Reprenons les trois équations
aa
ïû^
rc
yd
Ces équations comprennent la construction complète des figures homographiques les plus générales. Car elles donnent les positions des trois points a' , ê', y', correspondant, respectivement, aux trois points a, ê, y; et ceux-ci déterminent un plan et un point de la figure proposée. Ce plan est celui des trois points; et ce point est l'intersection des trois plans menés, respectivemenl, par ces trois points et par les arêtes bc, ca, ah du premier tétraèdre. Les trois autres points a', ê', / déterminent, semblablement, un plan et un point de la seconde figure, correspondant, respectivement, au plan et au point de la première.
Ainsi les trois équations serviront à la construction des points et des plans d'une figure homographique d'une figure proposée.
279. Les quatre points a, b, c, d, qui sont les sommets du premier tétraèdre auquel on rapporte la figure proposée, peuvent être pris arbitrairement dans l'espace, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan ; il en est de même des quatre points a', b', c', d' qui leur correspondent dans la figure homographique qu'on veut construire.
On pourra donner, à ces divers points, différentes positions qui simplifie-
ront les trois équations ci-dessus, ou qui établiront, entre les figures, des relations de position particulières, propres à la transformation de certaines propriétés de grandeur métrique ou angulaire, de superficie ou de volume.
280. Supposons le sommet d du premier tétraèdre situé à l'infini : les segments «f/, êf/, yd, seront infinis; les faisant entrer dans les constantes X, II, V, les trois équations prendront la forme
(^) l''-'Vd'^
r'C rc = y-—, r a
281. Mais il nous faut peut-être démontrer rigoureusement ces équations, c'est-à-dire faire voir que nous pouvions comprendre, dans les coefficients, les segments infinis. Pour cela, reprenons l'équation
a.a ea a.'a' e'a' ad ed ad' e't/''
qui nous a servi (274) à démontrer les trois équations (a).
Le point d étant à l'infini, les deux segments ad, sd, sont infinis, et leur rapport est égal à l'unité ; l'équation se réduit donc à
a.a (t'a t'a' ea ad' ' z'd' *
ou
aa =^ ea : —
cc'd' \ e'a'
Jea : ^j est une constante, indépendante de la position du point a et de son homologue a' ; on a donc
aa = — — X const. = A -— , ad ad'
MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 76i
Ainsi il est prouvé que, clans nos formules de conslruclion des fij^'ures homograpliiques, nous pouvons faire entrer, dans les constantes, les segments infinis.
2(S2. D'après cela, supposons que le point ri élanl à l'infini, auquel cas on a les formules (6), son point homologue cl' soit aussi à l'infini : les formules («) deviendront
i'xa = > .a' a', îb =(j. 6 6', yc = V y'c'.
283. Si, au contraire, les points d, d' étant à dislances finies, les deux plans ahc, a'b'c' sont l'un et l'autre à l'infini, les formules seront de la forme
ad = X a'rf',
{d) ^ grf = a g'rf',
yd — vy'd' .
Ces formules comprennent le mode de transformation par accroissement, dans des rapports donnés, des coordonnées des points d'une figure. Mais la transformation qu'elles donnent est plus générale que celle-ci, parce que les coordonnées de la seconde figure peuvent être comptées sur d'autres axes que celles de la figure proposée.
Nous consacrerons deux des paragraphes suivants (§§ XXIII et XXIV) à ce mode de déformation homographique, qui est susceptible de nombreuses applications.
284. Si l'on suppose le point d à l'infini, et le plan a'b'd aussi à l'infini, les formules deviendront
ait =
ad'
rc =
285. Toules ces formules sont très simples. Elles expriment divers théorèmes de Géométrie qui seraient nouveaux et qui pourraient offrir quelque intérêt; mais comme ils ne sont que des corollaires du théorème général (275), nous nous dispenserons de les énoncer.
286. Les formules (a) peuvent donner lieu encore à d'autres cas particuliers du mode général de construction des figures homographiques, qu'on obtient en donnant aux sommets a', b', d , d', du second tétraèdre, différentes positions particulières, par rapport au premier tétraèdre. Il est deux de ces cas dont nous ferons l'objet de deux paragraphes particuliers (§§ XVII et XXII), à cause de leur importance.
287. Les formules (a') et Ça") sont susceptibles aussi d'une discussion analogue à celle des formules (a), et de différents cas particuliers, comme celles-ci. Mais nous n'entrerons pas dans cet examen^ qui n'offre aucune difficulté, surtout si Ton a égard aux ihéorèmes (176) et (177), qui se rapportent à cette question.
