GÉOMÉTRIE CHEZ J.ES OCCIDENTAUX, AU MOYEN AGE

Pendant que les Arabes fournissaient une rapide et brillante carrière dans les sciences, les Européens étaient plongés dans l'ignorance. Ainsi, après Isidore de Séville, qui est le dernier que nous ayons nommé dans notre aperçu sur les travaux des Latins, peu d'écrivains, jusqu'au XII* siècle, nous ont laissé quelques traces, non seulement de la culture, mais de quelques connaissances des sciences. Vers celle époque, un premier mouvement intellectuel s'opéra en Europe, et de nombreux efforts furent faits pour y transporter les sciences anciennes de la Grèce, conservées et cultivées par les Arabes. Ce mouvement se reproduisit avec une nouvelle énergie vers le milieu du XV* siècle; et, favorisé alors par la connaissance que l'on eut des manuscrits grecs, prépara les grandes découvertes du XVI* siècle, d'où date l'immense supériorité des Modernes sur les Anciens, dans les sciences mathématiques.

Nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les travaux qui se rapportent à la Géométrie pendant cet intervalle de huit cents ans.

Au commencement du VIII* siècle, Bède eut une grande érudition pour son temps,

et écrivit sur beaucoup de matières différentes. Ses ouvrages qui se rapportent aux Mathématiques sont : 1° deux Traités sur la Musique théorique et pratique; 2° différentes pièces sur l'Astronomie, où l'on dislingue un petit écrit De circulis sphœrœ etpolo^ un de Gnomoniqup, sons le litre De meusurà liorologii, et un De astrolabia, où il se sert de constructions graphiques; 5" et enlin quelques pièces sur l'Arithmétique. L'une d'elles, intitulée De arilhmclicis numeris, est un extrait, extrêmement succinct, de quelques définitions prises des Traités d'Arithmétique d'Apulée et de Boèce, dont les noms sont cités par Bède. Une autre, De loqtielà per gesliim digHorum, montre à compter par les doigts et leurs articulations. Ce livre a été emprunté et reproduit par divers auteurs.

Une troisième, qui nous paraît offrir aujourd'hui le plus d'intérêt dans le volumineux recueil des œuvres de Bède, est le Traité De mimerorum divisione, auquel on a fait jusqu'ici si peu d'attention, que les écrivains qui en ont rendu compte se sont mépris sur son contenu '. Ce Traité est précisément le même que celui qui fait suite à la Lettre de Gerbert à Constantin, où généralement on a cru voir l'exposition de notre système de numération. Est-il de Bède ou de Gerbert? Nous avons déjà soulevé cette question, en parlant du passage de la Géométrie de Boèce relatif au même système de numération, et dont ce Traité nous a semblé être une imitation et un développement : du moins l'un et l'autre roulent sur la même matière, et ont, à notre sens, la même origine *. Du reste on trouve, dans les manuscrits anciens de Bède, les chiffres arabes comme dans ceux de Boèce. (Wallis, De algebrâ traclatus, cap. IV.)

Enfin, les œuvres de Bède contiennent un livre De arithmeticis propositiontbus, où l'on trouve d'abord différentes manières de deviner un nombre qui a été pensé; et ensuite un assez grand nombre de questions arithmétiques, ad ac ue ndos juvenes, esl-W dit, et qui prouvent l'intention d'entretenir la culture des Mathématiques. Mais on voit dans quel étal déplorable elles étaient tombées, par les règles dont l'auteur se sert pour calculer l'aire du triangle et du quadrilatère. Nous avons rapporté ces règles en parlant des ouvrages de Brahmegupta.

' Monlucla, Histoire des Mathématiques, loin. I", pag. 493 : « Bède fut auteur d'un livre d'arithmétique intitulé De numeris; et d'un autre, De numerorum divisione, par lequel on voit combien dans sou temps celte opération était embarrassée. » — Delambre, Histoire de l'Jslronomie ancienne, tom. I»', pag. 322 : t Dans ce chapitre {De la division des nombres), Bède enseigne à se servir des doigts et de leurs articulations, pour faciliter les divisions et les multiplications. »

• Nous nous empressons de réparer ici une erreur que nous avons faite, en disant, précédemment, que l'on n'avait point encore remarqué que la Lettre de Gerbert se trouvait dans les œuvres de Bède. Nous ne nous étions pas apiTçu alors que la remarque en avait été faite par Andrès, dans son ouvrage Dell' origine, de progressi, e dello stalo alluale d'ogni lilleralura; Parme, 7 vol. in-i», 1782-1799; où il s'exprime ainsi : Ma è da osservarsi, cià che non vedo riflelluto ne da watemalici, né da crilici, che taie lettera riportala fra le Gerberziane è quella medesima aflatto, che si ritroca nelle opère di Beda al principio dd iibro De numerorum divisione ad constantinum; ne io voglio decidere se sia da riporsi fra le opère di Gerberto ovver fra quelle di Beda (tom. IV, pag. 53).

Mais Andrès ne parle que de la Lettre même, et non du Traité qui lui fuit suite; Traité qu'il n'a connu que dans les œuvres de Bède, et qu'il n'a pas su être le même que ctlui qu'on attribue à Gerbert.

Nous ajouterons enfin que ce célèbre historien, qui a commenté longuement le passage de Boèce.pour prouver qu'il ne peut en aucune manière s'appliquer à noire système de numération (lom. IV, pag. 41-45), n'a pas remarqué son analogie avec le Traité Z)e numerorum divisione en question.

Le livre De arithmelîcis propositionibus a été revendiqué pour Alcuin, et compris dans ses œuvres. La question de propriété ici est sans intérêt.

Alcuin, disciple de Bède, fut, comme lui, un prodige d'érudition dans son temps. Nous nous bornerons ici à dire qu'il a écrit sur les sept arts libéraux, et en particulier sur l'Astronomie, il ne nous est parvenu de ces ouvrages que les parties qui traitent de la Grammaire et de la Rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits de Cassiodore. La célébrité qu'Alcuin a conservée provient surtout de la part qu'il a prise dans la fondation des Universités de Paris et de Pavie, et dans les efforts de Charlemagne pour résister au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe, et pour rallumer le flambeau de la science.

Mais la scolastique prenait naissance, et l'élément religieux qui lui servait de base fut tout-puissant et occupa exclusivement les esprits. Aussi, chose très remarquable dans l'histoire, aux efforts mêmes de Charlemagne succéda précisément l'époque de la plus profonde ignorance. Elle dura près de deux siècles. x« SIÈCLE. Pendant ce temps, l'histoire ne prononce guère que le nom de Gerbert (qui devint pape en 999 et mourut en 1005), et de quelques-uns de ses disciples. Ce moine, à l'exemple des sages de la Grèce qui avaient été s'instruire en Egypte, alla aussi s'instruire en Espagne, seul point de l'Europe où les sciences, importées de l'Orient, fussent cultivées par les Sarrasins. De retour en France, il répandit avec ardeur ses connaissances. Elles tenaient du prodige aux yeux de ses contemporains, au point qu'il fut accusé de magie.

Mais cela montre combien l'ignorance était profonde alors, car on doit convenir que l'ouvrage de Gerbert sur la Géométrie et ses Traités de la Sphère, de l'Astrolabe et des Cadrans solaires, ne roulent que sur les matières les plus élémentaires de la science, et ne comportent que des connaissances très superficielles. Le contraste que ces ouvrages présentent avec l'étal avancé des sciences, à cette époque, chez les Arabes de Séville et de Cordoue, fait douter que ce fût d'eux que Gerbert ait reçu ses connaissances, comme on a coutume de le répéter d'après Guillaume de Malmesbury. On y reconnaît plutôt, surtout dans sa Géométrie, une imitation et un commentaire des ouvrages de Boèce, qu'un reflet du savoir et des méthodes arabes ' dont nous ne trouverons les premiers germes, en France, qu'au XIP siècle.

* Celle observation s'accorde avec celle de Goujel, qui dit que le voyage de Gerberl en Espagne est réel, mais que le molif qu'on en donne ne l'est pas (De l'étal des sciences en France depuis la mort de Charlemagne jusqu'à celle du roi Robert, pag. 53).

Andrès, au contraire, qui a attaché une grande importance historique aux connaissances et aux travaux de Gerbert, leur attribue une origine arabe, en supposant loulefois que ce n'étaient pas précisément les Sarrasins qui avaient été les maîlres de Gerbert, mais bien les chrétiens espagnols, leurs disciples, qui ne pouvaient enseigner aussi que les sciences et les méthodes des Arabes. « Queste ragioni mi fanno congetturare non senza qualche probabilità, che quel dotto e grand'uomo che fu Gerberto tulto egli si fece sollo la disciplina de' cristiani ipaynuoli, sema avère avuto bisogno di mendicare il soccorso dalle scuole de' Saraceni. Ma quantunque spagnuoli fossero i macstri di Gerberto, arabica pur era la dottrina, ch'ei trasse dalle Spagne e communicà aile Gallie ed all'llalia. La scienza favorila di lui era la matematica ; e la matematica, que si sapeva in Jspagna, tuUa venive délie scuole e da'' libri de' Saraceni. Se vero è, che Gerberto delta Spagna aile suuole Europee recasse l'arithmetica arabica, colla quale facili divenivano moite operazioni, che neWantico metodo

Voici l'analyse de ce Traité de Géométrie qui a été mis au jour par Bernard Pez, dans le tome III, seconde partie, de son Thésaurus anecdolorum novissimus. ( Auguslae Vindelicorum, 1721, in-f".)

Après avoir donné les premières définitions relatives à la Géométrie, Gerbert fait connaître les mesures dont les Anciens faisaient usage; ce sont les digilus, uncia, palmus, sexta, dodrans, etc., des Romains, dont on trouve la nomenclature dans la Géométrie de Boèce. Il se sert de ces mesures dans tout le cours de son livre, ainsi que des signes qui les représentent, et qui expriment aussi, d'une manière abstraite, les fractions telles que \ , |, etc. Il emploie le mot coraustus pour désigner la base supérieure d'un quadrilatère. Il consacre plusieurs chapitres aux triangles rectangles, qu'il appelle Irianguli pythagorici, et qu'il apprend à construire en nombres rationnels, un côté étant donné. Il se sert pour cela des règles connues, attribuées à Pylhagore et à Platon, qui donnent des nombres entiers pour les côtés du triangle, et d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires. Les unes et les autres, qui sont du même genre, dérivent des formules générales que nous avons trouvées dans les ouvrages indiens. Au sujet de ces triangles rectangles, Gerbert résout un problème remarquable pour l'époque, parce qu'il dépend d'une équation du second degré; c'est celui où, étant données l'aire et l'hypoténuse, on demande les deux côtés. Soient A l'aire et c l'hypoténuse : la solution de Gerbert, traduite en formule, donne, pour les deux côtés, la double expression

- [l/c* -4- 4À ± Vc" — 4 a] .

Ensuite il apprend à calculer avec l'astrolabe, ou avec un autre instrument qu'il appelle horoscope, la hauteur d'une tour, la profondeur d'un puits, et la distance d'un objet inaccessible. Puis il calcule la perpendiculaire, dans un triangle dont les côtés sont connus. Il prend pour ces côtés les trois nombres 15, 14 et 15. Il donne, pour la surface des polygones réguliers, les formules fausses des arpenteurs romains, et résout aussi comme eux le problème inverse : étant donnée l'aire d'un polygone régulier, trouver son côté. Pour le cercle, il donne le rapport ^. On trouve, sous les titres : In campo quadrangulo agripennos cognoscere, et In campo triangulo agripennos invenire, les formules fausses que nous avons déjà signalées, dans les œuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle; et Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. Enfin on trouve (chapitre LXXXV) la formule qui donne la somme des termes d'une progression arithmétique ^ La formule pour l'aire du triangle, en fonction des trois côtés, n'y est pas; et l'on en trouve une autre pour le triangle rectangle, qui n'est pas exacte.

troppo erano, imbarazsanti, questa o immediatamente, o per mezzo de' maeitri spagnuoli rapia fu da lui

à Saraceni, come dice Gugliemo di Maletburi. (Dell' origine, de progressi, etc., !• partie, cap. IX.) — La

nature des ouvrages de Gerbert ne nous permet pas de partager cette opinion sur Torigine de ses connaissances.

* Viiloison dit que, dans un manuscrit très ancien, ce chapitre LXXXV contient les chiffres arabes. (Voir

Analecta grœca, tom. liipag. 153). Mais nous devons convenir que, dans les deux manuscrits delà Géométrie de

A la suite de la Géométrie, est un petit écrit intitulé : Gerberti epistola ad Adolboldum de causa diversitalis areartim in trigono œquilatero geomelricè arithmeticève expenso. Gerbert explique que la formule géométrique, ^1/3, de l'aire du triangle équilatéral, est exacte, et que la formule arithmétique,^—^, ne l'est pas, et qu'elle n'est qu'approximative. Dans son explication, Gerbert commet une erreur, car c'est la formule ?!:|^.l^qui devait résulter de son raisonnement; et celle-ci est véritablement approximative. Car si on la rend homogène, en y introduisant l'unité de mesure linéaire, que nous appellerons d, elle devient^— •^; et celle-ci approche d'autant plus de l'expression Jl/5, qui est l'aire exacte du triangle, que d est plus petit.

On voit, par cette analyse de la Géométrie de Gerbert, qu'elle est dans le genre des écrits de Boèce et de Bède; et qu'on n'y peut reconnaître l'origine arabe qu'on a attribuée légèrement, et sans critique, aux connaissances scientifiques de l'auteur.

Il paraît que Gerbert a beaucoup écrit sur l'Arithmétique, particulièrementsur un système de numération, différent du système latin alors en usage; et c'est pour cela principalement que son nom est resté célèbre dans l'histoire des sciences. Nous avons parlé, au sujet du passage de la Géométrie de Boèce, du Traité De numerorum divisione, qu'on lui atlribue *; et, en remarquant que cette pièce se trouve dans les deux éditions que l'on a des œuvres de Bède, nous avons eu la pensée qu'elle pourrait être de ce dernier. Mais Gerbert et ses disciples ont laissé plusieurs autres écrits sur le même sujet, qui prouvent qu'ils avaient alors une grande connaissance des procédés du calcul dans ce système de numération, qu'ils appelaient le système de VAbaque. Les écrits de Gerbert, qui la plupart se trouvent dans la Bibliothèque du Vatican, sont intitulés : \° Gerberti scholastici Abacus compositus; 2° De numeris; 5° Regulœ Abaci ; 4° Fragmenium Gerberti regulœ de Abaco; 5° Gerberti arithmelica. Le premier, Abacus compositus, existe dans plusieurs autres bibliothèques. Pez ayant trouvé à sa suite, dans la Bibliothèque de l'Abbaye de S'-Émeran, à Batisbonne, une autre pièce intitulée : G. Liber subtilissirnus de Arithmeticâ, l'a attribuée, à cause de l'initiale G, à Gerbert. Dans ce manuscrit de Batisbonne, le Traité de ['Abacus porte aussi le nom d' Algorismus ; il est adressé à l'empereur Othon III 2. La Bibliothèque de Leyde possède deux manuscrits provenant de Scaliger et de Vossius, dont le premier est intitulé : Libellus mulliplicationum, in que epistola Gerberti ad Constantinum de doctrine Abaci ; et le second : Gerberti de Divisîonibus cum notis ad illas. (Catalogus Bibliothecï; universitatis Lugduno-Batavje, pag. 341 et 390.)

Quant au traité De numerorum divisione, il est assez singulier qu'il ne se trouve sous ce litre dans aucun des grands dépôts littéraires; du moins on ne le cite dans aucun cata-

Gerbert qui exislenl à la Bibliothèque royale de Paris (n"» 7185 et 7377 c), nous n'avons vu que les chiffres romains, et les signes par lesquels les Latins représentaient les fractions. Ces signes ont été rapportés Gdèlement par Pez, dans son édition de la Géométrie de Gerbert.

* Le premier éditeur des lettres de Gerbert a rapporté, à la suite de la 161« et dernière lettre, les premières^ lignes de ce Traité. Le second éditeur, en conservant la lettre, en a supprimé ces premières lignes.

* Gerberti Abanus seu Algorismut ad Ottonem itnp. (Voir Thésaurus anecdotorum novissimus, tom. I« Dissertatio isagogica, pag. xxxviii.)

logue, sous ce titre, disons-nons. Celle circonstance avait contribué à nous faire supposer que ce Traité pourrait èlre de Bède, tout en reconnaissant que le procédé de calcul sur lequel il roule était familier à Gerbert '. Quel qu'en soit l'auteur, nous persistons à le regarder con[)me imité du passage de Boèce sur le même sujet, et à penser qu'il roule sur un système de numération qui ne diffère du nôtre qu'en un seul point, l'emploi du zéro, qui y a été introduit postérieurement, et a permis alors de supprimer les colonnes. Dans celle manière de voir, il ne resterait à résoudre, au sujet de cet i46acw«, que la question de savoir si celte innovation heureuse, l'emploi du zéro, a été un perlectionnement direct du système môme de V Abaque, ou bien si les Européens l'ont prise dans l'Arithmétique arabe, vers le XI* ou le XII* siècle.

Plusieurs contemporains de Gerbert, qu'on regarde comme ayant été ses disciples, ont aussi écrit sur l'Arithmétique pratiquée dans le système de V Abaque. Tels sont Adalbolde, évéque d'Ulrecht, Heriger, abbé de Laubes, et Bernelin.

Il reste du premier, dans la Bibliothèque du Vatican, un écrit intitulé : Alboldi ad Gerbertum scholasticum de Astronomîa, seu Abaco ^ On trouve, dans le tome III du Thésaurus anecdotorum novissimus de Pez (2* part., pag.86), un autre écrit d'Adalbolde intitulé : Libellus de ralione inveniendi crassitudinem sphœrœ, où il donne, pour le volume de la sphère, la formule D^l^, D étant le diamètre, qui a pour base le rapport d'Archimède. Dans son calcul numérique, Adalbolde se sert, comme Gerbert dans sa Géométrie, des caractères romains qui exprimaient les fractions.^, ^, etc.

Heriger commenta VAbacus de Gerbert, dans un écrit qui se trouve dans la Bibliothèque de Leyde, sous le titre : Ratio Abaci secundùm divum Herigerum ^.

Bernelin avait écrit sur la Musique, la Géométrie et l'Arithmétique, un ouvrage inscrit dans la Bibliothèque du Vatican, sous le titre : Bernelini Abaci, Musica, Arithmelica et Geometria'''\ et un autre Traité en quatre livres, De Abaco etnumeris, que Vignier, dans sa Bibliothèque historiale, assure que le célèbre jurisconsulte Pierre Pithou avait possédé ^.

' Deux exemplaires de cet écrit, qui se trouvent à la Dibiiothèque royale de Paris, sous d'autres titres, portent le nom de Gerbert, ajouté, il est vrai, à une époque rapprochée : le premier est intitulé Raliones numerorum Abaci (manuscrit n» G6:20); et le second, Traclalus de Abaco (n" 7189 A). Nous supposons qu'une partie des manuscrits dont nous avons rapporté les titres ci -dessus, particulièrement ceux de la Bibliothèque de Leyde, ne sont aussi que ce même Traité De numerorum divisione.

* Monlfaucon, Bibliotheca bibliotliecarum manuscriptorum nova, tom. !<:■•, pag. 87.

* Histoire lilléraire de la France, tom. VII, pag. 20G.

* Montfaucon, ibid., tom. I", pag. 24 : on voit, à la page 110, que la Bibliothèque du Vatican possède d'autres pièces du même auteur, sous le litre : Derneliitus junior de Abaco et alla plurima.

^ Nous allons rapporter ce passage de Vignier, auquel il ne paraît i>as qu'on ail fait attention, et qui cependant a une importance historique qui n'est point à dédaigner; car il nous prouve qu'au XVI" siècle on regardait nos chiffres et notre système de numération comme dérivant, sinon du système même de VAbaque, du moins de la même origine que lui; ce passage vient à l'appui de l'interprétation que nous avons donnée de VAbacus de Boèce: « Gerbert, dit Vignier, eut encore un autre sien compagnon ou disciple es sciences géométriques et malhé- » maliques nommé Berneliuus, qui composa quatre livres De Abaco et numeris. Desquels se peull apprendre » l'origine de Chilire dont nous usons aujourd'hui es comptes d'arithmétique. Lesquels livres M. Savoye Pithou

b08 NOTES.

On voit, dans le tome XII de VHistoire littéraire de la France, écrit en 1773, qu'alors un exemplaire de cet ouvrage se trouvait dans l'Abbaye de Saint-Victor, de Paris. La préface avait pour titre : Incipit prœfatio libri Abaci quem junior Bernelinus edidit Parisiis '. C'est peut-être encore à ce Traité de l'Abaque que se rapporte une autre pièce de Bernelin qui se trouve dans la Bibliothèque de Leyde, à la suite de VAbacus de Gerbert, sous le titre : Scolica {Scholia probablement) Bernelini Parisiis ad Amelium suuni édita de minutiis.

On cite encore un moine nommé Halber qui, dans le même temps, a aussi écrit sur YAbacus de Gerberl {Histoire littéraire de la France, tom. VII, pag. 138.).

Il serait bien utile, pour éclaircir enfin les questions historiques relatives à l'origine et à l'introduction en Europe de notre Arithmétique, et particulièrement à ce système de V Abaque, qui tient une grande place dans l'histoire littéraire du X* siècle, et qui probablement n'était que renouvelé, après plusieurs siècles d'oubli, des ouvrages de Boèce, et de quelques auteurs du même temps 2, qui eux-mêmes le tenaient de l'école de Pythagore, ainsi que ledit Boèce ^, il serait utile, disons-nous, que l'on mîtau jour les différentes pièces de Gerbert et de ses disciples, dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, et que l'on fît attention, dans les bibliothèques de manuscrits, aux pièces semblables que certainement on y devra découvrir.

XV SIÈCLE. Au XI' siècle, Hermann Contractus se fit un nom par différents écrits sur les Mathématiques, dont un sur la Quadrature du cercle, et un sur l'Astrolabe. Celui-ci, en deux livres, qui traitent de la construction et de l'usage de l'Astrolabe, a été imprimé dans le tome III du Thésaurus novissimus de Pez. Wallis dit, dans son histoire de l'Algèbre, qu'un passage d'un manuscrit ancien, de la Bibliothèque Bodléienne, l'autorise à penser que

» m'a assuré avoir en sa bibliothèque, et recognoistre en iceux un sçavoir et intelb'gence admirable de la science » qu'ils traitent. Et pour ce qu'avec ceux là furent encore fort renommés au même temps en la France plusieurs * autres grands personnages, à cause de leur grand sçavoir es mêmes sciences philosophiques et mathématiques, » comme, etc. • {Bibliothèque historiale,ù vol. in-fol.; Paris, 1588; second vol., pag. 642.)

• Il existait, dans la Bibliothèque de l'Abbaye de Saint- Victor, un autre Traité de V Abaque, que Montfaucon inscrit sous le titre : Radulplii Laudunensis de Abaco {Bib. bib., tom. II, pag. 1374 )

• Par exemple nous sommes porté à croire que Viclorius, mathématicien contemporain de Boèce, avait aussi écrit sur ce système, ou du moins avait laissé des calculs qui s'y rapportaient; et que c'est à ce sujet que Gerbert et ses disciples citent souvent le calcul de Victorius et sa brièveté, car il ne paraît pas que cela doive s'entendre du nouveau canon pascal que Victorius avait calculé.

^ Il n'est pas rare de trouver, dans l'histoire des sciences, des idées, des principes, des théories même, qui ont paru et disparu ainsi, plusieurs fois et à de longs intervalles, avant de trouver un sol préparé pour y jeter de profondes racines et prendre une existence durable. Les polygones étoiles nous offrent un exemple de pareilles intermissions. Considérée d'abord dans l'École de Pythagore, et oubliée pendant dix siècles, Y étoile pentagonale reprend naissance dans la Géométrie de Boèce; oubliée encore pendant six siècles, elle doit une nouvelle vie à Campanus; un siècle après elle produit la théorie des polygones égrédients; deux siècles plus tard, le nom et les travaux mémorables de Kepler semblent devoir assurer un rôle brillant et durable à celte théorie, qui pourtant retombe dans un oubii complet pendant deux siècles, pour reprendre enfin l'existence impérissable que lui assurent les considérations analytiques qui l'unissent à la théorie des polygones ordinaires.

