H 3; -»- etc. = const
ao to
Donc : 5/ par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que, par les points où ils rencontrent la surface, on mène les six plans tangents ; ces plans feront sur une droite fixe, menée arbitrairement par le point fixe, six segments, compris entre ce point et ces plans respectivement, dont les carrés auront la somme de
leurs valeurs inverses, constante, quel que soit le système des trois axes conjugues.
46. Supposons que, par le point o, on ail mené trois droites fixes perpendiculaires enire elles; on aura, pour chacune d'elles, une équation semblable à la précédente : les ajoutant membre à membre, et observant que la somme des valeurs inverses des carrés des segments qu'un plan quelconque fait sur trois axes rectangulaires issus d'un même point, est égale à la valeur inverse du carré de la distance de ce point au plan, on en conclura ce théorème :
5/ par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que, par les six points oit ils percent la surface, on mène six plans tangents à celte surface; la somme des valeurs inverses des carrés des distances de ces six plans au point fixe sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
47. Si l'on suppose, dans le théorème exprimé par l'équation du numéro 44, que le premier point o soit situé à l'infini, les segments ao, 6o, etc., seront égaux comme infinis, et l'on aura
ai ■+■ 6t -♦ yi -+- etc. = const.
Cette équation exprime que :
Si, dans un plan diamétral d'une surface du second degré, on prend trois droites, de manière que la polaire de chacune d'elles passe par le point de concours des deux autres, et que, par ces trois droites, on mène six jdans tangents à la surface; la somme des cannés des segments compris entre un point fixe de l'espace et ces six plans, sur une droite menée par ce point, parallèlement au diamètre conjugué au plan diamétral, cette somme, dis-je, sera constante, quel que soit le système des trois droites prises, comme il est dit, dans le plan diamétral.
§ XI. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs A UN POINT. — Réflexions sur les méthodes de transformation.
48. Soient trois axes rectangulaires ox, oy^ oz, et une droite quelconque om menée par le point o; que, par le point m de cetle droite, on mène trois plans respeclivemenl perpendiculaires aux trois axes, et les rencontrant aux points aï, b\, c[ ; on aura
om = oa', -+■ ob[ '\- oCi .
Nous pouvons exprimer ce théorème en disant que la somme des carrés des trois projections de la droite om, sur trois axes rectangulaires, est constante, quelle que soit la position de ces trois axes. Ainsi
oa'i -+- ob[ -+- oc\ == const.
Pour transformer ce théorème, concevons une sphère qui ail pour centre le point 0 : les trois axes ox, oy, oz, seront, en direction, trois demi-diamètres conjugués de cetle sphère. Soient»,, 6,, c, , les points où ils la rencontrent : nous pourrons mettre notre équation sous la forme
oa\ oh\ oc'i [\) — - H ; H = const.
ocj ob^ oCi
Faisons la figure corrélative. Nous aurons une surface du second degré; trois droites, X, Y, Z, comprises dans un plan 0, qui seront telles que la polaire de chacune d'elles, par rapport à celle surface, passera par le point de concours des deux autres. Soient X', Y', Z', ces Irois polaires : elles passeront par le pôle i du plan 0, pris par rapport à la surface, el elles seront trois axes conjugués, relatifs à ce point i. Ce sont les droites qui
correspondent aux trois droites situées à l'infini dans les plans yoz, zox, xoy, de la première figure.
Nous aurons encore, dans le plan 0, une quatrième droite correspondant à la droite om; et si l'on mène par celte droite un plan transversal M, il correspondra au point m.
Aux trois plans menés par ce point m^ perpendiculairement aux trois axes ox, oy, oz, correspondront les trois points où le plan M rencontre les trois axes conjugués dont nous venons de parler.
D'après cela, on. voit aisément que, aux quatre points o, a( , a, et rinfîm, situés sur Taxe ox, correspondront, dans la nouvelle figure, quatre plans passant par la droite X : le premier est le plan 0; le deuxième passe par le point où le plan M rencontré Taxe X', polaire de la droite X ; le troisième est tangent à la surface, en l'un des deux points où cet axe la rencontre; et le quatrième passe par le point /.
Le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre points de la première figure, auxquels ces plans correspondent, lequel est ~ . Exprimons le rapport anharmonique des quatre plans par celui des quatre points où ils rencontrent l'axe X'. Soient a, a', a, les trois premiers de ces quatre points, dont le quatrième est i : on aura
oa\ «a' ta' oa, aa ia
Par chacune des deux autres droites Y', Z', passeront pareillement quatre plans, qui donneront lieu aux équations
ob\ tb' ib' obi ^^ ib '
oc' yc' ic oc s yc ic
où l'on conçoit parfaitement les points représentés par les lettres £, b, U ,
On aura donc, d'après l'cqualion (1), la suivante, qui en est la iransformée :
îa'\» /ay ib\* Ire »r'\« -:■:— -4- — :— -* — '■-:-] =const., to / \66 »6 / \yc te I
ia'Y lib ib'Y lie ic'Y
:—r] -+-7--7— ■+■ — '• — =const.
