RAPPORTÉES A TROIS AXES COORDONNÉS

73. Soient une surface géométrique du degré m, et trois axes coordonnés ox, oy, oz. Que, par chaque point de la surface on mène trois plans parallèles, respectivement, aux trois plans coordonnés : les segments ox', of/', oz\ que ces plans formeront sur ces axes, auront entre eux une relation constante, du degré m, quel que soil le point de la surface; celle relation, que nous représenterons par

(I) ¥[ox', oij\ oz') =0,

est lYniuation de la surface.

Formons la figure corrélative; nous aurons une surface géométrique, à laquelle on pourra mener, par une droite quelconque, m plans tangents (réels ou imaginaires); cl trois droites situées dans un même plan 0: les sommets A, B, C, du triangle formé par ces droites, correspondront aux plans coordonnés yZy zx et xy\ de sorte que les droites BC, CA, AB, correspondront respectivement aux axes oXf oy, oz. Aux trois plans menés par un point de la première surface, parallèlement aux trois plans coordonnés, correspondront les trois points |', v' , ç', où un plan tangent à la nouvelle surface rencontrera les trois droites fixes menées, des trois sommets du triangle, au point /, qui correspond à l'infini de la première figure. Aux points x' , y', z' , correspondront les trois plans menés par les trois côtés du triangle et par les trois points où le plan tangent rencontre les trois droites issues du point i; soient X', Y', Z' ces plans.

Prenons, sur les axes oa?, oy, oz, trois points fixes d, e, f; et soient D, E, F, les plans correspondants, lesquels passent par les côtés du triangle ABC : les plans /BC, /AC, /AB correspondront aux trois points situés, à l'infini, sur les axes ox, oy, oz. On aura donc

ox' sin.OjX' sin.îBC,X' od ~~ sin.O,D ■ sin.îBC,D '

oy' sin.O,Y' sin.îCA,Y' oe sin.OjE sin.iCA,E

oz' sin.OjZ' sin.iAB,Z' 0/ ~" sin.O.F ' sin.îABjF '

Soient â, e, ^, les points où les plans D, E, F, rencontrent, respectivement, les axes /A, /B, iC; le second membre de la première de ces trois équations

sera égal à

On aura donc

Ar {r

ox' A|' î£-'

od Aâ ' iâ '

Éif

d'où

ox = — : — . otf .

\lê' lui

On a, semblableraenl :

Menant ces valeurs, à la place de ox', oy', oz', dans Péqualion (4) de la surface proposée, on aura une équation où les trois rapports

AÇ' By' CÇ' »Ç'* tV' tÇ''

qui déterminent la position de chaque plan tangent à la nouvelle surface, entreront au degré m. Celte équation ne contiendra pas d'autres variables que ces trois rapports; car A3, id, od, etc., sont des constantes. Comme l'on peut comprendre ces constantes dans les coefficients de l'équation, on a cette propriété générale des surfaces géométriques :

Étant donnés une surface géométrique, et un tétraèdre situé d'une manière quelconque dans l'espace; chaque plan tangent à la surface fera deux segments sur chacune des trois arêtes aboutissant au sommet du tétraèdre ; si l'on forme les rapports des trois segments situés du côté de la base aux trois autres respectivement, ces trois rapports auront entre eux une relation constante, d'un degré égal au nombre des plans tangents qu'on pourra mener à la surface par une même droite.

El, réciproquement :

Si, ayant un tétraèdre, on mène un plan de manière que, si l'on forme le rapport des segments qu'il fera sur chaque arête aboutissant au sommet du tétraèdre (le segment situé du côté de la base du tétraèdre étant pris pour numérateur dans ce rapport), les trois rapports ainsi faits aient entre eux

une relation constante, du degré m, le plan enveloppera une surface à laquelle on pourra mener m plans tangents par une même droite.

74. Donc, si la relation est du premier degré, le plan tournera autour d'un point fixe ;

Si la relation est du second degré, le plan enveloppera une surface du second degré. D'où Ton peut conclure différentes propriétés des surfaces du second degré.