AV D'A

on peut substituer le rapport anharmonique des quatre plans menés par le côté BC du triangle ABC et par les quatre points A', D', a', A", respeclivemenl. Aux deux autres rapports anharmoniques, entrant dans l'équation, on substituera pareillement les rapports anharmoniques de quatre plans : ces rapports s'expriment entre les sinus des angles que les plans font entre eux. xMaintenanl, si Ton considère que les sinus relatifs aux plans qui passent par les points D', E', F', sont constants, et qu'on peut les comprendre dans les coefTicients de l'équation, on aura une équation entre les sinus des inclinaisons des trois plans a'BC, 6'CA, c'AB, sur le plan ABC et sur les trois plans fixes A"BC, B"CA, C'AB; ceux-ci forment, avec le plan ABC, un tétraèdre fixe; on a donc ce théorème :

Étant donné un tétraèdre ; si, par les trois arêtes à la base, on mène trois plans, de manière que les rapports des sinus de leurs inclinaisons sur la base, aux sinus de leurs inclinaisons sur les faces respectivement adjacentes aux trois arêtes, aient entre eux une relation du degré n, le lieu géométrique du point d'intersection des trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

247. Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par une arête d'un tétraèdre, sur les deux faces adjacentes, est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, d'un point de ce plan, sur ces deux faces ; le théorème donne donc le suivant :

Étant donné un tétraèdre; si l'on prend, dans l'espace, un point qui soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre, étant divisées par sa distance à la quatrième face, les trois quotients aient entre eux une relation constante, du degré n, ce point aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

248. Ainsi soient r, r', r", r'", les distances d'un point de l'espace aux quatre faces du tétraèdre : on aura, entre les trois rapports

une relation du degré n :

Multipliant tous les termes par r"'% on aura une équation homogène du degré w, entre les distances r, r', r"^ r'".

Donc :

Quand un point est pris de manière que ses distances à quatre plans fixes aient entre elles une relation constante, du degré n, ce point a pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.

Et réciproquement j étant donnés une surface géométrique de l'ordre n et quatre plans fixes, les distances de chaque point de la surface, à ces quatre plans, oMront toujours efitre elles une cei'taine relation homogène, du degré n.

249. Ainsi, par exemple, étant donnés quatre plans dans l'espace ; si, de chaque point d'un cinquième plan, on abaisse, sur ces premiers plans, des perpendiculaires r, r', r", r'", on pourra trouver trois quantités a, S, y, telles que l'on aura, entre ces quatre perpendiculaires, la relation constante

r •+• œr' -4- 6r" -t- yr'" == 0.

Les trois quantités «, S, y, ne dépendront que de la position du cinquième plan par rapport aux quatre premiers, et varieront avec la position de ce plan.

Pareillement, si, de chaque point d'une surface du second ordre, on abaisse des perpendiculaires r, r', r", r'" sur quatre plans fixes, on pourra trouver neuf quantités constantes, a, b, c, d, e, f, g, h, i, telles qu'on aura, entre

ces perpendiculaires, la relation constante,

r* -+- ar'^ ■+■ br"^ -+- cr'"^ -+- drr' -+■ err" -t- frr'" ■* gr'r" -+■ hr'r'" -4- ir' r'" = 0.

Ces théorèmes sont des poiismes. Ils sont propres à montrer la nature de ce genre de propositions, et font voir comment nous avons pu dire, dans notre Noie III sur les Porismes d'Euclide, que la Géométrie de Descartes avait remplacé cette doctrine.

250. Les théorèmes démontrés dans ce paragraphe sont de ceux qui n'offrent pas de difficultés à la Géométrie analytique; mais par cette voie il faut une démonstration particulière pour chacun d'eux, et l'on ne découvre pas les rapports intimes qui ont lieu entre eux. Il est intéressant de voir que tous ces théorèmes, au nombre desquels se trouve le principe même de la Géométrie analytique en usage, sont ou des expressions différentes ou des corollaires les uns des autres, et tous des conséquences d'un même et unique principe exprimé par l'équation (4).

Tous ces théorènies s'appliquent d'eux-mêmes à la Géométrie plane, et la plupart ont leurs analogues aussi dans la Géométrie de la sphère, où il suffira de remplacer, par des rapports de sinus d'arcs de grands cercles, les rapports de segments rectilignes.

§ XIII. Généralisation du système de coordonnées en usage.

231. Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. De tous ces systèmes de coordonnées, il en est un que nous allons examiner, parce qu'il conserve une analogie parfaite avec le système en usage, dont il est une généralisation très simple.