288. Le théorème (275) donne lieu à deux propositions de Géométrie, que Ton peut considérer comme indépendantes de la théorie des figures homographiques.
La figure construite dans le théorème (275) éfant homographique à la figure proposée, aux points de celles-ci, qui seront sur un même plan, correspondront des points situés aussi sdr un même plan; on peut donc énoncer ce simple théorème de Géométrie :
Étant donnés un tétraèdre SABC et un plan, mené arbitrairement dans l'espace ;
Si, par chaque point de ce plan, on mène trois plans, passant par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre, et rencontrant les arêtes opposées en a, 6, y, et qu'on forme les rapports des segments que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont
aS 6S rS ^' 6B' ^'
Puis, qu'on ait un second tétraèdre quelconque S'A'B'C, et qu'on
prenne, sur ses trois arêtes au sommet, trois points a', S', y' tels, que les trois ^'apports
soient, respectivement, aux trois premiers, dans des raisons données et constantes;
Les plans menés par les trois points a!, S', y', et par les trois arêtes B'C, A'C, A'B', respectivement, se rencontreront en un point qui aura pour Heu géométrique un plan.
289. Les trois points a, g, y, dans le théorème (275), délerminenl un plan appartenant à la figure proposée, et les points «', S', /' déterminent le plan correspondant, dans la figure homographique; donc, si le premier plan tourne autour d'un point fixe, le second tournera aussi autour d'un point ; on en conclut donc ce théorème :
Étant donnés un tétraèdre SABC et un point, situés d'une manière quelconque dans l'espace ;
Si, autour de ce point, on fait tourner un plan transversal, qui rencontre les trois arêtes SA, SB, SC^ au sommet du tétraèdre, en trois points a. S, y, et qu'on forme les rapports des segments que ce plan fait sur ces arêtes, lesquels rapports sont
aS 6S yS 7x' SB' ^'
Puis, qu'on prenne un second tétraèdre quelconque S'A'B'C, et qu'on mène un plan transversal qui rencontre ses arêtes au sommet, S'A', S'B', S'C, en trois points a', §', y' tels, que les trois rapports
soient, aux trois premiers, dans des raisons constantes; ce plan passera toujours, dans toutes ses positions, par un même point.
290. Ce théorème et le précédent, que nous venons de déduire de la
théorie des figures homographiques, en renferment, l'un et l'autre, toute la doctrine. Si l'un ou l'autre de ces deux théorèmes était démontré a priori et directement^ nous en conclurions notre principe de déformation homographique, comprenant les relations de description et les relations de grandeur des figures.
C'est l'un ou l'autre de ces deux théorèmes dont nous avons voulu parler dans notre Aperçu historique sur les mélhodes en Géométrie (cinquième Époque, § 28), en disant que toute la doctrine de transformation des figures en d'autres du même genre, reposait sur un seul et unique théorème de Géométrie. Nous donnerons dans un aulre écrit, qui traitera du rapport anharmonique et de ses nombreuses applications, la démonstration directe et géométrique de ce théorème. De sorte que le principe de déformation homographique se trouvera démontré directement, et indépendamment du principe de dualité.
§ XVI. Construction analytique des figures homographiques.
291. La propriété des figures homographiques, exprimée par le théorème (276), conduit à l'expression analytique la plus générale de ces figures, dans le système des coordonnées de Descartes.
En effet, prenons trois axes coordonnés quelconques ox, oy, oz, auxquels nous rapporterons les deux figures. Soient
Ax -\- By -+- Cz —1 = 0, A'x -4- h'y ■*- C'z —\ = 0, A"x -4- B".v + C"z —1 = 0, A"'a;-t- B"'î/-+- C"'z— 1 = 0,
les équations de quatre plans appartenant à la figure proposée ; et
«X -*- Oy ■+■ cz — 1=0, a'x ■+- b'ij -+- c'z — 1=0, a"x -4- b"y -+- c"z — 1 = 0, a"'x-4- b"'ij-^ c"'z — 1 == 0,
les équations de quatre plans donnés, qui doivent correspondre, dans la nouvelle figure, à ces quatre premiers, respectivemenl.
Soient X, Y, Z les coordonnées d'un point M de la figure proposée, et Xy y, z celles du point m (pii lui correspondra dans la figure cherchée. Il faut déterminer ces coordonnées a?, ?/, z^ en fonction de X, Y, Z.
