuscrit à la Bibliothèque royale, sous le litre : Liber augmenli et diminutionis vocatus numeratio divinationis, ex eo quod sapienles Indi posuerunl, quem Abraham compilavit, et secundum Hbrum qui Indorum dictas est, composuit.

Cet ouvrage est précieux sous plusieurs rapports. D'abord, il est essentiellement dififérent de celui de Mohammed ben Musa ; car il roule uniquement sur les règles de fausse position, simple et double. Et, ensuite, il nous apprend que ces règles viennent des Indiens. On les avait attribuées jusqu'ici aux Arabes, sur l'autorité de Lucas di Borgo, qui les a appelées règles d'Belcataym « e vocabulo Arabo. » (Summa de Arilh., etc., Distinctio seplima, tractatus primus.)

Mais, dans d'autres ouvrages du même temps, on les appelle Régula falsi, seu augmenli et décrément), comme le compilateur Abraham (voir Algorithmus de integris, minutiis vulgaribus, ac proportionibus, cum annexis de tri, falsi, aliisque reyulis, Leipsick, 1507, in-4".)

» De sublilitate libri XXI, lib. XVI,

* Ibid., lib. XVI. — Practica arilhmetice, cap. XLVl. — Opus novum de proportionibus numerorum, etc. Proposilio quinta.

* Tel serait son Traité d'Arithmétique indienne. Car il est assez singulier que, depuis si longtemps qu'on

Thébil ben Corah, disciple de Mohammed ben Musa, fut aussi un Géomètre célèbre, qui embrassa les Mathématiques dans toute leur étendue. Parmi les nombreux ouvrages qu'il a laissés, et dont on trouve le catalogue dans Casiri, il en est un dont le titre : De problemalibus algebricis geometricà ralione comprobandis, aurait dû piquer vivement la curiosité des Géomètres; car il annonce que Thébit avait appliqué l'Algèbre à la Géométrie. C'est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Monlucla que : « Thébil » a écrit sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique, ce qui pourrait donner p lieu de penser que les Arabes eurent aussi l'idée heureuse d'appliquer l'Algèbre à la » Géométrie j>. Celte conjecture est devenue pour nous un fait certain, constaté déjà par l'Algèbre de Mohammed ben Musa, et dont on trouve une preuve plus convaincante encore dans un autre ouvrage donl on doit la connaissance récente à M. L.-Am. Sédillot,

Cet ouvrage est un fragment d'Algèbre (trouvé dans le manuscrit arabe n° H04 de la Bibliothèque royale), où les équations du troisième degré sont résolues géométriquement.

M. Sédillot nous apprend qu'avant de passer à la solution de ces équations, l'auteur donne celle du problème des deux moyennes proportionnelles, qu'il résout par deux paraboles, et dont il se sert pour la solution de certaines équations. Le géomètre arabe se serait-il aperçu que toutes les équations du troisième degré peuvent se résoudre par les deux moyennes proportionnelles, et la trisection de l'angle; ce qui est, comme on sali, une des découvertes qui ont fait honneur à Viète? Il construit les racines des équations de la forme x^ — ax — b== 0, par un cercle et une parabole. Mais nous pensons qu'il ne s'agit encore que d'équations numériques, les seules qu'on trouve dans les ouvrages arabes et chez les Modernes jusqu'à Viète, à qui est dû le pas immense qu'il fallait franchir pour arriver à Tidée et à la considération d'équations littérales.

Toutefois, malgré cette restriction dans les spéculations algébriques des Arabes, nous pouvons dire que non seulement ils ont possédé l'Algèbre, mais qu'ils ont connu aussi l'art d'exprimer graphiquement les formules, et d'en présenter aux yeux la signification; art si beau et si précieux, que Kepler regrettait de ne pas savoir ', et qui a été l'une des grandes conceptions de Viète.

On avait toujours pensé que les Arabes n'avaient pas été au delà des équations du second degré. On fondait cette opinion sur ce que Fibonacci et Lucas di Borgo s'étaient

agile la question de l'origine de noire système de numération, et qu'on ne peut s'accorder sur la signification du passage de Boèce et de la lettre de Gerbert qui s'y rapportent, on n'ait pas, au lieu de raisonner sur la forme des chiffres, qui nécessairement a dû varier, comparé ces deux pièces avec les Traités d'Arithmétique que les Arabes nous ont laissés, et dont aucun, je crois, n'a été ni traduit, ni publié dans le texte original.