Concevons que, dans le théorème (232), les trois droites transversales soient les arêtes au sommet d'un tétraèdre OABC, dont la base soit le triangle ABC; et remplaçons les points «', h' , c', dans l'équation, par les points «, b, c. On aura ce théorème :

Si, par les trois arêtes à la base ABC d'un tétraèdre OABC, on mène trois plans qui rencontrent respectivement les arêtes opposées aux points a, b, c, tels que Pon ait, entre les trois rapports

Oa 06 Oc Ââ' B6' Ce'

une relation constante, du degré n, le lieu géométrique du point d'intersection de ces trois plans sera une surface de l'ordre n.

Et réciproquement.

252. Puisqu'on a, pour tous les points d'une surface, une relation constante

entre les trois rapports

„ /Oa 06 Oc\ F — , —, — == 0, \ka m Ce/

Oa 06 Oc Âô' B6' Ce'

il est clair qu'on peut, en prenant ces trois rapports pour variables indépendantes, représenter la surface par celte équation; c'est-à-dire que chaque système de valeurs de ces trois rapports, qui satisfait à l'équation, donnera trois points a, b, c, sur les trois axes fixes OA, OB, OC; et les plans menés par ces trois points et par les côtés BC, CA, AB, de la base ABC, se couperont en un point qui appartiendra à la surface.

Appelons ces trois rapports les coordonnées de ce point, et désignons-les par Xyy, 2; l'équation de la surface sera

Si cette équation est du premier degré, elle représentera un plan;

et, en général, si elle est du degré w, elle représentera une surface de l'ordre n.

Deux équations du premier degré donneront tous les points d'une droite.

Ainsi une ligne droite sera représentée par les deux équations

az

y = bz + t.

En général, les formules que l'on aura à considérer, dans ce système de coordonnées, seront de même forme que les formules du système en usage; seulement les coordonnées courantes, au lieu d'être des lignes, seront des rapports, et leurs coefficients seront respeclivement égaux aux coefficients des équations relatives aux mêmes questions, dans le système usité, multipliés par des constantes (230).

2o3. Les figures construites par ce système de coordonnées pouvant être considérées comme les homographiques des figures construites au moyen d'équations de même forme, dans le système ordinaire, on voit sur-le-champ que tous les points de ces dernières figures, qui se trouvaient à l'infini, ont pour correspondants, dans les premières, des points situés sur la base ABC.

Ainsi, des équations qui représentaient des drortes parallèles entre elles, représenteront, dans le nouveau système, des droites concourant en un même point du plan ABC.

Des équations qui représentaient des plans parallèles entre eux, représenteront des plans passant par une même droite, située sur la base ABC.

Ainsi les deux équations

a- = az -+- a, y = bz -+- 6,

représentent une première droite; et ces deux-ci :

X = az -+■ a! y y = bz-\- 6',

représentent une seconde droite qui rencontre la première en un point situé sur la base ABC.

Les deux équations

ax -¥- by -i cz -i- d = G,ax •+• 6î/ -t- cz -4- d' = G,

ou les coefficients des variables sont les mêmes, représentent deux plans qui se coupent sur la base ABC.

Les deux équations

Ax' -H By" -t- Cz' -4- K = G,

représentent deux surfaces du second degré, ayant une courbe d'intersection sur le plan ABC; parce que, dans le système ordinaire, ces deux équations représentent deux surfaces semblables et semblablement placées, et qui, conséquemment, ont une courbe plane d'intersection (réelle ou imaginaire) située à l'infini.

254. Mais ces rapprochements entre les deux systèmes de coordonnées, propres à faire ressortir les propriétés caractéristiques du nouveau système, sont insuffisants pour mettre en état d'en faire usage dans les questions auxquelles ne s'applique pas le principe d'homographie. Car on sent qu'il sera indispensable de connaître les rapports qui ont lieu entre les coefficients de diverses équations et les éléments fixes du système.

Par exemple, on sait, dans le système ordinaire, ce qu'expriment les coefficients a, 6, dans les équations

x= az -i- a,

y = bz -+- Qf

d'une ligne droite : ce sont des tangentes trigonométriques. 11 faudra donc aussi savoir ce qu'expriment ces coefficients, et beaucoup d'autres, dans le nouveau système.

Pour cela, il faudra exposer le système directement et avec méthode, comme si celui d'où nous le déduisons n'était pas connu. Alors ce nouveau système de coordonnées pourra conduire à des résultats qui échapperaient à la méthode de transformation homographique.