Le rapport des perpendiculaires abaissées, du point M, sur le premier cl le quatrième plan de la première figure, est égal à
AX -f- BY -4- cz — d
X coiisl.;
la conslanle étant indépendante des coordonnées X, Y, Z, et ne renfermant que les coefïicienls A, B, C, A'", B'", C", des équations des deux plans, et les quantités angulaires relatives aux axes coordonnés, que nous supposons obliques, pour plus de généralité *.
Le rapport des perpendiculaires abaissées du point 7n (x, y, z)^ de la seconde figure, sur le premier et le quatrième plan de cette figure, aura une expression semblable à la précédente.
On aura donc, d'après le théorème (276), les trois équations suivantes, entre les coordonnées de deux points homologues dans les deux figures :
AX -t- BY -4- cz — 1
ax -+- by
■+- cz
A X -+- B Y -f- CZ — I
* L'expression de la perpendiculaire abaissée, d'un point {x, y', z'), sur le plan qui a pour équation
ao; + 6j/ -t- Cv — 1 = 0, est
(ax' -4- ft//'4- cj' — 1 ) V^ \ — cos *x, y — cos.*x, z — cos.* y, z + 2cos. x, y. cos.x, z. cos tj. s l'rt- sin.*^,n-6*sin.=î:,x-f c-sin.-x,//— 2rt*sin.i/,: sin.î,xcos.iix,:i/)— 2«csin.ï,«/.sin x,!/cos.(yx.^z) — 2*csin.î,x. sin.x,{/cos. (j:,xy)
De ces Irois équations, on tirera les valeurs des trois inconnues x, y, z, qui déterminent la position du point m correspondant, dans la seconde figure, au point M de la proposée.
Ainsi le problème est résolu.
292. Les trois équations (1) renferment toute la théorie des figures homographiques. En donnant des valeurs convenables aux divers coefficients qui y entrent, on exprimera, par ces formules, les différents modes particuliers de transformation. Mais nous n'entrerons point ici dans la discussion de ces formules, qui ne peut offrir aucune difficulté, surtout si Ton prend pour base la discussion des modes de construction géométrique, donnée dans le paragraphe précédent.
293. La première figure étant donnée, de forme et de position, par rapport aux trois axes coordonnés, les douze coefficients A, B, C, A', B', C, A", B", C", A"', B'", C" sont des quantités connues, et il n'y a d'arbitraires, dans les formules (1), que les quinze coefficients a, 6, c, «', b' , c'y a", b", c", a'", b'", c'", ^, // et v, qui servent à déterminer la forme de la nouvelle figure et sa position, dans l'espace, par rapport à la première.
Ainsi, pour eff'cctuc)' la construction la plus générale des figures homographiques, tant par rapport à leur forme qu'à leur position dans l'espace, on peut disposer de quinze coefficients arbitraires.
Mais, si l'on fait abstraction de la position de la nouvelle figure par rapport à la première, et qu'on ne considère que sa forme, on ne pourra disposer que de neuf coefficients. Car il faut six conditions, et, par suite, six coefficients indépendants, pour fixer la position d'une figure dans l'espace, comme on le voit par les formules du déplacement d'un corps solide, que nous avons données dans la note de la page 677. Il s'ensuit que, des quinze coefficients a, b, c, etc., six serviront à déterminer la position de la seconde figure dans l'espace, et les neuf autres, à déterminer sa forme. Et en effet, cinq plans donnés, correspondant à cinq plans de la première figure, suffisent pour déterminer la seconde figure, quelles que soient leurs positions dans l'espace. Il suffit donc de chercher combien de données sont nécessaires pour déterminer la forme de la pyramide tronquée formée par ces cinq plans. Or, l'un d'eux
coupe les qualre autres suivant un quadrilatère qu'on délerniine par cinq conditions, et il reste à délenniner les «juatre inclinaisons de ces quatre plans sur le premier; ce qui se fait par qualre données. Il en faut donc, en tout, neuf. Ainsi, une figure étant donnée, pour construire une fif/ure homoyraphique de la forme la plus générale, en faisant abstraction de sa position dans l'espace, on peut disposer de neuf coefficients arbitraires.
