POINT

33. Soit une surface du second degré. Menons trois diamètres conjugués, c'est-à-dire tels que les plans tangents aux extrémités de l'un quelconque d'entre eux soient parallèles au plan des deux autres; faisons la figure corrélative : nous aurons une surface du second degré; un plan fixe correspondant au centre de la proposée, et un point i correspondant à l'infini : ce point sera le pôle du plan (27). Aux trois diamètres conjugués correspondront trois droites situées dans le plan fixe; aux points où un diamètre rencontre la première surface correspondront les plans tangents à la seconde surface, menés par une des trois droites; et les points de contact

MEMOIRE DE GEOMETKIE. «05

de ces deux plans tangents correspondront aux plans tangents aux exlréniilés du diamètre; la droite qui joindra ces deux points de contact, qui sera la polaire de la droite en question, correspondra à la droite d'intersection, située à Pinfini, des deux plans tangents aux extrémités du diamètre; le plan des deux autres diamètres passe par celte droite située à Tinfini; donc le point d'intersection des deux droites correspondant à ces deux diamètres se trouve sur la droite qui joint les deux points de contact sur la seconde surface. Ainsi :

A trois diamètres conjugués d'une surface de second degré, correspondent, dans la surface corrélative, trois droites situées dans un même plan fixe, et telles, que la polaire de chacune d'elles, prise par rapport à celle seconde surface, passe par le point d'intersection des deux autres ;

Aux extrémités des trois diaînètres de lu première surface, correspondent les plans tangents à la seconde surface, menés par ces trois droites;

Et, enfin, les points de contact de ces plans tangents avec la seconde surface, correspondent aux plans tangents à la première surface, menés par les extrémités de ces trois dia7nètres conjugués.

34. Soient A, B, C les trois droites en question; et A', B', C leurs polaires, prises par rapport à la seconde surface : ces trois droites passent par le pôle du plan fixe dans lequel sont situées les trois premières, A, B, C (28); et elles jouissent de celte propriété caractéristique, que la polaire de chacune d'elles est comprise dans le plan des deux autres. En effet, la polaire de A' est la droite A : il faut donc prouver que la droile A est comprise dans le plan des deux droites B', C. Mais B', par construction, passe par le point de rencontre de A et C; C passe par le point de rencontre de A et B; donc B' et C s'appuient sur A. Donc la droile A, polaire de A', est dans le plan des deux autres droites B', C.

Chacune des trois droites A', B', C passe par les points de contact de la surface et de ses deux plans tangents, menés par la polaire de celle droile. De sorte que les trois droites A', B', C, menées par le pôle du plan fixe, peuvent servir pour déterminer les plans tangents à la surface, qui passent par les trois droites A, B, C.

3o. Quand le point par où sont menées les trois droites A', B', C est le centre de la surface, ces droites sont trois diamètres conjugués; de sorte que les théorèmes que nous allons trouver, relativement à ces droites ou à leurs polaires A, B, C, seront une généralisation des propriétés des diamètres conjugués des surfaces du second degré.

Les trois droites menées par un point fixe, de manière que la polaire de chacune d'elles, par rapport à une surface du second degré, soit comprise dans le plan des deux autres, donnent donc lieu à une théorie analogue à celle des diamètres conjugués. Les propriétés de ces trois droites sont nombreuses; et nous allons avoir plusieurs fois à parler de ces systèmes de trois droites, dans nos applications du principe de dualité, puis du principe d'homographie : par cette raison, et pour abréger le discours, nous les appellerons axes conjugués, relatifs au point par lequel elles sont menées.

36. Si l'on conçoit que ce point soit le sommet d'un cône circonscrit à la surface, ces axes seront trois axes conjugués du cône, c'est-à-dire que les plans tangents au cône, menés par chacun d'eux, auront leurs arêtes de contact situées dans le plan des deux autres. Et si l'on conçoit un hyperboloïde ayant son centre au point fixe, et auquel le cône soitasymptotique, ces trois axes seront trois diamètres conjugués de l'hyperboloïde. Ainsi nous pouvons dire que :

Trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point fixe, sont toujours, en direction, trois diamètres conjugués d'une autre surface du second degré ayant son centre au point fixe.