Hermann Contraclus connaissait noire système de numération; et il le met, après Gerbert, en tête des auteurs qui ont écrit sur ce sujet '.

Le XII* siècle se distingue par quelques efforts contre l'ignorance générale. Plusieurs xii« siècle. Européens, suivant l'exemple de Gerbert, quittent leur pays pour aller s'instruire au loin. On dislingue parmi eux Adhélard, ou Athélard, et Gérard de Crémone. Le premier visita l'Espagne, l'Egypte et l'Arabie, et, à son retour, traduisit de l'arabe plusieurs ouvrages, au nombre desquels se trouvent les Éléments d'Euclide. C'est la première traduction que l'on ait eue, en Europe, de cet ouvrage, que l'on ne connaissait que par l'extrait très restreint, et qui se bornait à quelques énoncés de propositions, que Boèce en avait donné, dans le premier livre de sa Géométrie. Adhélard avait joint, à sa traduction, des Commentaires sur les propositions d'Euclide. Cet ouvrage est resté manuscrit^.

M. Jourdain attribue à Adhélard un Traité de l'Astrolabe et une doctrine de V Abaque ^. [Recherches sur les traductions d'Aristote, pag. 100.)

Gérard de Crémone (Hi4-1187) alla résider pendant longtemps à Tolède, pour y apprendre l'arabe et y faire de nombreuses traductions, qu'il rapporta dans sa patrie. Elles s'étendaient sur toutes les parties des sciences qui florissaient parmi les Maures d'Espagne. On y distingue l'Almagesle de Plolémée, le Traité des crépuscules d'Alhazen

• Hujusce Hermanni mentionem reperio in quodam Bibliothecœ Bodleiance M S 0, ubi dicitur quod ab Hertnanno cl Prodocimo didicerint Abacum, hoc est {alio nomine) âlgorismum.

Hermann Coniractus passe, aux yeux de quelques historiens, de Brucker parliculièrement, pour avoir cultivé des premiers la langue arabe, et fait les premières traductions latines d'Arislole. Mais M. Jourdain, en remontant à la source de cette opinion, croit qu'elle est erronée, ou du moins qu'elle n'est pas justifiée; il pense que le Traité de l'Astrolabe, d'Hermann, n'est pas une version d'un ouvrage arabe, mais bien composé d'après des matériaux déjà publiés. {Recherches sur raye et l'origine des traductions latines d'Arislole, pag. 156 )

Je rapproche ce sentiment de M. Jourdain du fait cité par Wallis, parce qu'on en tire une induction favorable à l'opinion que j'ai déjà émise souvent, à savoir que tous les écrits sur V Abaque, tels que ceux de Gerbert et de ses disciples, émanent de la même source que celui de Boèce, et ne proviennent point directement des ouvrages arabes empruntés des Sarrazins d'Espagne.

' Il se trouve dans la Bibliothèque des Dominicains de Saint-Marc, à Florence, sous le liire: Euclidis Geomelria cum Commenta Adelardi; et dans la Bibliothèque Bodléienne sous celui de: Euclidis elemenla cum scholiis et diagrammatis latine reddila per Adelardum Balhoniensem. La Bibliothèque royale de Paris en pos.sède aussi une copie (n» 7213 des manuscrits latins). Une autre, qui a appartenu à Regiomontanus, se trouve dans la Bibliothèque de Nuremberg.

' Nous ne savons sur quelle autorité.M. Jourdain se fonde au sujet de cette doctrine de V Abaque, ni si elle |)ortait précisément sur le système de VAbacus de Boèce et de Gerbert. Ce point historique est d'une grande importance, parce que tous les travaux d'Adhélard ont eu pour objet de faire connaître les ouvrages philosophiques et mathématiques des Arabes, dont il reconnaissait la haute supériorité sur les doclriues de la scolastique du temps; et nous serions porté à croire que, s'il a écrit sur l'Arithmétique, ce serait sur l'Arithmétique même des Arabes, qui reposait bien sur le même |>rincipe de la valeur de position des chiffres que le système de l'Abaque, mais qui en différait, suivant nous, par l'usage du zéro. Peut-être l'ouvrage d'Adhélard établissait-il la transition du système de l'Abaque à celui des Arabes, et monlrail-il l'identité des deux systèmes, dont le second néanmoins était d'une application pratique plus facile, et a remplacé le premier, en prenant le nom ii'Algorismus. Cet ouvrage d'Adhélard pourrait donc être très précieux, comme résolvant peut-être la question, encore irrésolue, de la \érilable origine, parmi uous, du système de numération en usage depuis cinq ou six siècles.

SiO NOTES.

et le livre De scientiis, d'Alfarabius '. M. Jourdain pense que c'est aussi à Gérard de Crénnone que l'on doit le Traité de Perspective d'Alhazen. (iîecAerc/ics critiques sur les traductions latines d'Aristote, pag. 128.) Un Traité d'Arithmétique, qui se trouve dans la Bibliothèque Bodléienne, sous le titre Algorisrnus magistri Gerardi in integris et minutiis 2, serait-il aussi de Gérard de Crémone, qui, en effet, en rapportant d'Espagne, une partie des connaissances scientifiques des Arabes, n'a pu négliger leur ingénieux système de numération, à moins que déjà il ne fût bien connu des hommes qui se livraient à l'étude des sciences, ainsi que nous serions porté à le penser, en voyant, dans le siècle suivant, le grand nombre d'auteurs qui ont écrit sur ce système de numération, ou qui s'en sont servis dans leurs ouvrages?

Trois autres hommes, contemporains d'Adhélard et de Gérard de Crémone, travaillèrent aussi à faire connaître les ouvrages mathématiques répandus chez les Arabes. Ce sont Platon de Tivoli [Plato Tiburtinus), le juif Jean de Séville, connu sous le nom Johannis Hispalensis, et Rodolphe de Bruges [Braghensis).

Le premier traduisit, de l'arabe, les Sphériques de Théodose, vers l'an H20 (imprimé en 4518); de l'hébreu, un Traité de Géométrie de Savosarda^; et divers autres ouvrages.

Jean Hispalensis traduisit les Éléments astronomiques d'Alfraganus (en 1142, suivant G. J. Vossius et plusieurs auteurs), et divers ouvrages sur l'Astrologie, au nombre desquels est un Traité d'Albumasar, qui se trouve en manuscrit dans la Bibliothèque Magliabecchi sous le titre : Liber inlroduclorii majoris in magisterio scientiœ Astrorum, editione Albumazar et interpretalione Johannis Hispalensis ex arabico in latinum. Celte version paraît avoir été faite en l'an 1171, car elle se termine par ces mots, scriptus est liber iste anno domini nostro Jesti Clirisli 1 174. Elle est précieuse, en ce qu'elle contient des Tables astronomiques en chiffres arabes ^. Ce sont peut-être les plus anciennes qui aient une date certaine. Jean Hispalensis a aussi laissé un Traité d'Arithmétique arabe, sous le titre à'Algorisnnis. C'est, jusqu'ici, le plus ancien Traité d'Arithmétique qui porte ce nom, que nous trouverons dans tous les ouvrages du XIP siècle. Ce Traité commence ainsi : Incipit prologus in libro Algorismi de practicâ Arilhmeticœ, qui editus est à Magistro Johanne Hispalensi. Il est très complet; il comprend les sept opérations : addition, soustraction, duplalion, médiation, multiplication, division et extraction de racines, d'abord pour les nombres entiers, puis pour les fractions. On trouve à la suite, sans interruption, et de la même écriture, sous le litre : Excertiones de libro qui dicitur Gebra et

* Fabricius a formé une première liste des traductions attribuées à Gérard de Crémone. {Bib. med. et in/imœ lut., tom. III, pag. 115.) M. Jourdain en a donné une seconde, presque double. L'ouvrage d'Alfarabius n'y est pas compris. C'est M. Librl qui l'a trouvé dans un manuscrit de la Bibliothèque royale, sous le titre : Liber Alfarabii, de scientiis, translatus à magistro Gherardo Cremonensi, in Toledo, de arabico in latinum. (Histoire des sciences mathématiques en Italie, lom. I"", pag. 172.)

* Heilbronner, Hisl.Math., pag. 601.

^ Liber Embadorum a Savosarda judœo in hebraïco compositus, et a Plalone Tiburtino in Latinum sermonem translatus. (In Bibliolhecà S. Marci Dominicorum Florenliœ.) M. Libri doit donner, dans le second volume de son Histoire des sciences mathématiques, une analyse de cet ouvrage important.

* Targioni, Relazioni dialcuni Viaggi, etc., tom. Il, pag. 67.

Mucabala *, un morceau d'Algèbre, qui paraît en faire partie. C'est la résolution des équations du second degré. On y résout plusieurs questions telles que celles-ci : Quel est le nombre qui, ajouté à 10 fois sa racine, donne 39? Quel est le nombre qui, ajouté à 9, égale 6 fois sa racine?

Cet ouvrage, qui paraît être resté ignoré jusqu'ici, est précieux ', comme étant le plus ancien Traité d'Arithmétique arabe et d'Algèbre qui soit connu. On avait regardé jusqu'ici celui de Léonard de Pise comme étant le plus ancien.

On doit à Rodolphe de Bruges la connaissance du Planisphère de Ptolémée, qu'il traduisit de l'arabe, sur une version commentée par un auteur nommé Molsem. Le texte grec ne nous est pas parvenu. L'ouvrage de Rodolphe de Bruges a été imprimé pour la première fois en 1507, à la suite de la Géographie de Ptolémée (Rome, in-folio); puis en 1536^. Commandin en a donné, en 1558, une traduction plus correcte, accompagnée d'un Commentaire qui est, en grande partie, un Traité général de Perspective; ouvrage écrit d'un style géométrique assez facile qu'on ne rencontre pas généralement dans les nombreux Traités de Perspective qui ont paru dans le XVI' et le XVIP siècle.

Le XIII' siècle marque une ère nouvelle dans l'histoire des sciences. Il prépare leurxm» siècle. rétablissement, en répandant la connaissance usuelle du système de numération arabe, de l'Algèbre, et de plusieurs ouvrages importants de l'École grecque. Cette époque est presque féconde en écrivains ; on y trouve Jordan Nemorarius, Léonard Fibonacci de Pise, Sacro-Bosco, Campanus de Novarre, Albert le Grand, Vincent de Beauvais, Roger Bacon, Vitellion, dont les noms sont restés célèbres et honorent le Moyen âge.

Campanus traduisit, sur un texte arabe, et accompagna de Commentaires les treize livres des Éléments d'Euclide et les deux qu'on a attribués à Hypsicle *. C'est cet ouvrage qui a servi a répandre en Europe la connaissance de la Géométrie. Il a été imprimé pour la première fois en 1482, et a eu plusieurs autres éditions. Pendant longtemps encore, après la renaissance des sciences, il a joui d'une grande estime, et les Commentaires de Campanus ont été consultés par les géomètres qui ont écrit sur les éléments de la Géométrie,

* Le manuscrit dit Exceptiones de libro qui dicitur Gleba el Mutabitia; m&is cela provient probablement d'erreurs du copiste.

* Les copies en doivent être très rares, car les catalogues de manuscrits n'en indiquent aucune.

* Avec le Planisphère de Jordan et différentes autres pièces concernant l'Astronomie, sous le titre général : Sphœra atque aslrorum cœleslium ratio, natura et motus ; Valderus, Basilese, 1536, in-4''.

M. Delambre, dans son Histoire de r Astronomie ancienne (lom. M, pag. 456), a donné à la traduction latine de Rodolphe de Bruges la date de 1544, au lieu de 1144. Celte erreur a été cause que ce célèbre Astronome s'est étonné qu'une iraduclion faite en 1544 se trouvât dans un ouvrage imprimé en 1536.

* Quelques historiens ont pensé que cet ouvrage de Campanus n'était autre que la traduction d'Adhélard, à laquelle Campanus avait joint des Commentaires. Voici comment s'exprime Andrès à ce sujet : 5e» {Campano) non tradusse corne si dice comunemente ; certo illustro con comenti PEuclide, tradotto primo dall" Arabo in Latino daW Inglese Atelardo Gotho, corne ha fallo vedere il Tiraboschi (DelV origine, de progressif e dello slato attuale d'ogni lilteratura. Parte 1, cap. IX). Le titre suivant, d'un exemplaire manuscrit de l'Euclide de Campanus, qui se trouve à la Bibliothèque royale de Paris, sous le n» 7213, vient confirmer cette opinion : Euclidis phiîosophi socratici incipit liber Elementorum artis geomelricœ translatus ab Arabico in Latinum per Adelardum Gothum Bathoniensem; eub commenta Magistri Campant Novarriensis ( MS. du XI V« siècle).

tels que Zamberli, Lucas di Borgo, Peletier du Mans, Clavius, etc., et par les Algébristes qui ont traité des quantités incommensurables, comme Stifel, dans son Arithmetica intégra.

Nous avons dit, en parlant du passage de Boèce où nous avons cru apercevoir le pentagone étoile, que celte figure a été considérée expressément par Campanus, dans son Commentaire sur la 52* Proposition du i" livre d'Euclide, et que c'est là que Bradwardin, dans le siècle suivant, a pris l'idée de ses polygones égrédients, dont il a donné une théorie assez étendue.

On trouve, à la fin du 4* livre, dejux propositions de Campanus ', dont la première a pour objet la trisection d'un angle; et la seconde, l'inscription, au cercle i, du nonagone régulier. Ce second problème dépend de celui de la trisection de l'angle ; et la solution que Campanus donne de celui-ci est remarquable par sa simplicité : elle se réduit, en pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicomède. En voici le principe : Que, du sommet de l'angle comme centre, avec un rayon arbitraire, on-décrive une circonférence de cercle, qui rencontrera les deux côtés de l'angle en deux points a, 6; que l'on mène un demi-diamètre perpendiculaire au premier côté; que, par le point 6 on mène une droite, de manière que sa partie comprise entre ce demi-diamètre et la circonférence du cercle soit égale au rayon; et enfin que, par le sommet de l'angle, on lire une parallèle à celte droite : cette parallèle opérera la trisection de l'angle.

Campanus ne dit pas comment on déterminera la direction de cette droite issue d'un point de la circonférence, et dont la partie comprise entre le diamètre et l'autre partie de la circonférence, doit être égale au rayon. Peut-être était-ce là un problème dont il avait donné ailleurs la solution. On voit qu'elle peut s'effectuer, comme nous l'avons dit, par une conchoïde de Nicomède. Ce problème a eu quelque célébrité vers la fin du XVII* siècle, parce qu'ayant été proposé publiquement avec deux autres, dans le Journal des Savans (août 1676), il a été résolu par Viviani dans son ouvrage intitulé : Enodatio problematum universis geometris propositorum à Cl. et R. D. Claudio Comiers, canonico Ebredunensi, collegialis ecclesiœ de Ternant Prœposito dignissimo. Prœmissis, horum occasione, tentamentis variis ad solutionem illustris veterum probleniatis de anguli trisectione (Florentiae, 1677, in-4°). Viviani fit voir, par une démonstration géométrique très simple, que les trois points où la conchoïde rencontre la circonférence du cercle, et qui répondent aux trois solutions du problème de la trisection de l'angle, sont sur une hyperbole équilatère.

On sait que la section d'une droite, en moyenne et extrême raison, joue un grand rôle dans la théorie des quantités incommensurables du 10' livre d'Euclide, dans son 13' livre, et dans la théorie des corps réguliers. Les nombreuses propriétés de celte division d'une droite n'ont point échappé à Campanus, qui les a signalées comme étant admirables, et dérivant de quelque principe digne de l'attention des philosophes ^. C'est cette

» Dans l'édition de 1S37 (Basle, in-fol.), qui comprend tous les ouvrages d'Euclide qui nous sont parvenus, ces deux propositions sont placées à la fin du volume.

* MirabiUt itaque est polentia lineœ secundum proportionem habentem médium duoque extrema divisce Cui

division que Lucas di Borgo a appelée proportion divine, dans son ouvrage qui a pour lilre : Divina proportione, de, ci dont il a détaillé treize effetti, ou utilités. Aujourd'hui ces propriétés sont peu connues, parce qu'on ne voit, dans la division d'une droite en moyenne et extrême raison, que la résolution d'une équation du second degré qui doit renfermer toutes ces propriétés. Cela est vrai do celles qui sont purement analytiques, mais les plus remarquables et les plus nombreuses sont celles qui naissent de considéiations géométriques. Elles mériteraient qu'on réunît de nouveau toutes les propositions qui s'y rapportent, comme quelques géomètres ont fait à l'égard de la division harmonique d'une droite '. Ce serait assurément un recueil de propositions intéressantes, qui donneraient lieu à de nouvelles découvertes sur le même sujet, et à quelques relations semblables el d'une plus grande généralité 2.

Campanus cite, dans une note qui est à la suite de la première Proposition du quatorzième livre (le premier des deux d'Hypsicle), Aristée el Apollonius comme ayant démontré cette proposition, que les surfaces du dodécaèdre et de l'icosaèdre réguliers, inscrits à la même sphère, sont entre elles dans le rapport des volumes de ces deux corps. L'ouvrage d'Aristée, dit-il, était intitulé : Exposilio scientiœ quinque corporum, et celui d'Apollonius avait pour objet la Comparaison du dodécaèdre el de Cicosaèdre. Au commencement de la Proposition dixième du même livre, qui est précisément celle que nous venons d'énoncer, Campanus prononce encore les noms d'Aristée el d'Apollonius. Les ouvrages de ces deux Géomètres célèbres de l'Antiquité ne nous sont point parvenus; et peut-être étaient-ils inconnus aussi de Campanus, qui a pu en parler d'après Hypsicle, qui les cite à peu près dans les mêmes termes, au commencement de la seconde Proposition de sou premier livre. Dans sa préface, Hypsicle avait déjà parlé longuement d'Apollonius et de son ouvrage : l)e dodecahedri el Icosahedri in eddem spfiœrd descriploruin comparalione. Il paraît qu'on n'a fait attention généralement qu'à ce passage; car on ne cite ordinairement que l'ouvrage d'Apollonius, et nullement celui d'Aristée, el je ne vois que Ramus qui

cum plurima philosophanlium admiratione digna conveniant, hoc principium vel prœcipuum ex super iurum principiorum invariabili procedit iiatura, ut lam diversa solida tum magniludine tum basium numéro, lum etiam figuré, irrationali quadam symphonia rationabiliter conciliet. (Lib. XIV, Proposition 10.)

' De Biily, Traclatus de proportione harmonica. Paris, 1658, in4°. — Saladini, Délia proporzione armonica. Bologne, 1761, in-8".

* Par exemple : la division d'une droite, en moyenne el extrême raison, se réduit à trouver, «-ntre deux points donnés A, B, un troisième point C, tel que l'on aitïc = AB. CB : un moyen facile de généraliser ceUe question, c'est de la regarder comme dérivant d'une autre, dans laquelle on a supposé qu'un point de la droite proposée a disparu en passant à l'infini. Soit I ce point; le point cherché C devra satisfaire, par nippon aux trois points donnés A, B, I, à l'équation

câ'.Tb! = cb.ci.ba.ia.

En effet, si l'on suppose le point I à l'infini, l'équation se réduit à la première ci-dessus.

Cette équation a cela de remarquable, que chacun des quatre points qui y entrent y joue le même rôle par rapport aux trois autres; et (jue, quel que soit celui des quatre points qu'on suppose à l'infini, l'éciuation résultante exprime toujours la division d'une droite en moyenne el extrême raison.

ait mis ce dernier au nombre de ceux qui ont écrit sur les cinq corps réguliers. Les historiens des Mathématiques ne parlent de lui qu'au sujet de ses cinq livres d'Éléments des coniques, et de ses Lieux géométriques, dont Viviani, comme on sait, a donné une divination.

Du reste, il n'est pas étonnant qu'Arislée ait écrit sur les cinq corps réguliers; car cette théorie a été fort cultivée, et en grand honneur dès la plus haute antiquité des sciences chez les Grecs. Pythagore en avait fait le principe de sa Cosmogonie, dans laquelle les cinq corps réguliers répondaient aux quatre éléments et à l'Univers •, ce qui a fait qu'on les appelait les cinq figures mondaines (figurœ mundanœ^). Platon adoptait ces idées ^, et avait aussi cultivé cette théorie '', sur laquelle Théatète,l'un de ses disciples, passe pour avoir écrit le premier ^. Ensuite, on trouve donc Aristée, puis Euclide, Apollonius et Hypsicle*^. Ce dernier cite, dans ses deux livres, Isidore le Grand, son maître, de qui il avait appris ce qu'il savait sur cet objet. Ces cinq corps réugliers ont joué un si grand rôle dans l'Antiquité, par suite des idées pythagoriciennes et platoniciennes, qu'on les regardait comme étant le but final auquel étaient destinées et l'étude et la science des Géomètres '^.

Pappus nous apprend ^ qu'Archimède a cherché à étendre cette théorie, et que, ne pouvant former plus de cinq polyèdres réguliers, il en avait imaginé d'un nouveau genre qu'on a appelés semi-réguliers : leurs faces étaient, comme dans les cinq premiers, des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux. Ces nouveaux corps étaient au nombre de treize. Pappus en a donné une description très claire, que Kepler a reproduite

* Le cube représenlail la terre; le tétraèdre, le feu; l'octaèdre, l'air; l'icosaèdre, l'eau; et le dodécaèdre, l'Univers. (Plutarque, Placit. philos., liv. 11, cap. VI.)

* Proclus, Commentarius in Euclidem, lib. 11, cap. IV. — Kepler, Harmonices mundi, liber secundis, pag. 58. ' Timée, 3" partie. — Plutarque, Platonicœ questiones.

* Pappus, Collections mathématiques, livre 5, à la suite de la proposition 17. — Proclus, in Euclidem, lib. H, cap. IV.

* Tlieatetus, Alheniensis, Archylœ sodalis, Geometrica auxil, primusque de quinque solidis tractavit u Laerlius et Proclus produnt. (Heilbronner, Historia matheseos, pag. 149.)

*> On n'est pas d'accord sur l'époque oîi a vécu Hypsicle, que les uns placent dans le deuxième siècle de notre ère, et les autres dans le deuxième siècle avant J.-C, un peu après Apollonius. C'est cette seconde époque que nous avons adoptée en parlant d'Euclide; nous avons dit qu'Hypsicie lui était postérieur de près de cent cinquante ans.

Ce fut là le sentiment de Bernardin Baldi, dans sa Cronica de matematici, pag. 37, et de Vossius, qui pensa qu'Hypsicie avait vécu vers le temps de Ptolémée Lalhyre ; et Isidore le Grand, son maître, dont il parle dans ses deux livres, sous Ptolémée Physcone. Cet Isidore le Grand pourrait être, suivant Vossius, celui que cite Pline dans sa Géographie. (Vossius, De scientiis mathematicis, pag. 328.)

Le savant médecin Meniel, dans la préface de sa traduction latine du petit ouvrage astronomique d'Hypsicle, intitulé Anaphoricus sive de Ascensionibus ; Paris 1657, in-4''; et récemment M Delambre {Histoire de l'Astronomie ancienne, lom. I", pag. 246), et M. Franchini (Saggto délia storia délie matemaliche, pag. 146), ont placé aussi Hypsicle vers l'an 146 avant J.-C. Mais Fabricius {Bibliotheca grœca, tom. II, pag. 91), et d'après lui, Weidier, Heilbronner, Montucla et Lalande, l'ont fait naître dans le second siècle de notre ère.

' Nihit in antiquâ Geometriâ speciosius visium est quinque corporibus ordinatis, eorumque gratta Geometriam, ut ex Proclo, initio, dictum est, inventa esse veteres illi crediderunt. Ramus, Scholarum malhematicarum, liber xxx )

* Collections mathématiques, livre 5, à la suite de la Proposition 17.

en donnant les figures qui s'y rapportent, dans le second livre de son Harmonie du Monde. Les historiens passent sous silence ce travail d'Archimcde : il est vrai qu'il est, par sa nature, bien inférieur aux autres découvertes de ce grand homme. Il eût été plus digne du génie d'Archimède, puisqu'il voulait aller au delà d'Euclide et des autres Géomètres, dans cette théorie des figures régulières, de créer les nouveaux polyèdres étoiles, qu'a décrits M. Poinsot, et qui forment la véritable extension dont celte antique et célèbre théorie était susceptible.