• Kepler, ne pouvant traduire graphiquement la propriété que représente l'équation du second degré qui donne le rapport du côté du pentagone régulier au rayon du cercle circonscrit, s'exprime ainsi : Quomodo affectionem reprœsenlabo ? quo aclu geomelrico? Nullo alio id doceor facere, quàm usurpando proportionem, quam quœro : principium pelitur. Miser calculator , desltlutus omnibus geometriœ prœsidiis^ hœrctis inter spineta niimeronim, frustra cossam suam respectât. Hoc unum est discrimen inter cossicas et xnler geometricas determinationes. (Harmonices mundi, liber I; pag. 37.)

arrêlés à ce point de la science K Monlucla, le premier, l'a mise en doute, et a pensé que les Arabes pouvaient bien avoir traité des équations du troisième degré; il se fondait sur le titre Algebra cubica, seii de problematuni solidorum resolulione, d'un manuscrit apporté de l'Orient par le célèbre Golins, et qui se trouve dans la Bibliothèque de Leyde ^. Le fragment d'Algèbre trouvé par M. Sédillol confirme la conjecture de Montucla, et en fait l'un des points les plus importants de l'histoire scientifique des Arabes.

Mais nous devons dire que rien ne nous autorise encore à penser qu'ils aient connu la résolution algébrique des équations du troisième degré, c'est-à-dire l'expression des racines de ces équations. Le titre du manuscrit de la Bibliothèque de Leyde semble, au contraire, indiquer qu'il y est question de leur construction géométrique par les lieux solides (les sections coniques), comme dans celui de la Bibliothèque royale de Paris.

La Trigonométrie est l'une des parties des Mathématiques que les Arabes cultivèrent avec le plus de soin, à cause de ses applications à l'Astronomie. Aussi leur dut-elle de nombreux perfectionnements, qui lui donnèrent une formule nouvelle, et la rendirent propre à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très péniblement.

Les premiers progrès de la Trigonométrie datent d'Albategnius, prince de Syrie ^, qui florissait vers l'an 880 et qui mourut en 928. C'est ce grand Astronome, surnommé le Ptolémée des Arabes, qui eut l'heureuse et féconde idée de substituer aux cordes des arcs, dont les Grecs se servaient dans leurs calculs Irigonomélriques, les demi-cordes des arcs doubles, c'est-à-dire les sinus des arcs proposés. « Ptolémée, dit-il, ne se servait des cordes entières que pour la facilité des démonstrations; mais nous, nous avons pris les moitiés des arcs doubles *. »

Albategnius est parvenu à la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique : COS. a = COS. b. COS. c -h sin. 6. sin. c cos. A, dont il a fait diverses applications ^.

On trouve dans ses ouvrages la première idée des tangentes des arcs, et l'expression ^^[^^ dont les Grecs ne se sont pas servis, Albategnius la fait entrer dans les calculs deGnomonique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des Modernes. On voit qu'Albategnius avait des Tables doubles, qui donnaient les ombres correspondant aux hauteurs du Soleil, et les hauteurs correspondant à des ombres; c'est-à-dire les tangentes des arcs, et les arcs correspondant à des tangentes. Mais ses Tables étaient calculées pour le rayon 12, tandis que celles des sinus l'étaient pour le rayon 60; ce qui prouve qu'il n'a pas eu la pensée d'introduire ces tangentes dans les calculs trigonométriques ^.

' Fibonacci résout bien quelques équations d'un degré supérieur, mais qui se réduisent au second.

' Histoire des Mathématiques, loin. 1", pag 385.

5 Le nom propre de ce géomètre est Moiiainmed ben Geber; il fut surnommé al Batani, parce qu'il était né à Batan, ville de la Mésopotamie, et de ce nom les Modernes ont fait celui de Albategnius.

* Delambre, Histoire de f Astronomie du Moyen âge, pag. 12.

5 Ibid., pag. 21, 16i. On sait que la formule correspondante, cos. A = sin. B sin. C cos. a — cos. B cos. C, est due à Vièle, qui l'a donnée en 1595, dans son Variorum de rébus malhematicis responsorum, liber oclavus.

" helambre. Histoire de l'Astronomie du Moyen dgre, pag. 17.