Nous donnerons, dans nos applications du principe d'homographie, une autre démonstration de ce théorème, qui est l'un des plus importants de la théorie des axes conjugués, et nous apprendrons à construire la surface par rapport à laquelle ces axes sont toujours trois diamètres conjugués.

37. Soit une surface du second degré, dont le centre est o. Prenons trois demi-diamètres conjugués : on sait que la somme des carrés des perpendiculaires, abaissées de leurs extrémités sur un plan diamétral de la surface, est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

Faisons la figure corrélalive : nous aurons une surface du second degré, un plan fixe 0 et un syslèmc de (rois droites situées dans ce plan, telles que la polaire de chacune d'elles passera par le point de concours des deux autres (33). Nous aurons de plus trois plans tangents à la surface, menés par ces (rois droites respectivement; un point fixe, pris dans le plan 0, et correspondant au plan diamétral de la surface, dans la première figure; et enfin un second point fixe, correspondant à l'infini de la première figure, et qui sera le pôle du plan 0 par rapport à la nouvelle surface (27).

Appliquant à la propriété des (rois diamètres conjugués, énoncée, le principe de la transformation des relations métriques démontré (1 G), nous en conclurons immédiatement ce théorème :

Si par trois droites, prises dans un plan fixe, de manière que la polaire de chacune d'elles, par rapport à une surface du second degré, passe par le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangents à la surface, la somme des carres des distances de ces trois plans à un point fixe pris arbitrairement dans le plan fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du plan fixe, sera constante,

38. Les droites menées, du pôle du plan fixe, aux points de contact des trois plans tangents, sont, comme nous l'avons fait voir (34), les polaires des trois droites prises dans le plan ; ce sont les droites que nous avons appelées axes conjugués relatifs au point par lequel elles sont menées. Nous pouvons donc donner au théorème précédent cet autre énoncé :

Si par un point fixe o, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, les plans tangents à la surface, en trois des points où ces axes la perceront, jouiront de celte propriété, que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans le plan polaire du point o, divisés respectivement par les carrés de leurs distances à ce point o, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués,

39. Soient i le point pris dans le plan polaire du point o, «le point où Tun dos plans tangents à la surface rencontre la droite o/: le rapport des distances de ce plan aux points /, o, sera égal au rapport des segments «/, «o.

Ainsi le Ihéorème exprime que la somme des carrés des trois rapports, tels que — , sera conslanle.

40. Si la droite oi est parallèle au plan polaire du point o, tous les segments ai seront égaux, comme étant infinis et comptés sur une même droite ; on en conclut ce théorème :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, les plans tangents à la surface, menés par trois des points où ces axes la rencontrent, feront, sur une droite menée par le point fixe, parallèlement au plan polaire de ce point, trois segments dont la somme des valeurs inverses des carrés sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

41. Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront trois diamètres conjugués de cette surface; le plan polaire du point fixe sera à l'infini, et aura une direction indéterminée; de sorte que toute droite, menée par le point fixe, pourra être considérée comme parallèle à ce plan. On conclut donc, du dernier théorème, celle propriété des diamètres conjugués :

Les plans tangents à une surface du second degré, menés par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués, font, sur un axe fixe mené arbitrairement par le centime de la surface, trois segments dont les carrés ont la somme de leurs valeurs inverses, constante.

§ X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes

DE trois axes conjugués RELATIFS A UN POINT.

42. La somme des perpendiculaires abaissées, des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, est constante.

On en conclut, par le principe du numéro (16), que :

face; la somme des carrés des distances de ces six plans à un point fixe, pris arbitrairement dans l'espace, dioiscs respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du plan fixe, est constante,

"43. Par la considération des axes conjugués, on donne à ce théorènie cet autre énoncé :

Si par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, les six plans tangents à la surface, menés par les six points où ces trois axes la rencontrent, jouiront de celte propriété, que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans l'espace, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués menés par ce point,

44. Soient o le point par lequel sont menés les trois axes conjugués, et / le second point fixe pris arbitrairement dans Tespace ; soit a le point où Tun des six plans tangents rencontre la droite oi : le rapport des dislances de ce plan, aux points /, o sera^. On aura donc six rapports semblables à - , dont la somme des carrés sera constante.

Ainsi

etc.

const

êo

43. Supposons le point i situé à Tinfini : tous les segments ai, 6i, etc.,

seront égaux, comme infinis, et comptés sur une même droite; il restera

donc