Revenons à Campanus. Lucas Gauricus, Astronome et Astrologue napolitain, a mis au jour, au commencement du XVl^ siècle, sous le nom de ce Géomètre, un Traité De tetragonismo, seu Quadratitra circuli '; et depuis, quelques auteurs ont répété que Campanus a écrit sur la Quadrature du cercle. Mais l'ouvrage dont il s'agit ne dénote qu'ignorance dans son auteur, et est absolument indigne de porter le nom du savant interprète d'Euclide. L'auteur prend pour base de sa quadrature le rapport^ de la circonférence au diamètre, a secundùm quod plerique mathematici scripserunt et juxta p/iysicam veritatem ; » et, en passant par quelques propositions intermédiaires, il en conclut que le côté du carré qui est égal en surface à un cercle, est cinq fois et demie la septième partie du diamètre du cercle. De sorte que D étant le diamètre, l'aire d'i cercle sérail 4(7) , au heu de -^•^.

Sacro Bosco a dû une longue célébrité à son Traité De sphœrâ mundi, qui est un extrait de l'Almageste de Ptolémée, et qui, pendant plus de quatre cents ans, a servi, dans les écoles, à enseigner l'Astronomie. Imprimé pour la première fois en 1472, à Ferrare, il a eu depuis au moins cinquante éditions. Un grand nombre d'auteurs des plus célèbres, tels que Purbach, Regiomontanus, Elie Vinet, Clavius, etc., l'ont éclairci par des notes ou des commentaires.

Mais il est important de remarquer ici, pour se faire une idée vraie de l'état de la science alors, que cet ouvrage ne contenait que les notions les plus élémentaires de Ptolémée; il faisait connaître les cercles de la sphère, les phénomènes du mouvement diurne, et disait quelques mots des éclipses. Ce n'est que deux siècles plus tard que l'on fît un pas de plus dans la connaissance de l'Almageste, et que Purbach expliqua la théorie des planètes, qui en est la partie la plus importante et la plus diflicile.

Sacro Bosco a laissé, sous le titre : De Algorismo, un Traité d'Arithmétique écrit en vers. C'est notre Arithmétique actuelle ^ : Sacro Bosco l'attribue aux Indiens. Il la divise en neuf parties, qui sont : Numération^ addition, soustraction, médiation ^, dnplation *, mul-

» Telragonismus, id est circuli quadratura per Campinnm, Archimedem Syracusanum atque Bœlium mathematico! perspicacissimos adinventa. Veneliis, 1503, in-4».

' On a, du même temps, un autre Traité d'Arithmétique écrit aussi en vers latins, par Alexandre de Villedieu. (Vossius, Descientiis malhemalicis, pag. 40. — Daunou, Histoire littéraire de la France, lom. XVI, pag. 113.)

* Division par deux.

* Multiplication par 2. Cette opération et la médiation ont été comprises, dans les ouvrages du XVI« siècle, dans les règles générales de la multiplication et de la division; de sorte que les Traités d'Arilhmétique n'ont plus eu que sept chapitres au lieu de neuf. (Voir la Snmma de Arithmelica, de Lucas di Borgo.)

tiplkation, division, progressions et extraction des racines carrées et cubiques. Pendant très longtemps, les Traités d'Arithmétique se sont composés de ces neuf chapitres : on les trouve encore dans des ouvrages du XVI' siècle.

On a, de Sacro Bosco, quelques écrits sur l'Astronomie, où les calculs sont faits en chiffres arabes. Ces pièces, et le Traité de l'Algorisme sont restés manuscrits. Les chiffres de Sacro Bosco sont l'origine des nôtres : on suit très bien, dans les manuscrits du XIV* et dttXV' siècle, et même dans plusieurs ouvrages des premiers temps de l'imprimerie, les petites altérations successives qui leur ont donné définitivement la forme actuelle.

On doit, à Jordan Némorarius:

1° Un ouvrage d'Arithmétique, en dix livres, qui est un Traité sur les propriétés des nombres, imité de ceux de Nicomaque et de Boèce. Cet ouvrage a été imprimé, avec des Commentaires de Fabre d'ÉtapIes {Faber Stopulensis), en 1496, et a eu depuis plusieurs autres éditions;

2° Un Traité d'Arithmétique pratique, dans le système arabe, intitulé Algorismus, qm est resté manuscrit;

3" Un Traité du Planisphère, qui a été imprimé en 1507, 1S36 et 1558, avec celui de Plolémée. C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois, dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection stéréographique qui est le fondement de la construction du Planisphère, à savoir que : tout cercle se projette suivant un cercle. Ptolémée n'avait démontré ce théorème que par des positions particulières du cercle de la sphère mis en perspective, parce que cherchant partout la clarté et la facilité, comme le dit Proclus au chapitre X de son Hypotypose, il n'introduisait dans ses ouvrages et n'y démontrait que les propositions géométriques qui lui étaient absolument indispensables

Ptolémée faisait la projection sur le plan de l'équateur, l'œil étant placé au pôle ; Jordan l'a faite sur le plan langent à la sphère, mené par le second pôle. Depuis, Maurolycus et les autres Géomètres l'ont imité. Nous remarquons ces légères différences entre l'ouvrage de Jordan et celui de Ptolémée, parce qu'elles sont, pour l'époque, de véritables innovalions qui marquent les premiers pas de l'esprit de recherche et d'invention, qui était rare au XIII" siècle, oîi les intelligences avaient assez à faire d'acquérir les connaissances que les Arabes leur livraient.

La dénomination de projection stéréographique, que l'on a donnée à la projection employée par Ptolémée dans son Planisphère, est moderne; elle est due à Aguilon qui l'a proposée et s'en est servi dans son Optique '.

La projection stéréographique jouit d'une propriété très remarquable, qui consiste en ce que l'angle de deux cercles tracés sur la sphère, est égal à l'angle des deux cercles enpro-

* Aguilonii Opticorum libri sex- Paris, 1613, in-fol. « Quare tametsi STEnEOGRAPHiCEs nomine nusquam vocatum hoc projectionis genus reperimus; quià lamen nec alio quidem ullo solilum est appelari, placuit hoc nomen usurpare, quod nobis in prœsenti visum est ad rem ipsam quàm maxime accomodatum » (in praefalione).

jection. Ce beau théorème n'a pas été aperçu par Ptolémée ni par Jordan K L'ouvrage le plus ancien, à la connaissance de M. Delambre, où il se trouve, est le Traité de Navigation de Roberston (1754). (Voir Trailé d'Astronomie, tom. III.)

Il existe un Traité manuscrit De Iriangulis, de Jordan *.

Il avait aussi écrit trois livres De Geomelriâ, que Vossius suppose devoir se trouver dans la Bibliothèque du Vatican ', et qu'a possédés aussi la Bibliothèque de l'Académie de Leipsick *.

Ramus lui attribue la démonstration de l'élégante formule pour l'aire du triangle en fonction des côtés ^. Nous ne savons dans quel ouvrage Jordan l'a donnée; M. Venluri ne l'a pas trouvée dans son traité De iriangulis ^. Cette démonstration est la même que celle que Léonard de Pise a donnée, dans le même siècle, dans sa Géométrie pratique. Elle paraît être d'origine arabe; car elle se trouve dans l'ouvrage des trois Géomètres, fils de Musa ben Schaker, et dans celui du juif Savosarda,

Jordan a aussi écrit sur l'Optique et sur la Mécanique 7.

Albert le Grand, ainsi nommé, dit Montucla, soit à cause de sa réputation, soit parce que son nom propre, qui est Grolt, signifiait grand dans le langage du temps, avait écrit sur l'Arithmétique, la Géométrie, l'Astronomie et la Musique. Ces ouvrages ne nous sont point parvenus. H fut célèbre par son habileté en Mécanique. Cet écrivain, d'une fécondité étonnante, avait une connaissance étendue des ouvrages arabes.

Roger Bacon, l'un des plus puissants génies du Moyen âge, occupe le premier rang parmi les promoteurs de la renaissance générale des lettres et des sciences. Il contribua particulièrement aux progrès des Mathématiques en montrant, dans plusieurs de ses ouvrages ^ le rang qu'elles tiennent dans l'ensemble des connaissances humaines, et les secours qu'elles peuvent procurer dans toutes les recherches scientifiques, dont elles sont le fondement. Son Optique contient, comme tout le monde le sait, de savants aperçus et des découvertes réelles en théorie, et l'invention de plusieurs instruments devenus de la plus haute utilité.

Ses connaissances en Astronomie lui firent reconnaître les erreurs du calendrier, dont il conçut la réformation. Le calendrier qu'il calcula, et qui est resté manuscrit, se distingue par sa correction et par l'usage des chiffres arabes, qui sont les mêmes que ceux de Sacro Bosco.

* Nous avons dit, dans noire cinquième Époque, que la projection sléréographique jouit d'une autre propriété assez belle, concernant la détermination du centre d'un cercle en perspective; et que les principes de celte projection, transportés aux surfaces du second degré, forment aujourd'hui une méthode de recherche en Géométrie rationnelle.

* Ce Traité se trouve dans la Bibliothèque des Dominicains k Florence (Montfaucon, Bib. bib.); dans celle de la ville de Bàle (Haenel, Calalogi, etc.), el dans la Bibliothèque royale de Paris (n» 7378 A.).

' De scientiis mathemalicis, pag. 333.

* G Gesner, Bibliolhecauniversalis, etc., lom. II, fol. 77 v».

* Scholœ mathematicœ ; à la suite du livre 31 «.

* Commentari sopra la sforia e le teon'e delV oUica. Commentario II; del Traguardo, cap. xix. ' Jordani de ponderibus propositions XI U el demnmtraliones. Norimbergae, 1331, in-4».

• Spécula mathematica. — Opus Majus ; quatrième, cinquième et sixième parties.

Vitellion a laissé un savant Traité d'Optique, imité de celui (le l'Arabe Alliasen, et qui est remarquable, surtout pour l'époque où il parut, par les principes de bonne Géométrie de l'École grecque, sur lesquels il repose.

Tout le 1" livre est consacré à la Géométrie. L'auteur y a réuni les propositions dont il aura à faire souvent usage dans la suite, et qui ne se trouvent pas dans les Éléments d'Euclide. Quelques-unes sont prises des Coniques d'Apollonius, que cite Vitellion. D'autres, qui concernent la division harmonique d'une ligne droite, sont dans le genre de celles qu'on trouve dans le 7* livre des Collections mathématiques, de Pappus. D'autres enfin sont dans le genre de celles qui se trouvent dans le traité De inclinationibus, d'Apollonius, Mais il n'est pas fait mention de cet ouvrage, ni de celui de Pappus.

Yitellion, en citant les Éléments d'Euclide et les Coniques d'Apollonius, ouvrages avec lesquels il paraît familiarisé, nous montre, d'une part, qu'une traduction d'Euclide, autre que celle de Campanus, alors trop récente, élait déjà en circulation en Europe; et ensuite que le fameux Traité des Coniques y était aussi déjà connu. On avait pensé que l'on n'avait commencé à le connaître que deux cents ans plus tard, vers le milieu du XV" siècle, où Regiomontanus en méditait une édition '.

Un autre écrivain, contemporain de Vitellion, Peccam, archevêque de Canlorbéry, a aussi laissé un Traité d'Optique, mais qui est moins savant que celui du géomètre polonais.

Vincent de Beauvais n'est point un auteur original; mais son Spéculum mundi, recueil immense, qui a reçu le nom d'Encyclopédie du Xlll^ siècle, mérite d'être cité comme donnant une idée de l'état où les sciences se trouvaient à cette époque, si l'on n'y comprend pas toutefois les progrès notables qu'elles ont faits dans ce siècle même. On trouve, dans cet ouvrage, des extraits d'Euclide, d'Aristote, de Vitruve qtii avait paru jusque-là inconnu dans le Moyen âge, de Boèce,de Cassiodore, d'Isidore de Séville, d'Alfarabius, d'Avicenne et de divers auteurs arabes.

Vincent de Beauvais dit qu'Alfarabius ^ distinguait huit sciences mathématiques, qui sont l'Arithmétique, la Géométrie, la Perspective, l'Astronomie, la Musique, la Métrique ou la science des poids et mesures, et la science des esprits (c'est-à-dire la Métaphysique). Il n'y a là que sept sciences; la huitième qui est omise, est l'Algèbre, qu'Alfarabius avait placée après l'Arithmétique. Vincent de Beauvais n'en parle pas non plus dans la suite, ce qui fait penser qu'alors l'Algèbre avait à peine pénétré en France, ou du moins qu'elle n'y était connue que dans le cercle restreint d'un très petit nombre de mathématiciens.

Notre système de numération est exposé très clairement, avec le zéro, sous le litre à'Algorismus. La Géométrie se réduit aux définitions et à quelques notions élémentaires. Ce qui nous prouve que les matières sur lesquelles roulaient les savants ouvrages de Sacro Bosco, de Campanus, de Jordan, de Vitellion, étaient encore toutes nouvelles, et que la connaissance n'en était point parvenue à Vincent de Beauvais.

' Montucla, Histoire des Mathématiques, tom. I", pag. 248.

* Alfarabius fut l'un des Arabes les plus célèbres du X« siècle, surtout comme Géomètre ei Astronome. Dans le catalogue de ses nombreux ouvrages on en remarque un dont le litre : Nilus felicitalum, seu disciplinarum mathematicarum Thésaurus, prouve tout le prix qu'il attachait à la culture des Mathématiques.

NOTES. ni9

Si nous avions suivi l'ordre chronologique, dans noire examen des écrivains du XIII' siècle, nous l'aurions commencé sans doule par Fibonacci, appelé communément Léonard de Pise, dont le Liber Abbaci porle la date de 1202. Mais cet ouvrage a eu une telle influence sur la direction qu'ont prise les sciences mathématiques au XV siècle, que nous avons voulu le distinguer spécialement de ceux dont nous avons parlé jusqu'ici. Ceux-ci appartenaient à l'École grecque, quoique ce soit par l'entremise des Arabes, et dans leur langue, qu'ils aient pénétré en Europe. Ceux de Léonard de Pise, au contraire, nous paraissent être d'origine hindoue, quoiqu'ils aient passé aussi par la main des Arabes. C'est de là que piovient le caractère qui les distingue des autres.

Léonard Fibonacci a voyagé, comme l'on sait, en Orient; et à son retour, il a fait paraître un Trailé d'Arithmétique et d'Algèbre, commençant par ces mots : Incipit Liber Abbaci compositus à Leonardo filio Donacci Pisano, in anno i202. L'Arithmétique est notre système actuel, avec le zéro; Fibonacci l'attribue aux Indiens :

« Novem figiirœ Indorum hœ sunt :

viiii, Vin, VII, VI, V, iiii, III, II, L

cum is ilaque novem figuris et cum hoc signo o qiiod arabicè zephirum appellatur, scribitiir quilibel numerus, etc. 2. »

Le Traité d'Algèbre, que Fibonacci appelle, comme les Arabes, Algebra et Almuchaba, s'étend jusqu'à la résolution des équations du second degré, et de quelques autres qui se réduisent à celles-là. Il est une imitation de cette partie de l'Algèbre, traitée par Mohammed ben Musa, qui était élémentaire, et en quelque sorte populaire au IX" siècle, chez les Arabes. Fibonacci y fait des applications de cette science à la Géométrie. Et c'est là le premier exemple et rorigine,chez les mathématiciens européens, de l'introduction de l'Algèbre dans les démonstrations et les spéculations de la Géométrie. Cette alliance de deux sciences qui avaient été si distinctes chez les Grecs, forme le caractère propre de l'ouvrage de Fibonacci, où non seulement elle se trouve mise en pratique, mais oii elle est exprimée for-

• Ces chiffres ressemblent à ceux de Sacro Bosco, que beaucoup d'auteurs ont rapportés dans leurs ouvrages. {Voir particulièrement Heilbronner et Monlucla.) Du reste, les chiffres arabes, qu'on trouve dans un grand nombre de manuscrits latins du Xill* et du XIV'' siècles, ont toujours la même forme.

' On voit que presque tous les auteurs du XI1I« siècle : Fibonacci, Jordan, Sacro Bosco, Vincent de Beauvais, Alexandre de Villedieu, Roger Bacon, ont écrit sur le système de numération arabe, ou plutôt Indien. Cela prouve évidemment que, depuis longtemps, ce système était déjà connu et pratiqué des mathématiciens; et que les recherches à faire pour fixer la date de son introduction en Europe, dont l'honneur ne peut être attribué à Fibonacci, ni à aucun des autres écrivains que nous venons de nommer, doivent remonter au delà du X1II« siècle. On ne peut croire que les écrivains du siècle précédent, qui avaient rapporté d'Espagne de nombreuses traductions des principaux ouvrages des Arabes, n'y aient pas compris leur système de numération, tant pour lui-même que parce qu'il devenait indispensable pour traduire leurs Tables et autres ouvrages astronomiques; tels que ceux d'Arzachel, d'Alfraganus, etc.

En effet, nous avons déjà cité un Traité ^'Alyorisme qui paraît être de Gérard de Crémone, et un autre de Jean Hispalensis. Ces deux écrivains ont vécu dans le XII< siècle.

mellement comme tenant à la nature même des deux sciences qui doivent se prêter de mutuels secours; car, dans sa prélace, Fibonacci dit : Et quia Arithmelica etCeometriœ scienlia sunt connexœ, et su/fragaloriœ sibi ad invicem, non potest de numéro plena tradi doclrina, nisi imeranlur geomelrica quœdam, vel ad Geomelriam spectantia; et il ajoute que souvent, les règles et les opérations de l'Algèbre tirent leur évidence et leurs démonstrations des figures et des considérations géométriques. Ensuite l'auteur annonce qu'il traitera avec plus d'étendue de ce qui concerne la Géométrie, dans un livre de Géométrie pratique qu'il a composé.

Cet ouvrage, divisé en huit chapitres, est intitulé : Leonardi Pisani de filiis Bonacci Practica Geomelricœ, composila anno MCCXX. Il est resté manuscrit, de même que le Traité d'Algèbre. Bernardin Baldi nous apprend que Commandin avait préparé une édition de ce Traité de Géométrie, mais qu'il est mort sans avoir pu réaliser ce projet '. Edouard Bernard, savant Géomètre et Astronome anglais, du XVII" siècle, devait comprendre le Traité d'Algèbre dans le septième volume de la magnifique collection, qu'il avait préparée, des ouvrages des mathématiciens anciens 2.

Fibonacci avait laissé un Traité des nombres carrés qui, d'après ce qu'on en peut juger par des passages de la Summa de Arithmelica, etc., de Lucas di Borgo, et de l'Arithmétique de Cardan, qui le citent, roulait sur l'Analyse indéterminée, du premier et du second degré. Les formules dont ces deux géomètres font usage différent de celles de Diophanle, et sont les mêmes que celles que l'on trouve dans les ouvrages indiens, à l'exception toutefois qu'elles ne résolvent point des questions aussi difficiles et aussi générales que dans ces ouvrages indiens. Nous devons regarder ce Traité de Fibonacci comme une copie de quelque ouvrage arabe, emprunté lui-même de ceux des Hindous.

Ainsi, en somme, les écrits de P'ibonacci, qui au XVh siècle ont été le modèle et le fondement de ceux de Lucas di Borgo, de Cardan et de Tarlalea, avaient une origine purement arabe, et primitivement hindoue. C'est donc une opinion erronée, sur laquelle il faut revenir, que nous avons dû notre savoir et nos progrès dans les sciences, directement et exclusivement, aux ouvrages des Grecs.

Les ouvrages de Fibonacci, dont on reconnaît aujourd'hui toute I importance, sont cependant encore inédits; les manuscrits en sont très rares; etle Trailé des nombres carrés est déjà perdu, depuis une soixantaine d'années. C'est le sort réservé aux Traités d'Algèbre

' Cronica de matemalici, pag. 89.

* Celle collection devait avoir quatorze volumes; le détail des ouvrages qui devaient y entrer se trouve dans la Bibliolheca grœca de Fabrieius (lib. 3, cap. XXIII).

On remarque, dans le volume VI, destiné à l'Algèbre, le titre suivant d'un ouvrage de Thebit ben Corail, qui montre bien l'alliance intime que les Arabes avaient établie entre l'Algèbre et la Géométrie, qui forme le caractère propre de leur science malhématique : Thabeti tractatus de verilate propositionum algebricarum demonstrationibus Geometricis adstruenda, cum aliis tractatibus egregiis, quœ Gebricam arlem speclant. Arabicè et latiuè.

Les immenses et précieux matériaux préparés par Éd. Bernard ont passé, après sa mort, dans la Bibliothèque Bodiéienne. On a lieu de s'étonner qu'une aussi belle et aussi utile entreprise n'ait pas reçu son exécution, dans un pays oii les sciences ont trouvé souvent de nobles et généreux encouragements.

et (Je Géoméirie, si l'impression ne vient promplemcnt nous assurer la conservation de ces monuments si précieux de l'histoire scientifique des Européens i.

Le XW" siècle paraît avec moins d'éclat que le XII1% dans l'histoire du Moyen âge, parce qu'en effet les productions neuves et importantes qui rendent célèbres les noms de Fibonacci, de Sacro Bosco, de Campanus, de Jordan, de Vitellion, de Roger Bacon, demandaient à être méditées et étudiées silencieusement pour être bien comprises et porter leur fruit. Toutefois le XIV* siècle, trop peu connu encore, nous semble avoir rempli sa tâche; les études mathématiques ont continué d'être cultivées, et elles ne se sont point réduites à la simple reproduction ou à l'imitation de quelques ouvrages arabes : de premiers efforts ont été faits pour appliquer les connaissances acquises, et pour aller au delà; les esprits ont été préparés à la lecture des textes grecs et au mouvement rapide et général qui a produit, dans le siècle suivant, le renouvellement des sciences.

Le premier tiers du XIV" siècle nous offre un homme qui a eu une grande célébrité par son savoir en Philosophie, en Mathématiques, en Théologie et dans la littérature arabe, Thomas de Bradvvardin, archevêque de Cantorbéry. Nous avons fait connaître la savante théorie des polygones égrédients que" ce Géomètre imagina, sur la simple donnée du pentagone étoile de Campanus. Celle théorie était véritablement une conception nouvelle, qui doit faire honneur au XIV° siècle. Elle se trouve, comme nous l'avons dit, dans un Traité intitulé : Geomctria speculativa, qui a été imprimé en 1496, et a eu depuis plusieurs autres éditions ^. Cette date de 1496 paraît avoir induit en erreur les historiens des Mathématiques, Bernardin Baldi, Heilbronner et Montucla, qui ont placé l'auteur à la tin du XV" siècle; et c'est peut-être là la cause pour laquelle on n'a pas fait attention, jusqu'ici,

* « Les personnes qui ne sont pas spécialement occupées de recherches historiques, ne sauraient s'imaginer

» combien de manuscrits précieux ont été détruits, même dans ces derniers temps Après de si coupables

» négligences, comment ose-t-on parler encore de la destruction des manuscrits au Moyen âge? Sous peine de « passer pour des barbares aux yeux de la postérité, il faut arrêter une telle dévastation. ^ {Histoire des sciences mathématiques en Italie, lom. I<"", pag ij).

Nous nous faisons un devoir de répéter ces paroles de M. Libri; nous voudrions qu'elles eussent souvent de l'écho. Maison sent que le devoir qu'elles commandent n'est point celui de simples particuliers ; mais bien celui des gouvernements désireux de contribuer aux progrès des sciences et du développement de l'intelligence humaine. L'impression de quelques manuscrits auxquels s'attache un intérêt scientifique et historique, de même que la reproduction, dans la langue nationale, de quelques ouvrages étrangers, serait de leur part une digne et utile coopération, peu coûteuse du reste, aux travaux des hommes qui se vouent à l'étude.

Une seconde mesure à prendre, pour arrêter la destruction des raretés liuéraires (telles, par exemple, que les productions du XYII» siècle, qui disparaissent tous les jours), serait rétablissement d'une Bibliothèque spéciale, destinée aux sciences; Bibliothèque en quelque sorte historique, où se trouveraient réunies, par siècles, toutes les productions du savoir et du génie, et qui deviendrait un centre oîi chacun se ferait un devoir et un bonheur de porter ses petites propriétés particulières, qu'on laisse perdre aujourd'hui, parce qu'on ne sait réellement à quoi les réunir pour les rendre utiles et leur assurer une conservation durable.

