Reprenons l'expression de ox

ox' = I —^ :-r-].od.

Supposons les (rois points A, B, C, à Pinfini; il viendra

et pareillement :

ox' = — • iâ. od ;

01/ =-^ • is . oe,

oz = — • t? . of.

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et faisant entrer les constantes dans les coefficients, on aura une équation

OÙ les variables

entreront au degré m.

Ainsi :

Quand on a une surface géométrique; si, par un point, l'on tire trois axes

652 MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

fixes quelconques; chaque plan tangent à la surface les rencontrera en trois points^ dont les distances au point fixe auront, entre leurs valeurs inverses, une relation constante, d'un degré égal au nombre de plans tangents qu'on pourra mener à la surface, par une même droite.

El réciproquement.

78^ Donc : Si l'on prend, sur les arêtes d'un angle trièdre, trois points dont les distances au sommet de l'angle aient entre leurs valeurs inverses une relation constante, du premier degré ; le plan déterminé par ces trois points passera, dans toutes ses positions, par un point fixe.

79. Concevons le tétraèdre /ABC, et le plan qui coupe ses trois arêtes ik, iB, iC, aux points |', v', ç'; soient p, p', p", p'", les distances de ce plan aux quatre sommets /, A, B, C; nous aurons

p' Aê'

p" Bv'

tl

cK'

p tr'

p tV

tç'

On aura donc, d'après le théorème (73), une relation

où les trois rapports entreront au degré m. Si Ton multiplie tous les termes par ^'", on aura une équation homogène, du degré m, entre les quatre distances p, p', p'', p'".

Donc :

Dans toute surface géométrique, les distances de chacun de ses plans tangents, à quatre points fixes, pris arbitrairement dans l'espace, ont toujours entre elles une relation homogène, d'un degré égal au nombre des plans tangents {réels ou imaginaires) qu'on peut mener à la surface, par une même droite.

Et, réciproquement :

Quand les distances d'un plan mobile, à quatre points fixes, ont entre elles une relation homogène, du degré m; ce plan enveloppe une surface

courbe, à laquelle on peut mener, par une même droite quelconque, m plans tangents {l'éels ou imaginaires) *.

80. Ainsi, si Ton demande un plan tel que ses distances 5 quatre points fixes, multipliées respectivement par des constantes, aient leur somme égale à zéro, une inlinité de plans satisfont à la question, et tous ces plans passeront par un même point. En effet, on sait que ce point serait le centre de gravité des quatre points fixes, s'ils avaient des masses proportionnelles aux constantes qui multiplient les distances du point mobile à ces points.

§ XVI. Nouvelle méthode de géométrie analytique.

81 . Les théorèmes précédents offrent une manière de déterminer, par une équation entre trois variables, tous les plans tangents à une surface courbe, analogue à la méthode par laquelle on détermine, en Géométrie analytique, par une équation entre trois variables, tous les points d'une surface.

On prendra arbitrairement dans l'espace un tétraèdre /ABC. Un plan rencontrera les trois arêtes «A, /B, ïC, en trois points |, v, ç, qu'il suffira de connaître pour que le plan soit déterminé. On déterminera ces points euxmêmes par les rapports

A§ Bv cç

i^ XV iK

qu'on pourra appeler les coordonnées du plan, et que nous représenle-

* Ce ihcorcmc s'applique à un nombre quelconque de points fixes; c'est-à-dire que : Étant dontiés plusieurs points fixes dans l'espace ; si l'on mène un plan de manière que ses distances à ces points aient entre elles une relation homogène constante, du degré m ; ce plan enveloppera, dans toutes ses positions, une surface géométrique, à laquelle on pourra mener m plans tangents par une même droite.

Ce liicorcme se conclut, par le principe de dualité, de cette autre proposition, dont In démonstration résulte des premiers principes de Géométrie analytique, savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante, du degré m, est une surface géométrique, qu'une droite quelconque rencontre en m points {réels ou imaginaires).

634 MÉMOIRE DE GEOMETIUE.

rons par a?, y, z. Chaque sysième de valeurs de ces trois coordonnées donnera un plan. Donc une équalion enire ces (rois coordonnées représentera une infinilé de plans, tous assujettis à une certaine loi exprimée par cette équation, cl qui, par conséquent, envelopperont une certaine surface.

Il résulte, du théorème (73), qu'une équalion F (x^ y, 2;)=0, o\j les variables X, y, z, n'entrent qu'au premier degré, représente un point; c'est-à-dire que tous les plans déterminés par celle équation passeront par un même point; qu'une équation du second degré représente une surface du second degré; et, en général, qu'une équation du degré m représente une surface à laquelle on peut mener m plans tangents par une même droite.

82. Deux équations qui devront avoir lieu en même temps, détermineront les plans tangents communs aux deux surfaces que ces équations représcnlenl individuellement : ces deux équations représenteront donc la surface dévcloppable circonscrite à ces deux surfaces.

