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Le point m était arbitraire dans l'équation (1); donc le plan 31, et par suite le point [x sont aussi arbitraires dans les équations (2) et (3); prenons ce point {j. à l'infini : l'équation (3) deviendra
/a <€ /y lO
Donc, quelle que soit la transversale menée à travers les plans A, B,
gravité, parce que, pour passer de la première à la secondo, il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. On introduit de la sorte, dans l'cqualion (I), comme dans toutes celles qui se rapportent à cette théorie, des coefficients dont chacun marque le nombre des points réunis en un seul, el peut élre regardé comme la masse de ce point unique. Ainsi nous pouvons, pour plus de simplicité, ne parler que du centre des moyennes distances, et néanmoins les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'cux*mémes au centre de gravité d'un système de points matériels.
C, ...., G et I, les poinis où elle percera cesplans donneront toujours lieu à celle équation.
Mac-Laurin a appelé, dans cette équation, la dislance iQ la moyenne harmonique entre les distances ta, <ê, ty *; et 31. Poncelet a appelé le poin 9
le centre des moyennes harmoniques des points «, S, 7, — par rapport au point i **.
57. ï/équation (4-) exprime donc ce théorème, qui est le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, exprimée par l'équation (1) :
Étant donnés plusieurs plans A, B, C, et un dernier plan I, passant
tous par une même droite; il existera toujours un certain plan G, passant aussi par cette droite, et jouissant de cette propriété, que si l'on mène une transversale quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera les plans A, B, C, .... par rapport au point où elle percera le plan I, sera toujours dans ce plan G.
58. Remarquons que si la transversale était menée parallèlement au plan I, on aurait
tx /6
et l'équation (2) deviendrait
Ce qui prouve que le point 0 est le centre des moyennes distances des poinis a, S, y, ....
Ainsi nous pouvons dire que le plan G est tel que toute transversale, parallèle au plan 1, le rencontre en un point qui est le centre des moyennes distances des points où celte transversale rencontre les plans A, B, C, ....
59. La position du point Q, qui est le centre des moyennes harmoniques
* § 28 de son Traité des propriétés générales des courbes géométriques. ** Mémoire sur les centres des moyennes harmotiiqucs, inséré au tome III du Journal de Mathématiques, de M. Crelle.
des points a, ë, y, par rapport au point t, est délorminéo indiiïéronjmciit
par Téqualion (4.} ou par réqualion (3), qui conlicnl un poinl arbitraire ^; de sorte que ces deux équations sont identiques. Cette identité résulte de la propriété même du centre des moyennes distances, exprimée par l'équation (i), où le poinl m est indéterminé; mais on peut en donner une démonstration directe, 1res facilement.
D'abord on passera de l'équation (3) à l'équation (4) en reniplaçant, dans la première, ^a par ^.i — ««, ^.g par //« — «6; et ainsi des autres segments.
Réciproquement, on passera de l'équation (4.) à l'équation (3) en prenant l'équation identique
'« /6 ry i9
et la retranchant de l'équation (4), après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par //« ; car il en résulte
ILU — la /U.I — (S y.i — ly fxi — (0
/a A ly lO
ou
/U.X /x6 /uy (x9
<a (6 ly i6
Ainsi l'identité des équations (3) et (4) est démontrée directement. Elle exprime une propriété importante du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés en ligne droite.
