LU = 0, MU = 0, NU
U n'est pas nulle, puisque c'est une fonction de x, y, z, qui esl devenue un nombre par la substitution des valeurs de ces coordonnées ; il faut donc qu'on ait
et dès lors, l'équation Lx ■+• My + N^ = 1 représente un plan situé à l'infini, et indéterminé de direction.
Nous pouvons donc énoncer, avec M. Poncelet, cette idée paradoxale, mais d'une justesse mathématique :
L'espace indéfini a pour enveloppe une surface plane. (Traité des Propriétés projectives, p. 373.)
6. Théorème IV. Quand le point directeur prend quatre positions a, b, c, d, en ligne droite, le plan mobile prend quatre positions correspondantes, que nous désignons par A, B, C, D;
Ces quatre plans passent par une même droite, et leur rapport anharmonique * est égal à celui des quatre points a, b, c, d ; c'est-à-dire que l'on a
sin . C, A sin . D, A
ca lia cb dh
sin . C, B sin . D, B
En effet, les quatre plans A, B, C, D passent par une même droite, puisque les quatre points «, b, c, d sont en ligne droite; par conséquent, si l'on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre plans aux points a, S, y, â, on aura
ya Soi sin . C, A sin . D, A V^'J^^ sin . C, B ■ sÏtÎTdTb
Il suffit donc de prouver que le premier membre de cette équation est égal au second membre de l'équation ci-dessus.
Pour cela, soient |, v, ç, les coordonnées d'un point fixe R, pris sur la droite des quatre points a, b, c, d; et soient r', r", r"\ r'\ les dislances de ces quatre points au point K ; leurs coordonnées seront
= Ç -H Ir', = V -4- mr', = ^ H- nr' ; = §-t- Ir", = V ■*- mr", ^= Ç -4- nr"; x"' = |-H tr'", y"' = V -t- mr'", z'" =!;-+- nr'"; x" = § -t- /r", y" =y +- mr", z" = Ç -4- Tir" :
pour le point a;
pour le point b;
pour le point c ;
pour le point d;
Nous avons donné, dans la Note IX, la définition du rapport anharmonique de quatre points, ou de quatre plans.
/, m, n étant des quanlilés angulaires qui déterminent la direction de la droite ab.
L'équation du plan mobile, dans sa position A, correspondant au point directeur a, est
X§ -+- Yj/ -+- 7X — U -4- (/X -4- »jY -+- ni) r' = 0.
Soit p' la distance du point K au point où ce plan rencontre la droite ab; les coordonnées de ce dernier point seront de la forme
elles doivent satisfaire à Péquation du plan : les y mettant, on aura une équation qui donnera la valeur de p'. Cette équation sera évidemment de la forme
P-+-Qp'-4-(R-t-Sp')r' = 0;
P, Q, R, S étant des fonctions de |, v, ç, /, m, n.
Les distances p", p'", ^'^, du point R aux points où les autres plans B, C, D rencontrent la droite ab, seront données par les équations semblables :
De ces équations, on tire
Qp"
-4- Sp'
-4-Sp'
Qp"
-4-Sp'
1 tire
Sr"
Sr'
Sr"
Sr'
D'où
équation qui démontre le théorème énoncé.
7. Remarque. L'équation P + Qp' + (R + Sp')r' = 0 fait voir que : sur une droite quelconque, il se trouve en général deux points qui, regardés comme deux positions du point directeur, donnent deux plans mobiles qui passent par ces points respectivement.
En effet, si l'on veut que le plan A, correspondant au point a, passe par ce point, on aura, dans l'équation ci-dessus, p' =r', et elle deviendra
P -+- (Q -t- R) r' -t- Sr'* = 0
Les deux racines de cette équation détermineront, sur chaque transversale, les deux points en question.
En général, quand le plan mobile passe par son point directeur, ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré.
En effet, l'équation du plan mobile est
Xx'-4- Yy'-+-Zz' = U.
Si ce plan passe par le point directeur, cette équation sera vérifiée quand on mettra x' , y' , z' à la place de x, y, z, dans X, Y, Z et U. Mais alors on aura une équation du second degré; cette équation représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le point directeur ; ce qui démontre le théorème.
11 faut observer, cependant, que si l'équation du point mobile était telle qu'en y faisant x==x', y = y^, z=z', on la rendît identique, ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile passerait constamment par le point directeur.