C'est à Aboul Wefa et à Ibn-Yoùnis, qui lui sont postérieurs d'un siècle, qu'est dû ce nouveau pas.

Aboul Wefa {937-998), après avoir exposé la théorie des sinus, définit d'autres lignes trigonométriques « qu'il emploiera dans son ouvrage, pour les faire servir à la solution de différents problèmes de l'Astronomie spbériqiie. »

Ce sont les tangentes et cotangentes, qu'il appelle ombre verse et ombre droite, et les sécantes, qu'il appelle diamètre de l'ombre.

Aboul Wefa a calculé sa Table des tangentes pour un rayon égal à 60; il n'a pas calculé les sécantes.

On n'a point cette Table des tangentes ; mais ce qu'il importait de savoir, c'était la date certaine de leur introduction dans le calcul trigonométrique.

Cette heureuse révolution dans la science, qui en bannissait cesexpressions composées et incommodes, contenant le sinus et le cosinus de l'inconnue, ne s'est opérée que cinq cents ans plus tard chez les Modernes; on en a fait honneur à Regiomontanus; et, près d'un siècle après lui, Copernic ne la connaissait pas encore.

[bn-Yoùnis (979-1008) se servit aussi des ombres ou tangentes et cotangentes, et en eut aussi des Tables sexagésimales *.

Il eut le premier l'idée de calculer des arcs subsidiaires qui simplifient les formules, et dispensent de ces extractions de racines carrées, qui rendaient les méthodes si pénibles. Ces artifices de calcul, aujourd'hui si communs, sont restés longtemps inconnus en Europe, et ce n'est que sept cents ans plus tard qu'on en trouve quelques exemples dans les ouvrages de Simpson (Delambre, Histoire de l'Astronomie du Moyen âge, pag. 165).

La Trigonométrie sphérique doit à Geber, Astronome qu'on suppose avoir vécu vers l'an 1058, la formule cos. C = sin. Bcos. c, qui est la cinquième des six qui servent à la résolution des triangles rectangles^. La sixième, cos. a ==> cot. B cot. C, est restée inconnue jusqu'au XVI' siècle; on la doit à Viète.

Ces deux formules sont celles qui contiennent les deux angles obliques du triangle. Les Grecs n'avaient eu que les quatre premières, qui leur suffisaient, parce que dans leurs applications de la Trigonomie à l'Astronomélrie, le cas des Irois angles connus ne se présentait pas.

Tels sont les principaux perfectionnements que les Arabes apportèrent à la Trigonométrie.

Ils purent ainsi cultiver l'Astronomie avec succès. Aussi compte-t-on un très grand nombre d'auteurs arabes qui s'adonnèrent à cette science. Nous n'avons point à parler ici des progrès qu'ils y firent; et nous dirons seulement quelques mots de l'une de ses applications, la Gnomonique, qui n'est au fond qu'une question de pure Géométrie.

Les Arabes attachèrent une grande importance à la construction des cadrans, qui étaient à peu près leur seul moyen de compter le temps. Dès le IX" siècle, des géomètres

* Delambre, Histoire de l'Astronomie du Moyen âge, pag. 16-i.

* Nous appelons B, C, les deux angles obliques du triangle; b, c, les côtés opposés, et a l'hypoténuse.

célèbres s'en occupaient. C'est à cet art que se rapportaient sans doute deux ouvrages d'AIkindus, intitulés : De horologium sciathericorum descriptione ; et De horolog. hori' sontali prœslantiore, et les deux suivants, de Thébit ben Corah : De horomelriâ seu horis diurnis ac nocturnis; et De figura linearum quas gnomomelrum [styli apicis umbra) percurrit. Ce dernier titre semble annoncer que Thébit se servait de la considération des sections coniques dans la construction des cadrans. Nous allons voir cette méthode pratiquée savamment par un autre géomètre arabe du XIII" siècle. Maurolycus en a eu la première idée chez les Modernes, et elle a donné à son ouvrage un caractère d'originalité qui lui a fait honneur.