a «/ ^66 6 S/ \cr cyl
'<xa
OU
lia
{aa a «/ ^ 65 bb/ ^cy c'y
D'où résulte ce théorème :
Élant donnés une surface du sec'ond degré et un plan transversal; si, aulour d'un point \, pris arbitrairement, on fait tourner trois axes conjugués par rapport à la surface, et qu'on désigne par a, ê, y, les points où ils rencontrent le plan polaire du point i ; par a, b, c, trois des six points où ils rencontrent la surface; et enfin par a', b', c', les trois points où ils rencontrent le plan transversal; on aura
lia ia'Y lib ib'Y /^^c ic'Y
(2) — :-r -*- \7-- — ] -^[—'•-r-] =const.,
^ ' \oa a'al \bZ b'd \cy c'y!
quel que soit le système des trois axes conjugués menés par le point i.
49. Ce théorème exprime une propriété très générale des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point.
L'indétermination de position du plan transversal par rapport à la surface, ou de la surface par rapport au plan, permet de faire différentes suppositions, qui conduisent à quelques théorèmes assez simples.
Ainsi, en supposant le plan transversal parallèle au plan polaire du point fixe i, les rapports
t'a' ib' ic' a a 0 6 cy
seront égaux, et l'on aura
ce qui exprime que
ta ib ic
aa. 66 cy
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, la somme des carrés des segments compris entre le point fixe et trois des points où les trois axes rencontrent la surface, divisés respectivement par les carrés des segments compris entre ces trois points et le plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
30. Dans l'équalion générale (2), qui a lieu pour une position arbitraire du plan transversal, remplaçons le rapport ~ par le rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a, a', sur le plan 0. Soient ap, a'p' ces perpendiculaires : le premier terme de Téqualion (2) deviendra
la ta ap a'p'
Changeant de la même manière les deux autres termes, nous aurons l'équation
ap J
-+- etc. =const.
51. Maintenant, c'est un théorème de géométrie élémentaire, très facile à démontrer par une comparaison de triangles, que si Ton mène par le point i une perpendiculaire au plan mené par ce point et par l'intersection des plans M, 0; que celte droite rencontre le plan M au point d', et que, de ce point d', on abaisse une perpendiculaire d's' sur le plan 0; on aura
id' ia'
- — <= cos . [a ta).
Celte relation a lieu quelle que soit la direction de la droite ia'. D'après cela, l'équation (3) devient
— COS.* (a'id'): — -, upj \U'a
etc.==con8t.
ou, en faisant passer le facteur (~]'(lans le second membre, et le comprenant dans la constante.
ta Y
— I C08* . [a'id') -H elc. «= consl.
Celle équation exprime une propriélé générale des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relalifs à un même point. La direction de la droite id', dans ce théorème, est arbitraire, puisque le plan transversal M, qu'elle a remplacé, était lui-même de position arbitraire.
52. Si Ton conçoit deux autres droites, menées par le point /, on aura deux équations semblables à la précédente. Et si Ton suppose ces deux nouvelles droites et la première, icl'y perpendiculaires entre elles, on aura, en ajoutant membre à membre les trois équations,
ia %b ic
-—H -4- — , = const.
ap bq cr
Celle-ci exprime ce théorème :
Si par un point fixe, on mène (rois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que sur chacun d'eux, on prenne un des deux points où ils percent la surface; les trois points pris ainsi jouiront de cette propriété, que la somme des carrés de leurs distances au point fixe, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au plan polaire du point fixe, sera constante^ quel que soit le système des trois axes conjugués.
53. Supposons, dans le théorème général (48), que le plan 0 soit à l'infini ; le point i sera le centre de la surface ; les trois axes conjugués ia, ib, ic seront trois diamètres conjugués; les rapports ^., etc., seront égaux à l'unité; et l'équation (2) deviendra
ia ib ic
— i -*-zz-. -^ — ,=const.;
l'o' ib' it '
ce qui prouve que :
La somme des carrés de trois demi-diamètres conjugués d'une surface du second degré, divisés par les carrés des segments faits, sur ces diamètres, par un plan transversal fixe, est constante.
54. Enfin, clans le théorème général (48), supposons que la surface soil de révolulion et ail un foyer situé au point / : le plan 0, qui est le plan polaire de ce point, sera le plan directeur correspondant à ce foyer, et les trois axes conjugués m, ib, ic seront rectangulaires; de plus, les trois rapports — , etc. (50), seront égaux et constants, et l'équation (3) se réduira à
a'p' h' a' c'r' ia ib' ic'
Celle-ci signifie que :
Étant donnés deux plans et un point fixe dans l'espace; si autour de ce point, on fait tourner trois axes rectangulaires, qui rencontrent le premier plan en trois points; la somme des carrés des distances de ces trois points au second plan, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera constante.
Ce théorème peut se démontrer directement au moyen de la proposition exprimée par Téqualion
id' ia'
— = •cos.(a'm') (51)
55. Il est curieux de voir tant de théorèmes différents, et dont plusieurs sont des propriétés si . générales des surfaces du second degré, résulter d'une simple proposition de Géométrie élémentaire, relative aux projections d'une ligne droite sur trois axes rectangulaires. Cet exemple suffirait pour montrer l'utilité et la puissance des nouvelles méthodes de transformation.