235. Nous avions déjà exposé succinctement le principe de ce nouveau système de coordonnées, dans la Correspondance mathémalique de M. Quetelel(tom. VI, pag. 81, année 1830); et nous en avons fait alors une application pour démontrer une des propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point. Nous n'insisterons pas davantage ici sur cet objet. Nous allons seulement démontrer une certaine relation générale entre les trois coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine; relation qui sera souvent utile dans les applications du système de coordonnées, et qui, du reste, est un théorème de Géométrie qui mérite par lui-même d'être connu.

Soient les trois axes coordonnés ox, oy, oz ; par un point m, menons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés ; ils rencontreront les trois axes aux points a, b, c; les segments oa, ob, oc, sont les coordonnées du point m : soient menés, par le point o, un axe fixe oK ; et, par les points m, a, b, c, des plans parallèles entre eux ; ils rencontreront l'axe oR en des points [JL, cc,e,y; et l'on aura, comme on sait,

O/tt = oa -+- o6 -i- oy,

OU

Oa o6 or {\) 1 1 = 1.

^ OfJ. 0^1 o^

Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes o'x\ o'y', o'z coupés en A, B, C par le plan qui correspond à l'infini de la première figure. Si, par un point m' et les trois côtés du triangle ABC, on mène trois plans, ils rencontreront les trois axes aux points a', 6', c' : que, par une droite prise dans le plan ABC, on mène quatre plans passant par les quatre points m', a', 6', c', ils rencontreront un axe o'K' en quatre points

/, a', ë'j y'; et Ton aura, en appelant i le point où Taxe o'K.' rencontre le plan ABC,

o' a.' ioL Ooi

o'(jl' ifM 0(1 O'ê' îê' 06

o fi l/x Oju.

o'y' iy' oy o'fx.' i/x' Oju.

On a donc, à cause de l'équation (1),

la.'

oy iy

ifj.'

256. Celte équation exprime un théorème de Géométrie, très général, susceptible de plusieurs corollaires, à cause de Tindétermination de direction de Taxe o'R', et de la position de la droite prise dans le plan ABC.

Si l'axe o'¥J est mené parallèlement au plan ABC, l'équation devient

0 a 4-05 -+-or = 0>

Si, l'axe o'R' conservant une direction quelconque, on suppose que la droite prise dans le plan ABC soit à l'infini, on aura

o'a.' o'a' o'ê' o'b' oy' o'c! la! ka' i6' R6'' iy' Ce'

Soit h le point où la droite o'm' rencontre le plan ABC : on aura aussi

0 fi om i' IX.' km'

L'équation (2) devient donc

o'a' o'b' o'c' o'm' iw "*" B6^ "*"Cc'' ~~ W

Les rapporis

o'a' o'b' o'c Â^' W Ce'

sont les coordonnées du point m', dans le nouveau système de coordonnées; nous pouvons donc dire que :

La somme des coordonnées d'un point est égale à la distance de ce point à l'origine, divisée par sa distance an point où la droite qui le joint à l'origine perce le plan de la base *.

257. Nous avons fait dériver le nouveau système de coordonnées du système en usage, par la transformation homographique. Si celte transformation était faite de manière que les trois points A, B, C fussent à Tinfini, alors on aurait un nouveau système, semblable au premier; et Téqualion (2), du paragraphe précédent, fait voir que l'équation d'une surface étant F(x, y, z) = 0 dans le premier système, l'équation de la surface correspondante, dans le second système, serait de la forme F (Ao?, {xy, vz) = 0.

Ajoutons que les trois axes du nouveau système étant indéterminés de position, on peut supposer qu'ils se confondent avec les premiers; de sorte que les équations F (a?, y, 2) = 0, F (ix, ^y, vz) = 0, qui se rapportent à un même système d'axes coordonnés, représentent deux surfaces homographiques.

C'est un tel mode de déformation des surfaces dont nous avons fait usage dans la Correspondance polytechnique (tom. III, pag. 326, année 1815), pour appliquer immédiatement, aux surfaces du second degré, les propriétés de la sphère.

* Nous nous sommes servi de ce tliéorème, sans le démontrer alors, pour faire une application du nouveau système de coordonnées [Correspondance mathématique de M. Quetelet, tom.VI, pag. 86), Ce théorème est l'un de ceux auxquels se prête la méthode statique de J. Ceva. {Voir la Note VII de l'Aperçu historique, pag. 206.) •

§ XIV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales

DES surfaces du SECOND DEGRÉ.