Pareillement, trois équations donneront les plans tangents communs aux trois surfaces représentées par ces écjuations.

Il suit de là que, quand trois surfaces seront inscrites à la môme dévcloppable, les équations de deux d'entre elles devront rendre identique l'équation de la troisième.

Si l'on a deux surfaces du second degré, représentées par les équations F = 0, / == 0; toute autre surface du second degré, inscrite à la dévcloppable circonscrite aux deux premières, aura son équation de la forme F -H }/= 0, X étant une constante.

83. Chaque plan langent à une surface la louche en un point qu'on déterminera par une formule semblable à l'équation du plan tangent à une surface, dans le système des coordonnées en usage.

Ainsi, soient F (x, y, 2;) -= 0 l'équation de la surface; x', y', z', \es coordonnées de son plan langent : l'équation du point de contact sera

MÉMOIUE DE GÉOMrnUIE. 655

84. Si Ton veut avoir rintcrseclion de la surface |);u' un plan, on indiquera que le point dont nous venons de donner Téqualion doit être sur ce plan. Soient a, 6, y, les coordonnées de ce plan : on aura Téqualion de condition

rfF , ,, rfF , d?

-— a — x') -+- -— 6 — y') -+- - (y z') = G. dx' dy'^ -^ dz" '

Cette équation représente une surface dont les coordonnées courantes sont x' , y' , z'. Celle surface est telle que les plans tangents à la surface proposée, en ses points d'intersection par le plan (^, 6, y), lui sont aussi tangents. Donc cette équalion, et Téquation F(x',fj', z') = 0 de la surface proposée, représentent une développable circonscrite à celle-ci suivant sa courbe d'intersection par le plan dont les coordonnées sont a, 6, y. Ainsi cette courbe d'intersection est déterminée.

8o. Nous ne pousserons pas plus loin ces analogies, qui suffisent pour faire voir le mécanisme de ce nouveau système, et à quel genre de questions il conviendra particulièrement. xMais Ton conçoit que, pour l'employer avec avantage, il est nécessaire de le présenter directement et d'une manière élémentaire, pour connaître la signification des coefficients de certaines équations qui se représenteront toujours, telles que celles du point et de la ligne droite. La méthode par laquelle nous venons d'exposer les propriétés principales de ce système ne suffit pas pour donner les expressions géométriques de ces coefficients, parce qu'ils renferment les segments od, oe,of, (73), qui appartiennent à l'ancien système. Nous reviendrons donc sur cette nouvelle méthode de Géométrie analytique, pour l'exposer directement, et avec les développements nécessaires.

86. On remarquera que, si les trois axes ik, «B, /C, sur lesquels sont comptées les trois coordonnées de chaque plan, sont parallèles entre eux, ces coordonnées deviennent précisément les segments A|, Bv, C|, d'après le théorème (73). Le système alors se simplifie beaucoup et a une plus grande analogie avec le système de coordonnées de Descaries.

Au contraire, quand les trois axes /A, îB, /C passent par un même point,

t)56 MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

el que le plan ABC est à Tinfini, les trois coordonnées de chaque plan sont, d'après le théorème (77), les valeurs inverses des dislances du point / aux points où le plan rencontre les trois axes /A, ^B, iC

§ XVII. Suite du précédent. — Applications du nouveau système

DE géométrie analytique.

87. Première application. Considérons le système de coordonnées le plus général, celui où Ton a un tétraèdre îABC, et où les coordonnées de chaque plan sont les rapports

A§ Bv a

îi; iv iÇ

On démontrera aisément, en faisant les mêmes raisonnements que pour la démonstration du théorème I (§ II), le suivant, qui d'ailleurs est le corrélatif du théorème (9) :

Quand, dans l'équation d'un point mobile, les coefficients des coordonnées courantes sont trois variables satisfaisant à une relation du premier degré j le point engendre un plan ;

Si les coefficients ont entre eux une relation du second degré, le point engendre une surface du second degré ;

Et, en général, si les trois coefficients ont entre eux une relation du degré m, le point engendre une surface qui est rencontrée en m points par une transversale quelconque.

88. Ce théorème conduit à une propriété géométrique du centre de gravité de quatre points matériels.

En effet, soient x' , y', z', les trois coefficients des variables, dans l'équation d'un point; cette équation sera

X, y, s, sont les coordonnées qui déterminent chaque plan passant parj

ce poinl. Nous avons vu (79) qu'on peut les remplacer par les dislances Pj p'y p"f p"'y de ce plan, aux sommels /, A, B, C, du tétraèdre; on aura donc

x'p' -^ y'p" H- z'p'" -4- Kp = 0.

