MA MA' MA
me' MË "m"
MB MB' MB"
MF * mF " ¥f"
= const.
Faisons la transformation homographique. Nous aurons une surface géométrique, un plan fixe, puis deux transversales, issues d'un point quelconque de l'espace, et passant par deux points fixes, i, j. Ces transversales rencontreront la surface en des points «, a', a", ..., b, b', b", ... et le plan fixe en e et f; cl l'on aura
ma ma ta M E me ie ' MB mb jb m^mf'Jf'
L'équation (1 ) devient donc
ma ma ma" ImeY
ia ia' ia" \ie I
mb mb' mb" fmf'Y jb jb' jb" '\jf
= const.;
Il étant le nombre des points où chacune des transversales rencontre la surface. On tire de là
ma.ma'.ma" ... ia.ia .ia" . . [meY fmf\" (2) . . . — — -- — 777- = .. •., ..n = — • hr X const. = const. mb.mb.mb ... jb.jb.jb ... \ie j \ji /
Ce qui exprime cette propriété générale des surfaces géométriques :
Quand on a une surface géométrique et deux points fixes i, j ; de quelque point m de l'espace qu'où mène deux transversales, passant respectivementm
par CCS deux points fixes; le rapport des produits des segments compris entre le point m et la surface, sur ces deux droites, sera au rapport des produits compris sur ces mêmes droites entre les deux points i, j, et la surface, dans une raison constante.
227. Supposons le point m situé à rinfini sur la droite ij. Soient c, c'j c", .... les points où celte droite rencontre la surface : les rapports ^^, ^,, .... seront égaux a I unité; et lequation deviendra
}C je .je ...
= consl.
tc.ic .ÎC ..
On a donc
ou
ma.ma' .ma" ... ia.ia' .ia" ... jc.jc .je" ... mb .ml)' .mh" ... jb .jb' .jb" ... ic.ic' .ic" ...*
ma.ma'.ma" ... jb .jb' .ib" ... ic .ic' .ic" ...
ia. ia' . ia" ... mh .mb' .mb" ... jc.jc' Je" ...
Cette équation exprime le beau théorème de Carnot sur les surfaces géométriques (Voir Géométrie de position^ pag. 291.)
On savait que ce théorème donne, comme cas particulier, celui de Newton, mais on n'avait pas cherché à remonter, de ce cas particulier, au théorème général de Carnot. Le principe d'homographie, en présentant sous un nouveau point de vue les relations qui ont lieu entre les deux théorèmes, sert à passer aussi facilement du cas particulier au théorème général, que du théorème général au cas particulier.
228. Ce théorème conduit naturellement à une solution graphique du problème des tangentes et de celui des rayons de courbure des courbes géométriques. Nous donnerons cette solution, qui est étrangère à notre objet actuel, dans une Note à la suite de cet écrit.
229. Le théorème de Newton ne pouvait s'appliquer aux courbes tracées sur la sphère : le théorème général s'applique à ces figures. Pour le faire voir, il suffît de substituer dans l'équation (2), aux segments ma, ia,..., les sinus
728 MKMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
des arcs correspondanis, sur la sphère. Nous n'avons pas besoin d'énoncer le ihéorème de Géométrie sphérique qui en résulte.
§ XII. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques, rapportées
A TROIS axes coordonnés. ThÉORÉMES TRÈS GÉNÉRAUX.
230. Soient trois axes coordonnés Ox, 0//, 0^; que, par un point de l'espace, on mène trois plans parallèles respectivement aux plans yz^ zx, xy : soient a, h, c les points où ils rencontreront les trois axes Qx, Oy, Oz.
Si l'on a, entre les trois segments Oa, Ob, Oc, une relation constante, F(Oa, 0^, Oc) = 0, du degré w; le point m sera, dans toutes ses positions, sur une surface de l'ordre n;
Réciproquement, si le point m appartient à une surface de l'ordre n, il y aura, entre les trois segments Oa, Ob, Oc, une relation constante
(i) F (Oa, 06, Oc) = 0,
du degré n.
C'est cette propriété, des surfaces géométriques, que nous allons généraliser.
Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes O'x' , O'y', O'z', et un plan, correspondant à l'infini de la première figure, qui coupera ces trois axes en trois points A', B', C'; de sorte que ces trois points correspondront à ceux qui sont situés, à l'infini, sur les droites Ox, Oy,Oz.