258. Dans les applications que nous avons faites du principe d'homographie, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites situés à rinfini, qui se transformaient, dans la figure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer, à l'infini, des figures plus compliquées; alors le principe d'homographie sera très utile, parce qu'il offrira le moyen de représenter avec vérité l'image de ces figures, dans un plan situé à distance finie. Tout ce qui se passerait à Tinfini, dans la question proposée, aura lieu, ou s'exécutera en réalité, sur ce plan. Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là, on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions que l'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini; et les raisonnements, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux et plus convaincants.

Ainsi, par exemple, quand on a deux surfaces du second degré, si l'on veut connaître la nature des relations qui ont lieu entre les deux courbes d'intersection de ces surfaces par un plan situé à l'infini, il suffira de concevoir deux surfaces homographiques, et de les couper par un plan réel qui représenle'ra l'infini de la première figure; les relations générales des deux sections, transportées aux deux surfaces primitives, deviendront des propriétés de ces deux surfaces.

* Cette marche va nous conduire aisément à trois propriétés des surfaces du second degré; propriétés dont on n'a connu jusqu'ici que des cas particuliers, et que nous allons présenter dans une généralité nouvelle, qui en fera mieux connaître la nature et la raison première.

Mais nous sommes obligé de rappeler, préalablement, les propriétés générales du système des deux coniques situées dans un même plan.

259. Quand on a deux coniques quelconques dans un plan, il y a à considérer :

1° Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que l'un quelconque d'entre eux a même polcmr, par rapport à l'une où à l'autre courbe: cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres poinis.

Ces trois points sont toujours réels, quand les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout; et l'un d'eux seulement est réel, quand les coniques ne se coupent qu'en deux points.

Quand les deux coniques se coupent en quatre points, ces trois points A, B, C sont les points de concours des côtés opposés^ et le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points d'intersection des deux courbes.

2° Deux droites L, L', toujours réelles, sur lesquelles sont les points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux courbes, et qui jouissent de la propriété que si, par un point pris sur l'une d'elles, on mène quatre tangentes aux deux coniques, les droites qui joindront les points de contact de la première courbe, aux points de contact de la seconde, passeront, deux à deux, par deux points fixes. Nous avons désigné ces deux droites par le nom ô'axes de symptose (^Annules de Mathématiques, avril et juillet 1828), pour les distinguer des autres sécantes communes aux deux coniques, lesquelles, deux à deux, peuvent être aussi, dans certaines circonstances, des axes de symptose, c'est-à-dire peuvent jouir de la propriété que nous venons d'énoncer; mais qui peuvent bien aussi, selon la disposition des deux coniques, quand elles sont des hyperboles, ne pas jouir de cette propriété.

3° Enfin les deux points fixes dont nous venons de parler, qui sont des points de concours des tangentes (réelles ou imaginaires) communes aux deux coniques. La propriété caractéristique de ces points consiste en ce qu'wwe transversale menée par l'un d'eux, si elle rencontre l'une des

coniques, rencontre aussi l'autre; et les tangentes aux points de rencontre se coupent, deux à deux, sur les deux axes de symptose.

Ces deux poinis qui, dans le cas de deux coniques semblables et semblablement placées, sont leurs centres de similitude, ont été appelés par M. Poncelet, dans le cas général de deux coniques quelconques, leurs centres d'Iiomologie. [Traité des propriétés projectives, pag. 164.)

Quand les deux coniques se coupent en quatre jDoints, elles peuvent avoir trois systèmes de deux centres d'homologie, ou n'en avoir qu'un seul. Quand elles ne se coupent qu'en deux points, ou qu'elles ne se coupent pas du tout, elles n'ont qu'un seul système de deux centres d'homologie. (Annales de Mathématiques, tom. XIX, pag. 30.)

260. Quand les deux coniques sont les courbes d'intersection de deux surfaces du second degré, par un même plan transversal, chaque plan, mené par l'un de leurs deux axes de symptose, coupe les deux surfaces suivant deux coniques, qui ont évidemment aussi celte droite pour axe de symptose.

Si le plan transversal ne coupait qu'une des deux surfaces, l'une des coniques serait imaginaire; mais les deux axes de symptose subsisteraient toujours^ parce qu'il existe généralement trois systèmes de deux axes de symptose; ce qui prouve que l'un de ces systèmes est toujours réel, ainsi qu'il arrive dans toutes les questions qui admettent généralement trois solutions.