8. Théorème V. Étant données cinq positions du point directeur, on pourra prendre arbitrairement, dans l'espace, cinq plans qui seront les cinq positions du plan mobile^ correspondant respectivement à ces points.
En effet, soient x', y', z' les coordonnées d'un des cinq points donnés, et
Px -+- Qy -t- Rz = 1 , l'équation du plan qui doit correspondre à ce point.
Cette équation doit être identique à réqualion générale du plan mobile, que nous avons représentée par
X, Y, Z et U sont des fonctions linéaires de x, y, z, de la forme
\= ax -H 6.y -+- cz — d, Y = a'x •¥■ h'y -+- c'z — d', Z = a"x -4- b"y-*' c"z — d", U = o"'x-h6"'j/-+-c"'« — d'".
D'après cela, Téqualion générale du plan mobile est
{ax -+- 6j/ -4- c« — (I) x' -+- {a'x -f- b'y ■+■ c'z — d') y' + {a"x -4- h"y -+- c'z — d") z' = {a"'x-*-b"'y-i-c"'z — d"'y,
ou
(ax'-+- a'y' ■*- a"z' — a'") x -+- {bx'-i- b'y'-^ b"z' — 6'") y -4- (cx'-t- c'y'-*- c"z' — c'") z
= {dx'+d'y'-\-d"z'—d"').
Pour que cette équation soit identique à Péquation particulière du plan donné, il faut qu'on ait les trois équations de condition
ax' -4- a'y' -4- a"z' — a'" = P {dx' ■+■ d'y' -*■ d"z' — d'"), bx' -4- b'y' -4- b"z' — 6'" = Q (dx' -4- d'y' -t- d"z' — d'"), ex' -4- c'y' -4- c"z' - c'" = R {dx' -+- d'y' -^ d"z' — d'").
Pour chacun des quatre autres plans donnés, on aura trois équations de condition, semblables à celles-ci, et où entreront les coordonnées du point auquel correspond ce plan. On aura donc en tout quinze équations de condition, qui serviront à déterminer quinze des seize coefficients a, b, c, d, a', etc.; et comme ces cofïicients n'entrent qu'au premier degré dans ces quinze équations, leurs valeurs seront toujours réelles, et s'obtiendront facilement. Le théorème est donc démontré.
On voit par la forme des quinze équations, qui n'ont pas de termes connus,
que le seizième coefficient reslera indélerminé. Car on peut diviser ces quinze équalions par l'un des seize coeffîcienls.
9. Le théorème I conduit à une proposition de Géométrie analytique dont nous aurons occasion de faire usage (§ XVII) ; la voici :
Quand les coeffîcienls de trois coordonnées, dans l'équation d'un plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe ;
Si ces coefficients ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une surface du second degré;
Et, en général, si ces coefficients ont entre eux une relation du degré m, le plan enveloppe une surface géométrique, à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.
En effet, soient x' , ?/', z' les trois coefficients de l'équation du plan mobile; cette équation sera
chaque système de valeur de x', y', z' déterminera un plan.
Mais on peut regarder ces trois variables comme les coordonnées d'un point, et la relation donnée enlre elles représentera une surface, lieu géométrique de ce point; le théorème énoncé est donc une conséquence du théorème I.
§111. Démonstration du principe de dualité.
10. Nous diviserons ce principe en deux parties, dont la première est j relative à la corrélation des relations descriptives des figures ; et la seconde,
à la corrélation de leurs relations de grandeur ou métriques.
Première partie. Lorsqu'une figure de forme quelconque est donnée, on peut toujours former, d'une infinité de manières, une autre figure, dans laquelle les points, les plans, les droites, correspondront respectivement à des plans, à des points, à des droites de la première figu?'e; ^Ê
Les points situés sur un même plan, dans l'une des deux figures, auront
MEMOIRE DE GEOMÊTKIE. 887
pour correspondants des plans passant fous par le point qui correspond à ce plan ;
Les points situés sur une même droite, dans l'une des deux figures, auront pour correspondants, dans l'autre figure, des plans passant par la droite qui correspond à la première ;
Les points situés sur une surface courbe, dans la première figure, auront pour correspondants, dans la seconde, des plans tangents à une autre surface courbe; et les plans tangents à la première surface, en ces points, auront pour correspondants précisément les points de contact des plans tangents à la seconde surface ;
Enfin, tous les points situés à l'infini, considérés comme appartenant à la première figure, seront regardés comme situés sur un même plan, et tous les plans qui leur correspondront passeront par un même point, qui correspond à ce plan situé à l'infini.