L'écrivain arabe auquel la Gnomonique paraît le plus redevable, est Aboul Hhassan Ali, de Maroc, qui vivait au commencement du XIII* siècle; son ouvrage avait pour titre : Livre qui réunit les commencemenls et les fins, parce qu'il se compose de deux parties distinctes, dont la première traite des calculs et la seconde des instruments et de leur usage. M, Sédillot, dont les sciences mathématiques et les langues orientales déplorent la perte récente (en 1852), a fait une traduction de cet ouvrage, qui a été mise au jour par les soins de M. L. Am. Sédillot, son fils, sous le litre : Traité des instruments astronO' miques des Arabes (2 vol. in-4°, Paris, 1834).

Cet ouvrage est un Traité complet et très détaillé de la Gnomonique des Arabes. Il contient plusieurs choses nouvelles, qui sont de l'invention d'Aboul Hhassan.

On y trouve, pour la première fois, des heures égales, dont les Grecs n'avaient point fait usage. Il paraît que celte innovation, qui a été conservée chez les Modernes, est due à l'auteur lui-même, car il dit : « Ceci fait partie des choses inusitées que nous donnons dans cet ouvrage, comme le résulat de nos méditations et de nos réflexions. » (Liv. 3, chap. XIV.) Il expose, dans le plus grand détail, la construction des lignes d'heures temporaires (appelées aussi heures antiques, inégales ^, judaïques).

Dans les chapitres XXVI et suivants, intitulés : Détermination du paramètre et de l'axe principal des parallèles, en quelque lieu que ce soit, Aboul Hhassan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. Il calcule les paramètres et les axes de ces courbes, en fonction de la latitude du lieu, de la déclinaison du Soleil et de la hauteur du gnomon.

Cette partie de l'ouvrage prouve que le géomètre astronome Aboul Hhassan, était un homme de mérite. Il ne donne pas la démonstration de ses règles, mais elle devait se

• Ces heures étaient égales entre elles pendant un même jour, mais leur durée changeait d'un jour à l'autre, parce qu'elle était toujours la douzième partie du temps compris entre le lever et le coucher du Soleil . Les lignes qui marquaient ces heures étaient des courbes très peu diflérentes de la ligne droite, ainsi que Ta reconnu M. Delambre, par le calcul. {Histoire de l' Astronomie ancienne, tom. Il, pag. 481.) Mais la nature de ces lignes n'est pas encore connue; elle peut faire le sujet d'une belle question d'Analyse, qui se réduit à ceci :

Que, sur une demi-sphère on suppose tracés des arcs de cercle dans des plans parallèles entre eux, et inclinés sur le plan du grand cercle qui sert de base à la demi-sphère ; que ces arcs parallèles soient divisés dans un rapport donné; les points de division formeront une courbe à double courbure, située sur la demi-sphère; que par cette courbe on fasse passer un cône ayant son sommet au centre de la demi-sphère : la section de ce cône par un plan sera la ligne d'une des heures égales.

trouver dans un Traité des sections coniques^ qu'il avait composé. M. Delambre, qui a approfondi toute celte partie géométrique de l'ouvrage d'Aboul Hhassan, la trouve bien préférable aux procédés enseignés par Commandin et Clavius, qui ont aussi tracé leurs arcs des signes, par des moyens tirés de la théorie des coniques. Cependant il reconnaît que les règles du géomètre arabe n'ont pas encore toute la simplicité dont elles sont susceptibles : il fait usage de la hauteur du pôle pour déterminer le paramètre, ce qui complique et allonge les calculs bien inutilement, puisque l'expression de ce paramètre, réduite aux éléments indispensables, est indépendante de la hauteur du pôle, et ne contient que la déclinaison et la hauteur du gnomon, ainsi que le démontre M. Delambre. C'est là un théorème assez remarquable, dit-il, et qui était assez important en Gnomonique pour n'être pas négligé par les auteurs qui ont donné des méthodes, si compliquées, pour tracer les arcs des signes d'après les propriétés des sections coniques '.

Ce théorème, en langue géométrique, signifie que toutes les sections d'un cône droit, faites par des plans coupants, également éloignés de son sommet, ont le même paramètre.

Celte propriété du cône droit a lieu aussi dans le cône oblique. Cela résulte du beau théorème de Jacques Bernoulli, que nous avons énoncé en parlant des Coniques d'Apollonius, et qui lui a servi à déterminer le paramètre dans la section du cône oblique (en supposant les plans coupants perpendiculaires au triangle par l'axe).