» Dans un manuscrit de la Bibliothèque royale (n» 7368, copie du XIV* siècle) se trouve une pièce intitulée, dans le catalogue, Fragmentum elementorum Geometriœ, oh nous avons reconnu des passages de la Géométrie de Bradwardin. La théorie des polygones égrédients y est; mais on ne trouve dans les figures que le pentagone de seconde espèce et l'heptagone de troisième espèce, qui y sont appelés, comme dans l'ouvrage imprimé, pentagone du premier ordre, et heptagone du second ordre. Les autres polygones égrédients n'y sont pas représentés.

à son ouvrage; car le rajeunir ainsi de plus d'un siècle el demi, c'était en diminuer le mérite. Pour l'époque oui il fut écrit, il nous paraît remarquable, non seulement par la théorie des polygones égrédients, mais encore par plusieurs autres, parmi lesquelles on dislingue quelques propositions sur les figures isopérimèlres.

Voici l'analyse de cet ouvrage :

Son second titre est : Brève compendhim arlis Geomelriœ à Thoma Bravardini ex libris Eticlidis, Boetii, et Campani peroptimè compilatiim. L'auteur aurait dû nommer aussi Archimèdc et Théodose, qu'il cite souvent, et de qui il a fait plusieurs emprunts, pris du livre De quadralurâ circttli du premier, et des Sphériques du second.

L'ouvrage est en quatre parties :

La première comprend les définitions, les axiomes et les postulala qui sont en tète des Éléments d'Euclide ; el la théorie des polygones égrédients.

La deuxième partie traite des triangles, des quadrilatères, du cercle, et des figures isopérimètres, dont Euclide n'a pas parlé dans sa Géométrie, ainsi que le remarque Bradwardin. Mais on sait que, dans l'École même de Pythagore, celte théorie a été ébauchée; et que Zénodore, disciple de ce philosophe, a laissé sur cette matière un écrit, destiné à combattre ce préjugé vulgaire que les ligures de contours égaux avaient des capacités égales. Cet ouvrage, le plus ancien des écrits géométriques des Grecs, qui nous sont parvenus, a été conservé par Théon, dans son Commentaire sur l'Almageste '. Pappus a traité aussi cette matière, au commencement du cinquième livre de ses Collections mathématiques. Bradwardin ne dit pas si les propositions qu'il démontre sont prises de cet ouvrage, ou de l'Almageste, ou bien s'il les a imaginées de lui-même. En voici les énoncés :

Première proposition. De tous les polygones isopérimètres, celui qui a le plus grand nombre d'angles est le plus grand en surface.

Deuxième proposition. De tous les polygones isopérimètres, d'un même nombre d'angles, le plus grand est celui qui a ses angles égaux.

Troisième proposition. De tous les polygones isopérimètres qui ont le même nombre de côtés et leurs angles égaux, le plus grand est celui qui a ses côtés égaux.

Quatrième proposition. De toutes les figures isopérimètres, le cercle est la plus grande. L'auteur ajoute que la sphère jouit de la même propriété parmi les solides.

La troisième partie de l'ouvrage traite des proportions et de la mesure des aires du triangle, du quadrilatère, des polygones et du cercle.

Bradwardin dit que l'aire du cercle est égale à celle du rectangle construit sur la moitié de la circonférence et de la moitié du diamètre, pour côtés. Il conclut cette proposition de celle d'Archimède qui est la même, en d'autres termes, et qu'il emprunte, sans démonstration, du livre De quadraturâ circuli, où elle est énoncée ainsi : Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, el dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

« Clavius l'a reproduit dans son commenlaire sur la Sphère, de Sacro Bosco,

Bradwardin ajoute que le rapport de la circonférence au diamètre est'^^ ; « hoc ni liabelur » ab eodem Archimenide ^ in prœdicto libello [De quadraturd circuli.) »

La quatrième partie traite des figures à trois dimensions, des plans, des angles solides, des cinq corps réguliers et de la sphère.

Le chapitre de la sphère est une collection de diverses propositions sur les cercles tracés sur cette surface, que Bradwardin dit avoir prises du livre des Sphénques, de Théodose.

Enfin on trouve un petit Traité particulier sur la quadrature du cercle, qui est intitulé : Traclalus de quadraturd circuli éditas à quodam archiepiscopo ordinis fratrmn minorum. Ce Traité est précisément le môme que celui que Gauricus a attribué à Campanus. D'après ce que nous en avons dit, on pensera qu'il ne doit pas plus porter le nom de Bradwardin que celui de Campanus.

Une idée de Bradwardin, fruit des premières lueurs de la philosophie platonicienne qui commençait à pénétrer en Europe, mérite d'être remarquée. C'est que cet écrivain chercha, le premier, à appliquer la méthode géométrique à la Théologie, et répandit de la sorte les premiers germes de cet esprit d'indépendance qui ne tarda point à se faire sentir dans les cloîtres et les couvents; et qui, cultivé avec plus de succès dans le siècle suivant, par un autre prince de l'Ëglise, le cardinal Nicolas de Cusa, philosophe platonicien, secoua le joug de la scolastique du Moyen âge, et aboutit à la philosophie moderne.

Continuons l'histoire du XIV* siècle. Pedisiamus, au commencement de ce siècle, a écrit sur la Géométrie et la Géodésie; le moine Barlaam a laissé un Traité d'Arithmétique, et un Traité d'Algèbre, en six livres, intitulé : Lorjislicœ libri VI, écrit en grec 2, quoique l'auteur fût italien; mais il avait été résider en Orient pour apprendre la langue grecque. Une version latine du Traité d'Algèbre a été imprimée en 1572 (Strasbourg, in-S"), puis en 1606 (Paris, in-4°), avec des scolies de Jean Chamber. Le Traité original est peutêtre le plus ancien ouvrage d'Algèbre qui nous soit parvenu, après celui de Fibonacci, qui lui est antérieur de plus d'un siècle.

Killingworth a laissé des Tables astronomiques, et un Traité d'Algorisme.

Simon de Bredon a commenté l'Almageste de Ptolémée 3, et a écrit sur l'Arithmétique.

Isaac Argyrus, moine grec^ a calculé des Tables astronomiques, et a écrit sur l'Astrolabe; sur l'Arithmétique, De extractione radicis quadraticw quadratorum irrationaliiim ; sur la Géodésie, Compendium geodœsiœ seu de dimensionc locorum methodus brevis uc tuta; et sur différentes parties de la Géométrie, De invenlione quadrangularium lalernm ; Theoremala de IriancjuHs; De dimensione triangulorum aliarumqiie /iguraruin; De fiyuris non reclangulis ad rectangulas reducendis.

* Bradwardin appelle Arcliimède i4rc/ijmen»des.

* Delambre, en rendant compte du livre de cet ouvrage qui se rapporte aux calculs astronomiques, a placé l'auteur avant Uède, en disant toutefois que l'on ignore l'époque |)récise oii il a vécu. Celte inadvertance est singulière, car Harlaam est un personnage encore célèbre dans l'histoire liltéraire et politique du XiV' siècle.

» Éd. Bernard devait comprendre cet ouvrage dans le tome VIII de sa collection, dont nous avons parlé plus haut. Il l'intitule : Super demonslrationes aliquas Almagesli : Opds perdoctum.

Aucun de ces écrits n'a été imprimé; nous regrellons de ne pouvoir dire quel en est l'objet, ni ce qu'ils offraient, dans le temps où ils ont paru, de neuf et d'utile. Edouard Bernard devait en comprendre un, en grec et en latin, sous le titre : De figurarum transmulatione, dans sa collection des auteurs anciens.

Paolo di Digomari, connu sous le nom de Paolo dell Abbaco, a écrit sur l'Algèbre, la Géométrie et l'Astronomie, et fut aussi un littérateur distingué, qui a mérité d'être cité à côté de ses célèbres contemporains : le Dante et Pétrarque.

Montucla place au XIV*" siècle Biagio di Parma, qui écrivit sur l'Arithmétique, la Géométrie, l'Astronomie et l'Optique, et qui fut un homme distingué dans son temps. Lucas di Borgo le cite parmi quelques auteurs modernes dont les ouvrages lui ont été utiles pour composer sa Summa de Arithmetica, etc. Mais il le place immédiatement après Léonard de Pise, et avant Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue, ce qui nous porterait à croire que ce Géomètre l'a regardé comme étant du XIII' siècle, car il a observé, du reste, l'ordre chronologique dans renonciation des autres noms qu'il cite. Ce sont, parmi les Anciens, Euclide et Boèce, et, parmi les Modernes, Léonard de Pise, Biagio di Parma, Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue.

Ce dernier a vécu sur la fin du XIV' siècle et dans le commencement du XV*; il a calculé des Tables astronomiques, et écrit un livre De algorWimo, où Montucla suppose qu'il a traité de l'Algèbre [Histoire des Mathématiques, tom. H, pag. 716) ; mais cet ouvrage est probablement un simple Traité d'Arithmétique pratique, comme tous ceux qui portent le même nom d'Algorisme; d'autant plus que Bernardin Baldi ne cite Prosdocimo que comme ayant écrit sur l'Arithmétique et non sur l'Algèbre. Du reste, le traité De algorillimo a été imprimé en 4483. C'est peut-être le premier ouvrage sur notre système de numération que l'Imprimerie ait mis au jour. Le Compendium arithmelicis Boetii, de Fabre d'Étaples, a bien été imprimé en 1480; mais cet ouvrage ne roule que sur l'Arithmétique spéculative, ou Théorie des nombres, qui est indépendante de la manière de les représenter en se servant de quelques-uns seulement pour exprimer tous les autres '.

Cossali, dans son Histoire de l'Algèbre 2, cite plusieurs autres Italiens qui ont écrit sur cette science, dans le XIV siècle. On y voit que Guillaume de Lunis avait traduit l'Algèbre de Mohammed ben Musa, sous le titre La Regola delV Algebra. Nous avons dit, en parlant de la Géométrie chez les Arabes, qu'on avait eu, dans le XIII" et le XI V^ siècle, plusieurs autres traductions latines de cet ouvrage, dont l'une a été reproduite par M. Libri, dans le premier volume de son Histoire des sciences mathématiques.

L'Astronomie a été la science la plus cultivée dans le cours du XIV siècle, où l'on

• Le Traité De algorithmo, de Prosdocimo, nous parait oiTrir de l'intérêt, parce qu'il confirme l'opinion de Wallis sur l'idenUté de la signification des mots abacus et algorismus, dont il pensait que le second avait remplacé le premier, dans les derniers temps du Moyen âge. Wallis ayant lu, dans un manuscrit de la Bibliothèque Bodléienne, que Hormann Contractus et Prosdocimo avaient écrit sur Vabacus, ajoute que cela signifie, sous un autre nom, algorismus, ou système de numération arabe. Le titre de l'ouvrage de Prosdocimo, que Wallis ne connaissait pas, justifie pleinement son opinion.

« Storia critica dell' ortgine, trasporto e primi progressi in Ilalia delV Algebra. Parme, 1797; 2 vol. in-i"

trouve un grand nombre d'Astronomes; la plupart ont laissé des Traités de l'Astrolabe. Nous n'avons point eu à les nommer, parce qu'il paraît qu'ils n'ont pas écrit particulièrement sur la Géométrie.

On voit, par ce qui précède, que les connaissances mathématiques, chez les chrétiens du Moyen âge, se sont formées lentement depuis le VIII* siècle jusqu'à la fin du XIV% d'abord de quelques notions superficielles, empruntées primitivement des Grecs et transmises par Boèce, Cassiodore et Isidore de Séville, et ensuite des ouvrages véritablement savants, que vers le XII* siècle on a tirés de l'Espagne et traduits de l'arabe en latin. Ceux-ci paraissent aujourd'hui, d'après les citations que nous avons faites, avoir été en très petit nombre; car, après avoir trouvé des traductions d'Euclide, de Théodose, de Ptolémée, d'Alhazen, de Mohammed ben Musa, nous avons auguré seulement, de quelques passages de l'Optique de Vitellion, que les Coniques d'Apollonius étaient connues, mais nous n'avons eu à citer aucune traduction de cet ouvrage important, ni de ceux d'Archimède, de Héron, de Ménélaûs, de Pappus, de Serenus, de Proclus. Cependant nous ne pouvons croire que les ouvrages de ces Géomètres grecs, dont il existait de nombreuses traductions arabes, n'aient pas pénétré chez les chrétiens d'Europe, au XII" et au XIII' siècle, en même temps que les Éléments d'Euclide. Et, en effet, il existe des traductions latines de quelques-uns *. Mais leur rareté, et le silence gardé sur les Géomètres qui en ont été les auteurs, ou qui s'en sont servis, prouvent que ces ouvrages ont été peu connus, et que les sciences mathématiques, à la fin du XIV' siècle, étaient encore dans l'enfance, en comparaison de l'état florissant qu'elles avaient atteint, dès les premiers temps de l'École d'Alexandrie, chez les Grecs, et dès le IX* siècle chez les Arabes '.

Mais, au XV* siècle, qui est l'époque de la renaissance générale des lettres, des sciences et des arts, en Europe, les sciences mathématiques reçurent une impulsion nouvelle et féconde, qui prépara rapidement les grands progrès qu'elles firent dans le siècle suivant. Celle impulsion fut provoquée par la connaissance des ouvrages grecs, que l'on étudia pour la première fois dans leur langue originale, et dont on prépara aussitôt des traductions qui firent connaître, dans toute sa pureté, la Géométrie d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius, et des autres grands écrivains de l'Antiquité.

Ces premiers pas étaient déjà un progrès notable dans l'étude des sciences, qui suffirait seul pour rendre célèbre le XV' siècle. Mais, en même temps, un autre élément scientifique, en quelque sorle étranger aux connaissances des Grecs, l'Algèbre indienne, qui languissait depuis bientôt trois cents ans en Europe, sans qu'on parût y faire attention, fut reproduite de nouveau; ses usages furent enseignés, et son importance mise dans tout son

* Particulièrement daos le manuscrit de la Bibliothèque royale intitulé : Malhematica (supplément latin, n» 49, in-fol.). M. Libri a donné, dans son Histoire des sciences mathématiques en Italie, tom. (", pag. 26S, la liste des ouvrages qui se trouvent dans ce volume.

* il faut convenir, toutefois, que nous connaissons très imparfaitement Thisloire du Moyen âge, que Ton a négligée jusqu'ici, tout occupé que l'on a été, depuis le XV' siècle, d'étudier la littérature et les sciences grecques, et de puiser aux sources incomparablement plus précieuses qu'elles nous ont offertes, pour établir les fondements de nos connaissances.

jour. L'alliance entre elle et la Géométrie, que Fibonacci avait prescrite, ne fut plus une idée stérile, mais un principe mis déjà en pratique. Enfin quelques ouvrages originaux, premiers essais du génie, et premières applications des connaissances empruntées des Grecs et des Arabes, viennent encore contribuer à l'éclat du XV° siècle. Ajoutons que l'invention de l'imprimerie, qui prit naissance au milieu de ce siècle, apporta un secours immense et merveilleux aux efforts de l'esprit humain, auparavant entravé et rebuté par la rareté et la défectuosité des manuscrits. Cette invention mémorable était le complément, en quelque sorte, d'un autre grand événement du XV* siècle, la prise de Constantinople, qui livrait à l'Europe les arts, la littérature, la philosophie et les sciences de la Grèce ancienne '.

Nous allons passer rapidement en revue les Géomètres à qui sont dus les premiers travaux d'oii datent nos progrès dans les sciences.

A leur tète on trouve Purbach, et surtout son célèbre disciple Regiomontanus.

Le premier est connu surtout comme Astronome, et comme auteur du livre des Théoriques des planètes 2. Cet ouvrage était une suite de la Sphère de Sacro Bosco, destiné à compléter la connaissance de l'Almagesle de Plolémée, que Purbach avait débarrassé des calculs et des démonstrations géométriques. Ensuite Purbach entreprit une traduction sur le texte grec, récemment apporté en Europe par le cardinal Bessarion, de la partie géométrique de cet ouvrage de Ptolémée. Cette traduction, qu'une mort prématurée l'empêcha de terminer, fut continuée par Regiomontanus, et parut à Venise en 1496, sous le litre : Ptolemei Alexandrini astronomortim principis in magnam constructionem Georgii Purbachii, ejusque discipuli Johannis de Regiomonle aslronomicon epitorna. Venetiis, 1496, in-folio.

Les deux savants traducteurs substituent, dans les calculs Irigonométriques de Plolémée les sinus aux cordes, ainsi qu'avait fait Albalegnius, et après lui les autres écrivains arabes; mais ils conservent les expressions ^^j^^, et ne font pas usage des tangentes, qu'lbn- Yoùnis avait connues et qu'Aboul Wefa avait introduites dans la Trigonométrie, cinq cents ans auparavant. Plus tard Regiomontanus les imagina, à son tour, et en fit une table connue sous le titre de Table féconde, qu'il lui donna.

Regiomontanus est l'un des hommes les plus remarquables que présente l'histoire des Mathématiques. L'universalité de ses connaissances, la fécondité extrême de son esprit infatigable, et le nombre de ses productions, peuvent le faire regarder comme le véritable restaurateur des sciences en Europe. Ces productions comprennent, d'une part, les principaux ouvrages des grands Géomètres de l'école d'Alexandrie : Euclide, Archimède, Apollonius, Ménélaiis, etc., que Regiomontanus, le premier, lut dans leur langue ori-

' Plusieurs autres événements contemporains, comme la découverte de l'Amérique, du Cap de Bonne- Espérance et des Indes Orientales, qui amena le perfectionnement de l'Astronomie, de l'Optique, de la Géométrie, vinrent contribuer aussi à l'activité générale des esprits, et à l'impulsion forte que reçut la culture des sciences à celte époqne.

* Theoricœ Planelarum, imprimé pour la première fois à Venise, in-i", 1488, vingt-huit ans après la mort l'auteur, et réimprimé depuis, un grand nombre de fois, le plus souvent avec des commentaires.

ginale, cl dont il avait fait des versions plus correctes que celles qui nous venaient des Arabes; et, d'autre part, les propres découvertes de Regiomonlanus. Parmi celles-ci on distingue surtout son Traité De trianguUs omnimodis libri quinque (Norimbergae, i533, in-folio). Cet ouvrage est un Traité complet de Trigonométrie plane et de Trigonométrie sphérique. Les deux premiers livres sont pour les triangles rectilignes; ils renferment une foule de problèmes qui paraissent pour la première fois. Il s'agit toujours de déterminer, au moyen de trois données quelconques, les autres parties d'un triangle. Ainsi, par exemple, dans le problème 7 du livre 2, on donne le périmètre et deux angles d'un triangle; dans le problème 12 du môme livre, on donne la base, la perpendiculaire et le rapport des deux côtés. Regiomontanus dit que ce problème n'a pas encore été résolu par la Géométrie *, et il y applique l'Algèbre, qu'il appelle ars rei et census; elle le conduit à une équation du second degré; et il ajoute quod resta prœcepta artis cdocebitnt ^. On voit par là que Regiomontanus possédait la connaissance de l'Algèbre, qu'il avait acquise soit par l'ouvrage de Léonard de Pise, qu'il avait pu consulter en Italie, soit par les traductions de l'Algèbre de Mohammed ben Musa; et cela n'est point étonnant, car un esprit vaste et pénétrant, comme celui de Regiomontanus, ne pouvait ignorer une invention aussi belle et aussi utile, l'un des plus précieux dons que nous aient faits les Arabes; mais ce passage offre de l'intérêt, parce que ces termes prouvent que déjà, vers le milieu du XV* siècle, la connaissance des règles de l'Algèbre était répandue et vulgaire parmi les Mathématiciens. Et en effet Regiomonlanus, qui fait encore usage souvent de la règle rei et census^ dans ses lettres que le célèbre bibliographe De Murr a publiées ^, écrit à i'AsIronome Blan-

* La solution de ce problème, par ]a seule Géométrie, n'offrait pas de difficulté, et je ne sais pourquoi Regiomonlanus a cru devoir y employer nécessairement l'Algèbre. En effet, d'après l'énoncé de la question, le sommet du triangle cherché se trouvera d'abord sur une droite parallèle à la base donnée, et ensuite sur une circonférence de cercle, qui est le lieu des points dont les distances aux deux extrémités delà base sont entre elles dans le rapport des deux côtés.

Cette proposition était connue des Anciens : Pappus l'énonce comme l'une de celles qui se trouvaient dans le second livre des Lieux plans d'Apollonius, et Eulocius l'a démontrée au commencement de ses commentaires sur les Coniques de ce Géomètre, pour donner un exemple des Lieux géomélriquifs qui servaient aux Anciens, dans la solution des problèmes. Elle se trouve dans le Traité des connues géométriques, de l'Arabe Hassan ben Haitem (l" livre, proposition 9). Chez les Modernes, nous la trouvons dans le livre De proportionibus numerorum, motuutn, etc., de Cardan ; puis dans un ouvrage d'Alexandre Anderson(voir Note III sur les porismes);dans les Discorsi e dimostrazioni matematiche, etc. (pag. 39) de Galilée ; dans les Lieux plans d'Apollonius, restitués par Fermât, Schoolen et A. Simson; dans la Dioptrique de Huygens, et dans beaucoup d'autres ouvrages. M. Legendre l'a comprise dans ses Éléments de Géométrie.

' La base étant 20, la perpendiculaire 3, et le rapport des deux côtés ^, Regiomontanus prend pour l'inconnue la différence des deux segments faits sur la base par la perpendiculaire; et il arrive, par des considérations géométriques, à l'équation 20 census plus 2000 œquales 680 rébus ; c'est-à-dire 20 x* ■+■ 2000 = 680 x.

Dans le Problème 23, où il s'agit de construire un triangle dont on connaît la différence des deux côtés, la perpendiculaire, et la différence des segments qu'elle fait sur la base, Regiomontanus emploie encore la règle rei et census. Nous avons dit, en parlant de la Géométrie des Indiens, que ce problème se trouvait résolu dans le Lilavati de Bhascara.

* Dans le premier volume de son recueil intitulé : Memorabilia Bibliothecarum publicarum Norimbergensium et universitatis Altdorfinœ. Norimbergae, 1786, 2 vol. in-8».

chinus, qu'il pense que cet art lui est très familier * ; et celui-ci, en effet, s'en sert aussi dans ses réponses àRegiomontanus.

Les livres 3, 4 et 5 traitent des triangles sphériques.

Le livre 5 est dans le genre des Sphériques de Meneiaiis. Le livre 4 renferme une Trigonométrie complète; et le livre 5, divers problèmes qui sont résolus pour la première fois. On y remarque cette proposition, qui correspond à une propriété des triangles plans, connue des Grecs : L'arc de grand cercle qui divise en deux également l'angle au sommet d'un triangle spliérique, fait, sur la base, deux segments dont les sinus sont entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent Vangle.

Regiomontanus a écrit un Traité d'Arithmétique pratique, qu'il appela Algorismus demonstratus. C'est l'ouvrage que Schoner a imprimé en 1534, sous le titre Algorithmus demonstratus ; changeant ainsi le mot algorismus en algorithmus, parce qu'il pensait que l'ouvrage de Regiomontanus, dont il avait trouvé une copie, avait dû être intitulé par ce géomètre algorithmos, ce mot provenant, dit-il du mot grec api9|jioç, altéré par les Sarrazins. Schoner ignorait donc que le mot algorismus était consacré depuis plusieurs siècles, comme on le voit par les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais, etc., pour désigner notre système de numération 2; et qu'ainsi c'était à dessein que Regiomontanus l'avait employé. Cet ouvrage, que nous avons déjà eu occasion de citer plusieurs fois, est très remarquable sous un rapport dont nous n'avons point eu encore à parler; c'est qu'il fait partout usage de lettres au lieu de quantités numériques, suivant la coutume du temps; et ces signes abstraits, qui constituent la forme des sciences mathématiques modernes, sont employés même pour exposer le système de numération, et pour démontrer les règles de l'Arithmétique pratique. Si une mort prématurée n'avait enlevé Regiomontanus dans la première période d'une carrière si brillante, peut-être lui aurions-nous dû la grande conception de Viète.