Nous avons vu aussi (80) que le point représenté par cette équation est le centre de gravité des quatre points i, A, B, C, si on leur suppose des niasses proportionnelles aux quantités K, a', y', z'. On conclut donc, du théorème précédent, celui-ci :

Si l'on a quatre points fixes matériels^ et qu'on prenne leur centre de gravité ; et que, la masse de l'un d'eux i^estant constante, celles des trois autres points varient en conservant entre elles une relation constante, du degré m, le centre de gravité des quatre points engendrera une surface du degré m.

On pourrait faire varier les masses des quatre points ; mais alors il faudrait qu'elles eussent entre elles une relation homogène; le centre de gravité de ces quatre points engendrerait une surface d'un degré égal à celui de cette relation.

89. Autre application. Pour faire une seconde application du nouveau système de coordonnées, à une question qui offrirait des difficultés, si Ton voulait faire usage du système ordinaire, proposons-nous de démontrer cette propriété générale des surfaces géométriques :

Étant donnés une su?'face géométrique, deux platis fixes et un axe parallèle à l'intersection de ces deux plans ; si l'on mène un plan transversal quelconque, et que, par les deux droites suivant lesquelles il coupera les deux plans fixes, Cou mène les deux faisceaux de plans tangents à la surface; les produits des segments compris sur l'axe fixe, entre le plan transversal et les deux faisceaux de plans tangents, seront entre eux dans un rapport constant, quel que soit le plan transversal.

Prenons un système de trois axes coordonnés kx, B^, C^, parallèles entre

eux. Que le plan des deux axes kx, ^y, et celui des deux axes Aie, Qz,

soient les deux plans donnés.

Soit FÇxy y, z)-= 0 l'équation de la surface. Soient x' , y', z% les coordonnées d'un plan transversal ; les plans tangents menés à la surface, par la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan des deux axes Ao?, By, couperont l'axe Xz en des points dont les distances z, au point C, seront données par l'équation

On peut mettre cette équation sous la forme

OU

^ ' ^ ^ dz'^ ^ dz" 1.2 dz"" 1.2... m

m étant le degré de l'équation de la surface.

Les racines (z — z') de cette équation sont les segments compris, sur l'axe des z, entre le plan transversal et les plans tangents; leur produit est égal à

tFf •

dz'"

Mais la transversale donnée est parallèle à l'axe Cz-, donc les segments interceptés sur elle, entre le plan transversal et les plans tangents, sont proportionnels aux segments interceptés, entre les mêmes plans, sur l'axe ÇxZ. Ainsi le produit des segments faits sur la transversale est égal à

dz^

R étant une constante qui dépend seulement de la distance entre la transversale donnée et le plan des deux axes Aa?, By.

Pareillement, si par la droite d'intersection du plan transversal et du plan des axes kx, Cz, on mène les plans tangents à la surface, le produit des

segments compris sur la transversale, entre le plan transversal et les plans tangents, sera égal à

¥J étant une seconde constante qui ne dépend que de la distance de la transversale au plan des deux axes kx, C^.

Le rapport des deux produits des segments faits sur la transversale, suivant renoncé du théorème, est dor>c égal à

K rf'-F rf^F

Ce rapport est constant, parce que l'équation de la surface étant du degré m, les deux expressions

sont des nombres; le théorème est donc démontré.

90. Notre système de coordonnées peut procurer aussi une démonstration directe des propriétés générales des surfaces géométriques, que nous avons déduites (§ XIH), par le principe de dualité, du théorème de Newton sur les diamètres des courbes. Nous avons donné cette démonstration directe dans la Correspondance mathématique de M. Quelelet, tom. VI, pag. 81. Je ne pense pas que le système de coordonnées en usage puisse conduire à une démonstration de ces propriétés, d'un nouveau genre, des surfaces géométriques.

§ XVIII. Construction analytique des figures corrélatives.

91. Dans les applications que nous venons de faire du principe de dualité, pour démontrer des propriétés générales de l'étendue, nous avons fait usage de ce principe seul, pris dans toute sa généralité, sans avoir besoin de

construire les figures corrélatives, et sans avoir égard aux différentes variétés de formes qu'elles pourraient présenter, suivant le mode de construction qu'on emploierait.

Mais Ton peut demander de construire la figure corrélative d'une figure donnée. Cela se fera très aisément, de deux manières générales, analyliquement el géométriquement.

D'abord par l'Analyse. On prend l'équation générale d'un plan, rapportée à trois axes coordonnés quelconques, et renfermant, au premier degré, les coordonnées a?', y', 0', d'un point; cette équation sera de la forme

(1) Xx'-+- Yy' -f-Zz' = U;

X, Y, Z et U étant des fonctions linéaires des coordonnées courantes X, y, z.

Si l'on veut déterminer un plan de la figure corrélative, correspondant à un point de la figure proposée, on mettra les coordonnées de ce point dans l'équation (1), à la place de a?', y', z' ; el cette équation deviendra celle du plan cherché.