Il en serait de même si le plan transversal ne rencontrait aucune des deux surfaces, ou bien s'il en touchait une, ou s'il les touchait toutes deux.

Nous dirons que :

Quand on, a deux surfaces du second degré et un plan transversal mené arbitrairement.

1° 7/ existe toujours dans ce plan deux droites L, L', qui sont telles qu'un plan mené par l'une d'elles coupe les deux surfaces suivant deux coniques ayant cette droite pour hm de leurs axes de symptose;

2° Si ces deux coniques ont quatre points communs réels, les deux droites L, L' seront deux des six cordes communes aux deux courbes;

les quatre autres cordes communes pourront jouir de la même propriété que ces deux premières, mais ne jouiront pas nécessairement de cette propriété ;

'S"* Enfin, dans tous les autres cas de la section des deux surfaces par le plan coupant, il n'existera que deux droites h, L'.

261 . Considérons maintenant, dans le plan transversal, les trois points

A, B, C, relatifs aux deux coniques (259). L'un d'eux, A, est le point de concours des deux droites L, V; ainsi il est toujours réel; il a la même polaire dans les deux coniques; cette droite a pour polaires, dans les deux surfaces^ les deux droites qui vont du point A aux pôles du plan transversal, par rapport aux deux surfaces respectivement.

Si les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout, les deux autres points B, C sont toujours réels. Cela a encore lieu quand une des coniques est imaginaire, c'est-à-dire quand le plan transversal ne rencontre pas Tune des deux surfaces. En effet, ces deux points

B, C jouissent de la propriété de diviser harmoniquement le segment compris (sur la droite qui les joint) entre les deux axes de symptose des deux coniques, et le segment compris dans une troisième conique, arbitraire, qui passerait par les quatre points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux proposées. Si l'une des deux coniques ou toutes deux sont imaginaires, ces deux segments ne pourront être superposés, parce qu'alors les deux axes de symptose rencontreraient la troisième conique, ce qui est impossible, parce que les points de rencontre appartiendraient aux deux premières, dont nous supposons au moins l'une imaginaire; donc ces deux segments ne sont point superposés; et l'on sait qu'alors les deux points B, C, qui les divisent harmoniquement l'un et l'autre, sont toujours réels. {Traité des propriétés projectives, p. 201.) Donc

Étant données deux surfaces du second degré et un plan transversal :

1° Si ce plan rencontre, en quatre points, la courbe d'intersection des

deux surfaces, ou ne la rencontre pas du tout, il existera, dans ce plan, trois

points tels, que les droites menées de l'un quelconque d'entre eux aux pôles

du plan, pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans

les deux surfaces; celle polaire commune sera la droite qui joindra les deux autres points;

2" Si le plan transversal rencontre , en deux points, la courbe d'intersection des deux surfaces, deux des trois points en question seront imaginaires, et le troisième sera toujours réel; c'est-à-dire qu'il existera dans le plan un point tel, que les deux droites qui le joindront aux pôles du plan, pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deux surfaces. Celle polaire sera siluée dans le plan transversal.

Ces principes généraux vont nous conduire aisément aux théorèmes que nous avons en vue.

262. En effet, considérons les deux surfaces et le plan transversal, et formons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à rinfini; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point A deviendront deux diamèlres de ces surfaces, parallèles entre eux, et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux, parce qu'ils passeront par la droite correspondant à la droite BC, laquelle sera à Tinfini; il en sera de même des droites menées, des deux pôles, à chacun des points B, C, si ces points sont réels; dans ce cas, la courbe d'intersection des deux nouvelles surfaces aura quatre asymptotes ou n'en aura aucune; et, dans le cas où les points B, C sont imaginaires, celle courbe d'intersection aura deux asymptotes. On conclut donc de là ce Ihéorème, dans lequel nous supposons les deux surfaces concentriques, pour rendre l'énoncé plus facile :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, et, du reste, dans une position quelconque l'une par rapport à l'autre ; si leur courbe d'intersection a quatre asymptotes, ou n'en a aucune, il existe toujours trois droites diamétrales dont chacune a même plan conjugué dans les deux surfaces ; ces trois droites forment, dans l'une et l'autre surface, un système de diamètres conjugués ;

Et si la courbe d'intersection des deux surfaces a seule^nent deux asymptotes, deux de ces trois droites diamétrales sont imaginaires, et la troisième est réelle ; de sorte qu'il existe toujours une droite diamé-

haie, et il n'en existe qu'une, qui a même plan conjugué dans les deux surfaces.