Ces méthodes nous paraissent répondre parfaitement à cette pensée de M. Poinsot : « En Géométrie, comme en Algèbre, la plupart des idées diffé- » rentes ne sont que des transformations; les plus lumineuses et les plus » fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image, et que l'esprit
MÉMOIRE DK GÉOMÉTRIE. GIÎJ
» combine avec le plus de facilité dans le discours el dans le calcul. « (Ëlémenis de Sutfique, G** édition, p. 354.) Ce sont ces idées les plus lumineuses et les plus fécondes que les mélhodes de transformation feront découvrir, soit en établissant les liens cachés (jui ont lieu entre une foule de propositions qui semblaient d'abord isolées el étrangères les unes aux autres, soil en variant très diversement, par des procédés certains, les formes d'une idée primitive.
El que Ton ne croie pas que' cette foule de théorèmes divers, que Ton peut aujourd'hui multiplier indéfiniment par ces méthodes, doivent compliquer la Géométrie et en rendre l'élude plus longue et plus pénible. Toutes ces propositions, nouvelles ou plus générales que celles que l'on connaissait déjà, auronl, au contraire pour elTel certain, de simplifier celte science et d'en étendre les doctrines.
En effet, d'une part, les propositions d'un nouveau genre donneront lieu à des théories et à des considérations géométriques nouvelles; et, d'autre part, les propositions qui rentreront dans des théories connues forceront, par leur généralité, d'élargir les bases actuelles de ces théories, et de les asseoir sur des principes susceptibles de déductions plus diverses et plus générales. Car nous considérons les mélhodes de transformation comme des moyens précieux pour la découverte de théorèmes nouveaux, et la démonstration de quelques vérilés partielles; mais, quand il s'agil de vérilés appartenant à une théorie déjà formée, les démonstrations que procureni ces méthodes artificielles ne nous paraissent pas complètement satisfaisantes : cette théorie doit trouver en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe des vérités qui lui appartiennent, sans qu'on soit obligé de s'appuyer sur les vérilés correspondantes, dans la théorie corrélative. Ainsi, par exemple, si nous faisions entrer, dans un Traité des surfaces du second degré, les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les paragraphes précédents, telles que celle des axes conjugués relatifs à unpoinly ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés, et non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui, nécessairement, amèneront un perfectionnement notable dans les théories géométriques.
Ainsi, ce n'est pas seulement sous le rapport du grand nombre de propositions que Ton introduira dans la Géométrie, que nous reconnaissons une haute utilité aux mélhodes de transformation ; mais c'est aussi parce qu'il en résultera un perfectionnement certain des mélhodes et des théories, et que, par suite, la science gagnera en étendue et en facilité.
Nous pouvons citer, à l'appui de ces réflexions, la théorie des coniques. On s'est efl'rayé parfois du nombre prodigieux de propositions dont elle s'est accrue depuis une trentaine d'années; et cela a détourné peut-être de l'élude de la Géométrie; cependant les personnes qui ont suivi ce développement, penseront certainement qu'un Traité des Coniques, que l'on écrirait aujourd'hui, et qui embrasserait toutes ces propositions récentes ainsi que toutes les anciennes, serait beaucoup plus facile, plus lumineux et plus court en paroles, en même temps que plus étendu en doctrine, que le grand Traité d'Apollonius et que les ouvrages célèbres de La Hire, de L'Hospilal et de R. Simson.
§ XI ï. Transformation des propriétés du centre des moyennes distances d'un système de points. — Centre des moyennes harmoniques.
56. Soient plusieurs points a, b, c, en ligne droite. On sait qu'il
existe, sur cette droite, un certain point g tel que^ quel que soit un autre point m pris sur cette droite, on aura toujours l'équation
ma -4- mb -+- me -+-••• = « . mg^ OU
ma mb me mg mg mg
n étant le nombre des points a, b, c,
Le point g est appelé le centre des moyennes distances des points a, c, b *.
* La tlîéorie du centre des moyennes distances contient, impliciteraent, celle du centi-e de
Faisons la figure corrélative: nous aurons des plans A, B, C,..., G, M passant par une même droite, et un dernier plan I, passant aussi par cette droite, el correspondant au point situé à Tinfini sur la droite mu. L'équation ci-dessus donnera, en vertu de la seconde partie du principe de corrélation (13),
sin.M,A sin.I.A sin.M,B sin.I,B sin.M,G*sin.I,G "** sin.M,G 'sin.l,G "*" '^"'
du
sin.MjA sin.M,B sin.M.G
sin. I, A sin. I,B sin. I, G
Tirons une transversale quelconque qui rencontre ces plans aux points
oc, [3yy, ...e, (ji, t; nous aurons
fix 1% sin. M, A sin.I,A fie' 1^ ~ siD.lM,G*sin.I,G'
et par conséquent
yua /x& fi-y . 1 1 1- ••