Si Ton veut déterminer un poi?it de la figure corrélative, correspondant à un plan de la figure proposée, on prendra l'équation de ce plan : je la suppose

(2) Lx + My -4- Nz = 1 ;

et les coordonnées du point cherché seront données, ainsi que nous l'avons démontré (1), par les trois équations

où ces coordonnées n'entrent qu'au premier degré.

92. Si, réciproquement, on veut déterminer, dans la première figure, le plan auquel correspondra tel point désigné de la seconde figure, on fera usage des mêmes équations (3), où l'on remplacera les coordonnées x, y, z, qui entrent dans les polynômes X, Y, Z, U, par les coordonnées x", y", z"

du point donné de la seconde figure; et ces équations donneront les valeurs des paramètres L, M, N, du plan cherché.

Désignons par X", Y", Z", U", ce que deviennent les polynômes X, Y, Z, U, par la substitution dont nous venons de parler ; on aura

et l'équation du plan de la première figure, auquel correspond le point Çx", y", z") de la seconde figure, sera

93. Remarquons que si le point (a?'', y", z") était considéré comme appartenant à la première figure, le plan qui lui correspondrait dans la seconde aurait pour équation

Xx" -H Yy" ^^ Zz" = U.

Cette équation diffère, en général, de la précédente; ce qui fait voir que :

Dans deux figures corrélatives, à un même point de l'espace, considéré successivement comme appartenant à la première figure, puis à la seconde, correspondent deux plans différents.

Dans quelques modes de construction des figures corrélatives, tels que celui des polaires réciproques, ces deux plans se confondent toujours. Mais c'est là un caractère particulier de ces figures, étranger en quelque sorte au principe de dualité, et dont, en effet, nous n'avons point eu besoin de faire usage dans nos applications de ce principe.

Nous donnerons, dans un des paragraphes suivants, la théorie générale des figures corrélatives qui jouissent de cette propriété particulière.

94. Nous avons dit comment on délcrminera, au moyen des trois équations linéaires (3), les coordonnées du point qui correspond, dans une figure corrélative, à un plan de la figure donnée. Comme ce calcul, sans offrir de difficulté, est un peu long, nous allons en donner le résultat.

Conservons à X, Y, Z et U, les expressions générales que nous leur avons données (8); et désignons par le symbole (a6'c") le polynôme

a{b'c" — b"c') -+- a'{b"c — bc") + a" {bc' — b'c);

par le symbole (a'b"c"') ce que devient ce polynôme quant on y change a en a', b' en b", c" en c'" ; par (d'a"b"') ce que devient ce premier polynôme, quand on y change a en d', b' en a", c" en b'" ; et ainsi de suite.

Les expressions des coordonnées x, y, z, du point qui correspond au/?/aw donné, seront

(dh'c") — {d'b"c"') L -H (d"b"'c) M — {d"'bc' ) N ^ "" {ab'c") — {a'b"c") L -t- (a"6"'c) M — (a"'6c' ) N '

{da'c")—{d'a"c"') L h- {d"a"'c) M — {d"'ac")N ^ ^ {ab'c") — {d'b"c"') L -t- (u"6"'c) M — (a"'6c' ) N '

(rfa'6") —(rf'a'V") L -+- {d"a'"b) M — [d"'ab") N

(a6'c") — (a'6"c") L + {a"b"c) M — {a"'bc ) N

Au moyen de ces formules, on connaîtra tous les points de la figure corrélative, correspondant à des plans déterminés de la figure proposée.

Ainsi la construction des points et des pians de la figure corrélative la plus générale, d'une figure proposée, sera extrêmement facile.

95. Si celte figure proposée est une surface courbe exprimée par son équation, nous avons vu (3) comment, par une simple élimination, on trouvera l'équation de la surface corrélative.

Et si Ton veut déterminer cette surface par points, on observera que chacun de ces points est le pôle, ou point correspondant, d'un plan tangent à la surface proposée (théorème II). Les coordonnées de ce point seront donc données par les formules précédentes, où L, M, N seront les coefficients de l'équation du plan tangent en un point de la surface proposée.