263. On conclut donc, de là, que si l'une des deux surfaces est un ellipsoïde, le système des trois diamètres conjugués communs existe toujours; pnree que la courbe d'inlerseclion des deux surfaces ne peut avoir aucune asymplole.

Mais si les deux surfaces sont des hgperboloïdes, elles n'ont plus nécessairement un système de trois diamètres conjugués communs, ainsi qu'on l'avait supposé d'après Pénoncé, trop absolu^ du ihéorème de Monge. {Correspondance sur l'École polytechnique f lom. Il, pag. 349.)

2()4. Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan transversal, et considérons les deux droiles L, L'. Tout plan mené par l'une d'elles, coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont celle droite pour axe de sy m ptôse.

Faisons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à l'infini; les plans menés par l'une des deux droiles L, L', deviendront des plans parallèles, et les deux coniques suivant lesquelles chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symplose à l'infini, ce qui prouve qu'elles seront semblables et semblablemenl placées. On a donc ce théorème :

Etant données deux surfaces quelconques du second degré, placées arbitrairement l'une par rapport à l'autre ; il existe toujours deux séries de plans parallèles, dont chacun coupe les deux surfaces suivant deux coniques semblables entre elles et semblable ment placées.

Si l'une des surfaces est une sphère, on en conclut le lliéorème suivant, que Monge et Hachette ont démonlré analyliquement, et dont M. Poncelel a donné une démonstration, purement géométrique, dans son Traité des propriétés projectives, pag. 299 :

Dans toute surface du second degré, il existe deux séries de plans parallèles qui la coupent suivant des cercles.

265. Remarquons que les deux droiles L, L' se coupent au point A, qui devient, dans la figure homographique, l'extrémilé, à l'infini, d'une droite dia-

inélrale, ayant même plan conjugué dans les deux surfaces (que nous supposons concentriques) ; les plans qui coupent les deux surfaces suivant des coniques semblables et semblablement placées, sont donc parallèles à celle droite. Ainsi :

Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, les deux plans diamétraux qui les coupent suivant des coniques semblables et semblablement placées, passent par l'un de leurs trois diamètres conjugués communs.

266. Quand les deux coniques, comprises dans le plan transversal, ne se coupent pas, les droites L, L' ne rencontrent pas la surface; quand les deux coniques se coupent en deux points seulement, l'une de ces droites passe par ces deux points, et la seconde ne rencontre pas les coniques; et enfin, quand les deux coniques se coupent en quatre points, les droites L, L' passent par ces points, pris deux à deux. On conclut de là, que :

Quand la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré, concentriques, n'a aucune asymptote, les plans des deux séries de courbes en question, dans le théorème (264), les coupent suivant des ellipses;

Quant la courbe d'intersection des deux surfaces a deux asymptotes, les plans d'une des deux séries les coupent suivant des ellipses, et les plans de l'autre série suivant des hyperboles : ces derniers plans sont parallèles aux deux asymptotes ;

Et quand la courbe d'intersection des deux surfaces a quatre asymptotes, les plans des deux séries les coupent suivant des hyperboles : les plans d'une série sont parallèles à deux asymptotes et les plans de l'autre série sont parallèles aux deux autres asymptotes.

267. Nous avons vu que, quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ont quatre points d'intersection réels, il peut y avoir, outre les axes de symptose L, L', deux autres systèmes de deux droites semblables (259); donc

Quand la courbe d'intersection de deux hyperboloïdes a quatre asymptotes, il peut exister six séries de plans parallèles qui les coupent suivant

MEMOIRE DE GEOMETUIE. 753

des coniques semblables et semblablement placées ; ces plans sont parallèles aux asymptotes prises deux à deux.

268. Enfin, considérons les deux centres d'homologie des deux coniques suivant lesquelles un plan transversal coupe deux surfaces du second degré. Supposons que le plan transversal ail le même pôle dans les deux surfaces. Autour de ce pôle faisons tourner un plan langent à la première surface : sa Irace sur le plan transversal sera langenle à la courbe d'inlerseclion de celle surface par ce plan transversal; et, quand celle Irace passera par Tun des deux centres d'homologie, elle sera aussi tangente à la section de la seconde surface par le plan transversal. Donc, par la droite qui joint Tun des deux centres d'homologie au pôle du plan transversal, on peut mener deux plans langenls communs aux deux surfaces. Donc celle droile jouit de la propriété que, si Ton prend un quelconque de ses poinls pour sommet commun de deux cônes circonscrils aux deux surfaces, par cette droile on pourra mener deux plans langenls aux deux cônes; et dès lors un plan quelconque coupera les cônes suivant deux coniques ayant, pour Tim de leurs centres d'homologie, le point où ce plan coupera la droile en question. Nous dirons, par cette raison, que cette droite est un axe central dltomologie des deux cônes.

