Nous pouvons donc dire que
« Qu.Tnd on a un système de plans dans l'espace, et leur centre des » moyennes distances, le principe d'homographie donne un sysième de » points, et leur centre des moyennes harmoniques, par rapport au plan » qui correspond à Finfini de la première figure. »
209. Si, par des points pris dans l'espace, et par leur centre des moyennes dislances, on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les percera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant la figure homographique, on conclut de là, d'après ce qui précède, cette autre proposition :
Ëtant donnés un plan et un système de points dans l'espace; si, par une droite prise arbitrairement dans ce plan, on mène des plans passant par tous CCS points, et qu'on prenne le centre des moyennes harmoniques des points oii une transversale quelconque rencontrera ces plans, par rapport au point où cette transversale rencontrera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite, tournera autour d'un point fixe, quand on fera mouvoir cette droite dans le plan donné.
Ce point fixe esl le centre des moyennes harmoniques du sysième de points, par rapport au plan donné.
210. Ces divers théorèmes sont dus à M. Poncelet, qui les a démontrés, par une voie directe, dans son Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Ils expriment, en quelque sorte, les propriétés descriptives du centre des moyennes harmoniques d'un sysième de points, puisqu'ils apprennent à déterminer ce point par des intersections de lignes droites, cl sans
calcul.
Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter quelques autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, qui sont d'un autre genre, et qui nous paraissent être les plus importantes de celte théorie, parce que les premières s'en déduisent aisément.
§ VIII. Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de points.
211. Soit un système de points dans l'espace, et leur centre des moyennes distances : ce point jouit de la propriété que sa distance à un plan transversal quelconque, multipliée par le nombre des points, est égale à la somme des distances de tous les points à ce plan.
Faisant la déformation homographique, on aura un système de points et leur centre des moyennes harmoniques, par rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure (208). Appliquant à la propriété du centre des moyennes distances, que nous venons d'énoncer, le principe des relations métriques, du numéro (l'^ô), on obtient ce théorème :
Le centre des moyennes harmoniques d\in système de points, pris par rapport à un pian donné, jouit de la propriété que la somme des distances de tous ces points à un plan transversal mené arbitrairement, divisées respectivement par les distances des mêmes points au plan donné, est égale à la distance du centime des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée par sa distance au plan donné, et multipliée par le nombre des points.
Ainsi, soient I le plan donné, et n le plan transversal mené arbitrairement.
Représentons par ai, bi gi les perpendiculaires abaissées, des points
a, b, ...., et de leur centre des moyennes harmoniques g, sur le plan I ; et par ffTT, ^TT, .... gr. les perpendiculaires abaissées, des mêmes points, sur le plan ;:. On aura
OTT ht: gr
— -H —+... = «.— , ai 01 ig
quel que soit le plan transversal t:.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTHIE. 719
212. Ce théorème peut servir à définir le cenire des moyennes harmoniques d'un système de points, par rapport à un point donné. On peut même kii donner un énoncé plus caraclérislic|ue ; car si l'on suppose que les poinis soient matériels et aient, respectivement, leurs masses proportionnelles aux valeurs inverses des dislances des poinis au plan donné, on voit que le centre de gravité de ces poinis sera le cenire des moyennes harmoniques des points du système. De sorte qu'on peut dire que :
Le centre des moyennes harmoniques cVun système de points, relatif à un plan donné, est le centre de gravité de ces points, supposés matériels, et ayant leurs ^nasses en raison inverse des distances de ces points au plan donné.
Cette définition du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, relatif à un plan, comprend les propriétés de ce point, que nous avons démontrées dans le paragraphe précédent; c'esl-à-dire (pie, de cette définition, on déduit aisément ces propriétés. De celle manière, la théorie du centre des moyennes harmoniques, hien que plus générale que celle du centre des moyennes distances, devient une simple application de celle-ci.
213. On peut encore supposer que les poinis du système soient sollicités par des forces parallèles entre elles, et égales aux valeurs inverses des dislances de ces poinis au plan donné; alors on dira que: le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport à ce plan, est le centre de ces forces parallèles, c'esl-à-dire le point par où passera leur résultante, quelle que soit leur direction commune.
C'est sous ce point de vue que M. Cauchy a considéré le cenire des moyennes harmoniques d'un système de points*, et qu'il est parvenu, par des considérations de Statique, à en conclure les autres propriétés de ce point. Ce célèbre Analyste a tiré de là aussi un moyen facile d'exprimer, par trois équations, dans le système de coordonnées ordinaire, la position du cenire
• Voir, dans le lomc XVI des Annales de Mat.hémafiques,\c rapport de MM. Lcgendrc, Ampère Cl Caucljy sur le Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques, de M. Poncelel.
des moyennes harmoniques, soil d'un syslème de points, soit d'un corps solide, de forme donnée.