Ainsi soit

l'équation de cette surface; et

Téqualion de son plan tangent au point {x\ y', z') ; p', r/' étant les coefficients difl'érenliels^j ^, où Ton a remplacé les coordonnées a?, y, z, par x', y', z'. On a

Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, on obtient

{db'c") [p'x' -\- q'y' — z') — (d'b"c") p' -+- {d"b"'c) q

{ab'c") {p'x' -\- q'y' — z') — (a'6"c"') />' -4- (a"6"'c) q [da'c") {p'x' -t- q'y' — z') — {d'a"c"') p' -+- {d"a"'c) q

{ab'c"){px' -+- q'y' — z') — {a'b"c"')p' -+- {a"b"'c) q {dab") [p'x' -+- q'y' — z) — [d'a"c"')p' -«- {d"a"'b) q

{ab'c") {p'x' -+- q'y' — z') — {a'b"c"') p' -f- {a" b"'c) q

{d"'bc'

{a"'bc'y {d"'ac")

{a"'bc' ) ' {d"'ab")

Telles sont les coordonnées d'un point de la surface corrélative d'une surface proposée, en fonction des coordonnées d'un poitit de celle-ci. Les deux points se correspondent ; mais comme jusqu'ici le mot correspondant nous a servi pour désigner la relation entre deux parties corrélatives, dans une figure et sa transformée, telles qu'un point et un plan, nous dirons que ces deux points des deux surfaces sont réciproques.

On reconnaît les points réciproques dont Monge avait donné une expression particulière dans le titre d'un Mémoire qui, croyons-nous, n'a pas été publié (voy. la Note XXX).

§ XIX. Construction géométrique des figures corrélatives.

96. Soient a, b, c, d, e, cinq points quelconques de la figure proposée; on pourra prendre arbitrairement, dans l'espace, cinq plans A, B, C, D, E, comme devant correspondre respectivement à ces cinq points, dans la figure corrélative qu'il s'agit de construire (§ II, théorème V).

il nous faut déterminer, dans cette figure :

Ui MEMOIRE DE GEOMETRIE.

1° Le plan qui correspond à un sixième point quelconque de la figure proposée ;

Et 2" le point qui correspond à un plan quelconque de cette figure proposée.

Pour cela, considérons le tétraèdre abcd. Par le point e, menons trois plans, passant respectivement par les trois arêtes ab, bc, ca; et, par un sixième point m, menons trois aulres plans passant aussi par les trois arêtes ab, ac, bc.

Soit M le sixième plan de la figure corrélative, qui correspond au point m : c'est le plan que nous voulons déterminer. Aux quatre plans qui, dans la première figure, passent par l'arête ab, et qui sont cab, dab, cab, mab, correspondent, dans la seconde figure, les quatre points CAD, DAB, EAB, MAB*. Le rapport anharmonique des quatre plans est égal au rapport anharmonique des quatre points (théorème IV). Cette égalité fera connaître le point MAB, c'est-à-dire le point où le plan cherché* coupe la droite d'intersection des deux plans donnés A, B. Une égalité semblable fera connaître le point où le même plan cherché rencontrera la droite d'intersection des deux plans donnés A, C. Enfin^ une troisième égalité semblable fera connaître le point où ce plan rencontre la droite d'intersection des deux plans 15, C. Ainsi le plan cherché est détermmé par trois de ces points. C'est la première question que nous avions à résoudre.

Maintenant, pour trouver le point n qui correspond à un plan N de la première figure, on prendra le point où ce plan N rencontre l'arête da du premier tétraèdre : à ce point correspondra, dans le second tétraèdre, le plan mené par l'arête DA et par le point cherché. On aura ainsi, sur l'arête da, quatre points qui seront : 1° a; ^"^ d; 5° le point où le plan ebc rencontre l'arête da; 4° le point où le plan N rencontre cette arête; et l'on aura quatre plans correspondants, passant par l'arête DA, lesquels seront : 1" A; 2° D; 3° le plan mené par le point où le plan E rencontre l'arête BC; l" le plan mené par le point cherché. Le rapport anharmonique de ces quatre plans

* Nous désignons un point par les trois lettres qui représentent trois plans passant par point.

sera égal à celui des quatre points; cette égalité fera connaître le quatrième plan, celui qui passe par le point cherché.

Deux autres égalités semblables feront connaître deux autres plans, menés par les deux arêtes DE, DC, respectivement, et passant par le point cherché. Ainsi ce point sera donné par l'intersection de trois plans qu'on déterminera facilement.

Le problème de la construction géométrique des figures corrélatives est donc résolu complètement.

97. Dans la pratique, on exprimera le rapport anharmonique de quatre plans par celui des quatre points où ces plans rencontrent une transversale; et l'on prendra, pour cette transversale, l'arête du tétraèdre opposée à celle par laquelle passent les quatre plans.

On réduira, de cette manière, la construction des figures corrélatives, à des formules très simples et d'une grande généralité.

Les quatre plans A, B^ C, D, de la seconde figure, forment un tétraèdre dont les quatre faces correspondent respectivement aux quatre sommets du tétraèdre abcd de la première figure. Désignons par a', b\ c', rf' les quatre sommets, respectivement opposés à ces faces.

Soient s, « les points où les deux plans ebc, mbc rencontrent l'arête af/; et soient e', «' les points où les deux plans E, M rencontrent l'arête a'd' du second tétraèdre.