Faisons la figure homographique, de manière que le plan transversal passe à Pinfini; nous aurons deux surfaces concentriques, et le théorème suivant :

Étant données deux surfaces du second degré, concentj'iques , il existe toujours deux droites diamétrales telles, que si l'on prend un point quelconque de l'une d'elles pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, cette droile sera un axe central d'homologie des deux cônes ; c'està-dire que tout plan coupera ces deux cônes suivant deux coniques, qui auront un de leurs centres d'homologie au point oii ce plan coupera cette droite.

269. Si Ton prend le sommet commun des deux cônes à l'infini, sur Tune des deux droites, ces cônes deviendront deux cylindres, qui auront pour axe commun celte droile. Tout plan les coupera donc suivant deux coniques

7o4 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

concenlriques, dont le cenire sera sur celle droile; mais ce ccnlre sera en même temps leur centre d'homologie; ce qui exige que les deux coniques soient semblables el semblablemenl placées. Les cylindres seronl donc, euxmêmes, semblables el semblablemenl placés. Donc :

Quand deux surfaces du second degré sont concenlriques, il existe deux droites diamétrales telles, que si l'on circonscrit aux deux surfaces deux cylindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablemenl placés.

270. Si Tune des surfaces esl une sphère, il en résulte que :

Dans toute surface du second degré qui a un centre, il existe deux droites diamétrales telles, que si l'on circonscrit à la surface un cylindre qui ait ses arêtes parallèles à l'une d'elles, les sections droites de ce cylindre seront des cercles,

271. Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal (259), se coupent en quatre points, elles peuvent avoir six centres d'homologie ; on en conclut que :

Quand la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré, concentriques, a quatre asymptotes, il peut exister six droites diamétrales telles que, si l'on circonsciit aux deux surfaces deux cylindres qui aient l'une de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seronl semblables et semldablement placés.

§ XV. Construction géométrique des figures iiomographiques. — Divers théorèmes de géométrie.

272. Pour construire une figure homographique, d'une figure proposée, on pourra prendre arbitrairement, dans l'espace, les cinq points a', b', c', d', e', (|ui devronl correspondre respeclivement, dans la nouvelle figure, à cin(j points désignés a, b, c, d, e, de la figure proposée.

Ces cinq points suffiront pour déterminer chaque point m' et cha(jue: plan M' de la nouvelle figure, qui correspondront, respectivement^ à chaqd point m el à chaque plan M de la proposée.

Considérons les deux télraèdres abcd, a'b'c'd'. Menons, dans le premier, les deux plans ebc, mbc, qui rencontreront Parèlc ad en i, «; et, dans le second, les deux plans e'b'c', m'b'c', qui renconlreronl Parole a'd' en «', «'. Les quatre points «', d', e', a! seront, dans la seconde figure, les homologues des quatre points «, (/, e, a, de la première figure. On aura donc Téquation

ax ire a'a' a'e' dx' (h (I't.'' J'e''

Les trois points «', d', e', sont connus; celle équation fera donc connaître le point a'. De sorte que le plan mené par l'aréle b'c' du tétraèdre a'b'c'd', et par le point cherché m', sera déterminé. Par deux équations semhlahles on déterminera les plans qui passeront par les arêtes ac, ab, respectivement, et par le point cherché. Ce point sera donc déterminé par Pintersection de ces trois plans.

273. Maintenant, déterminons le plan M' qui, dans la seconde figure, correspond à un plan M de la première.

Soit a. le point où ce plan rencontre Parôte ad y et soit «' le point correspondant à a. dans la seconde figure : ce sera le point où le plan cherché M' rencontre l'arête a'd'. On aura, entre les quatre points «, (/, e, «, et les (|ualre points a', d', e', «', la relation

aa LZ aV a'e' (ix ' i!z (l'a d'z'

qui fera connaître la position du point «'.

On déterminera, par deux équations semhlahles, les poinls où le plan cherché rencontre deux autres arêtes du lélraèdre a'b'c'd'. Ainsi ce plan sera déterminé.