Ce sont ces deux figures que nous appellerons corrélatives.
Ce principe résulte évidemment des théorèmes I, II et III. Car on formera la seconde figure en faisant mouvoir un plan dont Péquation contienne, au premier degré, les coordonnées d'un point mobile auquel on fera parcourir toutes les parties de la première figure. La seconde figure sera Tenveloppe du plan mobile.
11. Il est clair que des droites situées dans un même plan auront pour correspondantes, dans la seconde figure, des droites qui passeront toutes par un même point; ce point correspond au plan des premières droites.
Par conséquent, des droites situées à Tinfini auront, pour correspondantes des droites passant toutes par le point de la seconde figu re qui correspond à l'infini de la première.
Pareillement, des droites passant toutes par un même point, dans la première figure, donneront lieu à des droites situées toutes dans le plan correspondant à ce point.
Par conséquent, des droites parallèles entre elles donneront lieu à des droites situées toutes dans un même plan passant par le point de la seconde figure qui correspond à Tinfini de la première.
Des plans parallèles entre eux donneront lieu, dans la seconde figure, à des points situés sur une même droite passant par le point qui correspond, dans celte seconde figure, à l'infini de la première. Car les plans parallèles entre eux seront considérés comme passant par une même droite située à l'infini.
Enfin dés plans parallèles à une même droite donneront lieu à des points situés tous sur un même plan passant par le point qui correspond à l'infini.
1 2. Seconde partie. Dans deux figures corrélatives, à quatre points de la première, situés en ligne droite, correspondent, dans la seconde, quatre plans passant par mie même droite, et dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points;
Et à quatre plans de la première figure, passant par une même droite, correspondent, dans la seconde figure, quatre points situés en ligne droite, dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre plans.
Ainsi soient a, b, c, d quatre points de l'une des deux figures, situés en ligne droite, et A, B, C, D les quatre plans correspondants, dans l'autre figure : on aura toujours
sin . C, A sin . D, A ca da
^ ' sin . C, B sin . D, B cb db
Cela résulte du théorème IV.
Si l'on tire arbitrairement une transversale, qui rencontre les quatre plans A, B, C, D aux points a, 6, y, â, on aura
ya âoc ca da
Car le premier membre de cette équation est égal au premier membre de l'équation du théorème.
13. Si le point d est situé à l'infini, le plan D passera par le point qui
correspond, dans la seconde figure, à Tinfini de la première; le rapport^ sera égal à Tunilé, et les deux équations ci-dessus se réduiront à
sin.(',A sin.D,A ca sin.C,B sin.D.B cb*
ya. (?« ca
r6 (î6 cb
Ajoutons que si le point de la seconde figure, qui correspond à Tinfini de la première, est lui-même à l'infini, tous les plans qui répondront, dans la seconde figure, aux points à Tinfini de la première, seront parallèles à une même droite.
Si donc Ton prend pour transversale une parallèle à cette droite, le point â sera à l'infini, et la seconde des deux équations précédentes se simplifiera encore; elle deviendra
ya. ca r6 cb'
Ainsi, une partie des relalions métriques des deux figures pourront être exprimées par dos équations de celte forme.
14. L'é(|uation (4) exprime la propriélé la plus importante des figures corrélatives. On peut dire qu'elle est le fondement de toute cette théorie. Car c'est sur, cette relation si simple que reposent la construction des figures corrélatives les plus générales, et la plupart des applications du principe de dualité.
C'est, le plus généralement, sous sa forme même, ou sous celle de l'équation (2), que nous appliquerons cette relation. Mais cependant elle est susceptible d'une autre expression, qui simplifiera extrêmement les transformations, dans certains cas, et que nous allons tout de suite faire connaître.