Le rapport anharmonique des quatre plans abc, dbc, ebc, mbc sera le même que celui des quatre points a, d, e, a; mais il est égal, comme nous l'avons dit ci-dessus (96), à celui des quatre points d', a', e', a', qui correspondent aux quatre plans, dans la seconde figure. On aura donc

d'où

au sa a'd' t'd' ad ed a! a! e'a'

(ta, ad' Ita t'd'\ ad a.'a' \td t'ai

Le rapport ^^ : j!^ est une quantité constante, quel que soit le point m^

puisqu'il ne dépend que de la position du point donné e et du plan pris arbitrairement E, qui lui correspond.

Ainsi Ton a

a.a ad'

l étant une quantité constante.

Pareillement S étant le point où le plan înac rencontre Tarêle bd du premier tétraèdre; et ê' le point où le plan M rencontre l'aréle b'd' du second tétraèdre, on aura

(") êT/^-'^^'

y. étant une constante.

El enfin, appelant y le point où le plan mab rencontre l'arête cd, et y' le point où le plan M rencontre l'arête c'd' du second tétraèdre, on aura

yc y'd'

yd y c

V étant une troisième constante.

98. Ces trois équations donnent, immédiatement, la construction des points et des plans de la figure corrélative d'une figure proposée.

Car les points a', g', /, déterminés par ces équations, appartiennent, respectivement, à trois plans passant par les arêtes b'c', c'a', a'b' du second tétraèdre, et correspondant aux trois points a, ê, y; et, réciproquement, les trois points «, 6, y appartiennent à trois plans, passant par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et correspondant aux points «', 6', /.

D'après cela, veut-on construire le plan de la seconde figure qui correspond à un point m de la première? Par ce point m on mènera les trois plans mbc, mca, mab, qui rencontreront les arêtes ad, bd, cd en trois points; on regardera, dans les formules ci-dessus, «, 6, y comme étant ces trois points; et alors a , S', y', seront les points où le plan cherché rencontre les trois arêtes a'd', b'd', c'd' du second tétraèdre.

Veut-on construire le point de la seconde figure, correspondant à un plai

MÉ>IOIRE Dr: (;ÉO.>IÉTRIE. Gi7

de la promière? On regardera, dans les formules, «, ê, y comme élanl les poinls où le plan donné rencontre les Irois aréles ad, hd, cd du premier lélraédre; el alors «', ê', / seront les points où les trois pians, menés parle point cherché et les trois arêtes b'c'y c'a' y a'b' du second tétraèdre, rencontreront les aréles opposées a'd', b'd\ c'd'; ce point sera donc déterminé*.

§ XX. Suite du précédent. — Discussion des formules pour la construction GÉOMÉTRIQUE DES FIGURES CORRÉLATIVES. DiVERS THÉORÈMES DE

GÉOMÉTRIE QUI s'eN DÉDUISENT. GÉNÉRALISATION d'uN PORISME d'EuCLIDE.

99. Les formules (a) conduisent naturellement à divers corollaires, dont plusieurs offrent des propositions de Géométrie, nouvelles et très générales.

D'abord ces formules expriment le théorème suivant :

Elant donnés deux lélraèdrcs quelconques abcd, a'b'c'd' ; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène irois plans passant respectivement par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant ses arêtes opposées aux points a, g, y;

Puis qu'on prenne, sur les arêtes d'à', d'b', d'c' du second tétraèdre, trois points «' 6' y', de manière qu'on ait toujours

ad a.'a'

êrf "" " * 6^ ' yc r'd'

yd y'c'

>, // et V étant trois coefficients constants ;

* Nous regrettons d'avoir clc oblige de réserver exelusivement le mol correspondant pour dcsi'^ncr dans la figure corrélative, le plan ou le point qui correspondent à un point ou h un plan de la figure proposée. Si nous avions eu une autre expression, nous aurions apj)elc correspondants les poinls tels que a et a', el nous aurions pu ainsi abroger le discours dans ce qui précède.

Le plan, déterminé par les trois points «', ê', y', enveloppera une seconde figure qui sera corrélative de la première.

De sorte qu'aux points de la première figure, qui seront situés dans un même plan, correspondront, dans la seconde figure, des plans passant tous par un même point.

100. Maintenant, remarquons que si, du point m, on abaisse des perpendiculaires sur les plans abc et dbc, leur rapport sera égal à celui des perpendiculaires abaissées, du point «, sur les mêmes plans, lequel est égal à

aa. . sm . [da, abc) aa

■ — ; — = — X const.

(la. sin . [da, dbc) da.