Dans le recueil de lettres que nous avons cité précédemment, on remarque une solution trigonomélrique de la question de construire, avec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui soit inscriptible au cercle. Nous avons donné, en parlant de la Géométrie des Indiens, une notice historique sur ce problème, dont plusieurs géomètres se sont occupés dans le XVI* siècle.

Nous ne parlerons point des autres ouvrages de Regiomontanus, dont le nombre est très considérable, mais dont la plupart, malheureusement, sont restés inédits. La liste s'en trouve dans plusieurs ouvrages dont nous citerons, comme étant les plus répandus, VHistoria malheseos de Heilbronner, et VHistoria astronomiœ de W^eidler.

On concevra, à l'inspection de cetlte liste, d'autant plus étonnante que l'auteur a élé

' Sed nunc eam eligi quam vobis arbilror familiarissimam, per artem videlicet rei et census quod qucerebatis absolvendo, pag. 94 du premier volume du recueil cité.

* La pièce ancienne mise au jour par Clichlovée, sous le litre Opmculum de praxi numerorum, quod algorismumvocant, et quelques autres, restées manuscrites (dont deux existent à la Bibliothèque Sainte-Geneviève, et une, en français, à la Bibliothèque de l'Arsenal), disent que le mot algorismus provient du nom d'un philosophe appelé Aigus. Mais on ne trouve aucune preuve de celle origine.

enlevé aux sciences à l'âge de quarante ans, et que pendant sa courte existence il s'était livré principalement aux observations et aux calculs astronomiques, qu'il avait fait des éphémérides comprenant trente années, dans un temps où le secours des logarithmes manquait au calculateur, qu'il était habile mécanicien et qu'il dirigeait une imprimerie, on concevra, dis-je, que Ramus l'ait mis sur le même rang que les grands génies qui ont honoré la Grèce \

Le cardinal Nicolas de Cusa, bien que ses œuvres mathématiques soient empreintes souvent de paralogismes qui leur ôtenl aujourd'hui toute valeur, est cependant l'un des hommes qui ont le plus contribué au rétablissement des sciences, par l'importance qu'il leur reconnut, et en les popularisant par l'usage qu'il chercha à en faire dans tous ses écrits, et même dans ceux qui se rapportaient à la Théologie. Il suivait en cela l'exemple donné, un siècle et demi auparavant, par Bradwardin.

On cite Nicolas de Cusa surtout au sujet de sa quadrature du cercle, où il a eu le premier l'idée, en spéculations mathématiques, de l'aire rouler un cercle sur une ligne droite. On a cru voir dans cette idée les premières traces de la cycloïde; et Wallis s'est efforcé de faire remonter l'origine de cette courbe, devenue si fameuse dans le X Vil* siècle, à Nicolas de Cusa, lui reprochant toutefois de l'avoir crue un arc de cercle. Mais rien ne nous paraît annoncer, dans l'ouvrage de ce cardinal, qu'il ait songé à considérer la courbe engendrée par un point de la circonférence qu'il faisait mouvoir sur une ligne droite; et l'arc du cercle qu'il décrit sert seulement pour déterminer le point de la droite où venait se placer, après une révolution du cercle, le point de sa circonférence qui touchait d'abord cette droite. Il nous paraît probable que l'auteur avait trouvé, par des expériences mécaniques, les principes de sa construction 2.

Le cardinal Cusa est resté célèbre dans l'histoire, pour avoir adopté les principes de la philosophie platonicienne, qui prenait naissance, et surtout pour avoir eu l'honneur de ressusciter, le premier parmi les modernes, le système de Pythagore sur le mouvement de la Terre autour du Soleil, renouvelé depuis avec plus de succès par Copernic et Galilée.

Le XV" siècle nous présente deux peintres célèbres, Albert Durer et Léonard de Vinci, qui méritent d'être comptés aussi au rang des géomètres les plus savants de leur époque. Le premier a laissé un ouvrage de Géométrie, destiné aux architectes et aux peintres, écrit

* Noriberga tum Regiomontano fruebalur : mathemalici itidè et sludii et operis gloriam lantam adepla ut Tarenlutn Archijla, Syracusœ Archimede, Bizanlium Procio, Alexandria Ctesibio, non justius quàm Noriberga Hegiomonlano gloriari possit. (Schlolœ mathemalicae, lib. 2, pag. Ci2.)

* Les écrits nialhémaliques de Nicolas de Cusa forment la troisième partie de ses œuvres comi)lèles, imiirimées à Paris en loU, in-fol., el à Bàle en 1:^63, in-fol. Ils se composent des pièces suivantes : 1° De Geomeiricis transmutalionibus ; 2° De aritlimclicis complemenlJs; ô" De matliematicis compléments; i" De quadraturd circuit; 5» De sinibus et chordis ; 6» De unâ recli curvique mensurâ ; 7" Complementtim Iheologicum pguratum in comptemenlis malhemalicis ; 8» De mathematicâ perfeclione; 9" Reparalio calendarii; 10° Correctio tabularum Alfonsi ; 1 1" Alia quœdam ex Gaurico in Cusam adjecta.

La plupart de ces écrits roulent sur la quadrature du cercle, qui paraît avoir occupé constamment Nicolas de Cusa. Dans celui De mathematicis complementis, l'auteur parle des sections coniques, et apprend à les décrire sur le plan.

en allemand, et qui a été reproduit en latin sous le litre suivant, qui fait connaître l'objet de cet ouvrage : Inslilutionum geometricarum libri quatuor , in quibus lineas, superficies et solida corpora ita tractavit, ut non matheseos solum studiosis, sed et pictoribus, [abris œrariis ac lignariis, lapicidis, staluariis, et universis demùm qui a'rcino, gnomone, libella, aut alioqui certâ mensurâ opéra sua examinant, sint summè utiles et necessarii.

Dans le premier livre, Albert Durer apprend à décrire différentes lignes courbes; on y trouve plusieurs hélices planes, cylindriques, sphériques et coniques; la description de l'ellipse par rallongement des ordonnées du cercle dans un rapport constant, ou bien en la considérant comme la section d'un cône droit, que l'auteur appelle pyramide. Il apprend à décrire aussi les deux autres sections coniques : l'hyperbole et la parabole. C'est l'un des ouvrages les plus anciens, chez les Modernes, qui aient traité des sections coniques.

On trouve aussi, dans ce premier livre, la description, par points, de l'épicycloïde engendrée par un point du plan d'un cercle qui roule sur une circonférence fixe.

Dans le second livre, on trouve l'inscription des polygones dans le cercle, et différentes autres figures régulières formées par des arcs de cercle; puis une quadrature du cercle et la manière d'assembler différents polygones pour remplir exactement une surface plane; on n'y voit point les polygones étoiles. Après avoir donné la construction du pentagone inscrit au cercle, qui se trouve dans le premier livre de l'Almageste de Ptolémée, Durer apprend à construire un pentagone régulier sur un côté donné; et sa construction a cela de remarquable qu'elle se fait avec une seule ouverture de compas; mais elle n'est qu'approximative, et la figure, qui a conservé le nom de pentagone de Durer, n'a pas tous ses angles égaux ^ ainsi que l'ont démontré J.-B. de Benedictis 2, et Clavius ^, dans le siècle suivant. Cependant, à cause de sa facilité, la construction de Durer est employée par la plupart des architectes.

Le livre III traite des corps solides, des colonnes et des pyramides de différentes formes, et des lignes qu'on trace sur leurs surfaces, dans les arts; de la construction des cadrans solaires, et de celle des lettres de l'alphabet.

Dans le cinquième livre, l'auteur donne la description des cinq corps réguliers, et de plusieurs autres corps formés par des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux, comment sont les treize corps semi-réguliers d'Archimède. Puis on trouve plusieurs solutions de la duplation du cube; et enfin un Traité de Perspective, dans lequel Durer a imaginé le premier instrument connu, pour faire la perspective mécaniquement, sur un verre ou une toile transparente. C'est surtout pour celte partie que l'ouvrage de Durer est cité dans l'Histoire des Mathématiques.

Léonard de Vinci, l'un des plus grands peintres de l'Italie, fut un de ces génies rares qui manient avec une égale facilité tous les objets des connaissances humaines, et dont le nom se présente dans l'histoire de chacune d'elles. Il cultiva particulièrement les

* Chacun des angles d'un vrai pentagone régulier est de 108 degrés. Dans le pentagone d'Albert Durer, deux angles sont de lOT» 2'; deux autres de 108° 22', et le cinquième a 109» 12'.

* Diversarum speculaiionum mathematicarum et physicarum Liber; Turin, 1583, in-4». ' Geometria praclica, lib. VJII, prop» 29.

Malhémaliqucs et les sciences qui en dépendent, telles que la Physique, la Mécanique rationnelle ou pratique, l'Hydroslalique, la Musique, etc., persuadé, comme il le dit, qu'i7 n'y a point de certitude dans les sciences où on ne peut pas appliquer quelque partie des Mathématiques, ou qui n'en dépendent pas de quelque manière. Vérité trop peu sentie de nos jours encore, malgré les progrès qu'a faits, depuis trois siècles, la raison humaine.

Léonard de Vinci a laissé de nombreux manuscrits, où se trouvent répandues ses vues nouvelles et ses spéculations sur toutes les parties des sciences mathématiques; mais ils n'ont point encore été étudiés, et sont restés jusqu'à ce jour sans porter aucun fruit. M. Venturi, savant professeur de Bologne, devait en faire connaître les parties les plus importantes, dans trois Traités qui se seraient rapportés à la Mécanique, à l'Hydraulique et à l'Optique. Malheureusement ce projet n'a pas reçu d'exécution. On doit seulement à M. Venturi la connaissance de quelques fragments détachés des œuvres physicomathématiques de Vinci *. Dans le premier, intitulé : De la descente des corps graves, combinée avec la rotation de la Terre, on voit que le célèbre peintre admettait l'idée du mouvement de la Terre, émise déjà quelques années auparavant par Nicolas de Cusa, dont les œuvres n'étaient point encore publiées.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les travaux physico-mathématiques de Léonard de Vinci. Mais il est une de ses inventions, en mécanique, que nous devons distinguer ici, parce qu'elle se rapporte essentiellement à la Géométrie, et que nous la regardons comme le premier germe d'une théorie, peu cultivée depuis, et qui mérite néanmoins de fixer l'attention des géomètres. Nous voulons parler du tour à ovale, que Lomazzo, élève de Vinci, lui attribue en ces termes : Vinci fut aussi Vinvcnteur du tour ovale, ouvrage admirable qu'un élève de Melzi apprit à Denis, Frère de Maggiore, qui s'en sert aujourd'hui avec beaucoup d'adresse. (Lomazzo, Trattato délia Pittura, pag. il.)

Or, il nous paraît que le tour à ovale, auquel les géomètres ont l'ait peu d'attention, car on n'en trouve nulle part la théorie mathématique, reposait sur une idée tout à fait nouvelle, concernant la description des courbes; et cette idée donnait lieu à une spéculation nouvelle en Géométrie.

Jusque-là on avait décrit les courbes par la trace d'un stylet mobile, imprimée sur un plan fixe : Vinci conçut leur description d'une manière inverse, c'est-à-dire au moyen d'un stylet fixe qui imprime sa trace sur un plan mobile. Tel est l'office du tour à ovale, qui sert à décrire l'ellipse.

Quel mouvement fallait-il donner au plan mobile, pour obtenir ainsi une ellipse? Telle est la question qu'a dû se proposer Léonard de Vinci. Elle était, comme on voit, d'un genre tout nouveau; et ce célèbre peintre a su découvrir, parmi une infinilé de solutions dont elle était susceptible, la plus simple incontestablement; elle se réduit à donner au plan mobile le mouvement d'un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent

• Essai sur les ouvrages physico-mathématiques de Léonard de Vinci, avec des fragments tirés de ses manuscrUs. Paris, an V, in-4''.

sur deux points fixes. L'histoire de la science sérail intéressée à connaître les considérations de Géométrie qui l'ont conduit à ce beau résultat.

Malgré tout l'intérêt que cette question, considérée comme moyen nouveau et général de décrire les courbes, devait offrir, et dans les arts, et comme pure spéculation géométrique, elle n'a fait presque aucun progrès jusqu'à ce jour. Si nos recherches historiques à ce sujet ne nous induisent point en erreur, nous croyons qu'elle n'a fixé l'attention que d'un seul géomètre, le célèbre Clairaut, qui l'a traitée dans un Mémoire lu, en 1740, à l'Académie des sciences. Après avoir signalé le nouveau mode de description des courbes, dont le tour à ovale offrait le seul exemple connu, Clairaut dit avoir supposé d'abord que la courbe décrite sur ce tour devait être une conchoïde du cercle, mais qu'il n'a pas tardé à reconnaître qu'elle est une vraie ellipse d'Apollonius. Puis il fait deux applications de ce nouveau mode de génération des courbes. Il suppose, dans la première, qu'un cercle roule sur une droite; et dans la seconde, qu'un cercle roule sur un autre cercle. Un stylet fixe imprime sa trace sur le plan du cercle mobile, et cette trace forme une courbe dont Clairaut cherche les équations. Sa solution est entièrement analytique, et les équations auxquelles il parvient contiennent même des intégrations qui ne sont pas effectuées. Dans un seul cas les intégrales disparaissent, et l'on reconnaît la spirale d'Archimède.

Ainsi, sous le rapport géométrique, Clairaut a laissé celle question intacte; c'est-à-dire que les diverses propriétés géométriques de ce mode de description des courbes, ses rapports avec la description ordinaire par un point mobile, et la manière de substituer un mode de description à l'autre, pour produire la même courbe, sont encore des questions neuves.

Ces questions nous paraissent, tant sous le rapport théorique qu'à cause de leurs applications aux arts, mériter d'entrer dans les spéculations de la science. Nous y reviendrons dans un autre écrit. Pour le moment nous renvoyons à la Note XXXIV, où se irouvenl quelques développements sur celte théorie, qui offre un exemple assez remarquable de dualité. Nous nous bornerons à ajouter ici que de celte théorie il résultera, sans calcul, que les courbes dont Clairaut a trouvé des expressions algébriques fort compliquées, qui ne lui ont permis de reconnaître la nature que d'une seule d'entre elles, la spirale d'Archimède, sont tout simplement des épicycloïdes. Les unes peuvent être engendrées par un point mobile, lié fixement à une droite qui roule sur une circonférence de cercle; et les autres, par un point du plan d'une circonférence de cercle qui roule sur un cercle fixe.

J. Verner n'a pas été un écrivain d'un esprit aussi vaste et aussi fécond que Léonard de Vinci et Regiomontanus, les deux plus grands hommes du XV* siècle que nous ayons nommés. Mais, considéré comme simple géomètre, il nous paraît devoir être placé immédiatement après Regiomontanus. Ses ouvrages ne sont point l'imitation ou la reproduction des ouvrages grecs, comme c'était l'usage dans ces premiers temps de la culture des^ sciences; mais ils sont le fruit des propres idées de l'auteur et portent, avec le cachet d( l'originalité, celui d'une excellente et solide Géométrie. Dans un livre qui a été imprimé en 1352, Verner traite des sections coniques, de

duplation du cube, et du problème d'Archimède où il s'agit de diviser une sphère, par un plan, en deux parties qui soient entre elles dans un rapport donné '. Une quatrième partie de l'ouvrage est consacrée à l'Astronomie '. Nous avons déjà parlé, dans notre troisième Époque, du petit Traité des Coniques, qui, outre l'avantage d'être le premier qui ait paru en Europe, avait aussi celui de reposer sur une méthode différente de celle des Anciens. Verner considérait les coniques dans le cône, et se servait des propriétés de ce solide pour en déduire, d'une manière très facile, celles de ces courbes. Méthode rationnelle, qui a été mise en usage aussi, cinquante ans après, par Maurolycus, et sur laquelle ont reposé ensuite les ouvrages de Desargues, de Pascal et de La Hire.

Verner avait composé plusieurs autres écrits, qui n'ont point vu le jour. Heilbronner en donne la liste dans son Histoire des mathématiques (pag. 515). On y remarque un Traité des triangles sphériques, en cinq livres, et un autre sur les applications de la Trigonométrie à l'Astronomie et à la Géographie; un Traité d'Arithmétique, un de Gnomonique, et un ouvrage intitulé : Traclatus resolutorius qui propè pedisequus exislit libris Datorum EuclidiSy qui paraît, d'après ce titre, se rapporter à l'Analyse géométrique des Anciens. Peut-être, faisant suite aux Données d'Euclide, était-il dans le genre des Porismes. {Voir notre opinion émise à ce sujet dans la Note IH.) Nous serions curieux de connaître cet ouvrage de Verner.

Il nous reste à parler de Lucas Pacioli, connu généralement sous le nom de Lucas di Borgo, dont l'ouvrage principal appartient à la fin du XV" siècle et peut être regardé comme l'origine de l'École italienne qui a produit Cardan et Tartalea, et qui a contribué si puissamment à donner aux sciences mathématiques la forme nouvelle qu'elles ont prise, dès la Renaissance, et qui résultait de l'alliance de l'Algèbre des Hindous et de la Géométrie des Grecs. Cet ouvrage est intitulé : Summa de Arilhmelica, Geomelria, Proportioni è Proportionalità. Il a été imprimé pour la première fois, en 1494, par Paganino de Paganinis de Brescia, et a eu une seconde édition en 1523. Nous avons eu occasion de le citer souvent, et de dire déjà l'influence qu'il a eue sur le renouvellement des sciences; aussi nous nous bornerons à en donner ici une analyse briève, dont nous nous dispenserions même si cet ouvrage était moins rare et plus connu.

Il est divisé en deux parties principales : l'une, relative à la science du calcul, comprend l'Arithmétique et l'Algèbre, et l'autre traite de la Géométrie. Les ouvrages dont l'auteur annonce s'être servi pour composer le sien sont ceux d'Euclide, de Boèce, de Léonard de Pise, de Giordano Biagio de Parme, de Sacro Bosco, et de Prosdocimo de Padoue.

• Eutocius, dans son commentaire sur le second livre de la sphère et du cylindre, a rapporté les solutions de ce problème, données par Dionysidore et Diodes.

* Lihellus super viginti duobus elemenlis çonicis. — Commenlarius, seu paraphrastica enarratio in undecim modos conficiendi ejus problemalis quod cubi dupticatio dicilur. — Commentatio in Dionysidori problema quo data sphœra piano sub data ratione secalur Alius modus idem problema conficiendi ab eodem Vernero noviss'mé compertusy d^monstrittisque. De molu octava; sphœrœ traclatus duo, ut et summaria enarratio theoricœ motus octavœ sphœrœ. Norimbergae, 1322, in-l».

nu NOTES.

La première partie est un Traité complet de l'Arithmétique spéculative, qui considère les propriétés des nombres, et de l'Arithmétique pratique.

L'Arithmétique spéculative est dans le genre des ouvrages de Nicomaque, de Théon, de Boèce et de Jordan Nemorarius. Mais elle est terminée par une partie sur les nombres carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages, et qui est très remarquable. C'est une suite de questions qui appartiennent, aujourd'hui, à l'Analyse indéterminée du second degré. Lucas di Borgo en donne seulement les solutions sans démonstration ; il les emprunte, dit-il, du Traité des nombres de Léonard de Pise, où elles étaient démontrées /)ar des considérations et sur des figures géométriques. Ces solutions, particulièrement celle qui se rapporte à l'équation a;^ -+- y2 = a, sont différentes de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles qu'on trouve dans les ouvrages indiens, et qui ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler, ainsi que nous l'avons déjà dit en parlant de la Géométrie de Brahmegupta.

L'Arithmétique pratique commence par l'exposition du système de numération, « dont les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas di Borgo, sont les Arabes; ce qui fait que cet art a été appelé abaco pour dire el muodo arabico; mais d'autres, ajoutet-il, font dériver ce nom du mot grec '. » On trouve les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique 2, la théorie des progressions, et l'extraction des racines carrées et des racines cubiques des nombres, arithmétiquement et géométriquement; puis le calcul des fractions; les règles de trois; celles de fausse position, que l'auteur appelle, d'après Léonard de Pise, règles d'Helcataym, et qu'il attribue aux Arabes, mais qui leur venaient des Indiens; et l'Arithmétique commerciale, traitée avec une grande profusion de questions et d'exemples : cette partie de l'ouvrage a été imitée par beaucoup d'auteurs allemands, dans la première moitié du XVI" siècle.

Lucas di Borgo, en passant à l'Algèbre {Distincti o octava), la regarde comme la partie de la science du calcul la plus nécessaire à l'Arithmétique et à la Géométrie. Il dit qu'on l'appelle communément YArle maggiore, ou la règle de la cosa, ou Algebra e Almucabala. Comme cet ouvrage est le premier Traité d'Algèbre qui ait été imprimé, et qu'on a

* Ce passage fait voir que, du temps de Lucas di Borgo, on n'était pas fixé sur la vraie origine de notre système de numération. La signifîcalion que nous avons donnée au mot abacus, employé par Boèce, nous autorise à adopter la seconde supposition de Lucas di Borgo, c'esl-à-dire à regarder le mot abaco comme dérivé du grec. Quoi qu'il en soit, ce passage mérite d'élre pris en considération dans les recherches sur l'origine de notre système de numération.

2 L'auteur donne plusieurs procédés pour chaque opération. Parmi ceux de la multiplication se trouve une méthode indienne, donnée par Ganesa dans ses commentaires sur le Lilavati de Bhascara, qui consiste à écrire le produit de chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en plaçant séparément, dans les deux cases triangulaires d'un carré, les chiffres des unités el des dizaines. Celte méthode ingénieuse, sur laquelle repose celle des bâtons de Neper , paraît avoir été très usitée dans le Moyen âge et au XVI" siècle ; car on la trouve dans plusieurs manuscrits {voir les n»' 7378. A et 7352 des manuscrits de la Bibliothèque royale de Paris) et dans plusieurs ouvrages imprimés, dont nous citerons le Compendion de lo abaco de Peltos; VArithmetica practica d'Oronce Finée ; VArithmetica practica de Peverone, et les Scholœ mathematicœ de Ramus. M. Libri l'a trouvée aussi dans un ouvrage chinois. {Histoire des sciences malhématiques en Italie, tom. I»"-, pag. 341.)

coulume de le regarder comme ayant initié les géomètres dans cette science, il est essentiel d'observer que Lucas di Borgo ne présente point l'Algèbre comme un art nouveau, mais bien comme une chose connue depuis longtemps du vulgaire [del vvlgo). Cela s'accorde avec la remarque que nous avons faite en rendant compte du traité De iriangulis, de Regiomontanus, qui parle aussi des règles de l'Algèbre conmie d'une méthode familière aux géomètres. On peut en conclure que, depuis le XIII" siècle, où l'Algèbre a été introduite en Europe par Fibonacci ' et par les traductions qu'on a faites alors de l'ouvrage de Mohammed ben Musa, cette science a toujours continué d'être cultivée.

Lucas di Borgo démontre d'abord la règle des signes; il apprend à faire les opéralions arithmétiques sur les quantités irrationnelles, et démontre la plupart des propositions du dixième livre des Éléments d'EucIide, qui forme une théorie étendue de ces quantités. Puis il passe aux équations du second degré, dont il considère trois cas, comme nous l'avons dit en parlant de l'Algèbre de Mohammed ben Musa. Il dit que plusieurs autres équations d'un degré supérieur peuvent être ramenées à celles-là. Il considère les équations qui contiennent l'inconnue, son carré, et sa quatrième puissance; ce qui donne lieu à huit cas qui s'expriment, par les symboles actuels, de cette manière :

X =o, a* -»- ax =6jc',

X* = aar , ac* -4- o = 6x*,

x* = ax', X* = a+ bx^,

X* -*- ax' = 6x, X* = a -t- 6x*. *

Il apprend à résoudre les trois premières et les trois dernières ; mais la quatrième et la cinquième, dit-il, sont impossibles. En effet, elles ne peuvent se réduire au second degré, mais seulement au troisième. Cela prouve qu'au temps de Lucas di Borgo, la résolution des équations du troisième degré était inconnue.