Si le plan M de la première figure est à Pinfini, la solution restera la même; seulement, dans l'équation précédente, (|ui sert à déterminer la position du point «' du plan cherché, le rapport ^j sera égal à Punilé.

Le problème de la construction géométrique des figures homographiques est donc résolu complètement.

274. Ce mode de construction peut èlre exprimé par trois formules très simples, qui se prêteront à la discussion des différents cas (|ui peuvent se présenter, et qui nous conduiront à divers théorèmes de Géométrie, qui nous paraissent nouveaux.

Reprenons l'équation

aa az a a. a e da' de d'à' rf'e''

dans laquelle e, « sont les points où les deux plans ebc, mbc rencontrent Taréte orf; et e', a', les points où les deux plans correspondants, c'b'c', m'b'c', rencontrent l'arête a'd'. Écrivons-la sous la forme

aa au' (az a'e' y.d ad' \dt d'&'

Le rapport^ :^ est une quantité constante, puisqu'il ne dépend que de la position du point fixe e de la première figure et du point fixe e', qui lui correspond dans la seconde figure. Représentons ce rapport constant par ); il viendra

aa a'a'

ad ad

Pareillemenl, ê et ê' élant les points où les deux plans macj m'a'c' rencontrent, respectivement, les deux arêtes bd^ b'd' des deux tétraèdres, on aura

^"^ ïrr^^'^

(j. étant une constante.

Et enfin, >, X' étant les points où les deux plans niabj m'a'b' rencontrent,

respeclivemenl, les deux aréles cr/, c'd', on aura

ju y a

V étant une troisième constante.

273. De ces équations, on conclut ce théorème général sur les figures homographiques :

ÉtaJit donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd' ; si, par chaque point d'une figure donnée, on mène trois plans, passant par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant respectivement les arêtes opposées en «, ê, y, et que, sur les trois arêtes a'd', b'd', c'd' du second tétraèdre, on prenne trois points a', g', y', déterminés par les trois équations

aa x'a' %b 67>' yc y'c'

A, |U, V, étant trois constantes, prises arbitrairement :

Le point d'intersection des trois plans «'b'c', 6'c'a', /''a'b', appartiendra à une seconde figure qui sera homographique à la première.

276. Le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées, d'un point quelconque du plan a.hc, sur les deux faces abc, duc du premier tétraèdre ; car s et p étant ces perpendiculaires, on a

aa s sin {da, dbc) ad p sin. {ad, abc)

Pareillement, le rapport °^, est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées, d'un point du plan cc'b'c', sur les deux faces a'b'c', d'b'c' du second tétraèdre.

D'après cela, soient p, q, r, s les distances d'un point m de la première figure, aux quatre faces du premier tétraèdre, et p', q', r', s' les distances du point homologue m', de la seconde figure, aux quatre faces corres-

pondantes du second tétraèdre; les trois équations (a) se changeront en celles-ci :

On conclut de là ce théorème général :

Étant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont les faces se correspondent une à une ;

Si, de chaque point de la figure, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu'on prenne les rapports de la première aux trois autres;

Puis, qu'on cherche un point tel qu'étant prises ses distances aux quatre faces du second tétraèdre, les rapports de la première aux trois autres soient, respectivement, dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports ; ce point, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions, aux points de la figure proposée, appartiendra à une seconde figure, homographique à cette proposée.

277. MainlenanI, concevons le plan déterminé par les trois poinis a,ê,y; le rapport ^ est égal à celui des perpendiculaires abaissées, des poinis a, d, sur ce plan. Pareillemenl, le rapport ^ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées, des poinis a', d', sur le plan a'^'/. D'après cela, soient P, Q, R, S les perpendiculaires abaissées, des quatre sommets du premier tétraèdre, sur un plan M, et P', Q', R', S' les perpendiculaires abaissées, des sommets du second tétraèdre, sur le plan correspondant M' de la seconde figure; on aura les trois équations

ia") -=>- ?= ^ 5^.^

D'où Ton conclut ce théorème :

Etant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont les sommets se correspondent un à un ;

MÉMOIRE DK GÉOMÉTRIE. 759

Si, pour chaque plan faisant partie de la figure, on forme les rapports de ses distances aux quatre sommets du premier tétraèdre ;

Puis, quon mène un plan, de manière que les rapports de ses dislances aux quatre sommets du second tétraèdre soient, respectivement, aux premiers rapports, dans des raisons constantes, ce plan appartiendra, dans toutes ses positions, à une figure homographique à la proposée,