On attribue à Mahomet Bagdadin, géomètre du X* siècle, un élégant Traité sur la division des surfaces, qui a été traduit par Jean Dée et Commandin 2.

Cet ouvrage a pour objet de diviser une figure en parties proportionnelles à des nombres donnés, par une droite menée d'après certaines conditions. Il se compose de vingt-doux propositions, dont sept sont relatives au triangle, neuf au quadrilatère et six au pentagone. L'auteur les énonce sous la forme de problèmes dont il donne la solution, qu'il démontre ensuite.

Cet ouvrage, par sa nature, est un complément nécessaire d'un Traité de Géodésie; aussi a-l-il été imité par tous les géomètres modernes, dans leurs Traités de Géométrie pratique.

Dée et Commandin pensèrent que ce Traité pouvait provenir d'Euclide, qui, au rapport de Proclus, dans son Commentaire sur le premier livre des Éléments, avait aussi écrit sur la division des figures. Celle opinion n'a pas été partagée par Savile; et depuis, la question est restée indécise. Nous sommes tout à fait porté à attribuer l'ouvrage à un géomètre grec; à Euclide, si l'on veut (puisque Proclus cite de lui un traité De divisionibus); car il ressemble parfaitement, par sa forme et par la pureté du style géométrique, aux ouvrages des Grecs, et nullement à ceux des Arabes, qui, alliant la science des premiers à celle des Hindous, avaient introduit le calcul algébrique dans leur Géométrie, et démontraient leurs propositions les plus générales sur des données numériques, et non pas dans

* Histoire de r Astronomie du Moyen âge, pag. 336.

* De superficierum divisionibus liber Mahomelo Bagdedino ascriplus. Nunc primùm Joannis Dee Londinensis, et Federici Commandiiii Urbinatis operd in lucem editus.

Federici Commandini de eadem re libellus. Pisauri, 1570, in-4».

l'étal de généralité et d'abstraction que présentent celles du Traité en question. Ajoutons que les Grecs avaient écrit sur la Géodésie dès les premiers temps de l'école d'Alexandrie, comme nous le voyons par un ouvrage de Héron l'ancien, mis au jour par M. Venturi; et que, s'ils n'avaient pas eu leur Traité De divisionibus super ficier uni, c'eût été une lacune que ne peut faire supposer la perfection qu'ils donnaient à leurs ouvrages.

L'Optique a été traitée chez les Arabes par un grand nombre d'auteurs, dont le plus célèbre est Alhasen. Son ouvrage, qui nous est parvenu ', se recommande par des considérations de Géométrie, savantes et étendues. On y remarque surtout la solution d'un problème qui dépendrait, en Analyse, d'une équation du quatrième degré. Il s'agit de trouver le point de réflexion sur un miroir sphérique, le lieu de l'œil et celui de l'objet étant donnés. Ce problème a occupé de célèbres géomètres modernes, tels que Sluze, Huygens, Barrow, le marquis de Lhospital, R. Simson. Ce dernier l'a résolu 1res simplement, par de pures considérations de Géométrie. {Seclionum conkarum libri V. Appendix, pag. 225.)

On a pensé que l'ouvrage d'Alhasen était imité du Traité d'Optique de Ptolémée. C'a été l'opinion de Montucla. Mais Delambre, quoiqu'il fût généralement porté en faveur des Grecs, ne l'a pas partagée. Il a même pensé qu'il se pouvait qu'Alhasen n'eût pas eu connaissance de l'ouvrage de Ptolémée, parce que le sien lui est très supérieur "*. Quoi qu'il en soit, l'ouvrage d'Alhasen fait honneur aux Arabes, et nous devons le regarder comme ayant été l'origine de nos connaissances en Optique. Vitellion, géomètre polonais, l'un des plus savants du XIII* siècle, y a puisé ulilemenl pour la composition de son Traité d'Optique, le premier qu'ait fait paraître un géomètre européen.

On doit à M. L. Am. Sédillot la connaissance récente d'un ouvrage original des Arabes, intitulé Traité des connues géomèlriqxies, par Hassan ben Haithem 3.

Ce géomètre florissait vers l'an 1009, et mourut au Caire, en 1038. Il a composé un commentaire de rAlmagesle,et un autre sur les définitions qui sont en tête des Éléments d'Euclide.