Cette première partie de l'ouvrage (Arithmétique et Algèbre) est terminée par les règles de société et une foule de questions relatives aux opérations commerciales, et même à la tenue des livres en parties doubles.

Dans beaucoup de passages, Lucas di Borgo se sert de considérations géométriques pour illustrer ses règles de calcul ; il démontre ainsi les règles de fausse position ; la règle des

' Nous nous conformerons à l'opinion reçue, en répétant que Fibonacci a le premier introduit l'Algèbre en Europe, au commencement du XIII"" siècles; mais nous pensons cependant que, depuis un siècle au moins, on avail déjà quelque connaissance de cette science; et nous fondons cette opinion sur ce fait, rapporté précédemment, que Jean Hispalensis a écrit dans le X1I« siècle, sous le titre d'Algorismus^ un Traité d'Arithmétique, à la suite duquel se trouve la résolution des équations du second degré, extraite, esl-il dit, du livre De Gebrâ et Mucabald.

* Lucas di Borgo énonce ses équations en langage ordinaire; seulement, par abréviation, il se sert des lettres p et m pour signifier plus (più) et moins (mèno); il se sert du mot égal, mais non du signe =. Il appelle l'inconnue cosa ; son carré censo; sa quatrième puissance censo de censo ; et la quantité connue i7 numéro. De sorte qu'il énonce la dernière équation, par exemple, ainsi ; censo de censo equale a numéro e ceiiso.

signes en Algèbres, et les formules pour la résolution des équations du second degré. Nous allons voir que, réciproquement, dans la seconde partie de l'ouvrage, qui traite de la Géométrie, Lucas di Borgo fait un grand usage de l'Algèbre.

Ce Traité comprend des Éléments de Géométrie assez complets. Il repose en partie sur les Éléments d'Euclide; cependant, comme il en diffère sous plusieurs rapports, nous allons en donner l'analyse. Il se divise en huit parties, en considération, dit l'auteur, des huit béatitudes (a reverentiâ de le 8 bealiludine).

Dans la piemière, qui traite des figures triangulaires et quadrilatérales, on trouve la plupart des propositions qui font l'objet des livres 1 , 2 et 6 d'Euclide. L'auteur démontre, à la manière des Indiens, que l'aire du triangle est égale au produit de la base par la moitié de la hauteur ; il démontre la formule de l'aire en fonction des trois côtés, comme Fibonacci et les trois frères arabes Mohammed, Hamet et Hasen, dans leur ouvrage intitulé : Verba filiorum Moisi filii Schaker. Il apprend à calculer la perpendiculaire dans un triangle, et pour cela il se sert du théorème des deux segments qu'elle fait sur la base. Il donne de ce théorème une démonstration géométrique très remarquable. Il s'agit de prouver que la différence des carrés des deux côtés du triangle est égale à la différence des carrés des deux segments faits par la perpendiculaire sur la base ; ou bien, que le produit de la somme des deux côtés, multiplié par leur différence, est égal au produit de la base multipliée par la différence des deux segments. Lucas di Borgo construit une figure dans laquelle se trouvent les expressions géométriques des quatre facteurs qui forment cette égalité ; et, par la comparaison de deux triangles semblables, il conclut que le premier produit est égal au second. Cette démonstration est très élégante et élémentaire, puisqu'elle ne fait pas usage de la proposition du carré de l'hypoténuse. Elle a été reproduite par Tartalea, dans son General Tratlalo di Numeri e Misure (4* partie, folio 8).

Dans la deuxième partie, on résout de plusieurs manières ce problème : Étant donnés les trois côtés d'un triangle et étant pris deux points sur deux d'entre eux, trouver la longueur de la droite qui joint ces deux points.

La troisième partie traite de l'aire des quadrilatères et des autres polygones ; on y résout plusieurs problèmes sur les rectangles, par la voie algébrique : Lucas di Borgo se sert des formules qu'il a enseignées précédemment pour la résolution des équations du second degré.

La quatrième partie comprend les propositions qui sont l'objet du 5" livre d'Euclide, et la mesure du cercle. L'auteur démontre le rapport y, comme Archimède, par l'inscription du polygone de nonante-six côtés, et apprend à former la Table des cordes des arcs, donnée par Ptolémée dans le premier livre de l'Almageste.

La cinquième partie traite de la division des figures dans des rapports donnés ; c'est cette partie de la Géométrie qui fait l'objet de l'ouvrage De super ficierum divisionibus^ de Mahomet Bagdadin, qu'on regarde comme imité d'un ouvrage d'Euclide, ou comme étant de ce géomètre lui-même. Lucas di Borgo complète cette matière, en traitant aussi de la division du cercle, suivant des conditions données.

INOTES. 537

La sixième partie concerne les volumes des corps; elle contient les propositions du H* livre d'Euclide.

Dans la septième partie, on parle des différents instruments qui servent, dans la pratique, pour mesurer, à la vue simple, les dimensions des corps.

Enfin la huitième partie est un recueil de cent problèmes de Géométrie, résolus la plupart par l'Algèbre, suivi d'un traité particulier des cinq corps réguliers.

Voici quelques-unes des questions qui font partie de ces cent problèmes :

Êtatit donnés deux côtés d'un triangle et son aire, trouver le troisième côté.

Étant données l'aire et la di/férence des deux côtés d'un rectangle, trouver ces côtés.

Soient a^ l'aire et d la différence des deux côtés ; Lucas di Borgo prend, pour le plus grand côté, casa più '^, c'est-à-dire x -h '^; et, pour le second côté, cosa mena ^, ou x — ^• On a immédiatement, pour déterminer l'inconnue, l'équation

d'où se concluent les valeurs des deux côtés.

Cette solution est plus simple que si l'on avait pris directement pour inconnues les deux côtés, ce qui eût conduit aux deux équations

yz = a\ y — z = d,

et à l'équation finale du second degré,

j/^ — dy •= a\

Dans la première partie de son ouvrage, Lucas di Borgo a donné d'autres exemples de pareils artifices de calcul, qui prouvent que l'Algèbre, dans de certaines limites, était cultivée et perfectionnée depuis longtemps. Par exemple, que l'on demande deux nombres dont la somme des carrés soit égale à 20, et le produit égal à 8, Lucas di Borgo ne pose pas les équations ac^ + t/^ c=a 20 et xy = 8, qui conduisent à une équation du quatrième degré, réductible au second. Il fait mieux : il prend la somme des deux inconnues, x -t- z, pour le premier nombre cherché, et leur différence, x — z, pour le second ' ; de sorte qu'on a immédiatement les équations :

a;2 + z'=i0, a;* — 2»= 8; d'où

Les deux nombres sont donc 4 et 2.

' Lucas di Borgo appelle la première inconnue cosù, et la seconde quantità. Il dit que les Anciens appelaient celle-ci cosa seconda ; mais que les Modernes la nommcnl simplement quantità. {Distinctio oclavo; (ractatus sexius.)

Cette solution ressemble, par son élégance et sa simplicité, à celles que nous avons remarquées dans les ouvrages indiens.

Trouver le diamètre du cercle inscrit à un triangle dont les côtés sont connus.

Dans un triangle, décrire deux cercles égaux, tangents entre eux, et dont chacun touche deux côtés.

Étant donné un cercle, en décrire trois, ou quatre, ou cinq, ou six autres égaux entre eux, tangents au cercle proposé, tels que le premier touche le second, le second touche le troisième, le troisième touche le suivant, etc.

Trouver le diamètre du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés sont donnés.

Étant donnée l'aire d'un triangle dont on sait que le second côté surpasse le premier d'une unité, et le troisième côté surpasse le second aussi d'une unité, quels sont les côtés du triangle ? .

L'aire du triangle étant 84, Lucas di Borgo détermine ses côtés par une équation du quatrième degré, résoluble comme celles du second ; il trouve, pour ces côtés, les nombres 15, 14 et 15.

Par les sommets d'un triangle, on élève trois perpendiculaires sur son plan, et l'on demande de déterminer le point de ce plan qui se trouve à égale distance des extrémités des trois perpendiculaires.

Étant donné un triangle, on demande le diamètre du cercle qui, étant tangent à ses deux côtés, aura son centre sur la base.

Dans tous ces problèmes, les données sont numériques, et leurs solutions sont algébriques et dépendent, la plupart, d'équations du second degré.

I^areillement, dans les premières parties de l'ouvrage, qui forment des Éléments de Géométrie, les figures sont toujours exprimées par des nombres, comme s'il s'agissait de faire une application particulière d'un tbéorème. Ainsi, par exemple, pour démontrer la formule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés, l'auteur prend le triangle ABC dont les côtés sont 13, 14 et 15, et se sert toujours, dans tout le cours de son raisonnement, de ces nombres, à la place des côtés, que les Grecs employaient d'une manière abstraite en les désignant ainsi AB, BA, CA. Cette méthode était empruntée des Arabes, qui la tenaient des Indiens; elle a été suivie exclusivement par tous les géomètres du XV!*^ siècle, Cardan, Stifel, Tartalea, J.-B. Benediclis, Memmius, Commandin, Clavius, Slevin, Ad. Romanus, Ludolpb Van Ceulen, etc., jusqu'à ce que Viète introduisît l'usage des lettres dans l'Algèbre. Nous dirons plus loin la cause de cette manière de procéder, les avantages qu'elle offrait et les graves inconvénients qui en résultaient.

Lucas di Borgo a laissé deux autres ouvrages, qui méritent d'être cités, mais qui n'ont pas l'importance de celui dont nous venons de présenter l'analyse. Le premier est intitulé : Lucœ Pacioli divina proportione, opéra à tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria ; ove ciacun studioso di philosophia, prospettiva, pictura, sculptura, architectura, musicale allre matematiche, soavissima, soltile e admirahile doltrina consequira e delectarassi con varie questione di secrctissima scienlia. Vcnetiis; 1509, in-4°. L'auteur appelle proportion divine la division d'une droite en moyenne et extrême raison, dont il démontre de nom-

breuses propriétés, et dont il fait diverses applications aux arts. L'autre ouvrage de Lucas di Borgo roule sur les polygones et les polyèdres réguliers, et sur l'inscription mutuelle de ces figures les unes dans les autres; il a pour litre : Libellas in très partiales traclatus, divisiis quorumcumque corporum regularium et dependenlium active perscrutationis; Venise, 4508, in-4°. L'auteur fait encore un fréquent usage de l'Algèbre dans ces deux ouvrages de Géométrie.

On voit, par ce qui précède, que les ouvrages de Lucas di Borgo, comparés à ceux des Géomètres grecs, présentaient un caractère propre qui mettait entre eux et ceux-ci une différence bien marquée; c'est qu'ils reposaient sur une union constante entre l'Algèbre et la Géométrie; et ce caractère a été celui de presque tous les écrits mathématiques du XVI* siècle. Comme les ouvrages de Lucas di Borgo sont les premiers, parmi ceux qui ont enseigné les préceptes de l'Algèbre et son application à la Géométrie, qui aient été imprimés, on les a regardés généralement comme la seule origine, au commencement du XVI" siècle, de la forme nouvelle que les sciences mathématiques ont prise, et des progrès immenses qu'elles ont faits depuis. Il n'est pas douteux, en effet, que les deux célèbres Géomètres de l'Italie, Cardan et Tartalea, n'aient dû leurs connaissances, et la méthode qu'ils ont suivie, à la Siimma de Arjthmetica, etc., de Lucas di Borgo, qu'ils citent souvent. Mais il y a lieu de croire qu'en Allemagne surtout, quelques autres ouvrages formaient un autre foyer de lumières, et ont répandu les mêmes principes d'Algèbre et d'application de l'Algèbre à la Géométrie. On en juge par le savant ouvrage de Stifel, qui a paru en 1544 sous le titre : Arilhmelica intégra (Nuremberg, in-4°), où se trouvent des Éléments d'Algèbre et une foule de questions de Géométrie, résolues par cette voie, comme dans la Summa de Lucas di Borgo. Et cet ouvrage de Stifel présente, avec celui-ci, des différences qui y l'ont reconnaître une plus profonde connaissance et une plus ancienne culture de la science algébrique, ainsi que quelques pas de plus vers la forme abstraite qu'elle a prise depuis. Ainsi, par exemple, on y trouve les signes -4-, — et le signe radical \/~; l'inconnue et ses puissances sont représentées aussi par des .symboles, au lieu de l'être par les mots cosa, censo, ctibo, censo de censo, etc.; et, quand il y a plusieurs inconnues, la deuxième, la troisième, la quatrième, etc., sont représentées par les lettres A, B, C, etc. '; le principe de la multiplicité des racines dans une équation, que Lucas di Borgo avait méconnu, est exprimé formellement et démontré 2; et, quant à l'application dogmatique de l'Algèbre à la Géométrie, les exemples que Stifel en donne sont exlrême-

' Voir livre 3, chap. VI, inlilulé De secundis radicibus.

C'est le premier exemple de l'usage des lettres, pour représenter, dans les équations, les inconnues de la question. Il n'a pas lardé à être suivi par Pclelier dans son Algèbre (ann. 1534) et par Buléon dans sa Logistica {ann 15o9). 11 est assez singulier qu'une idée aussi heureuse, qui apportait dans le calcul une facilité actuelle si évidente, n'ait cependant pas été appréciée de Cardan ni de Tartalea. C'est là une des preuves les plus frappantes de l'empire de l'habitude, même chez les esprits les pins supérieurs.

* Sunt autem œquationes quœdam, qitibus nalura rerum fiujus modi, dedil hnbere duplicem radicem, videlicel majorem et minorem : id quod plenè docebo atque dcmonstrabo. (Arithinetica intégra, fol. 243). Plus loin l'auteur ajoute que l'équation ne peut avoir plus de deux racines : plures autem duabus, nulla œquatio habebil, fol. 244, V".

menl nombreux; on y remarque particulièrement toutes les propositions du 13^ livre d'Euclide, qui s'expédient facilement par le calcul des équations du second degré. Cet ouvrage, il est vrai, est postérieur de près d'un demi-siècle à celui de Lucas di Borgo; et l'on pourrait croire que les différences que nous venons de signaler sont le fruit de la culture, pendant ce demi-siècle, des principes mêmes enseignés par Lucas di Borgo. Mais l'ouvrage de Slifel n'est, dans tout ce qui concerne cette partie de l'Algèbre, qu'une irai, lation des ouvrages de deux autres algébrisles allemands, Adam Risen et Christophe Rudoiff, qu'il cite souvent avec de grands éloges, le second surtout. On avait déjà de celui-ci un traité d'Algèbre en allemand, imprimé en 1522 sous le titre Die Coss, et dont il a été fait, dans !e temps, en Italie, une traduction latine qui existe dans les manuscrits de la Bibliothèque royale (n° 7365, in-4'', des manuscrits latins), sous le titre : Arithmelica Cfiristopliori Rodolphi ab Jamer, è germankâ linguâ in lalinam à Christophoro AuverOfPelri Danesii mandalo, Rornœ anno Chrisli 1540 conversa. Nous avons reconnu, dans cet ouvrage, les progrès notables de l'Algèbre et ses applications à la Géométrie, que nous venons de signaler dans celui de Stifel. On trouve encore, dans quelques petits Traités d'Arithmétique, qui ont paru en Allemagne dans les premières années du XVP siècle, des exemples de l'application de règles du calcul aux questions de Géométrie : ainsi, dans un Algorilhmus de inlegris et minutiia, imprimé à Leipsick en 1507, les règles de fausse position sont appliquées à cette question ; Étant donnés un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle et la somme des deux autres côtés, trouver ces côtés. Nous rappellerons enfin que, dès le XV* siècle, Regiomontanus et l'astronome Blanchinus étaient très versés dans la pratique des règles de l'Algèbre, et que le premier en fait usage dans son Traité De triangulis, pour résoudre les propositions de Géométrie.

Ainsi, nous pensons pouvoir dire avec certitude que l'Algèbre, dès les premiers temps du renouvellement des sciences en Europe, a été cultivée et appliquée particulièrement aux questions de Géométrie, et que le caractère des sciences mathématiques, au XVT* siècle, qui est résulté de cette union intime entre l'Algèbre et la Géométrie, s'est manifesté même avant qu'eût paru l'ouvrage de Lucas di Borgo; mais que celui-ci ayant été, le premier, mis au jour par la voie de l'impression, est devenu le plus répandu et a eu la plus grande influence sur les progrès des sciences mathématiques et la direction qu'elles ont prise.

Les bornes de cet écrit, que nous avons déjà depuis longtemps dépassées, ne nous permettent pas de donner une analyse des ouvrages de Cardan, de Tartalea, de J.-B. Benedictis ' et de quelques autres Géomètres du XVl^ siècle, où nous aurions aimé à étudier la

' J.-B. Benedictis, dans son ouvrage inlilulé : Diversarum speculalioniim malhemalicarum et physicarum /îôt'r; Taurini, 1383, in-fol., fait usage, conlinuellenient, de considérations géométriques pour démontrer ou vérifier les règles d'Arithmétique et d'Algèbre. Voici un exemple curieux de cette méthode. L'auteur se propose une question à trois inconnues, qui s'exprime par les équations x -^ y = a, y -^ z = b, z -+■ x = c. IWsl résout algébriquement; et, pour vérifier les expressions qu'il a trouvées pour les inconnues, il se sert de celle considération géométrique : Qu'on forme un triangle qui ait pour côtés les trois nombres a, b, c, et qu'on lui inscrive un cercle tangent à ses trois côtés : les segments que les points de contact formeront sur ces côtés seront les

NOTES. 54i

marche de celle science, qui dilîcrail lant alors, par sa forme, de celle des Grecs, à en suivre les pas el à en conslaler les progrès, jusqu'aux Iravaux de Vièle qui lui ont fail subir une nouvelle transformation éminemmenl heureuse, nécessaire pour assurer à la Géométrie, dans toute l'étendue de ses besoins, les secours que la science du calcul devait lui prêter.

Mais il nous faut bien préciser celle nouvelle forme qu'a prise la Géométrie, qui fail la différence immense entre les ouvrages du XVh siècle el ceux du XVII*, et d'où datent véritablement les grands progrès qu'elle a faits depuis.

La Géométrie, dans tout le cours du XVI'= siècle, différait essentiellement de celle des Grecs, sous un certain rapport : c'est qu'elle n'opérait que sur des données numériques, ainsi que nous l'avons déjà dit, à la suile de notre analyse des ouvrages de Lucas di Borgo. Cela était une conséquence naturelle de l'union intime qui s'était établie entre cette science el l'Algèbre, union qui n'était possible qu'avec des données numériques, car l'Algèbre alors n'était qu'une Arithmétique supérieure, exclusivement numérique, qui ne différait essentiellement de l'Arithmétique ordinaire que par l'usage de la règle des signes, el du mécanisme des équations; elle n'était point une science de symboles abstraits, comme Vièle l'a constituée sous le nom de Logistique spécieuse. Les opérations el les artifices de calcul, qui simplifiaient les démonstrations et remplaçaient les considérations géométriques dont tout Géomètre grec aurait fait usage exclusivement, n'étaient donc possibles, dans le XVI* siècle, que quand la Géométrie se faisait sur des données numériques.

valeurs des trois inconnues x, y, z; d'où l'on conclut immédiatement que les valeurs de ces inconnues sont x=^—^~f Pic, comme le calcul les avait données. (Voy. pag. Hi.)

Benedictis construit géométriquement, comme on fait aujourd'hui, la racine positive de l'équalion a;* h-ot^ 6'. Il est vrai qu'il ne iiropose pas précisément celle équation ; mais elle exprime immédiatement la question qu'il résout, Cl qui est celle-ci : Étant données deux droites a, b, on demande d'en trouver une troisième x, telle que Von ait (x -f- a) x = b*. {Voy. pag. 368.) C'est peut-être le premier exemple de la construction géométrique d'une équation du second degré. Car les problèmes qu'Euclide a résolus (Propositions 28 el 29 du 6' livre des ^/tîmen/s, et Propositions 84, 83, 86 et 87 des Données), bien que, traduits en Algèbre, ils conduisent finalement à une équation du second degré, différaient essentiellement, par leur énoncé géométrique, d'une question algébrique.

Les ouvrages de Cardan et de Tarlalea, infiniment supérieurs à celui de J.-B. Benedictis, font aussi constamment usage de l'Algèbre en Géométrie et de la Géométrie en Algèbre. I-es principes d'une alliance intime entre ces deux sciences sont exprimés trop formellement, et les exemples en sont trop nombreux, pour que nous ayons besoin d'insister sur cet objet.

Outre la partie algébrique des ouvrages de Tarlalea, qui est la sixième partie de son Traité général des nombres el des mesures, ce Géomètre avait composé un Traité d'Algèbre, sous le titre d'Algebra nova, qui ne nous est pas parvenu, et dont la perle est bien regrettable. Dans la cinquième partie du Traité général (fol. 28 v°), Tarlalea donne la solution d'une question de maximum, dont la démonstration devait se trouver dans cet ouvrage d'Algèbre. Celle question est remarquable pour le temps; il s'agit de diviser le nombre 8 en deux parties, telles que leur produit multiplié par leur différence, soit un maximum. La solution de Tarlalea est générale, et telle que la donnent les règles du calcul infinitésimal actuel. Prenez, dit-il, le carré de 8, ajoutez-y le tiers de ce carré, et prenez la racine carrée de la somme : ce sera la différence des deux nombres cherchés. Ce choix de l'inconnue, la dillérence des deux parties du nombre proposé, est très heureux et annonce une profonde connaissance des pratiques de la science.

Aussi c'est ce qui a eu lieu jusqu'à Vièle, ainsi qu'on le voit dans tous les ouvrages de celle époque, l'une des plus mémorables de l'histoire de la science. Mais on conçoit que, de. la sorte, la Géométrie avait perdu celte pureté de forme et ce caract-ère de généralité et d'abstraction îfuxquels s'étaient tant attachés les Anciens, et qui paraissaient être l'apanage de celte science; et si, sous un rapport, il y avait des avantages réels, sous un autre, il y avait des inconvénients graves, provenant, d'une pari, de ce que l'esprit, en opérant sur des nombres, perdait de vue les objets qu'ils représentaient, et ensuite, de ce que, en effectuant au fur et à mesure les calculs, on détruisait la trace et le fil du raisonnement. Aussi les démonstrations géométriques sont-elles d'une lecture très pénible dans les ouvrages du XVP siècle.

La Géométrie des Grecs avait donc subi une véritable altération, mais altération très heureuse, puisque c'est dans cet état que Vièle a dû la prendre, pour lui appliquer sa grande conception de l'Algèbre littérale, et lui rendre ainsi toute sa pureté et son abstraction primitives, en conservant néanmoins tous les avantages que la science du calcul pouvait lui apporter. Mais il est fort remarquable qu'il ait fallu, pour arriver à ce grand résultat, à ce perfectionnement de la Géométrie des Grecs, passer par un état d'altération, qui faisait perdre à celte science son caractère d'abstraction et de généralité, et qui la faisait descendre au rang des opérations concrètes et numériques.

Ces considérations peuvent nous faire regarder le XV* et le XVP siècle, comme marquant, dans l'histoire de la Géométrie, une époque de préparation et de transition, où s'est élaborée la nouvelle forme qu'ont prise les sciences mathématiques; et nous devons ajouter que les Indiens et les Arabes ont eu une grande part dans celle transformation et ce perfectionnement, puisque le germe s'en trouvait dans leur principe d'application de l'Algèbre à la Géométrie, et qu'ils l'ont développé eux-mêmes par leurs travaux d'un grand nombre de siècles.

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Page 23.

Héron d'Alexandrie, disciple du célèbre mécanicien Ctésibius, et célèbre lui-même par son Traité des Pneumatiques, et par diverses autres inventions mécaniques pour lesquelles il est cité dans le huitième livre des Collections de Pappus, excella aussi dans la Géométrie. Eutocius nous a conservé sa solution du problème des deux moyennes proporlionnclles, et a emprunté d'un de ses ouvrages, Trepl {AeTpt.xwv, la règle arithmétique pour l'extraction de la racine carrée d'un nombre. Proclus le cite comme auteur de nouvelles démonstrations de diverses propositions des Éléments, oîi il n'admettait que trois seulement des axiomes d'Euclide * ; cl Grégoire de Nazianze (ann. 528-389) le met au rang des grands Géomètres de l'Antiquité. [Oratio 10.)