Dans le tétraèdre a'b'&d', le rapport des perpendiculaires abaissées, des deux sommets d', a', sur le plan a'6'y', est égal à ^; donc, ^^ étant proportionnel à ^, d'après les équations ci-dessus, nous pouvons dire que le rapport des dislances du point m, aux deux faces abc, dbc, est proportionnel au rapport des dislances du plan M aux deux sommets d', a' du second tétraèdre. D'où il suit que :

Dans deux figures corrélatives, le rapport des distances d'un point quelconque de la première figure, à deux plans fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point, dans la seconde figure, aux deux points qui correspondent aux deux plans de la première, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.

101. De là, on conclut le théorème suivant, qui n'est autre que le théorème (99) présenté sous un autre énoncé ;

Ëtant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont A, B, C, D sont les faces du premier, et a, b, c, d les sommets du second;

Si, de chaque point m de la figure proposée, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces dw premier tétraèdre, et qu'on prenne les rapports de la première perpendiculaire aux trois autres ;

Et que l'on mène un plan transversal M, de manière qu'étant prises ses distances aux quatre sommets a, b, c, d du second tétraèdre, les rapports de la première distance aux trois autres soient dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports, respectivement; ce plan M, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions, au point m de la figure proposée, formera une seconde figure, corrélative de cette proposée,

102. La propriété caraclérislique des figures corrélatives consiste en ce que, aux points de Tune qui sont situés dans un même plan, correspondent, dans l'autre, des plans passant tous par un même point. D'après cela, on conclut, du théorènfïe (99), celte proposition de Géométrie :

Etant donnés un tétraèdre SARC et un plan, situés d'aune manière quelconque dans l'espace;

Si, par chaque point de ce plan, on mène trois plans, passant respectivement par les trois arêtes à la base ARC du tétraèdre, et rencontrant respectivement les trois arêtes opposées SA, SR, SC, en trois points a, S, y; et qu'on forme les rapports des segments que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

«s 6S T^S aA 6B yC

Puis, que l'on prenne arbitrairement un second tétraèdre S'A'R'C, et que

l'on divise ses arêtes au sommet, par trois points a! , ê', y', de manière, que

les trois rapports

'C ' fi'C ' 'C '

soient aux trois premiers, respectivement, dans des raisons constantes et quelconques ;

Le plan déterminé par ces trois points «', ë', y , qui correspondra, dans toutes ses positions aux différents points du plan donné, passera toujours par un même point fixe,

103. Ce théorème, qui résulte ici, comme corollaire, de notre théorie

6o0 MEMOIRE DE GEOMETRIE.

analytique des figures corrélatives, en renferme néanmoins toute la doctrine. El si ce simple théorème de Géométrie était démontré a priori et directement, nous en conclurions toute la théorie de ces figures, comprenant leurs relations descriptives et leurs relations de grandeur.

C'est de ce théorème que nous avons voulu parler dans la partie historique de cet ouvrage (cinquième Epoque, § 34-), en disant que la théorie générale des transformations analogues à celles que présente la théorie des polaires réciproques, et d'où résulte le principe de dualité, dérivait d'un seul théorème de Géométrie. Nous donnerons, dans un autre écrit, la démonstration géométrique et directe de ce théorème, et nous ferons voir comment tout ce qui se rapporte à celte doctrine de transformation peut en dériver. De sorte que le calcul algéhrique, dont nous avons fait usage pour exposer cette théorie, ne sera nullement nécessaire ; et les ressources de la pure Géométrie lui suffiront, comme cela doit être, puisque cette théorie est elle-même une simple question de Géométrie.

104. Reprenons les trois équations (a), sur lesquelles est fondée la construction des figures corrélatives ; et supposons que la face abc du premier tétraèdre soit située à l'infini : les segments au, êb, yc seront infinis; et, dans l'équation

(xa ea ad' e'd' ad td a'a' t'a'

qui a donné lieu aux trois équations (a), le rapport £ deviendra égal à l'unité. Celte équation se réduira donc à

td àd' t'd' fxd a.'a' t'a' OU

OU

«'a' / t'a'\ ad \ td I

a a «a = — — X const.

ad

MÉMOIRE DE GÉOMÉTKIE. 651

Ainsi les trois équations (a) deviennent

ud = X. — ,

\yd = v.——^.

On pourra faire usage de ces formules pour certaines transformations de figures dont les propriétés seraient exprimées en fonction des projections de leurs points sur trois axes fixes.

lOo. Maintenant, supposons que le sommet d' du second tétraèdre, lequel peut être pris arbitrairement dans Tespace, soit situé à l'infini. L'équation

zd ad' z'd' a.d a!u' z'a

s'écrira

ad = a'a' . • — ;

et, parce que le rapport '^ est égal à Punilé, on aura

, , sd a» = a a'. -; — ; s'a'

^T est une constante; on a donc enfin

sa' '

(c) arf = A. a' a'.

Et, pareillement,

6rf = f* . 6'6',

^'"^ >rd = v.r'c'

Ainsi, ce sont là les trois équations qui serviront aux transformations," quand on voudra que le point qui correspond, dans la seconde figure, à l'infini de la première, soit lui-même à l'infini.