Au point m correspondra un point m'; et aux trois plans menés par le premier, parallèlement aux plans yOz, zOx, xOy, correspondront trois plans menés par le second, et passant respectivement par les droites WC, C'A', A'B'. Soient a', b', c' les points où ces plans rencontrent les trois axes O'x', O'y', O'z', respectivement. Soient enfin trois points d, c, f, pris arbi-
^lÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 729
irairemenl sur les axes Ox, Oy, Oz, et cl', e', f, les points correspondants, sur les axes O'x', O'y', O'z'. On aura
Oo OV A'a'
06 07/ B'b' Ôë~ÔV ' BV'
Oc __ O'c' ^ Ce'
et l'équation (i) deviendra
Les facteurs Od, Oe, 0/", sont des constantes, que nous pouvons comprendre dans les coefficients de l'équation, laquelle sera simplement
O'a' O'rf' 0'6' O'e' OV O'f ÂV'Â^' B^BV' C^'*'C7'
Remplaçons les lettres accentuées par les mêmes lettres sans accent; Téquation deviendra
[Oa OD 06 OE Oc 0F\
^ \Aa AD B6 BE' Ce CF/
Celte équation signifie que :
Si l'on a un tétraèdre OABC, et trois points fixes D, E, F, pris sur ses trois m'êtes au sommet, OA, OB, OC, et que, par les trois arêtes à la base, BC, CA, AB, on mène tivis plans, qui rencontrent respectivement ces trois premières arêtes en trois points a, b, c, de manière que les trois rapports
Oa OD 06 OE Oc OF Ââ'ÂD' B6' BË' Ce' CF
aient entre eux une relation constante, du degré n ; le point d'intersection de ces trois plans sera sur une surface de l'ordre n ;
El réciproquement.
231. Ce ihéorème, déjà 1res général par lui-même, esl susccplible d'un grand nombre de corollaires; mais on peut encore le généraliser, et lui donner une expression qui le rende propre à un plus grand nombre encore de conséquences.
Pour cela, observons que les trois rapports qui y entrent sont des rapports anharmoniques de quatre points, situés respectivement sur les trois arêtes au sommet du tétraèdre. A ces trois arêtes, on peut donc substituer trois autres droites, prises arbitrairement dans l'espace. Soient donc A', D', a'j \" les points où les plans ABC, DBC, aBC, OBC, qui passent par Tarêle BC et par les points A, D, a, 0, respectivement, rencontrent une transversale fixe quelconque. On aura
Oa DO A'V D'A"
Aa DA A'o' D'A'
Soient pareillement B', E', b', B" les points où les plans BAC, EAC, b\C OAC rencontrent une seconde transversale fixe; et C, F', c', C", les points où les plans CAB, FAB, cAB, OAB rencontrent une troisième transversale fixe. On aura les deux égalités de rapports anharmoniques :
Ob E0 B'7>' E'B" B6 ÊB^IbV'TÏÏ''
Oc FO C"c' F'C"
Ce ■fc~'cv* FtT''
L'équation (3) devient donc
,A"a' D'A" B"6' E'IV C'V F'C", ^
\ I • • ' ■ \ Aa' D'A'' Mb' E'B' Ce' F'C'/
Quand cette équation sera du degré n, par rapport aux trois rapports
qui y entrent, le point d'intersection des trois plans a'BC, b'CA, c'AB, sera sur une surface de l'ordre n ;
Et réciproquement.
Ce théorème est d'une exiréme fécondilé, à cause de Pindélerminalion de position des trois transversales et du triangle ABC.
Nous allons examiner les principaux corollaires qu'on en déduit.
232. D'abord on remarque, sur-le-champ, que les trois rapports
D'A' Eli'' b'C
élant des constantes, nous aurions pu les comprendre dans les coefficients de l'équation : nous ne l'avons pas fait immédiatement, parce que, comme nous le verrons, la présence de ces rapports peut être utile pour donner plus de généralité à l'équation et la rendre susceptible d'un plus grand nombre de conséquences, en permettant de supposer les points A', B', C, A", B", C" à l'infini.
Maintenant, comprenons les trois rapports
dans les coefficients de l'équation, ou bien supposons que les points fixes D, E, F soient à l'infini, ce qui nous conduira au même résultat : l'équation se réduit à
\ A'o'' B'6' ' Ce'}
Celle-ci prouve que :
Étant donnés, dans l'espace, un triangle ABC et trois droites fixes quelconques, qui rencontrent le plan du triangle en trois points A', B', C, et sur lesquelles sont pris trois points fixes A", B", C";
Si, par les trois côtés BC, CA, AB, du triangle, on mène trois plans, ren-
contrant respectivement les trois droites en trois points a', b', c', tels qu'il y ait, entre les rapports