214. Si, dans le théorème général (214), on suppose le plan transversal 7r à rinfini, les rapports ^, -^, .... seront égaux à Tunilé, et Téquation deviendra
01 bi gi
Celle-ci prouve que :
La somme des valeurs inverses des distances de plusieurs points, à un plan, est égale à la valeur inverse de la distance, à ce plan, du centre des moyennes har7noniques de ces points j par rapport au plan, multipliée par le nombre des points.
215. Si Ton suppose, dans le théorème général (211), le plan transversal parallèle au plan fixe, on conclut cette autre propriété du centre des moyennes harmoniques :
Quand on a un système de points et leur centime des moyennes harmoniques par rapport à un plan; si, d'un point quelconque de l'espace, on mène des rayons à tous ces points, et quon prenne le i^apport de chaque rayon au segment compris entre le point auquel ce rayon est mené et le point oii il perce le plan; le rapport relatif au centre des moyennes harmoniques, multiplié par le nombre des points, sera égal à la somme de tous les autres rapports.
§ IX. Propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système
DE points qui se MEUVENT DANS l'eSPACE.
216. Soient des points A, B, C,...., auxquels on imprime des mouvements quelconques, mais uniformes et rectilignes : on sait que leur centre des moyennes distances parcourt une droite.
Soient a, 6, y, .... les positions de ces points après un temps 6; et «, b, c, leurs positions après un autre temps /. On aura, puisque les mouve-
menls sont uniformes :
Aa 0 B6 9
Faisons la figure homographique : nous aurons un système de points A',
B', C, qui parcourront des droites, de manière qu'au bout du temps 5 ils
seront en a', ê', /, et qu'au bout du temps t ils seront en a', b' , c',
On aura, en désignant par i,j, A-, les points où ces droites percent un
plan fixe P^ correspondant à Tinfini de la première figure :
A'a' l'a' \a. 0 A'o' ia' Aa ( '
B'6' îê' B6 0
ou
ia! ia' t
/6' ib' t
Le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan P, parcourra une droite, correspondant à la droite décrite par le centre des moyennes distances des points A, B, C
Les distances des points «' et a', au point /, sont entre elles comme les distances de ces points au plan P : on peut donc les remplacer par ces dernières, dans la première des équations précédentes; il en est de même des distances des points /3' et b' au point/; et ainsi des autres. On a donc ce théorème :
Si des points situés dans Vespace prennent des mouvements rectilignes, de manière que les espaces qu'ils parcourent, divisés respectivement par les distances des points, dans leurs nouvelles positions^ à un plan fixe, soient
proportionnels aux temps ; le centre des moyennes harmoniques de ces points, pris par rapport à ce plan, parcourra une ligne droite.
217. Supposons, dans les équations ci-dessus, que les points A', B', C... soient à l'infini : il viendra
ix ta' t
die
i^'' ib'~ t '
ce qui prouve que :
Si des points, situés dans l'espace, prennent tous des mouvements rectilignes, de manière que les valeurs inverses de leurs distances à un plan fixe soient toujours proportionnelles aux temps; le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan, décrira une ligne droite,
§ X. Propriétés nouvelles des surfaces géométriques.
2i8. Nous avons démontré, dans nos applications du principe de dualité, que : Si, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangents à une surface géométrique ; leurs points de contact avec la surface ont pour centre des moyennes harmoniques, par rapport au plan, un môme point de l'espace, quelle que soit cette droite. Celle proposition donne lieu, d'après les théorèmes du paragraphe VIII, à celle aulre propriété générale des surfaces géométriques :
Si par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangents à une surface géométrique ; la somme des distances de leurs points de contact avec la surface, à un plan transversal quelconque, divisées respectivement par les distances de ces points au plan fixe, sera une quantité constante, quelle que soit la droite prise dans le plan fixe.
219. Si le plan transversal est à l'infini, le théorème devient le suivant :
MÉMOIKK DE GÉOMÉTRIE. 723
Si par une droite, prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangents à une sur/ace géométrique ; la somme des valeurs inverses des distances de leurs points de contact avec la surface^ au plan fixe, sera constante, quelle que soit la droite prise dans ce plan.
220. Si c'est le plan fixe qui est à l'infini, le centre des moyennes harmoniques des points de eonlacl devient leur centre des moyennes distances, et le théorème (218) exprime une propriété générale des surfaces géomé- Iriques, déjà démontrée. (!''« partie, n" 08.)