Son Traité des connues est divisé en deux livres : « Le premier, dit-il, comprend des » choses tout à fait neuves et dont le genre même n'a pas été connu des anciens Géomè- » très, cl le second contient une suite de propositions analogues à celles qui ont été trai- » tées dans le livre des Data, mais qui ne se trouvent pas dans cet ouvrage d'Euclide. »

Sous le titre de Prolégomènes, l'auteur se livre à une discussion métaphysique sur la

• Imprimé à Bâle en 1572, avec la troisième édition de l'Optique de Vitellion, sous le titre : Optîcœ thésaurus. Âlhnzcni Arabis Hbriseptem, ntmc primum editi. Ejusilem liber de crepitsculis et nubium ascensionibus. Item Vitellionis TIturingo-Polonilibri decem, à Fr. Risnero, in-{o\.

• flistoire de r Astronomie ancienne, pag. 412 du lome II.

• Nouveau journal asiatique, mai 1834.

La copie sur laquelle M. Sédillot a fait celte traduction est du 3 juin 1144; elle se trouve, avec six autres opuscules sur les Mathématiques, dans le manuscrit arabe, n" 1104 de l;i Bihliolhèque royale. M. Sédillot promet de faire connaître ces pièces, dont une, qui est le fragment d'Algèbre sur la résolution des équations du troisième degré, dont nous avons parlé plus haut, sera l'un des monuments les plus précieux de l'histoire des sciences chez le» Arabes

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définition des connues, leurs divisions et subdivisions, et la nature des quantités auxquelles elles se rapportent.

Ces préliminaires, dit M. Sédillot, qui caractérisent l'esprit des érudits du temps de Hassan ben Ilaitliem, permettent d'apprécier assez exactement la pbilosophie mathématique des Arabes.

Mais le savant traducteur ne nous fait connaître que le commencement de ces prolégomènes, et nous ne voyons pas bien quelle peut être l'application de ces distinctions subtiles aux propositions de Géométrie qui forment le corps de l'ouvrage; sans doute elles portaient sur la forme même que l'auteur a donnée aux énoncés de ces propositions; mais montraient-elles l'ulililé de cette forme inusitée, et le caractère scientifique ainsi que la vraie destination de ces propositions? C'est là ce qu'il nous importerait de savoir.

Cette forme est la même que celle des Données d'Euclide, de sorte que ce Traité est une imitation et une continuation du livre des données du géomètre grec; mais avec cette différence que les propositions du premier livre, <t choses tout à fait neuves, et dont le genre même n'a pas été connu des Anciens », roulent sur des propositions locales, tandis que toutes celles d'Euclide étaient des théorèmes ordinaires, où tout est déterminé.

Ainsi, dans les Données d'Euclide, l'objet d'une proposition était de démontrer que telle chose (point, droite, ou quantité), devant résulter de telle construction ou de telles conditions, était parfaitement connue; et de déterminer la valeur et lai position de cette chose.

C'est là aussi l'objet des propositions du premier livre des connues de Hassan ben Haiihem; mais il y a dans chaque question une indétermination de condition, résultant de la considération d'un lieu géométrique.

Ces propositions sont de deux espèces.

Dans les premières, il s'agit de démontrer que tel lieu, formé par la succession de points détei minés par telles conditions, est parfaitement connu, et de donner la construction directe et immédiate de ce lieu.

Voici l'énoncé d'une proposition de cette espèce :

«■ Lorsque, de deux points connus de position, on mène deux lignes droites qui se coupent en un point, où, elles forment un angle connu, et qu'ensuite on prolonge directement une des deux lignes, si le rapport de cette ligne à son prolongement est counu, son extrémité sera sur une circonférence de cercle connue de position. » (Proposition 7 du V^ livre.)

Dans toutes ces propositions, le lieu géométrique est la ligne droite ou circulaire. Elles paraissent prises, en général, des Lîpmjc plans d'Apollonius.

Dans les propositions de la seconde espèce, ce n'est pas le lieu géométrique qu'il s'agit de déterminer, mais quelque autre chose qui s'y rapporte, et qui doit être commune à une inOnité de points ou de lignes, à cause d'une indétermination dans les conditions de construction. Exemple :

« Lorsque deux cercles connus sont tangents, et que l'un est dans l'intérieur de Vautre, si Von mène au petit cercle une tangente dont l'extrémité {autre que U point de tangence)

500 JNOTES.

soit terminée à la circonférence du grand cercle, et quon joigne par une droite cette extrémité au point de tangence des deux cercles, le rapport de cette dernière ligne à la tangente est un rapport connu. » (Proposition 19.)