Écrivons l'équation (1) de cette manière :
sin.CA ca sin.D,A da sin.C,B ' cb ~ sin.D,B * db '
A un cinquième plan E de la première figure, passant par la même droite que les quatre premiers, correspondra un cinquième point e de la seconde figure, situé sur la même droite que les quatre premiers; et Ton aura l'équation
sin . E,A ca sin D,A da sin . E,B c6 sin . D,B db
Donc, en général, quel que soit un plan C mené dans la première figure, par la droite d'intersection de deux plans fixes A, B de cette figure, il lui correspondra un point c de la seconde figure, silué sur la droite qui joint les deux points fixes, «, b qui correspondent aux plans A, B; et Ton a, entre ce plan C et ce point c, la relation
sin . C,A ca
:— = const. •
sin . C,B ch
Maintenant, concevons dans le plan C un point quelconque m; le rapport ^!"'^"^ sera égal au rapport des distances de ce point aux deux plans A, B." '
Au point m correspond, dans la seconde figure, un plan M qui passe par le point c, puisque le point m est pris dans le plan C. Le rapport ~ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, des deux poinls a, b, sur le plan M. Notre équation exprime donc que le rapport des distances du point m de la première figure, aux deux plans fixes, est au rapport des distances du plan M de la seconde figure aux deux points a, b, dans une raison constante, quels que soient le point m et le plan M qui lui correspond.
15. Ainsi nous pouvons énoncer comme principe des relations méiriques des figures corrélatives, ce théorème, qui est une autre expression de la seconde partie du principe de dualité :
Dans deux figures corrélatives, le rapport des distances d'un point quelconque de la première figure, à deux plans fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point dans la seconde
figure, aux deux points qui correspondent aux deux plans de la première, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.
16. Examinons le cas où l'un des deux plans fixes de la première figure esl à Tinfini. Soit le plan B silué à l'infini. Il nous faudra alors nous servir de l'équalion (2), qui devient
y a. ca (la âx ~~ cb' ilb'
ou
ca (lii
OU
eu ya. \ — = coiisU; cb
quel que soit, dans la première figure, le plan C mené parallèlement au plan A.
Or, ya. esl proportionnel à la perpendiculaire abaissée d'un point m du plan C sur le plan A;^ est égal au rapport des distances du plan M, qui correspond au point m, aux deux points a, c : l'équalion exprime donc ce théorème :
Dans deux figures corrélatives, la distance d'un point quelconque de la première figure, à un plan fixe de cette figure, est au rapport des dislances du plan qui correspond à ce point dans la seconde figure, au point qui correspond à ce plan fixe, et au point qui correspond à l'infini de la première figure, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.
Ce ihéorème et le précédent seront d'une application spontanée dans beaucoup de cas de la transformation des figures.
§ IV. Applications du principe de dualité aux propriétés descriptives
DES figures.
17. Pour appliquer le principe de dualité, on devra d'abord concevoir la forme el la description de la figure corrélative de la figure proposée; ce qui se fera rapidement et sans difliculté, au moyen de la première partie du principe.
Par exemple, que la figure proposée soit une courbe à double courbure; à chacun de ses points correspondra un plan dans la (igure corrélative; el celle figure sera une surface développable, enveloppe de tous ces plans. Chaque tangente à la courbe étant considérée comme le prolongemenl de la corde qui joint deux points infiniment voisins; à celle tangente correspondra une droite qui sera rinterseclion de deux plans tangents à la développable, infiniment voisins, c'est-à-dire une arête ou caractéristique de celle surface. A un plan mené par une tangente à la courbe, correspondra un point de la caractéristique, correspondant à celte tangente. Le plan osculaleur, en un point de la courbe proposée, passe par deux tangentes infiniment voisines ; le point qui lui correspondra sur la développable sera donc rinterseclion de deux caractéristiques consécutives; ce sera donc un point de Parête de rebroùssement de la surface.
Ainsi Ton voit que la forme générale de la figure corrélative d'une courbe à double courbure est parfaitement déterminée.
Réciproquement, à une surface développable proposée, correspondra, dans la figure corrélative, une courbe à double courbure.
18. Que la figure proposée soit une surface courbe, coupée par un plan; à celle surface correspondra, dans la figure corrélative, une seconde surface courbe; aux points d'intersection par le plan correspondront des plans tangents à la seconde surface; el tous ces points étant dans un plan, tous ces plans tangents passeront par un même point, qui correspondra à ce plan; ces plans formeront donc un cône. Ainsi l'on aura, pour figure corrélative, une surface courbe inscrite à un cône.