()0. Maintenant, si nous considérons l'équation (4), non plus sous le rapport de sa signification propre dans la théorie du centre des moyennes harmoniques, mais comme exprimant une relation entre cette théorie et celle du centre des moyennes distances, relation fondée sur le principe de dualité, nous aurons ce théorème, qui nous sera utile dans la suite :
« Si l'on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des moyennes » distances, et qu'on fasse la figure corrélative, on aura des plans passant » par une même droite, dont le dernier, qui correspondra au centre des
» moyennes dislances, sera tel que si Ton lire une tranversale quelconque, » le point où elle rencontrera ce dernier plan sera le centre des moyennes )» harmoniques des points où elle percera lous les autres plans, par rapport » au point où elle percera le plan correspondant au point situé, à l'infini, sur » la droite des points de la première figure. »
(H. Considérons plusieurs points en ligne droite : a, 6, c, .... et \2,\xv centre des înoyennes harmoniques g, pris par rapport à un point o de celte droite; nous aurons
oa 00
ou
oa
ob
og
Faisons la figure corrélative. Nous aurons n plans A, B, C, ...., un plan 0, et un dernier plan G, plus un plan I, correspondant au point de la droite ab silué à l'infini : lous ces plans passeront par une même droite. Menons une transversale quelconque, qui rencontrera ces plans aux points a, 6, y, .... 0), 5 et t ; d'après la seconde partie du principe de dualité,
«9 /9 uù id ua. 1% 0)6 /6
OU
OU, suivant ce qui vient d'être démontré ci-dessus,
Ce qui prouve que :
« Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des moyennes » harmoniques, par rapport à un point de celte droile; si l'on fait la figure » corrélative, on aura des plans passant par une même droite, dont l'avanl-
n dernier sera tel que, si Ton mène une Iransversale quelconque, elle ren- » conircra ces plans en des points dont ravanl-dernier sera le centre des » moyennes harmoniques des premiers, par rapport au dernier. »
62. Soient des points a, b, e...., placés d'une manière quelconque dans l'espace, et g leur centre des moyennes dislances; la propriété de ce point est que, si par tous ces points on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les rencontrera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres.
Faisons la figure corrélative; nous aurons des plans A, B, C...., placés d'une manière quelconque dans l'espace, et un dernier plan G, correspondant au centre des moyennes distances y. Tous les plans menés parallèlement entre eux^ par les points a, 6,.... g, donneront lieu à des points situés sur les plans A, B, .... G, et tous sur une même droite passant par le point Mjui répond à l'infini de la première figure; le dernier de ces points sera le centre des moyennes harmoniques de tous les autres, par rapport au point / (60). On a donc ce théorème :
Soient plusieurs plans, placés d'une manière quelconque dans l'espace; si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale, et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce les plans, par rapport au point fixe, ce centre aura pour lieu géométrique un plan.
M. Poncelel a appelé ce plan, dans son Mémoire cité ci-dessus, \eplan des moyennes harmoniques, relatif au point fixe.
Il est remarquable que ce théorème soit précisément le corrélatif de la propriété du centre des moyennes dislances d'un système de points.
Mac-Laurin a démontré ce théorème pour le cas d'un système de lignes droites situées d'une manière quelconque dans un plan*; nous le reproduisons ici pour montrer cette relation remarquable qui existe entre ce théorème et la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points. On n'aurait pas supposé, a priori, des rapports aussi directs et aussi simples entre deux propositions en apparence si différentes.
* De linearum gcometn'carvm proprtetatihus lraclatus,^itC}
63. En appliquant le principe de dualité au théorème que nous venons de démontrer, on parvient immédiatement au suivant :
Quand ou a un s}jstème de points a, b, c,.... dans l'espace, et un plan fixe I; si par une droite, prise arbitrairement dans ce plan, on mène des plans passant par tous ces points ; puis qu'on tire une transversale quelconque, et que l'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce ces plans, par rapport au point où elle perce le plan I ; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan \, passera par un point fixe, quelle que soit cette droite.
Ce point fixe a été appelé, par M. Poncelet, le centre des moyennes harmoniques des points a, b, c, ...., par rapport au plan I.
Ce théorème est une généralisation de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points; car si le plan 1 est à l'infini, le point fixe sera précisément le centre des moyennes distances des points a, b, c,,...
64. Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, par rapport à un plan, jouit de diverses autres propriétés, que nous omellons ici, parce que nous reviendrons sur cette théorie dans la seconde partie de cet écrit, en appliquant le principe de déformation homographique.
§ XI [1. Théorème de Newton sur les diamètres des courbes. — Propriétés
