NOUVELLES DES SURFACES GÉOMÉTRIQUES

65. Soit une surface géométrique. Si l'on tire des transversales parallèles entre elles, et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où chacune d'elles rencontre la surface, le lieu géométrique de ces centres sera un plan.

Cela est une conséquence du théorème que Newton a donné sur les diamèlres des courbes géométriques, au commencement de son Ènumération des lignes du troisième ordre.

Faisons la figure corrélative ; nous aurons une nouvelle surface géomé-

trique : aux transversales correspondront des droites, toutes situées dans un mémo plan, qui correspondra au point de concours (situé à Tinfini) des transversales. D'a|)rès ce que nous avons démontré (60), sur la transformation de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, on aura ce théorème :

Quand on a une sur/ace géométrique et un plan situé d'une manière quelconque dans l'espace ; si par une droite, prise arbitairement dans ce plan, on mène les plans tangents à cette surface ; puis, qu'on tire une transversale quelconque et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points oit elle perce tous les plans tangents, par rapport au point oii elle perce le plan donné; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan donnée passera par un point fixe, quelle que soit cette droite.

66. Si la surface primitive est Tensemble de plusieurs plans, sa transformée se réduira à plusieurs |)oints isolés, et le théorème exprimera la propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, déjà démontrée ci-dessus (63).

67. Si par les points où une des transversales T, dans la |)remière figure, rencontre la surface, on mène les plans tangents à cette surface, et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où toute autre transversale rencontre ces plans tangents, ce centre sera sur le plan P, lieu géométrique des centres relatifs à la surface. Car ce point sera sur un plan fixe P', parce que les plans tangents forment une surface géométrique; mais quand la transversale sera infiniment voisine de la première T, les points où elle percera la surface se confondront avec les points où elle percera les plans tangents; les deux plans P, P', auront donc plusieurs points communs, et se confondront.

Faisant la figure corrélative, on conclut aisément de là, d'après le théorème (66), ce nouveau théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan fixe situé d'une manière quelconque dans l'espace; si par une droite, prise arbitrairement dans ce plan, on mène les plans tangents à la surface; le centre des moyennes har-

moniques de leurs points de contact avec la surface, relatif au plan fixe, sera toujours le même point de l'espace, quelle que soit la droite prise dans ce plan.

68. Si le plan fixe est à Tinfini, on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géoméiriques :

Étant donnée une surface géométrique : si on lui mène ses plans tangents parallèles à un même plan, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangents.

69. Les propriétés générales des surfaces géométriques, que nous venons de démontrer, ont lieu, bien entendu, pour les courbes planes; et elles s'appliquent aussi aux courbes à double courbure; car, dans les théorèmes connus d'où nous les avons déduites, par notre principe de transformation, la surface proposée pouvait être développable et donner, pour transformée, une courbe à double courbure (17).

70. Ces théorèmes, combinés entre eux, et appliqués à des systèmes de cônes et de cylindres circonscrits à une surface géométrique, ou passant par une même courbe à double courbure, conduisent à plusieurs autres théorèmes curieux, qui sont une généralisation des propriétés des cônes circonscrits à une surface du second degré, et ayant leurs sommets sur une droite ou sur un plan.

Il ne peut entrer dans l'objet de cet écrit de nous étendre davantage sur ce genre tout nouveau de propriétés générales des surfaces et des courbes géométriques. Nous en avons fait d'ailleurs l'objet d'un Mémoire spécial, inséré dans la Correspondance mathématique de M. Quelelel. ÇVoir le second Mémoire sur la transformation parabolique des relations métriques des figures; Correspondance, t. VI.)

Nous donnerons, dans la seconde partie de cet écrit, quelques autres propriétés des courbes et des surfaces géoméiriques, qui appartiennent à la même théorie.

§ XIV. Propriété du quadrilatère gauche; double génération

DE l'iIYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE PAR UNE LIGNE DROITE MOBILE.

71. Soil un quadrilatère gauche aa'b'b. On sail que si Ton mène une droite mm' qui divise les côtés opposés ab, a'b', proportionnellement, c'esl-à-dire de manière qu'on ait

am a'm' ^^^ 6^"°6^'*

1° La droite mm' sera dans un plan parallèle aux deux autres côtés aa'j bb' ;

2° Cette droite rencontrera toute droite, telle que un', qui s'appuie sur les côtés aa'j bb', et qui est parallèle au même plan que les deux côtés abyu'b', (Géométrie de Legendre, 5^ livre.)

Faisons la figure corrélative. Nous aurons un second quadrilatère gauche ouz'êc' dont les plans des angles «, a, S, S', que nous désignons par A, A', B, B', correspondent respectivement aux sommets a, a', b, b' du premier. Aux points m, m' correspondront, dans la nouvelle figure, deux plans M, M' passant respectivement par les deux côtés «S, a'ê'; et, aux points n, n', correspondront deux plans, passant respectivement par les côtés ««', 66'.

Soient \, l' les deux plans qui correspondent aux points situés à Tinfini sur les côtés ab, a'b'; ces plans passeront par les côtés <£, «'§", respectivement; et Ton aura

sin.M.A sin.l,A ma sin.M, B sin.I, B mb*

sin M',A' sin.I'. A' m'a' sin.M',B'*sin r,B'~" mV'

On a donc, d'après l'équation (1):

sin. M, A sin.I, A sin.M',A' sin.r,A'

sin.M,B ' sin.l.B siu.M',B' * j-in. 1'. B'

C'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre plans A, B, I, M, est égal au rapport anharmonique des quatre plans A', B', l', M'.

Les droites aa', bb' , mm' , étant parallèles à un même plan, on peut les considérer comme s'appuyanl sur une même droite située à l'infini ; les droites qui leur correspondent, dans la nouvelle figure, s'appuieront donc aussi sur une même droite; et cette droite rencontrera la droite d'intersection des deux plans I, I', puisque celle-ci correspond aussi à une droite située à l'infini, et que toutes les droites à l'infini sont considérées comme étant dans un même plan.

Enfin, la droite nn' étant dans un plan parallèle aux deux côtés ab, a'b'y ces trois droites peuvent être considérées comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini; à cette droite située à Tinfini correspond la droite d'intersection des deux plans I, I'; à la droite nn' correspondra donc une droite quelconque, s'appuyant: 1° sur la droite d'intersection des plans A, A'; 2° sur la droite d'intersection des plans B, B'; 3° sur la droite d'intersection des plans I, F.

De là on conclut ce théorème :

Etant, donnés trois plans A, B, 1, passant par une droite, et trois autres plans quelconques A', B', I', passant par une seconde droite; si autour de ces deux droites on fait tourner des plans M, M', de manière que le rapport anharmonique des quatre plans A, B, I, M soit égal au rapport anharmonique des quatre autres plans A' B', V , M' ; la droite d'intersection des deux plans M, M' s'appuiera, dans toutes ses positions y sur toute transversale qui s'appuierait sur les trois droites d'intersection des plans A, B, 1, par les plans A', B', !', respectivement.

Cela prouve que la droite d'intersection des plans M, 31' engendre un hyperholoïde à une nappe; et, comme la transversale sur laquelle celte droite s'appuie dans toutes ses positions est indéterminée, on en conclut aussi la double génération de celte surface par une ligne droite.

Ce théorème correspond à celui que nous avons appelé, dans la Géo- SI métrie plane, propriété anharmonique des points d'une conique (voir h

Noie XV). Il nous sera 1res ulile dans la théorie des surfaces du second degré.