Réciproquement

Si le sommet d'un angle, dont les deux côtés tournent autour de deux points fixes, comme pôles, parcourt une ligne droite, les segments que ses deux côtés feront sur une droite fixe, de longueur donnée, parallèle à celle qui joint les deux points fixes, auront entre eux une relation du premier degré;

Et si le sommet de l'angle parcourt une conique, les quatre segments auront entre eux une relation constante, du second degré.

242. Ce dernier théorème exprime une propriété générale des coniques, qui est la clef d'un grand nombre de propositions concernant le cercle, démontrées par Stewart dans son ouvrage intitulé : Proposiliones geometricœ more velerum demonslratœ. Quelques théorèmes du même Géomètre, donnés comme porismes par R. Simson^ dans son Traité des Porismes, sont aussi des conséquences du théorème précédent.

Si, au lieu de prendre la transversale parallèle à la droite qui joint les deux points fixes, on lui suppose une direction arbitraire, on conclura, du théorème (232), la propriété des coniques énoncée dans le paragraphe 34de notre quatrième Époque, et de laquelle peuvent dériver aussi plusieurs des propositions de Stewart, relatives au cercle.

243. Reprenons le cas général des figures dans l'espace, et supposons que, dans le théorème (234.), les trois transversales passent par un même point du plan ARC; nous aurons le théorème suivant :

Étant donnés un triangle et un angle tiièdre ayant son sommet situé dans son plan, et dont les trois arêtes correspondent respectivement à ses trois côtés ;

Si, par ces trois côtés, on mène trois plans qui fassent respectivement, sur les trois arêtes correspondantes de l'angle trièdre, à partir de son sommet,

trois segments qui soient tels qu'il y ait, entre leurs valeurs inverses^ une relation du degré n, le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement,

244. Nous avons démontré, dans la première partie de cet écrit (§ XV, n° 77), que dans ce cas, où les segments ont entre leurs valeurs inverses une relation du degré w, le plan déterminé par leurs extrémités enveloppe une surface à laquelle on peut mener, par une même droite, n plans tangents. Supposant que la surface soit plane, on conclut de là et du théorème précédent, que :

Etant donnés, dans l'espace, un triangle et un angle trièdre ayant son sommet situé dans le plan du triangle; si, par chaque point d'un plan transversal quelconque, on mène trois plans passant par les trois côtés du triangle, ils rencont7'eront respectivement les trois arêtes de l'angle trièdre en trois points ; et le plan déterminé par ces trois points passera par un point fixe.

C'est le théorème que nous avions présenté comme la généralisation d'un porisme d'Euclide, pouvant servir à la construction de figures corrélatives dans l'espace (cinquième Époque, § 32), et dont nous avons déjà donné une démonstration (l'^'^ partie, § XX, n° 112].

245. Enfin, supposons, dans le théorème (234), que les trois transversales soient perpendiculaires au plan du triangle ABC : les segments k'a', B'b'f Ce' seront proportionnels aux tangentes des inclinaisons des trois plans a'BC, 6'CA, c'AB, sur le plan ABC; et les valeurs inverses de ces segments seront proportionnelles aux cotangentes de ces inclinaisons; le théorème peut donc prendre cet énoncé :

Si, par les trois côtés d'un triangle, on mène trois plans, de manière que les cotangentes de leurs inclinaisons sur le plan du triangle aient entre elles une relation constante, du degré n, le point d'intersection de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

246. Dans l'équation (4), au rapport anharmonique des quatre points A',

D'y a'j A", exprimé par