Les ouvragres de Héron étaient nombreux, mais la plupart ne nous sont pas parvenus, ou sont restés inédits. De ceux qui concernaient spécialement la Géométrie, il n'en est que deux qui aient été traduits et mis au jour. Le premier, dont les historiens des Mathématiques, je ne sais pourquoi, n'ont point parlé, est dû à Dasypodius. II a pour titre: Nomendatura vocabulorum geometricorum 2. C'est une suite de définitions des différentes matières qui font l'objet de la Géométrie. Ces définitions sont accompagnées de commentaires et de développements présentés avec clarté ^.

Dans sa préface, Dasypodius annonçait qu'il possédait plusieurs autres ouvrages de Héron, qu'il se proposait de faire connaître. L'un d'eux, qu'il appelait At-OTtTpixa, est le second des deux ouvrages géométriques de Héron qui nous sont parvenus. Mais celui-ci ne nous est connu que depuis quelques années. Nous en sommes redevables au savant professeur de Bologne, J.-B. Venturi, qui l'a traduit en italien, sous le titre: Il Truguardo (Le Niveau), répondant

* Cotnmentarius in Euclidem, liber lerlius.

* Euclidis Elemeulorum, liber primus. Item Heronis Alexandrini vocabula quœdam Geomelriœ anteà nunquam edila, grœcè et latine, per Cunradum Dasypodiiini. Argentinae; 1371, in-8\ — Oratio C. Dasypodii de Disciplinis mathemnticis. Ejusdem Heronis Alexandrini Nomenclaturœ vocabulorum geometricorum Iransiatio. Ejusdem Lexicon mathemalicum, ex diversis colleclum antiquis scriptis. Argenlina;, 1579, in-8».

* Fabricius {Bi6/. grœca, Mb. 3, cap. XXIV), el Heilbronner (ffiA-r. Malheseos, pag. 598), allribuenl cet ouvrage à Héron le jeune, qui a vécu à Conslantinople, au VII' siècle de notre ère. Bernardin Baldi l'avait mis, comme Dasypodius, au nombre des ouvrages de Héron l'ancien. (Voir Cronica de Malhematici, pag. 35.)

Ui ADDITIONS.

au titre du texte grec, Trepi oioTr-rpaç, et l'a mis au jour dans ses commentaires sur l'histoire et la théorie de l'Optique K Cet ouvrage est un Traité de Géodésie, dans lequel se trouvent résolues graphiquement sur le terrain, à l'aide de l'instrument appelé la dioptre par les Anciens, une foule de questions de Géométrie pratique.

Ce Traité est digne du nom de Héron ; il est un monument précieux de la Géométrie des Grecs, et doit prendre place à la suite des ouvrages d'Euclidc, d'Archimède et d'Apollonius. Il remplit une lacune qui existait dans les écrits qui nous sont parvenus de l'Antiquité. Car les Anciens ayant toujours distingué, sous le nom de Géodésie, la Géométrie pratique de la Géométrie proprement dite 2, ils ont dû écrire particulièrement sur celte Géodésie ; et cependant il ne nous était rien venu de l'école d'Alexandrie, sur cette hranche de la Géométrie.

Nous connaissions seulement le Traité de Géodésie de Héron le jeune, postérieur de près de huit siècles à Héron l'ancien. Mais cet ouvrage, qui se réduit aux opérations les plus simples, dépourvues de démonstrations, n'était pas digne de figurer à côté des ouvrages géométriques des Grecs. La proposition la plus importante qu'on y remarquât était la formule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés. C'était le seul ouvrage grec où l'on trouvât cette formule, si répandue en Europe dès le commencement du treizième siècle, et qui paraissait d'origine arabe. Mais elle se trouve aussi dans le Traité de Héron l'ancien, où elle est démontrée par une construction géométrique très élégante. C'est là probablement que Héron le jeune l'a prise, car il cite souvent les ouvrages de son homonyme et ceux d'Archimède, et de plus il se sert, dans l'application numérique qu'il fait de la formule, des trois nombres 13, 14 et 15 pour côtés du triangle, qui sont ceux précisément de Héron l'ancien.

Ces trois nombres, et la formule en question, se rencontrent aussi dans la Géométrie des Indiens et dans celle des Arabes, et même chez les Latins, ainsi que nous l'avons dit en parlant des ouvrages de Brahmegupta.

Le Traité de Géodésie de Héron l'ancien étant encore à peine connu, nous allons énoncer plusieurs des questions qui s'y trouvent résolues au moyen de l'instrument qu'il appelle la dioptre. Elles font connaître ce qui constituait la Géodésie, ou Géométrie pratique chez les Grecs ; et elles sont de nature à faire regretter que le texte original de l'ouvrage de Héron, et des versions, autres que celle de M. Venturi, n'aient pas encore été publiés ^.

* Cotnmentari sopra la storia e le leoriedeW oUica. Bologna; 1814, 10-4». Cet ouvrage se compose des quatre parties suivantes :

1° Considerazioni sopra varie parti delV ollica pressa di anlichi;

2° Erone il meccanico del traguardo tradoUo dal greco ed illustrato con noie;

3° DeW iride, degli aloni e de paregli;

4" Appendice inlorno air ottica di Tolommeo.

* Si enim in hoc differrel solum Geomeiria à Geodœsia^quod hœc quidem eorum est quœ sentimus, illa vero non sensibilium est. Aristoie, liv. 2 de la Métaphysique, chap. XI.)

2 M. Venturi cite trois bibliothèques qui possèdent le Traité de Héron; ce sont la Bibliothèque royale de Paris, celle de Strasbourg et celle de Vienne; dans celle-ci l'exemplaire est incomplet; il est le seul dont les bibliographes aient fait mention; on l'a pris, d'après Lambecius, pour un traité de Dioptrique. — (Voir Fabricius, Bib. grœca, lib. 3, cap. XXIV; — Heilbronner, Hist. math., pag. 282.)

M. Venturi a fait sa traduction sur une copie de l'exemplaire de la Bibliothèque royale, collationné sur celui de Strasbourg. Ce dernier est probablement l'exemplaire qui a été en la possession de Dasypodius. Que sont devenus les autres ouvrages de Héron, que ce Géomètre possédait aussi?

Conrad Gesner dit, dans sa Bibliotheca universalis {sive catalogus omnium scriplorum locupletissimus in tribus linguis latina, grœca et hebràïca. Tiguri; 1543, io-fol.) que le célèbre Diego Hurtardo de Mendoza, à

ADDITIONS. 5i5

1» Mesurer la différence de hauteur de deux points invisibles l'un de l'autre.

2° Tirer une ligne droite entre deux points invisibles l'un de l'autre.

5° Trouver la dislance du lieu où l'on est, à un point éloigné duquel on ne peut approcher.

4° Mesurer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser.

5" Mesurer la distance qui sépare deux points éloignés.

6° Mener, par un point donné, une perpendiculaire sur une droite dont on ne peut approcher.

7° Mesurer la hauteur d'un point inaccessible.

S" Mesurer la différence de hauteur de deux points inaccessibles.

9» Mesurer la profondeur d'un trou.

10» Traverser une montagne en suivant une ligne droite qui joigne deux points, donnés des deux côtés de la montagne.

H° Creuser un puits sur une montagne, de manière qu'il aboutisse à une excavation souterraine déterminée.

12° Tracer le contour d'un rivage.

45° Donner au terrain la forme d'un segment de sphère déterminé.

14" Donner au terrain une pente déterminée,

i5° Mesurer un champ sans entrer dedans.

16° Le diviser, en parties données, par des droites parlant d'un même point.

17® Diviser, dans une raison donnée, un triangle et un trapèze.

Page 4b.

La première proposition du livre 4 des Collections mathématiques de l'appus est une propriété générale des triangles, que l'auteur présente comme une généralisation du théorème du carré de l'hypoténuse. On n'a pas encore remarqué que celle proposition est précisément, sous une autre forme, la propriété des parallélogrammes sur laquelle repose, en Mécanique, la théorie des moments ; laquelle propriété n'a été découverte qu'au commencement du siècle dernier, par Varignon, qui l'a présentée aussi comme « quelque chose de semblable à la proposition 47 du 1" livre des Éléments d'Euclidc (celle du carré de l'hypoténuse), » cl l'a énoncée ainsi :

Si, sur deux côtés contigus d'un parallélogramme, et sur la diagonale issue du même sommet qu'eux, on construit trois triangles ayant un sommet commuti, situé en un point quelconque du plan de la figure, la somme ou la différence des deux premiers triangles sera égale au troisième triangle. (Voir les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1719.)

Déjà, longtemps auparavant, Varignon avait démontré, et avait employé en Mécanique un théorème sur le parallélogramme, très connu dans la Géométrie moderne, et qui n'est au fond que ce premier, sous un énoncé différent, savoir que: Si deux côtés contigus d'un parallélogramme, et la diagonale issue de leur sommet commun, sont projetés sur une droite quelconque, la projection de la diagonale sera égale à lu somme ou à la différence des projections des deux côtés. (Voir Projet d'une nouvelle Mécanique, ia-A", 1087, pag. 189.)

qui l'Europe fut redevable d'un grand nombre de manuscrils grecs, en avait plusieurs de Héron (voir foi. 31 i> V?). Ceux-ci se trouvent sans doute dans la Bibliothèque de l'Escurial, oii est entrée la précieuse collection de Mendoza.

Page 55, § 5.

Au nombre des Géomètres qui, à IMmitatiou de Yiète, ont fait des transformations de triangles sphcriques, il faut placer Albert Girard qui a fait aussi usage du triangle réciproque, dans sa Trigonométrie, imprimée en 162G, un an avant celle de Snellius ; mais ce Géomètre a compris sous ce mot les quatre triangles différents formés par les arcs de cercle qui ont pour pôles les trois sommets du triangle proposé; de sorte qu'il regarde, comme réciproques d'un triangle donné, le triangle de Viète et celui de Snellius.

Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard, qui est à la suite d'une Table des sinus, tangentes et sécantes, est très succinct, et néanmoins contient plusieurs choses intéressantes. Dans la préface, on voit que l'auteur s'était occupé de V Analyse géométrique des Anciens, et avait rétabli leurs Traités dont les litres nous ont été transmis pas Pappus ; il dit, à ce sujet, qu'après ce petit Traité de Trigonométrie, « qu'il donne comme échantillon, il mettra au jour quelque chose de plus grand. >

Page 68, § 14.

Fermât avait écrit sur les Lieux à la surface.

Mersenne nous l'apprend en ces termes : Omitto locos ad superficien, cujus isagogem vir idem Cl. (Fermatius) amicis communem fecit, et alia quœ utinam ab eo tantum impetremus. (Voir Universœ Geometriœ mixtœque mathematicœ synopsis, in-i", 1644, pag. 388.)

Page 81, § 27.

Nous avons dit que Desargues avait proposé la question de couper un cône à. base elliptique, hyperbolique ou parabolique, suivant un cercle, et que Descartes en avait donné une solution fondée sur les principes de sa Géométrie analytique. Nous aurions dû ajouter que Desargues avait résolu aussi ce problème, par une construction graphique ', ce que nous voyons dans la préface de la Synopsis universœ Geometriœ du P. Mersenne. Desargues réduisait ce problème à la recherche de l'axe principal du cône, c'est-à-dire de celui qui jouit de la propriété qu'un plan qui lui est perpendiculaire coupe le cône suivant une ellipse qui a son centre sur cet axe. Il construisait cet axe en employant deiix lignes dont il déterminait autant de points qu'il voulait, Mersenne ne dit pas quelles étaient ces lignes : c'étaient probablement des sections coniques.

Après avoir déterminé les sections circulaires du cône, Desargues s'en servait pour résoudre différents autres problèmes, tels que de couper le cône suivant une conique semblable à une conique donnée, ou qui satisfasse à la condition que le plus grand angle que font deux diamètres conjugués, soit de grandeur donnée.

' Archimède a résolu ce problème pour le cas où le sommet du cône est dans le plan mené par l'un des diamètres principaux de la conique, perpendiculairement à son plan; ce qu'on voit par les propositions 8 et 9 du livre Des Sphéroïdes et des Conoides.

Ces propositions montrent aussi qu'Àrchimède avait déjà, avant Apollonius, considéré le cône oblique à base circulaire; mais néanmoins c'est Apollonius qui, le premier, a étudié la théorie des coniques dans le côÈ oblique.

ADDlT10l^S. 547

Desargues résolvait eneore ee problème, le plus générai, dit Merscnnc, qu'on puisse se proposer sur cette matière :

Étant donné un cône à 6a<?e elliptique, parabolique ou hyperbolique, et un plan sécant, déterminer, sans construire la courbe d'intersection du cône par ce plan, ses diamètres conjugués faisant entre eux un angle de grandeur donnée, ses tangentes, ses ordonnées, ses paramètres et les autres principales lignes de cette courbe.

Desargues fait lui-même mention d'un problème de celle nature, à la fin de son livret sur la Perspective, compris dans le Traité de perspective, arrangé par Bosse (in-8% 1648; voir pag. 334), où il s'exprime ainsi :

Ayant à pourlraire une coupe de cône plate, y mener deux lignes dont les apparences soient les essieux de la figure qui la représente.

C'est-à-dire : une conique étant mise en perspective, trouver sur son plan les deux droites qui seront, en perspective, les deux axes principaux de la perspective de la conique.

Enfin, nous voyons encore, dans la préface de la Synopsie de Mersenne, que Desargues avait composé un Traité complet sur l'angle solide, où il résolvait ces quatre problèmes :

{<> Étant donnés les trois angles plans, trouver les trois angles dièdres ;

2° Étant donnés deux angles plans et un angle dièdre, trouver l'autre angle plan et les deux autres angles dièdres ;

5" Etant donnés un angle plan avec deux angles dièdres, trouver les deux autres angles plans et le troisième angle dièdre ;

4" Enfin, étant donnés les trois angles dièdres, trouver les trois angles plans.

Mersenne ajoute que Desargues formait un second angle dièdre, dans lequel les angles plans étaient les suppléments des angles dièdres du premier, et réciproquement. Ce qui réduisait les quatre problèmes à deux.

C'est, comme on le voit, l'angle trièdre supplémentaire qui répond au triangle supplémentaire de la Trigonométrie spbériquc, que Snellius avait imaginé quelques années auparavant, dans son Traité de Trigonométrie. Et, quant aux problèmes, ils constituent une solution graphique de la Trigonométrie sphérique. C'est ce qu'on a appelé depuis la solution de la pyramide triangulaire. Ils forment aujourd'hui un chapitre des Traités de Géométrie descriptive et sont d'un fréquent usage dans les applications de cette science, principalement à la Coupe des pierres. (Voir le Traité de Géométrie descriptive, de M. Hachelte, et le 5* cahier du i" volume de la Correspondance polytechnique.

Pagb 83, § 28.

M. Poncelel a donné, comme correspondant, dans la Géométrie à trois dimensions, au théorème de Géométrie plane de Desargues, le suivant : Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point, les plans de leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont dans un même plan. {Traité des Propriétés projectives, art. 582.) Ce théorème peut être généralisé de celle manière :

Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés detix à deux sur quatre droites qui sont les génératrices, dun même mode de génération, d'un hyperboloïde à une nappe, leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre autres droites, qui sont les génératrices d'un second hyperboloïde.

us ADDITIONS.

Page 95.

On trouve, dans les lettres de Descartes, de nombreux passages relatifs à la Géométrie. Son volume : Opuscula postimma (Amst. 1701, in-4°), contient aussi quelques morceaux de Géométrie. Il est à regretter que l'on n'ait pas encore songé à réunir tous ces passages cpars, et à les comprendre dans une des nombreuses éditions que Ton a faites de la Géométrie de Descartes,

Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres une méthode particulière, que ce célèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et ses illustres contemporains, Fermât, Roberval et Pascal : le problème de la tangente à la cycloïde. Cette méthode, qui a eu alors une grande célébrité, était dune simplicité extrême et convenait aux cycloïdes accourcics et allongées, comme l'a très bien vu Descartes, et même à toutes sortes de roulettes, décrites par un point du plan d'une courbe quelconque, qui roule sur une autre courbe fixe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinité de côtés. Ces polygones sont en contact suivant un côté commun, et conséquemment ont à chaque instant deux sommets communs ; pendant un mouvement infiniment petit, le premier polygone tourne autour d'un de ces deux sommets, qui reste fixe; le point décrivant engendre donc un arc de cepcle qui a son centre en ce sommet fixe ; la normale à cet arc de cercle, qui est un élément de la roulette décrite, passe donc par ce sommet.

Cette méthode, qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les tangentes, est d'une simplicité extrême, et a toujours été employée depuis. Mais, à raison sans doute de cette simplicité même, elle n'a point attiré autant l'altenlion des Géomètres, qui n'en ont fait usage que dans la même question, en se bornant seulement à l'étendre aux épicycloïdes sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de dislinctif et de spécial par rapport aux autres solutions du problème des tangentes, il élait naturel de chercher si le principe sur lequel elle repose n'était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait applicable à d'autres questions.

Le théorème suivant nous paraît offrir la généralisation de celui de Descartes :

Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment petit dans son plan, il existe toujours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe ;

Les droites menées par les différents points de la figure, perpendiculairement aux trajectoires qu'ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe.

D'après ce théorème, quand une courbe est décrite par un point d'une figure en mouvement dans son plan, il suffira, pour mener sa normale par le point décrivant, de déterminer le point qui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position que l'on considère. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure.

Par exemple, si l'on connaît le mouvement de deux points de la figure, on mènera par ces points les normales aux courbes qu'ils parcourent, et le point d'intersection de ces deux normales sera le point cherché.

Ainsi, qu'une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités parcourent deux droites fixes : on sait que chaque point de la droite, et même que chaque point pris au dehors de la droite, mais fixé invariablement à elle, décrit une ellipse. Pour déterminer la normale à cette courbe, on mènera les normales aux deux droites fixes, par les extrémités de la droite mobile; ces deux normales se rencontreront en un point par où passera la normale cherchée.

ADDITIONS. .^i9

Lf mouvement de la figure mobile peut être réglé par diverses autres conditions qui permettraient encore de déterminer très aisément le point en question.

Soil, par exemple, la conchoïde de Nicomède, décrite par un point d'une droite dont l'cxtrémilé parcourt une droite fixe, pendant que cette droite mobile glisse sur un point fixe. Considérant la droite mobile dans une de ses positions; par le point fixe on lui mènera une perpendiculaire; et, par son extrémité, on mènera une droite perpendiculaire à la droite fixe : le point de concours de ces deux perpendiculaires sera le point cherché, par lequel passera la normale à la conchoïde.

Nous ne passerons point ici en revue toutes les autres conditions diverses du mouvement de la figure mobile pour lesquelles on saura déterminer le point en question, ni toutes les courbes auxquelles il sera facile, par ce moyen, de mener les tangentes.

Ce qui précède sulïit pour faire voir que le théorème que nous avons énoncé est une généra, lisalion de l'idée de Descartes au sujet de la tangente à la cycloïde, et qu'il constitue une véritable méthode des tangentes, méthode différente de toutes les autres, et même de celle de Robcrval, quoiqu'elle repose, comme celle-ci, sur des considérations de mouvement. Mais on conçoit que cette méthode, si facile, sera aussi, comme celle de Robcrval, bornée dans ses applications, puisqu'elle suppose que l'on connaît les conditions géométriques du mouvement d'une figure, de forme invariable, à laquelle appartient le point décrivant. Cependant elle s'applique à un grand nombre de courbes particulières et à des familles entières de courbes.

Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie; il peut être utile aussi en Mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des différents points de la figure /nobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points à celui qui, pendant l'instant où l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suffit donc, ce point étant déterminé, de connaître la foice vive d'un autre point quelconque de la figure. M. Poncelet nous a appris qu'il avait fait un tel usage de ce théorème dans plusieurs questions sur les machines, où l'on n'avait point jusqu'ici de méthode géométrique pour le calcul des forces vives.

En énonçant le théorème en question, il y a quelques années (voir Bulletin universel des Sciences, lom. XIV), nous l'avons présenté comme un cas particulier d'un théorème sur le déplacement fini quelconque d'une figure plane, dans son plan, et même dun théorème encore plus général, relatif à deux figures semblables, situées d'une manière quelconque dans un plan. Mais ces théorèmes dépendent eux-mêmes d'un principe encore plus général, que voici :

5t Von conçoit, dans un plan, deux figures qui ont été priinilivement la perspective l'une de l'autre, et qui se trouvent actuellement placées d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre ;

Chaque point de l'une des figures aura son homologue dans l'autre figure ;

Il existera généralement trois points, dans l'une des figures, qui se trouveront superposés respectivement sur leurs homologues dans la seconde figure ;

L'un de ces trois points sera toujours réel ; les deux autres pourront être imaginaires.

Il résulte de là qu'il y a aussi trois droites, dans l'une des figures, qui se trouvent superposées sur leurs homologues dans la seconde figure : ce sont les droites qui joignent deux à deux les trois points.

L'une de ces droites est toujours réelle, et les deux autres peuvent être imaginaires.

Quand les deux figures sont semblables, ce qui est un cas particulier de la perspective, deux

des trois points et deux des trois droites sont toujours imaginaires ; le troisième point est réel ; la troisième droite est aussi réelle ; mais elle se trouve située à l'infini.

Cela a lieu pareillement quand les deux figures sont égales entre elles.

Ces propriétés des figures planes ont leurs analogues dans les figures à trois dimensions, pour lesquelles j'ai déjà énoncé quelques théorèmes qui se rapportent à celte théorie. (Voir BuUelin universel des Sciences, lom. XIV, pag. 521, année 4830.)

Page 98, § 4.

Les Arabes se sont occupés aussi de la description organique des courbes, et particulièrement des sections coniques. Nous le voyons par le titre des trois ouvrages suivants, qui se trouvent dans la Bibliothèque de Leyde :

1° Ahmed ben Ghalil Sugiureiis De conicariim sectiomim descriptione ;

2" Abu Schel Citmœus De circino perfeclo, quo etiam sectiones conicœ et nliœ lineœ curvœ describi possunt ;

3" Mali, ben Husein De circino perfecto et formatione linearum. (Voir Calalogus librorum tain impressorum quant manuscriptorum biOliothecœ publicœ universitatis Lugduno Batavœ in-folio, ni 6, p. 454 et 455.)

Page M 9.

Parmi les pratiques nouvelles que contenait la Gnomonique de La Hire, il en est une que nous aurions dû citer, parce qu'elle repose sur des considérations géométriques qui rentrent dans les doctrines de la Géométrie moderne.

11 s'agit de la construction des lignes horaires, en se servant de quelques-unes d'entre elles, qui sont déjà tracées. La Hire résout trois questions :

Dans la première, il suppose connues sept lignes horaires consécutives ;

Dans la seconde, quatre heures consécutives et l'équinoxiale ;

Dans la troisième, trois heures consécutives, l'équinoxiale et l'horizontale.

Et il détermine les autres lignes horaires.

Soient connues, dans le premier cas, les sept lignes des heures consécutives X, XI, XII, I, 11, III et IV. Voici quelle est la construction de l'auteur pour déterminer les cinq autres :

Par un point o de la ligne IV, on mène une transversale parallèle à la ligne X; elle rencontre les lignes III, II, I, XII et XI en des points a, 6, c, rf, e; on porte sur cette transversale, de l'autre côté du point o, des segments oa', ob' , oc', od\ oe' égaux, respectivement, à oa^ ob, oc, od, oe; et les points a', b' , c', d', e' appartiennent aux cinq heures cherchées.

En effet, les deux plans horaires X et IV sont à angle droit; les deux plans horaires III et V sont inclinés également sur le plan IV ; et, conséquemment, ces deux plans sont conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers X et IV. Il suit de là que les deux lignes horaires III et V sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux lignes horaires X et IV : donc toute transversale rencontrera ces quatre lignes en quatre points harmoniques ; et conséquemment, si cette transversale est parallèle à la ligne X, les deux points où elle rencontrera les lignes III et V seront à égale distance de celui où elle rencontrera la ligne IV. C. Q. F. P. '.

* Celte démonslration géométrique, que nous empruntons de l'ouvrage de La Hire, est aussi rigoureuse que

ADDITIONS. »5i

Nous ne rapporterons pas les pratiques de La Hire pour les deux autres questions ; elles sont aussi simples que la première, cl reposent aussi sur les principes de la G(îomélric élémentaire qui rentrent dans la théorie des transversales.