19. Si deux surfaces ont un point de contact, les deux surfaces corrélatives auront aussi un point de contact. Car au point de contact des deux premières, et à leur plan langent commun en ce poinl, correspondront un plan langent commun aux deux aulres surfaces, et un point qui sera, sur ces deux surfaces, leur point de contact commun avec ce plan (Théorème 11).
D'après cela, si deux surfaces sont circonscrites Tune à Taulre suivant une courbe, les deux surfaces corrélatives seront aussi circonscrites Tune à Paulre; et les plans tangents à ces surfaces, menés par les points de leur courbe de conlact, formeront une développable correspondant à la ligne de contact des deux premières surfaces.
20. Si deux courbes ont un contact de Tordre n en un poinl, c'est-à-dire ont n éléments consécutifs communs, les deux développables, corrélatives de ces courbes, auront n caractéristiques consécutives communes; conséquemmenl tout plan les coupera suivant deux courbes qui auront un conlact de l'ordre ii; ces deux surfaces auront donc un contact de l'ordre /j, suivant une caractérislique commune.
21. D'après cela, soient deux surfaces ayant un contact du premier ordre suivant toute l'étendue d'une courbe; coupons-les par un plan tangent à celle courbe : on sait que les deux sections auront un contact du troisième ordre; formons la figure corrélative, nous en conclurons aisément que :
Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe, si l'on co)tçoit la développable qui leur sera circonscrite suivant cette courbe, et que l'on regarde un point d'une caractéristique de cette développable comme le sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, ces deux cônes auront un contact du troisième ordre suivant cette droite.
22. Si le plan sécant, au lieu d'être simplement langent à la courbe de contact des deux premières surfaces, était un plan osculateur de cette courbe, les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan auraient, comme on sait, un conlact du cin(|uième ordre {Développements de Géométrie, de M. Ch. Dupin, p. 230); on en conclut que :
Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe.
si l'on conçoit la développable circonscrite à ces surfaces suivant cette courbe, et que l'on regarde un point de l'arête de rebivussement de celte développable comme le sommet commun de deux cônes ciixonscrits aux deux surfaces, ces deux cônes auront un contact du cinquième ordre suivant leur arête commune, qui sera la caractéristique de la développable, sur laquelle est pris leur sommet commun.
On voit comment les théorèmes généraux sur les contacts des surfaces, démontrés par M. Ch. Dupin dans ses Développements de Géométrie, donneront lieu à d'autres théorèmes aussi généraux, qui seront leurs corrélatifs.
23. Soit ce beau théorème de M. Monge : « Si, par tous les points d'une » surface courbe, on conçoit des droites menées dans l'espace suivant une » loi quelconque, et que l'on considère l'une de ces droites; de toutes celles » qui lui sont inGniment voisines, il n'y en a généralement que deux qui » la rencontrent. » (Voir le Mémoire sur les déblais et remblais, de Monge, inséré dans les xMémoires de l'Académie de Paris, année 1781, et la Correspondance polytechnique, tom. III, pag. lo2.)
Formant la figure corrélative, on aura une seconde surface courbe, dont les plans tangents correspondront aux poinis de la première. Les droites menées par ces points auront pour correspondantes des droites menées par les plans tangents de la seconde surface, suivant une cerlaine loi. Or, quand deux droites se rencontrent, leurs corrélatives se rencontrent aussi; on conclut donc, du théorème énoncé, le suivant :
Si, dans tous les plans tangents d'une surface courbe, on conçoit des droites menées suivant une certaine loi, et que l'on considère une de ces droites; de toutes celles qui lui sont infiniment voisines, c'est-à-dire qui sont situées dans les plans tangents infiniment voisins de celui où se trouve la première droite, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.
Ainsi, par exemple, si l'on projette une droite fixe sur tous les plans tangents d'une surface courbe quelconque, et que l'on considère l'une de ses projections; de toutes les projections infiniment voisines de celle-là, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.
MÉMOIRE DE GÉOiMÉTRIE. 595
24. Le ihéorème général que nous venons de déduire de celui de iMonge, comme son corrélatif, pouvait s'en conclure dircclemonJ, comme n'étant au fond que ce théorème même, présenté sous une autre forme. Car toutes les droites comprises dans les plans tangents à la surface vont rencontrer un plan fixe, mené arbitrairement, en ses différents points; on peut donc les considérer comme issues de ces points, suivant une certaine loi déterminée ; dés lors chacune d'elles doit être rencontrée par deux de celles qui en sont infiniment voisines.
