Et, par conséquent

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Ce plan passera toujours par un même point, quand le point de la première figure parcourra un plan.

C/esl en cela que consiste le théorème de Géométrie à trois dimensions qui correspond à celui de Géométrie plane, connu sous le nom de porisme d'Euclide, et qu'on énonce ainsi :

Étant donnés, dans un plan, deux points fixes et un angle dont le sommet est placé sur la droite qui joint ces deux points; si, de chaque point d'une droite donnée, on mène deux droites à ces deux jmnts fixes, elles rencontreront, respectivement, les deux côtés de l'angle en deux points qui détermineront une droite qui tournera autour d'un point fixe *.

* M. Poncelet a aussi remarqué que ce porisme d'Euclide offrait un moyen de transformer les ligures sur le plan. {Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques. (Voir Journal de M. Crelle, t. VIII, p. 408; année 1832.)

Pour conserver à cette proposition le nom de porisme, il faut l'énoncer sous la forme d'un théorème local, ainsi que nous venons de le faire, d'après R. Simson, dans son traité De Porismatibus (pioposilion 54). Mais ce théorème est susceptible d'un autre énoncé, plus simple et plus expressif, dont s'est servi Pappus, en le considérant comme une propriété de l'hexagone inscrit à deux droites. Cette propriété consiste en ce que les trois points de concours des côtés opposés de cet hexagone sont en ligne droite. On peut se demander quel sera, dans la Géométrie à trois dimensions, l'énoncé correspondant à celui-là. Pour répondre à cette question, nous présenterons sous une autre forme le théorème de Pappus; nous dirons que :

Étant donnés trois points quelconques sur une droite et trois autres points quelconques sur une seconde droite; si l'on regarde ceux-ci comme les sommets de trois triangles ayant respectivement pour bases les trois segments formés par les trois premiers points, pris deux à deux; il passera, par les extrémités de chaque segment, outre les deux côtés du triangle qui a pour base ce segment, deux autres côtés appartenant aux deux autres triangles ; ces deux côtés se couperont en un point, et l'on aura de la sorte trois points ;

Ces trois points seront en ligne droite.

Le théorème corrcsjondant, dans l'espace, sera le suivant :

Étant pris arbitrairement dans un premier plan quatre points, et dans un autre plan quatre autres points; si ceux-ci sont regardés comme les sommets de quatre tétraèdres ayant pour bases, respectivement, les quatre triangles formés par les quatre premiers points, pris trois à trois; par les côtés de chacun de ces triangles il passera, outre les trois faces du tétraèdre qui a pour base ce triangle, trois autres plans appartenant, respectivement, aux trois autres tétraèdres; ces trois plans se couperont en un point; et l'on aura ainsi quatre poiîits dans l'espace;

Ces quatre points seront dans un même plan.

113. Si, dans le théorème ci- dessus, on place les sommets du triangle abc de manière qu'ils soient respectivement dans les plans des faces correspondantes de l'angle trièdre, alors on démontre que le plan des trois points a', /3', / passe par le point m, c'est-à-dire que le plan correspondant à chaque point m de la figure proposée passera par ce point.

Ainsi les deux figures corrélatives seront les mêmes que celles que nous avons formées par voie de mouvement infiniment petit.

De là pourraient découler plusieurs conséquences que nous sommes obligé d'omettre, parce qu'elles s'écarteraient de l'objet de cet écrit.

§ XXI. Différentes méthodes particulières pour former des figures