Mais ces trois problèmes donnent naturellement lieu à une observation que je m'étonne qu'on n'ait pas faite dans les ouvrages qui les ont reproduits. Cette observation porte sur le grand nombre de données que prend La Hire pour construire les lignes horaires inconnues. Dans le premier cas il en prend sept, dans le deuxième quatre, plus la ligne équinoxiale; et dans le troisième trois, plus la ligne équinoxiale et la ligne horizontale; ajoutez à cela que les lignes données doivent être consécutives.

Est-il besoin de toutes ces données ? Et quel est le plus petit nombre de lignes horaires qui soit sufiisant pour construire les autres?

La réponse à ces questions, c'est que trois lignes horaires quelconques suflisent pour déterminer toutes les autres, dont on peut donner une construction tout aussi simple que celle de La Hire pour le cas de sept lignes horaires consécutives connues.

Voici quelle sera celte construction, qui va nous offrir une nouvelle application de la Théorie du rapport anharmoniqxie, sur laquelle nous avons déjà cherché, dans plusieurs passages de cet ouvrage, à appeler l'attention des Géomètres.

Désignons par a, b, c les trois lignes données, qui répondent à des heures déterminées, mais quelconques, et qui seront même des fractions d'heure, si l'on veut. Soit d la ligne d'une quatrième heure quelconque, qu'on veut construire au moyen des trois premières. Le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre plans horaires dont elles sont les traces sur le plan du cadran. Ainsi soient A, B, C, D ces quatre plans ; on aura

sin.c,a sin.d,a sin.C,A sin.D.A sin.c,& sin.d,& sin.C,B sin.D.B'

brièvc; cependant M. Delambre ne la regarde pas comme bien satisfaisante; et comme la pratique en question lui paraît utile et curieuse, et mérite une démonstration en forme, il se propose de la démontrer de la manière la plus générale et la plus rigoureuse, (Hist. de l'astronomie au Moyen âge, pag. 634.) Mais, nous devons le dire, la démonstration de M. Delambre occupe près de deux pages de calculs, et assuiément n'est pas plus rigoureuse que le court raisonnement de La Hire.

Nous ne faisons point celte observation dans un esprit de critique : le nom et les travaux de M. Delambre, son dévouement à la science, et les recherches fastidieuses et pénibles auxquelles il s'est livré pour écrire son Histoire de l'Astronomie, ne trouvent en nous que respect et admiration. Mais notre remarque rentre essentiellement dans l'esprit qui a présidé à la composition de notre ouvrage ; parce qu'elle présente, d'une part, un exempte palpable des avantages que peut offrir souvent la voie géométrique ou de simple raisonnement, sur celle du calcul ; et qu'elle montre ensuite cette direction qu'ont prise les études mathématiques, où l'on ne trouve plus de preuves claires et convaincantes de la vérité en Géométrie, et de démonstration en forme, que dans une vérification par le calcul algébrique. Celle direction nouvelle est l'inverse de ce qui s'est fait dans tous les temps : chez les Grecs, où la Géométrie fut renommée pour la rigueur de ses démonstrations; chez les Indous et les Arabes qui se rendaient compte des résultats de l'Algèbre, par une démonstration géométrique; chez les Modernes, jusqu'au siècle dernier, où Newton et Mac-Laurin n'employaient le calcul qu'à regret et au point où il devenait indispensable.

Quelle est la cause de cette direction exclusive dans les éludes mathématiques? Quelle sera son influence sur le caractère et les progrès de la science? Nous n'essaierons pas de répondre à ces questions, sur lesquelles on serait peut-élre difficilement d'accord. Mais, quelles que soient les opinions à leur égard, on ne disconviendra pas du moins qu'il serait utile que la méthode ancienne, suivie jusqu'au siècle dernier, continuât d'être encouragée et cultivée, concurremment avec la nouvelle.

Les angles que font entre eux les quatre plans A, B, C, D sont connus, puisque ces plans correspondent à quatre heures déterminées ; le second membre est donc une quantité connue n.

On voit donc déjà que notre équation servira à déterminer la direction de la ligne d, et qu'ainsi elle résout la question.

Pour en déduire une construction facile, menons arbitrairement une transversale qui rencontrera les trois lignes a, 6, c en des points a, 6, y, et appelons 5 le point où elle rencontrera la ligne cherchée d. Le rapport anharmonique des quatre points a, 6, y, 3 sera le même que celui des quatre droites «, b, c, d ; l'équation précédente se transformera donc en

Sot i yas. Se~ n rg'

Le second membre est connu; cette équation fera donc connaître la position du point S qui appartient à la ligne cherchée.

Cette solution devient d'une facilité extrême, si l'on mène la transversale parallèle à l'une des deux lignes a, 6, à la première, par exemple ; car alors on a ;-^ = 1 , et l'équation se réduit à

Le segment yê esl connu, donc le segment 5ê l'est aussi ; le point o et, par conséquent, la droite d sont donc déterminés. Ainsi le problème est résolu. Et cette construction générale, qui ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques, et qui sert pour en déterminer une quatrième, aussi quelconque, esl, comme nous l'avons annoncé, tout aussi simple que celle de La Hire, qui nécessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois.

Quand à la quantité n, qui n'est pas donnée directement, mais qui dépend des angles que les quatre plans horaires A, B, C, D font entre eux, il est facile d'en calculer la valeur graphiquement, sans faire usage des lignes trigonométriques qui entrent dans son expression. Pour cela, on mènera par un point 0 quatre droites OA', OB', OC, OD' faisant entre elles, deux à deux, des angles égaux à ceux des plans horaires; on tirera une transversale quelconque, qui rencontrera ces droites en quatre points a', ê', y', S' ; le rapport anharmonique de ces quatre points sera égal à celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura

Telle est la valeur de n. On simplifie son expression en menant la transversale parallèlement a l'une des quatre droites OA', OB', OC, OD', à la première, par exemple ; car alors jy^ = 1, et il vient

Page 161, § 17.

La considération des épicycloïdes remonte très haut, puisqu'elles ont joué un grand rôle dans le système astronomique de Ptolémée. Mais il ne paraît paà que l'on ait jamais étudié géométriquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre des lignes courbes qu'il a appris à décrire par points, et dont l'usage pouvait être utile dans les arts de construction ; mais il n'en a point étudié non plus aucune propriété.

La première épicycloïde dont la nature ait été connue est due à Cardan; c'est celle que décrit un point de la circonférence d'un cercle qui roule sur la concavité d'un cercle d'un rayon double. Celte ligne est, comme on sait, une droite. Cardan a démontré cette proposition dans son livre intitulé : Opus novum de proporlionibus numerorum, motuum, etc. {voir Proposition 173, pag. 18G.)

Ensuite, Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un cercle sur lequel tombent des rayons parallèles, est une épicycloïde engendrée par un point de la circonférence d'un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé; ce cercle mobile ayant son diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci. Huygens a donne la rectification et la quadrature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière, chap. VI).

Vers le même temps, La Hire a trouvé que la caustique de Tscbirnbausen, formée par la réflexion dans un cercle éclairé par des rayons parallèles, est aussi une épicycloïde, que l'on engendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d'un autre cercle d'un diamètre double de celui du cercle fixe.

Cette courbe est précisément la développée de celle de Huygens.

Ce sont là, croyons-nous, les premières épicycloïdes dont on ait connu quelques propriétés géométriques. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions de Physique et de Mécanique, où elles ont joué un rôle remarquable.

Page 218.

Clairaut a considéré, avant Euler, les courbes que celui-ci appelle lineœ affines; il les regarde comme étant la projection l'une de l'autre, e'esl-à- dire comme deux sections planes d'un mémo cylindre; et il les appelle courbes de même espèce. Il fait voir que les coordonnées d'un point de l'une, rapportées à deux axes pris dans son plan, étant x et y, les coordonnées du point correspondant, dans la seconde courbe, rapportées aux deux axes qui correspondent, dans le plan de cette courbe, aux deux premiers axes, sont de la forme X = Xx, Y = ji.y. Ce qui montre que ces courbes de Clairaut sont les mêmes que celles d'Euler. (Voir Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1731.)

Page 265.

Un caractère propre des principes de dualité et d'homograjjhie tels que nous les exposerons, et qui repose sur l'usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c'est que, par la nature même de ce rapport, tous les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes, presque toujours, aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un

moyen facile et naturel de transporter, aux figures sphériques, toutes les propriétés des figures planes, et de généraliser même les propriétés, déjà connues, des figures sphériques.

Le principe de dualité, par exemple, fera voir qu'une première figure étant tracée sur la sphère, outre la figure supplémentaire, la seule connue jusqu'ici comme jouissant de la propriété que, aux points et aux arcs de grands cercles de la figure proposée, correspondent, dans cette figure supplémentaire, des arcs de grands cercles et des points, respectivement; outre cette figure supplémentaire, disons-nous, on en pourra tracer sur la sphère une infinité d'autres, jouissant des mêmes propriétés; et ce principe enseigne le mode de construction de ces figures, parmi lesquelles la figure supplémentaire n'est plus qu'un cas particulier.

Ainsi, nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritahle méthode rationnelle pour appliquer, aux figures sphériques, les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère ; et cette partie de la science de l'étendue peut, dès aujourd'hui, faire de rapides et faciles progrès.

Page 282.

Les deux porismes de Géométrie plane, que nous avons appHqués à la Géométrie à trois dimensions, ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

Premier porisme^. Etant pris sur la sphère deux points fixes P, P', et deux arcs qui rencontrent l'arc PP' en E et E' ; et étant pris sur ces deux arcs^ respectivement, deux points fixes 0, 0' ;

Si, de chaque point d'un arc donné, on mène deux arcs aux points P, P', qui rencontreront respectivement les deux arcs EO, E'O' en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités A, p., telles qu'on aura toujours la relation

siD.Oa sin.O'a'

sin.Ea sin.Ë'a'

Second porisme. Étatit menés sur la sphère deux arcs de grands cercles, qui se rencontrent en S, et étant pris sur ces deux arcs, respectivement, deux points fixes 0, 0' ;

Si, autour d'un point donné, de la sphère, on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs fixes en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités \ jj., telles qu'on aura toujours la relation

sin.Oa sin.O'a'

sin.So sin. Sa'

Page 294.

Depuis que la Note VII, sur l'ouvrage De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio de Jean Ceva, était imprimée, a paru le 24' Cahier du Journal de l'École polytechnique, où se trouve un Mémoire de M. Coriolis, intitulé : Sur la Théorie des moments considérés comme analyse des rencontras des lignes droites, qui a le même objet que cet ouvrage de Ceva. M. Coriolis y démontre, en peu de mots et sans calculs, par la théorie des moments, des théorèmes de la nature de ceux qui se trouvent dans la Théorie des transversales, de Carnot, mais qui présen-

ADDITIOISS. 555

icnl une plus grande généralité. On y remarque particulièrement une démonstration de la double génération de l'hyperboloïdc à une nappe, par une ligne droite.

Page 313.

A la suite de l'article (12), ajouter :

(la**'*). Il suit, du théorème (12), que si l'on a trois systèmes de deux points A, A', B, B' et C, C, conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes E, F, les six points A, A', B, B', C, C seront en involulion.

Car soit 0 le point milieu du segment EF, on aura

OA.OA' = OË*, OB.OB' = ÔË*, OC.OC' = ÔÊ*. Donc les six points A, A', B, B', C, C forment une involulion (art. 12).

Page 390, Art. 27.

Dans un Mémoire qui a pour titre : Recherches sur ce qu'il y a d'analogue au centre, des forces parallèles, dans un système à forces non parallèles, M. Minding, docteur à l'Université de Berlin, a démontré un théorème remarquable, qui offre une nouvelle propriété des deux coniques excentriques d'une surface du second degré. Voici l'énoncé de ce théorème :

« Les forces d'un système étant supposées telles qu'elles ne se fassent pas équilibre^ si on les fait tourner autour de leurs points respectifs d'application, sans déranger leurs inclinaisons mutuelles, il y a une infinité de positions du système dans lesquelles toutes les forces peuvent être remplacées par une résultante unique. La direction de cette résultante coupe toujours les contours d'une ellipse et d'une hyperbole situées dans deux plans perpendiculaires entre eux ; ces deux courbes sont d'ailleurs dans de telles relations que les foyers de l'une coïncident avec les sommets de l'autre.

» Réciproquement, chaque droite qui joint un point de l'ellipse à un point de l'hyperbole, peut être considérée comme la direction de la résultante unique, pour une certaine position du système. » (Voir le Compte rendu des séances de l'Académie des Sciences de Paris, par MM. les Secrétaires perpétuels, année 1835, pag. 282.)

En considérant les deux courbes en question comme les limites d'une série de surfaces du second degré, toutes inscrites à une même développable {voy. pag. 397), on est conduit à penser que le théorème de M. Minding n'est qu'un cas particulier de quelque théorème plus général, dans lequel ces surfaces du second degré joueraient un rôle analogue à celui de ces coniques.

Par exemple, au lieu de supposer que toutes les forces du système doivent prendre, autour de leurs points d'application, des directions telles qu'elles aient une résultante unique, que l'on suppose que le couple minimum, relatif à chaque position du système, ait une valeur donnée (qui sera zéro dans le cas de la résultante unique), et que l'on demande quelle sera, dans l'espace, la position de Taxe de ce couple minimum ou axe central des moments. (Voir les Éléments de Statique, de M, Poinsot, 6°"* édition, pag. 359.) Le résultat de cette recherche offrira nécessai-

renient une généralisation du beau théorème de M. Minding ; et peut-être que les surfaces du second degré y joueront le rôle que nous venons d'indiquer.

Celte théorie d'un système de forces qui tournent autour de leurs points d'application, en conservant leurs grandeurs et leurs inclinaisons mutuelles, peut prendre une grande extension et donner lieu à plusieurs questions intéressantes, si l'on y introduit la considération de Yaxe central des moments, au lieu de se borner au cas particulier d'une résultante unique. Par exemple :

1° Que l'axe central des moments doive rester parallèle à une même droite ; quelle sera la surface cylindrique qu'il décrira ?

2° Qu'il doive rester parallèle à un même plan ; quelle sera la surface courbe qu'il touchera dans toutes ses positions ?

5° Qu'il doive passer toujours par un même point ; quelle sera la surface conique qu'il décrira ?

4° Qu'il doive être situé dans un plan donné ; quelle sera la courbe qu'il enveloppera?

Nous ne pouvons nous occuper, dans ce moment, de ce genre de recherches ; nous l'indiquons, dans l'espoir qu'il offrira de l'intérêt à quelques lecteurs.

Page 396, § 45.

Depuis que cette Note est imprimée, nous sommes parvenu à la généralisation des deux théorèmes des paragraphes 41 et 43, et nous avons reconnu, comme nous l'avions pensé, que le second donne une démonstration, purement synthétique et indépendante d'aucune formule d'Analyse, du beau théorème sur l'attraction que deux ellipsoïdes, dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, exercent sur un même point situé en dehors de leurs surfaces. Une telle démonstration avait paru, à d'illustres Géomètres, devoir offrir des difficultés, et dépasser peut-être les ressources de la Synthèse *.

Les deux théorèmes généralisés peuvent se déduire des deux cas particuliers énoncés aux paragraphes 51 et 43, au moyen d'un autre théorème qui est aussi une belle propriété des surfaces du second degré ayant les mêmes coniques excentriques. Nous nous bornerons ici à l'énoncé de ce théorème :

Quand plusieurs surfaces du second degré A, A', A", etc., ont les mêmes coniques excentriques; si, autour d'un point S, on fait tourner une transversale qui rencontre l'une d'elles A en deux points a, a', et qu'en appelant D le diamètre de celte surface, parallèle à la corde aa', on porte sur la transversale, à partir du point S, un segment Sm égal à <? g-^^g^i ^ étant une constante, l'extrémité m de ce segment sera sur une surface du second degré 2, qui aura son centre au point S ;

Pour les autres surfaces A', A", etc., on formera semblablement, avec d'autres constantes S', (?", etc., d'autres surfaces s', 2", etc. ;

Toutes les surfaces 2, z', 2", etc., auront, en direction, les mêmes axes principaux ;

Et l'on pourra prendre les constantes S', S" , etc., de manière qu'elles aient aussi les mêmes coniques excentriques.

' Legenàre, Mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes, inséré dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1788. Voir page 486. — Poisson, Note sur le mouvement de rotation d'un corps solide ; année 1 834.

Page 459.

La formule

dont les arpenteurs romains se servaient pour ealculer Taire du polygone régulier de w côtés, est celle qui exprime les nombres polygonaux de l'ordre (w — 2).

Ces nombres polygonaux étaient très connus des Anciens; on les trouve dans les ouvrages de Nicomaque, de Jamblique, de Théon, de Diopbante, et dans l'Arithmétique de Boèce, où ils occupent une grande place. C'est là l'origine de cette formule, employée par les écrivains latins, et qui n'a dû être regardée par eux que comme approximative. Mais l'approximation, très grossière, ne repose sur aucune considération vraiment géométrique.

Nous avons dit que Gerbert avait reconnu que la formule relative au triangle n'était pas exacte, et qu'il avait essayé de la démontrer comme une formule approximative; mais que son raisonnement aurait dû le conduire à l'expression

qui est véritablement la formule approximative; l'approximation est d'autant plus grande que l'unité linéaire, prise pour exprimer le eôté a, est plus petite.

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Les mots pagina et paginula, que nous avons traduits par le mot colonne, ce qui nous a conduit à un sens clair du texte de Boèce, sont employés par cet auteur dans le chapitre XVI du 4* livre de son Traité de la Musique, où ils ont évidemment cette même signification, les colonnes étant décrites, et indiquées dans la figure et dans le texte, par des lettres.

Nous trouvons encore une signification à peu près semblable des mots pagina et paginula dans une pièce sur l'Astronomie, où ils sont employés pour exprimer l'intervalle entre deux cercles concentriques, dans la description d'un astrolabe. Cette pièce se trouve dans un manuscrit du XI* siècle, à la suite de la lettre de Gerbert à Constantin, sur la construction d'une sphère céleste. {Manuscrits de la Bibliothèque de Chartres.)

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Au lieu de celte phrase: « Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des zéros, de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne), auraient fait l'olTice du zéro; » il faut substituer celle-ci : « Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des places vides; de sorte

558 ADDITJOJNS.

qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient indiqué une place vide, et fait l'office du zéro actuel. »

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Le Vocabularium, de Nestor Dionisyus, donne au mot Abacus la signification suivante: Tabella super qua decuplationes fiunt : Abacus dicta est quin etiam ipsa decuplatio. (Edition de 149G, Venise, in-folio.) Ce passage s'applique parfaitement à notre explication de V Abacus, et semblerait prouver qu'au XV* siècle la signification de ce mot n'était pas encore perdue, comme nous l'avons pensé déjà, d'après un passage de la Bibliothèque historiale, de Vignier.

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Cela prouve-t'il qu'ils aient igoré absolument ce système indien ? C'est par une inadvertance, causée par la précipitation que nous avons mise dans la rédaction de cette dissertation qu'attendait l'imprimeur, dont nous retardions à regret le travail, que nous nous sommes servi de l'expression système indien, au lieu de dire système de /'Abacus. Il est évident que nous avons eu en vue seulement de prouver que l'assertion de Boèce n'était point inadmissible ; c'est-à-dire que le système de numération, qu'il exposait, avait pu être connu des Pytbagoricicns, comme il le dit ; et ce système, nous le répétons, n'était pas précisément celui des Indiens, c'est-à-dire le nôtre actuel ; mais il n'en différait que par l'absence du zéro, et par l'usage nécessaire de colonnes qui marquaient la place des chiffres.

Ce système n'était au fond que la représentation écrite de la table à compter, connue chez les Romains sous le même nom d' Abacus, qui était formée de cordons placés parallèlement, sur chacun desquels on pouvait faire glisser neuf boules, destinées à former des groupes qui représenteraient les nombres i, 2, 3, 4, 5, G, 7, 8 et 9 ; et les cordons exprimaient la nature des unités que ces groupes représentaient; le premier cordon était celui des unités simples; le deuxième, celui des dixaines; le troisième, celui des centaines ; et ainsi de suite.

On voit que VAbacus figuré n'était autre que V Abacus manuel ou palpable ; les colonnes représentaient les cordons, et les neuf caractères (ou chiffres) représentaient les neuf collections de boules que l'on pouvait former sur chaque cordon.

La transition de VAbacus manuel à VAbacus figuré, était donc naturelle, et n'exigeait aucun effort de génie ; on ne refuserait pas d'en faire honneur aux Romains, si Boèce ne l'attribuait à Pylhagore. Et c'est ce nom de Pythagore qui donne lieu, aux yeux de quelques personnes, à l'objection la plus forte contre notre explication du passage de Boèce; car on ne veut pas admettre qu'Archimède et Apollonius aient eu connaissance de ce système de numération, qui leur eût donné l'idée de la valeur déposition des chiffres.

Mais déjà plusieurs écrivains ont pensé que les Grecs, du temps même de Pythagore, ont connu la machine à compter que nous venons de décrire sous le nom d' Abacus des Romains ; car cette machine est de la plus haute antiquité chez tous les peuples *. Or, cette machine,

• Celte machine est le suapan des Chinois. Elle était en usage, non seulement dans plusieurs parties de l'Asie, mais dans plusieurs autres contrées de la Terre, chez les Étrusques, en Egypte, au Pérou. Voir le Mémoire de M. Alex, de HumboldJ, inséré dans le tome IV du Journal de Mathématiques, de M. Crelle, pag.. 203, sous !e

comme l'observe rilhislre M. de Hiimboldt ', est fondée sur le principe de la valeur de position des signes rcprcsenlalifs des nombres. Elle devait donc, tout aussi bien que VAbacus figuré^ décrit par Boècc, donner à Archimcde et à Apollonius l'idée de la valeur de position, idée, du reste, que ces deux grands hommes ont eue, puisqu'ils l'ont appliquée, comme nous l'avons dit, le premier à ses octades et le second à ses tétrades.

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On a imprimé, sous le nom de Sacro Bosco, un Traité d'Algorisme intitulé: Algorismus domini Joannis de Sacro Busco, noviter impressum, Venetiis, 1523, in-4'. Cet ouvrage n'est pas de Sacro Bosco, dont le Traité d'Arithmétique est écrit en vers; mais il est le même que celui que Clichtovée a fait imprimer sous le titre : Opusculum de praxi numerorum quod Algorismum vacant.

Ce Traité présente avec les autres une différence légère, mais qui mérite néanmoins d'être remarquée. C'est que l'auteur dit de placer un point au-dessus du chiffre des mille, pour le distinguer des autres ; puis semblablement un point sur le quatrième chiffre après celui des mille; et ainsi de suite sur les chiffres pris de quatre en quatre. Ce sont, comme on le voit, les tétrades d'Apollonius qui sont réduites, dans le système actuel, à des tranches de trois chiffres, puisque nous dénommons un nombre par tranches de trois chiffres en nous servant des mots unités, mille, millions^ billions, etc. Au point on a substitué des virgules qui séparent ces tranches de trois chiffres.

On trouve aussi ces tétrades marquées par un point dans le Traité d'Arithmétique de Purbach, Algorithmus G. Peurbachii in integris, Viennae, 1515, in-4°.

titre : Ueber die bei verschiedenen VOlkern Ublichten Système von Zahlzeichen und iiber den Urspmng des Stellemverthes in den indinschen Zahlen : c'est-à-dire Sur les systèmes de chiffres usités chez tes différents peuples, et sur Vorigine de la valeur de position, dans C Arithmétique indienne.

On trouve celte machine, soit celle des Chinois, soit celle des Romains, représentée dans plusieurs ouvrages. {Voir Velser, Rerum auguslanarum vindelicarum libri oclo. Venise, 1593; in-fol., pag. 268. — La Loul)ère, Du royaume de Siam. Paris, 1691 ; 2 vol. in-12. — Du Molinel, Le cabinet de la Bibliothèque de Sainte-Geneviève. Paris, 1692; in-fol., pag. 23. — Hager, An Explanalion of the elementary Characters of the Chinesse; Londres, 1801; in-fol.

» Voir le Mémoire cité, de M. de Humboldt.

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