11 arrive ainsi quelquefois qu'un théorème a pour corrélatif ce théorème lui-même, présenté sous le même énoncé ou sous un énoncé différent. Mais ce sont là des exceptions : généralement, deux théorèmes corrélatifs sont essentiellement différents.
§ V. Applications du principe de dualité aux propriétés métriques
DES figures.
25. Ce qui précède sulTil pour montrer comment on établira toujours la corrélation de formes et de description des figures. Nous pouvons donc, sans entrer dans de plus longs développements, nous occuper de la corrélation de leurs relations de grandeur; ce qui est la partie la plus importante du principe de dualité, parce qu'on a presque toujours de telles relations à considérer dans les recherches des propriétés de l'étendue.
C'est au moyen de la seconde partie du principe qu'on établira la corré-. lalion des relations métriques des figures.
Supposons qu'on ait une relation entre les distances de plusieurs points d'une figure; on formera, relativement à ces points et aux plans qui leur correspondront dans la figure corrélative, autant d'équations semblables à celle du principe ('12), que la question en comportera; et, au moyen de ces équations, on cherchera à éliminer, de la relation donnée, les distances des points de la première figure; il restera une relation entre les sinus des angles des plans correspondants de la seconde figure ; ou bien entre les segments
que ces plans feront sur certaines transversales : ce sera la relation corrélative cherchée.
Il ne faut pas perdre de vue que, quand des points de la première figure seront situés à l'infini, les éqnations se simplifieront beaucoup (13).
Divers exemples vont faire comprendre parfaitement l'usage de cette méthode.
§ VI. Sur les pôles et les plans polaires des surfaces DU second degré.
26. Soit une surface du second degré; si on lui mène deux plans tangents parallèles entre eux, la droite qui joindra les deux points de contact «, b passera par le centre o de la surface ; et l'on aura
oa = ob.
Faisons la figure corrélative : nous aurons une seconde surface du second degré, un point fixe /correspondant à l'infini (10), une droite menée par ce poini, correspondant à la droite d'interseclion, située à l'infini, des deux plans tangents; les deux poinis où celle droite percera la surface correspondront à ces deux plans tangents; et les plans A, B, tangents en ces pojnts, correspondront aux deux points «, b; donc leur interseclion correspondra à la droite ab^ et sera par conséquent dans le plan fixe 0, correspondant au centre o de la première surface. Soit I le plan mené par celle droite et paple point i : il correspondra au point à l'infini sur la droite ab. On aura donc
sin.O.A sin.I.A oa —: L= = i.
sin . 0, B sin . I, B 06
Soient a, ê, w les points où une transversale, menée par le point î, perce les plans A, B, 0; on aura, d'après cette équation,
ta ua
On conclul de là que :
Si, autour d'un point fixe pris arbitrairement, on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du second degré, les plans tangents à la surface, aux deux points de rencontre, se couperont sur iin plan fixe; et la transversale percera ce plan au point conjugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points de la surface.
Cesl la propriôlé fondamenlale des pôles el des plans polaires dans les surfaces du second degré.
27. Nous pouvons donc dire que : quand on fait la figure corrélative d'une surface du second degré, on a une seconde surface du second degré dans laquelle le plan qui correspond au centre de la première a pour [)ôle, pris par rapport à cette seconde surface, le point qui correspond à l'infini de la première figure,
28. La droite d'intersection de deux plans tangents à une surface du second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer prouve donc que : toutes les droites qui passent par un même point ont leurs polaires situées dans un même plan; et réciproquement.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie des pôles el des plans polaires, qui est parfaitement connue.
§ VIL Généralisation du théorème sur la PROPORTioNNALrrÉ des rayons
HOMOLOGUES DANS DEUX FIGURES HOMOTHÉTIQUES *. CONSTRUCTION NOU- VELLE DES BAS-RELIEFS.
