AV' B'6'' CV

une relation constante, du degré n ; le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n. El réciproquement.

233. Supposons que, clans l'équation (4), les points A', R', C soient à l'infini; et comprenons les segmenis A"D', R"E', C"F', qui sont des constantes, dans les coefficients de l'équation ; elle deviendra

Conséquemment :

Étant donnés un triangle ARC et trois droites quelconques, parallèles au plan de ce triangle; et étant pris, sur ces droites, trois points fixes A', B', C ;

5/, par les trois côtés du triangle j on mène trois plans qui rencontrent respectivement les droites en trois points a', b', c', de manière que les segments A'a', R'b', Ce' aient entre eux une relation constante, du degré n; le lieu géométrique du point de rencontre des trois plans sera une surface de r ordre n.

Et réciproquement.

234. Maintenant, supposons que, dans l'équation (4-), les points A", B", C soient à l'infini; et comprenons les constantes A'D', B'E', C'F' dans les coefficients de l'équation ; elle deviendra

fi i i \

U'a' B'6' Ce')

Celle-ci prouve que :

Étant donnés un triangle ARC, et trois droites quelconques, menées par trois points A', R', C, pris dans le plan du triangle;

Si, par les côtés de ce triangle, on mène trois plans qui rencontrent, res".

pectivement, ces trois droites en des points a', h' , c', tels que l'on ait, entre les valeurs inverses des segments A'a', B'b', Ce', une relation du degré n; le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et récipr'oquement.

235. Supposons que le triangle ABC «oit à l'infini ; les trois transversales conservant des directions arbitraires dans l'espace, les points A', B', Ç' seront à l'infini; et l'équation (4), si nous comprenons les constantes A''D', B"E', C"F', dans les coefficients, se réduira à

Ce qui prouve que :

Étant données trois transversales dans l'espace, sur lesquelles sont pris trois points fixes A", B", C" ; si, par chaque point d'une surface de Vordre n, on mène trois plans, respectivement parallèles à trois plans fixes, et rencontrant respectivement les trois transversales en trois points a', b', c', il y aura toujours, entre les trois segments A"a', B"b', C"c', une relation du degré n.

236. Tels sont les quatre théorèmes principaux qui se déduisent de l'équation (4). Mais chacun d'eux est encore susceptible de plusieurs corollaires, à cause de l'indétermination de position des trois droites fixes.

Le dernier donne immédiatement le principe sur lequel repose le système de coordonnées en usage, si l'on suppose que les trois transversales passent par un même point, que ce point soit l'origine des segments comptés sur elles, et que les trois plans menés par chaque point de l'espace soient parallèles, respectivement, aux plans formés par ces droites deux à deux.

'237. On peut supposer, dans les quatre théorèmes, que les trois transversales se confondent, de sorte que les trois segments qui servent à déterminer la position d'un point dans l'espace, seront comptés sur une même droite, à partir de trois origines différentes, qui pourront même se réunir en une seule.

Dans celte hypothèse, le théorème (233) prend cet énoncé :

Êta?it donnés, dans l'espace, un triangle ABC et une droite parallèle à son plan, sur laquelle est pris un point fixe;

Si, par les trois côtés du triangle, on mène trois plans qui fassent sur la droite, à partir du point fixe, trois segments entre lesquels il y ait une relation du degré n, le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n;

Et réciproquement.

23^. On peut changer l'énoncé de ce théorème, en prenant sur la droite donnée deux points fixes au lieu d'un seul ; alors le théorème s'exprime ainsi :

Étant donnés, dans l'espace, un triangle et une droite parallèle à son plan, sur laquelle sont pris deux points fixes 0, 0''; si, par les côtés du triangle, on mène trois plans, de manière que les six segments qu'ils feront sur la droite 00' aient entre eux une relation constante, du degré n, le point d'intersection des trois plans engendrera une surface de Vordre n. ■

En effet, soient a, h, c les points où les trois plans rencontrent la droite 00'; si l'on remplace, dans la relation donnée entre les segments Oa, O'a, 06, 0'6, Oc, O'e, les segments O'a, O'b, O'c par leurs valeurs (00' — Oa), (00' — 06), (00' — Oc), on aura une relation entre les trois autres segments Oa, 06, Oc; et cette relation sera encore du degré n. Donc, par le théorème précédent, le point d'intersection des trois plans sera une surface de l'ordre n.

239. On a pareillement, dans la Géométrie plane, le théorème suivant :

5/, autour de deux points fixes A, B, on fait tourner deux droites, de manière que les quatre segments quelles feront sur une droite fixe 00', parallèle à AB, aient entre eux une relation constante, du degré n, le point d'intersection de ces deux droites engendrera une courbe de l'ordre n.