221. Ces théorèmes ont également lieu pour une courhe géométrique plane, ou à double courbure.
222. Ils s'appliquent aussi aux surfaces coniques. Voici ce qu'ils deviennent dans ce cas.
Que, dans le théorème général (218), on suppose que la droite prise dans le plan fixe, tourne autour d'un point de ce plan : les plans tangents à la surface, menés par cette droite, seront tangents au cône ayant ce point pour sommet et qui est circonscrit à la surface. Si l'on suppose que le plan transversal passe par ce point, le rapport des perpendiculaires abaissées du point de contact d'un des plans tangents à la surface, sur le plan transversal et sur le plan fixe, sera égal au rapport des sinus des angles que l'arête du cône, passant par ce point, fait avec ces deux plans. On a donc cette propriété générale des cônes géométriques :
Étant menés deux plans fixes par le sommet d'un cône géométrique ; si, par une droite prise dans le premier plan et passant par le sommet du cône, on mène à cette surface tous ses plans tangents; la somme des sinus des angles que les arêtes de contact feront avec le second plan, divisés respectivement par les sinus des angles que ces arêtes font avec le premier plan, sera constante, quelle que soit, dans le premier plan, la droite par laquelle on a mené les plans tangents.
223. Par la considération du cône supplémentaire, formé par les perpendiculaires aux plans tangents du premier cône, on conclut, de ce théorème, celle autre propriété des surfaces coniques :
Étant menées deux droites fixes par le sommet d'un cône géométrique; si,
autour de la première, on fait tourner un plan transversal, et que l'on conçoive les plans tangents au cône suivant les arêtes comprises dans ce plan, dans chacune de ses positions ; la somme des sinus des angles que ces plans feront avec la seconde droite, divisés 7'espectivement par les simis des angles qu'ils feront avec la première, sera constante pour toutes les positions du plan transversal,
224. En appliquant aux surfaces du second degré, et particulièrement aux surfaces coniques, les théorèmes généraux de ce paragraphe, on ohtient diverses propriétés nouvelles de ces surfaces.
Si Ton prend une surface de révolution ayant un foyer, et si Ton observe que la distance de chaque point de la surface, au plan directeur, est proportionnelle à la distance de ce point au foyer, le théorème (218) exprimera la propriété générale des surfaces de révolution, démontrée dans nos applications du principe de dualité (§ XXIII, n° 133). Ainsi l'on voit que cette propriété, qui paraissait d'un genre tout particulier aux surfaces du second degré, de révolution, dérive d'une propriélé très générale des surfaces géométriques, comme nous l'avons dit alors.
22o. Les deux théorèmes (222 et 223) donneront diverses propriétés des cônes du second degré, lesquelles seront applicables immédiatement aux coniques sphériques ; et plusieurs correspondront à des propriétés, connues, des coniques planes.
Et si le cône est supposé de révolution, on aura diverses propositions concernant un petit cercle tracé sur la sphère. Nous énoncerons les quatre suivantes, qui sont assez simples, et qui nous paraissent nouvelles :
Un petit cercle étant tracé sur la sphère :
i" La somme des sinus des arcs menés par les extrémités d'un diamètre quelconque du petit cercle, perpendiculairement sur un grand cercle fixe, est constante ;
2" La somme des sinus des distances d'un point fixe de la sphère, aux arcs de grands cercles tangents aux extrémités d'un diamètre du petit cercle, est constante;
3° Si, par un point quelconque, pris sur un grand cercle fixe, on mène
deux arcs tangents au petit cercle; la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances des points de contact, au grand cercle fixe, est constante;
Ce sera la somme, si le grand cercle fixe ne renconire pas le pelil cercle proposé; la différence, s'il le renconire.
4° Si, autour d'un point fixe, on fait tourner un arc transversal qui rencontre le petit cercle en deux points, et qu'on mène les arcs tangents en ces points ; la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances de ces arcs tangents, au point fixe, est constante.
Ce sera la somme, si le point fixe est pris à Pinlérieur du pelil cercle; la différence, s'il est pris au dehors.
§ XI. Généralisation du théorème de Newton, sur le rapport constant du
PRODUIT des abscisses AU PRODUIT DES APPLIQUÉES, DANS UNE COURBE GÉO- MÉTRIQUE.
226. Le théorème de Newton, appliqué aux surfaces, consiste en ce que : Dans toute surface géométrique, de quelque point de l'espace qu'on mène deux transversales, parallèles à deux axes fixes, le rapport des produits des segments faits sur ces deux transversales, entre ce point et la surface, sera constant.
Ainsi soit M ce point, et soient A, A^, A'^, .... et B, B', B", .... les points où les deux transversales rencontrent la surface; on aura
= const.,
MB. MB. MB"...
quel que soit le point M.
C'est celle propriété des surfaces géométriques que nous allons généraliser, en supposant que les deux transversales, au lieu d'être respectivement parallèles à deux droiles fixes, concourent en deux points fixes.
Pour cela, concevons un plan fixe quelconque P, et soient E, F les
ME
points où les transversales MA, MB, le rencontrent. Le rapport ^ sera constant, quel que soit le point M. On pourra donc écrire ainsi l'équation cidessus :