29. Soient deux tétraèdres abcd, a'b'c'd' semhlahles et semhlahlement placés, c'esl-à-dire ayant leurs faces respectivement parallèles. On sait que les quatre droites qui joignent deux à deux leurs sohimets homologues concourent
* Nous avons appelé ainsi deux ligures semblables entre elles el scmblablcment placées. (Voir Annales de Muthémaliques, t. XVIH, p. 280.) Depuis, plusieurs géomètres ont employé cette expression abrévialive, dont nous continuerons dès lors à faire usage.
en un même point ii;e[ que le rapport, des distances de ce point à deux sommets homologues est constant; c'est-à-dire qu'on a
ua ub
(1) . — ;=— = elc.
ua vo
Faisons la figure corrélative : nous aurons deux tétraèdres, dont les sommets correspondront respectivement aux faces des tétraèdres proposés; ces sommets seront donc, deux à deux, sur quatre droites qui passeront par un même point / correspondant à Tinfini (H). Les faces A, B... de ces deux tétraèdres correspondront aux sommets a, b... des premiers; elles se couperont donc, deux à deux, suivant quatre droites qui seront dans un même plan U, correspondant au point u (10). Que, par la droite d'intersection des deux faces A, A', on mène un plan I passant par le point i : il correspondra au point situé à l'infini sur la droite aa'; on aura donc
sin.UjA sin.IjA ua sin.UjA' sin.IjA' ua'
OU, en appelant a, «', À les points où une transversale, menée par le point i, rencontre les trois plans A, A', U :
A« icc ua Xaf icr! ua
Soient pareillement ê, ê', ^ les points où une transversale, menée par le point /, rencontre les plans B, B' et U; on aura
/aê'* i^'~ ub''
Donc, en vertu de l'équation (1),
icf.' Aa' ^6' /U.6'
Les segments >«, a)/ sont proportionnels aux distances des deux points a, «' au plan U; pareillement ^xc, uS' sont proportionnels aux distances des deux points S, ë' à ce plan. On conclut donc, de là, le théorème suivant :
Quand deux tétraèdres ont leurs sommets situés, deux à deux, sur quatre droites concourant en un même point i :
1" Leurs faces se coupent, deux à deux, suivant quatre droites qui sont comprises dans un même plan U ;
2" Le rapport des distances du point i à deux sommets homologues des deux tétraèdres, est au rapport des distances de ces points au plan U, dans une raison constante, quels que soient ces deux sommets homologues.
30. La première partie seule de ce théorème était connue; elle est la hase de la construction géométrique des (igures homologiques dans Tespace, de M. Poncelet. (Voir Traité des Propriétés projecfivcs, supplément, pag. 374..)
La seconde partie, qui est une généralisation de la proportionnalité des rayons homologues, dans deux figures semblables et semblablemcnt placées, peut devenir très utile en Géométrie. Elle complète la théorie des figures homologiques, et servira pour les construire par de simples calculs numériques; car on cherche ainsi, le plus souvent, dans la pratique, à remplacer les opérations graphiques par des opérations numériques.
Soient a, a' deux points correspondants quelconques, dans deux figures homologiques; / le centre d'homologic, et X le point où la droite iW rencontre le plan d'homologie; on aura, suivant le théorème que nous venons de démontrer,
-r-,'- — , = const = n.
Celte relation prend la forme
D'où Ton tire une expression très simple de /a' en fonction de ia, et réciproquement.
II est diverses autres expressions qui simplifient encore les calculs; mais nous ne pouvons enircrici dans ces détails.
Les bas-reliefs élanl de véritables figures homologiques, ainsi que l'a fait voir M. Poncelel*, la relation générale que nous venons de donner sera utile aussi pour leur construction, qui pourra se faire, comme dans certaines pratiques de la Perspective, par des cotes calculées numériquement.
Cette relation servira aussi pour exprimer, en Géométrie analytique, la position des différents point d'un bas-relief, ou l'équation de sa surface, si le modèle est lui-même une surface exprimée par une équation.
Nous reviendrons, dans un autre moment, sur la construction des basreliefs; et nous ferons voir, qu'il est plusieurs moyens très simples de la pratiquer. On peut, par exemple, en réduire toutes les opérations à une seule et unique perspective du modèle proposé, sur un plan. Cette manière, je crois, pourrait être agréée des artistes, auxquels, généralement, les pratiques de la perspective sont maintenant familières **.
* Voir le supplément du Traité des Propriétés projedives.