Celle dernière proposition et celles de son espèce sont, comme on le voit, dans le genre des Porismes d'Euclide, entendus suivant la doctrine de R. Simson.

Les premières, qui sont différentes, parce que la chose à déterminer est le lieu géométrique, répondent à l'idée que naus nous étions faite sur la nature et la vraie destination de ces porismes, avant de connaître cet opuscule du géomètre arabe. {Voir Note III.)

Cet ouvrage est le seul, jusqu'à ce jour, qui nous ait présenté de l'analogie, ou du moins une apparence d'analogie, avec le célèbre Traité des Porismes d'Euclide. Celle circonstance lui donne du prix à nos yeux; et la découverte de cet opuscule, qui vient confirmer en quelque sorte l'opinion du savant géomètre Castillon, qui pensait qu'au Xlll" siècle le Traité d'Euclide existait encore en Orient, nous permet du moins d'espérer de trouver encore, parmi les nombreux manuscrits arabes, restés jusqu'ici inconnus au fond des bibliothèques, quelques traces de celle doctrine des porismes. Nous ne savons si c'est à cette théorie que se rapporte un ouvrage de Thébit ben Corah, que nous trouvons indiqué, sous le titre suivant, dans le catalogue des manuscrits orientaux de la Bibliothèque de Leyde : Dalorum sive determinatorum liber continens prohlemala geometrica. Cet ouvrage, par son titre et par le nom de l'auteur, se recommande à l'attention des géomètres qui possèdent la langue arabe.

Toutes les propositions du second livre des connues sont dans le genre, mais différentes de celles d'Euclide; elles appartiennent, comme celles-ci, à la Géométrie élémentaire (ù la ligne droite et au cercle); mais plusieurs offrent un degré de plus de difficulté. Elles sont de celles qu'on propose aujourd'hui, comme exercices, aux jeunes étudiants qui possèdent déjà les éléments de la Géométrie. Nous citerons les suivantes :

Lorsqu'on a un triangle dont les côtés et les angles sont connus, et qu'on mène une ligne du sommet à la base, si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé sur les deux segments de la base est un rapport connu, la ligne menée sera connue de position. (Proposition 15.)

Lorsque, sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et déposition, on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette circonférence, si le produit des deux droites est connu, chacune de ces droites sera connue de grandeur et de position. (Proposition 22.)

Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position, et qu'on 7nène iine droite tangente aux deux cercles, cette droite est connue de grandeur et de position. (Propositions 24 et 25, dernières de l'ouvrage.)

« Toutes ces choses, dil en terminant Hassan ben Hailhem, sont d'une utilité majeure pour la résolution des questions géométriques, et n'ont élé dites par aucun des anciens Géomètres. >

Cet ouvrage mérite, par sa nature, d'être placé entre les Données et les Porismes d'Euclide, et les Lieux plans d'Apollonius, d'une part, et les ouvrages de R. Simson et de

Siewart, de l'autre; il forme comme eux des compléments de la Géométrie élémentaire, destinés à faciliter la résolution des problèmes.

On a cru trouver, dans cet ouvrage de Hassan ben Haithem,de l'analogie avec la Géométrie de position « comme d'Alembert et Carnot l'ont entendue. » Mais nous ne pouvons voir dans la pensée de d'Alembert, qui lui-même en reconnaissait la réalisation contraire à la nature de l'Algèbre *, dans la Géométrie de position de Carnot, et dans l'ouvrage du géomètre arabe, une telle analogie. Carnot, dans sa Géométrie de position, a eu principalement en vue d'établir la véritable tbéorie des quantités négatives; et la Géométrie de position ne fut, dans son esprit, et dans le fait, que la Géométrie ordinaire, dans laquelle, d'après cette doctrine des quantités négatives, une seule démonstration, établie sur un état suffisamment général d'une figure, devait s'appliquer immédiatement, et sans nouveaux frais, à toute autre forme de la figure '.

C'est à ce caractère nouveau de généralité, de facilité et de brièveté, et à la nature des théories et des nombreuses propositions nouvelles que contenait l'ouvrage de Carnot, qu'il a dû son importance scientifique et l'heureuse influence qu'il a eue sur les progrès de la Géométrie pure.