C'est ce qui a lieu, par exemple, dans la transformation parabolique, dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, ou bien par la considération d'ww système de forces.

106. Mais ces divers modes particuliers de transformation rentrent, comme on le voit, dans le principe général exprimé par les trois équations ci-dessus; et ce principe général conduirait, immédiatement, à toutes les propriétés nouvelles des courbes el des surfaces courbes, auxquelles nous sommes parvenu dans nos deux Mémoires sur la transformation parabolique *. Et cela justifle ce que nous disions, au commencement du premier de ces deux Mémoires : que ce n'était point un privilège exclusif pour la théorie des polaires réciproques, de pouvoir servir à la transformation des figures; qu'il existait d'autres moyens, qui même étaient d'une grande simplicité. Et si l'on observe que les formules (c) ne sont qu'un corollaire des formules (a), on verra que les théorèmes auxquels elles conduisent, tels que ceux que nous avons obtenus par la transformation parabolique, ne sont, ainsi que nous l'avions annoncé alors **, que des cas particuliers de théorèmes plus généraux, qui répondent aux formules (a).

107. Supposons que les bases abc, a'b'c' des deux tétraèdres soient, l'une et l'autre, à l'infini : les rapports ~ et ^, dans l'équation (A), seront égaux à l'unité; et il en résulte que les trois équations (a) deviendront

ad =

ad'

yd =

108. Si les deux sommets d, d' des tétraèdres sont, l'un et l'autre, à

* Correspondance mathématique et physique, lom. V et VI; années d829 et 1850. ** Ibid., tom. V, pag. 305.

rinfini, les formules deviendront

aa = ,

109. Nous pourrions encore supposer que les deux tétraèdres se confondissent, el ensuite que leur base commune ou leur sommet commun fussent à rinOni.

110. Les différents cas que nous venons d'examiner donneraient lieu à divers théorèmes, semblables au théorème général (99), mais qui n'en seraient que des corollaires; par celte raison, nous nous dispenserons de les énoncer.

Hl. Enfin, il nous reste un dernier cas à examiner, qui va nous conduire à un mode général de description, purement graphique, des figures corrélatives, et à un théorème de Géométrie, correspondant, dans l'espace, à une proposition sur l'hexagone inscrit à deux lignes droites, souvent répétée par Pappus, el regardée par R. Simson comme l'un des porismes d'Euclide.

Supposons que les quatre sommets a', //, c', c/' du second tétraèdre soient placés, respectivement, sur les quatre faces opposées aux sommets a, 6, 6', d du premier tétraèdre.

Soit e un cinquième point donné, dé la première figure. Prenons, pour le plan correspondant E, dans la seconde figure, le plan déterminé par les trois points e', 9', x', où les trois plans ebc, eca, eab rencontrent, respectivement, les trois arêtes d'à', d'b', d'c' du second tétraèdre. Soient s, 9), x les points où ces trois plans rencontrenl les trois arêtes da, db, de du premier tétraèdre.

Soient m un sixième point quelconque de la première figure, et M le plan correspondant de la seconde figure; soient a, j6, y les points où les trois plans mbcy mca, mab rencontrent, respectivement, les trois arêtes rfa, dby de;

654 * MÉiMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

et a', /3', y^ les points où le plan M rencontre les trois arêtes d'a\ d'b', d'c' du second tétraèdre. On aura l'équalion

«a ea a'd' t'd!

ad zd (t'a t'a'

Le premier membre de celte équation exprime le rapport anharmonique des quatre plans abc, dbc, ebc, abc qui passent par Taréte bc. Les trois premiers de ces plans rencontrent l'arête d'à', du second tétraèdre, aux points d', a', s'. Soit «" le point où le quatrième de ces plans rencontre cette arête; le rapport anharmonique des quatre plans s'exprimera^ d'une seconde manière, par le rapport anharmonique des quatre points (/', a', e', a.", lequel est

On a donc l'égalité

Comparant cette équation à la précédente, on en conclut que les deux points a! y a" se confondent; c'est-à-dire que le point a est à l'intersection de l'arête d'à' par le plan mbc. D'où l'on conclut que le plan M, correspondant au point m, passe par les trois points où les plans mbc, mca, mab rencontrent, respectivement, les trois arêtes d'à' , d'b' , d'c' .

On a donc ce théorème :

Etant donnés, dans l'espace, un triangle et un angle trièdre dont le sommet est situé sur le plan de ce triangle, et do)it les arêtes correspondent, une à une, aux côtés du triangle; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène trois plans passant, respectivement, par les trois côtés du triangle et rencontrant, respectivement, les trois arêtes opposés de l'angle trièdre, en trois points; le plan déterminé par ces trois points enveloppera une figure corrélative de la proposée.