** CeUe construction des bns-relicfs, par une perspective du modèle sur un plan, est facile à concevoir. Elle repose sur ce théorème : Etant donné un corps dans l'espace; si, de ses points
m, m', ..., on abaisse des perpendiculaires mp, m'p', sur un plan P; et qu'on fasse ta
perspective du corps sur un plan parallèle à ces droites, l'œil étant placé en un lieu quelconque de l'espace; puis, qu'on abatte ce plan sur le premier P, en le faisant tourner autour de leur intersection commune ; les perpendiculaires mp, m'p', .... seront, en perspective, des droites fx,r, /x'tt', .... parallèles entre elles. Qu'on relève ces droites, en les faisant tourner autour de leurs pieds T, ît', ...., jusqu'à ce qu'elles soient perpendiculaires au plan P: leurs extrémités /x^fi',... formeront un corps qui sera un relief du corps proposé.
i^ur construire un relief par cette méthode, on disposera du point de l'œil, du plan de projection et du plan sur lequel on fait la perspective, de manière à satisfaire aux conditions qu'on veut observer, soit dans la position, soit dans les proportions du relief par rapport au modèle.
§ VIII. Relations descriptives et relations métriques de deux • surfaces
DU SECOND DEGRÉ, INSCRITES A UN CÔNE; ET DE DEUX CONIQUES QUELCONQUES, SITUÉES DANS UN MÊME PLAN.
31. Soionl deux surfaces du second degré, semblables el semblablemenl placées : on sait qu'elles se coupent suivant une courbe plane, el qu'elles ont une aulre courbe d'intersection (réelle ou imaginaire), située à Tinfini.
Si Ton mène quaire plans tangents à ces surfaces, parallèles entre eux, les droites qui joindront deux à deux les points de contact sur la première surface aux points de contact sur la seconde, concourront deux à deux en deux points fixes qui seront les centres de similitude des deux surfaces; et ces deux points seront les sommets de deux cônes (réels ou imaginaires) circonscrits aux deux surfaces.
Faisant la figure corrélative, on aura deux surfaces du second degré, qui seront inscrites à un même cône, dont le sommet correspondra au plan situé à l'infini, sur lequel est une des deux courbes d'intersection des deux premières surfaces. On aura donc ce théorème, dont la dernière partie se démontre absolument comme dans le théorème précédent :
Quand deux surfaces du second degré sont inscrites à un même cône; si, par le sommet de ce cône, on tire une transvei'sale qui les rencontre en quatre points, et qu'on mène les plans tangents it ces surfaces en ces points: les plans tangents à la première couperont les plans tangents à la seconde suivant quatre droites qui seront, deux à deux, sur deux plans fixes ;
L'intersection des deux surfaces se composera de deux courbes planes (^réelles ou imaginaires), situées dans ces deux plans ;
Le rapport des distances du sommet du cône à deux points pris sur les deux surfaces, en ligne droite avec ce sommet, est au rapport des distances de ces deux points au plan fixe sur lequel se coupent les deux plans tangents en ces points, dans une raison constante.
32. La dernière partie de ce théorème donne les relations métriques
(pli ont lieu entre deux surfaces du second degré qui se coupent suivant des courbes planes.
On ne connaissait ces relations que dans deux cas particuliers : celui où les deux surfaces sont semblables et semblablemenl placées, et celui où les deux surfaces sont inscriles à un cylindre. Ces deux cas sont des corollaires du théorème général que nous venons d'énoncer.
Il est clair que les mêmes relations métriques appartiennent au système de deux coniques quelconques, situées dans un même plan. On n'avait considéré, d'une manière générale, que les rapports de situation que présente ce système; et quant aux relations métriques des deux courbes, on s'était borné, je crois, à quelques relations harmoniques, qu'on déduira aisément de la relation métrique fondamentale, comprise dans la dernière partie du théorème ci-dessus.
Deux surfaces du second degré inscrites, à un même cône, ou bien deux coniques placées d'une manière quelconque dans un plan, ont entre elles diverses relations métriques remarquables, dont nous parlerons en traitant spécialement des figures homologiques, dans la seconde partie de cet écrit.
§ IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués des
SURFACES DU SECOND DEGRÉ. ThÉORIE DES AXES CONJUGUÉS RELATIFS A UN