Sans mettre en œuvre l'idée de d'Alembert, le livre de Carnot n'a donc aucune analogie avec l'ouvrage du géomètre arabe sur les connues géométriques.

Nous ne pouvons terminer notre aperçu des travaux des Arabes, en Géométrie, sans dire un mot du célèbre Astronome et Géomètre persan Nassir Eddin de Thus (1201-1274), dont les ouvrages, qui traitent de toutes les parties des connaissances humaines, sont écrits en langue arabe. On y remarque, outre ceux qui se rapportent à l'Astronomie, des traductions de plusieurs ouvrages grecs, d'Euclide, d'Archimède et de Théodose; un traité d'Algèbre et un compendium d'Arithmétique et d'Algèbre. De tous ces ouvrages, les Éléments d'Euclide seuls ont été publiés dans la célèbre imprimerie des Médicis (Rome, 1594, in-fol.), avec les commentaires de Nassir Eddin, qui sont estimés, et qui, contenant plusieurs démonstrations nouvelles des propositions d'Euclide, ont servi à plusieurs auteurs modernes, dans le temps où la connaissance de la langue arabe était plus répandue qu'aujourd'hui. On y distingue une démonstration du cinquième postulatum, que Wallis a trouvée ingénieuse, et qu'il a reproduite dans le tome H de ses œuvres.

* ( Il serait à souhaiter que Ton trouvât moyen de faire entrer la siluation dans le calcul des problèmes; cela les simplifierail extrêmement pour la plupart ; mais Télat et la nature de l'analyse algébrique ne paraissent pas le permettre. » {Encyclopédie, article situation.)

* C'élail là une véritable innovation que n'avaient point osé se permettre, quelques années auparavant, deux mathématiciens qui avaient fait, de la Géométrie pure, l'objet spécial de leurs travaux, et qui lui avaient dû leur célébrité. Nous voulons parler de R.Simsou et de Slewarl, qui donnaient, d'une proposition, autant de démonstrations que la tigure à laquelle elle se rapportait prenait de formes différentes par le changement de position respective de ses parties Carnot, au contraire, après avoir démontré une proposition sur une figure cousidérée dans un état général de conslniclion, montrait ce que devenaient celle proposition et les formules qui l'exprimaicnl, ou qui s'y rapportaient, quand la figure changeait de forme par le changement de position de ses différentes parties Ces nouvelles formules, qu'il appelait con^/a/itJM,par rapport à la première et qu'il déduisait immédiatement de ce.le-ci, sans démonstration, auraient été démontrées directement, comme la première elle-même, pa.- Simson et Slewarl.

vni« SIECLE.

De ce qui précède, nous conclurons, en résumé :

Que les Arabes ont montré une grande estime et un goût prononcé pour les sciences mathématiques;

Qu'ils ont eu une connaissance complète des ouvrages et du savoir des Géomètres grecs ;

Qu'ils ont perfectionné la Trigonométrie d'une manière notable, et que cette partie de la Géométrie a reçu d'eux sa forme moderne, indispensable pour les progrès de l'Astronomie;

Qu'ils ne paraissent pas avoir été au delà des Grecs dans les autres parties de la Géométrie, soit parce qu'ils n'ont pas eu le génie inventeur, soit parce que, ayant acquis rapidement de grandes connaissances dans toutes les parties des sciences, ils ne se sont pas donné la peine de chercher à en reculer les limites;

Mais qu'ils ont eu, sous un autre rapport, un véritable avantage sur les Grecs;

Qu'ils ont possédé l'Algèbre des Indiens, et qu'ils ont connu l'application de l'Algèbre à la Géométrie;

Que leurs travaux en ce genre ont été poussés jusqu'à la solution des équations du troisième degré par une construction géométrique;

Enlir, qu'en traitant l'une par l'autre, et par les secours que ces deux parties se prêtaient mutuellement, la Géométrie des Grecs et l'Algèbre des Hindous, ils ont empreint leur science mathématique d'un caractère propre, caractère original qu'ils ont transmis aux Européens, et qu'il faut prendre entre les mains de ceux-ci pour l'origine et le fondement de la supériorité rapidement acquise au XVI' siècle sur les Géomètres de l'Antiquité.