294. Les valeurs des trois coordonnées x, y, z d'un point de la seconde figure, en fonction des coordonnées X, Y, Z du point correspondant de la première figure, tirées des trois équations (i), seront de la forme
«X-4- 6Y -4- rZ
a"'XH-e"'YH-r"'z — i' a'X -♦- eY -t- r z— 1
a"'X-t-6"'Y-*-r"'Z— 1' a"XH- 6"Y -4-:k"Z — 1
a"'X-4-6"'YH-r"'Z— l'
Il n'est pas nécessaire de calculer les expressions de x, y, z, pour vérifier qu'elles sont en effet de celte forme; en voici une démonstration a priori.
Considérons les trois plans coordonnés yoz, zox, xoy, comme appartenant à la seconde figure, et cherchons les plans correspondants, dans la première figure : soient
«x -4- €?/ -\- yz — 1=0, a'x -t- ê'y -+- >^'z — 1 =0, «"x-*- 6"t/+r"2— i =0
leurs équations.
Concevons qu'on ail cherché le plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde (275); et soit
son équation.
La distance du point wi {x, y, z\ de la seconde figure, au plan xoy, sera proportionnelle au rapport des distances du point M (X, Y, Z), de la première
figure, aux plans qui correspondent, l'un au plan xoy, el l'autre à l'infini; ce
rapport est
aX + 6Y + rZ — 1
X consl.
La distance du point ???, au plan yoz, est égale à la coordonnée x multipliée par une constante; on a donc une équation de la forme
aX -\-ZX -\-rZ — \
On aura des valeurs semblables pour les valeurs de y el de z. C'est ce que nous voulions démontrer.
Ainsi les formules (2) expriment la construction des figures homographiques les plus générales, quanta leur forme et à leur position.
295. Dans ces formules, les coordonnées des points des deux figures sont comptées sur les mêmes axes coordonnés. Si l'on voulait rapporter celles de la seconde figure à d'autres axes que celles de la première, on pourrait simplifier les formules.
Car regardons les trois axes ox, oy, oz comme appartenant à la seconde
figure, et soient OX, OY, OZ les trois droites correspondant à ces axes
dans la première figure; prenons-les pour trois nouveaux axes coordonnés,
auxquels se rapporteront les coordonnées des points de la première figure;
soit
«x -+- 6Y -i- rZ — 1 = 0
l'équation du plan de cette première figure, qui correspond à l'infini de la seconde; on aura, d'après le théorème (176), les trois équations
aX
aX + êY -t- rZ — i '
."Y «X -t- 6Y -4- rZ — 1 '
vZ
aX -4- ev -+- rZ — i' \ /u, V étant trois constantes.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTHIE. 7(;9
Si Ton prend les irois axes coordonnés OX, OY, OZ, do manière (|ue le plan ZOY soit parallèle au plan qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde, Téqualion de ce plan sera simplemenl
El les formules seront
-x^Tv — "^
Telles sont les formules les plus simples qui expriment, dans toute la généralité possible, la conslruclion des figures homographiques.
296. Pour les figures planes, les formules les plus générales, relatives à un même système d'axes coordonnés, sont
, aX -+- 6Y — 1 a'X -t- 6'Y — 1
Ces formules ont élé données par Waring, pour transformer une courbe en une aulre ÇTransfonnare imam curvam in alleram), dans ses Miscellanea analytica de œquationibus algebraicis cl curvarum proprielalibus, in-4-", Cantabrigiœ, 1762; puis dans son Traité des courbes géométriques, intitulé : Proprietales algebraicarum curvarum, in-4.°, 1772. L'auteur se borne à dire que la nouvelle courbe sera du même degré que la proposée, sans faire entrevoir quelles seront les propriétés communes aux deux courbes, et quels pourront être les usages et les applications de ce mode de transformation. 11 ajoute seulement que la construclion d'une courbe semblable à une courbe donnée, et la construction d'une courbe dont les coordonnées de chaque point sont dans des rapports constants avec les coordonnées du point correspondant d'une courbe proposée, sont des cas particuliers de ses for-
mules. Dans la préface du second ouvrage, Waring dit que ce mode de transformation est la généralisation de la méthode de Newton, comprise dans son Lemme 20 du 1^' livre des Principes. Mais nous ferons voir, dans la suite de ce paragraphe, que cette généralisation ne porte point sur la forme des figures, mais seulement sur leurs positions respectives.
Ainsi, quoique Waring ait donné, pour transformer une courbe en une autre du même degré, les formules mêmes qui expriment la construction de nos figures homographiques, nous pouvons dire, néanmoins, que notre théorie de la transformation homographique est nouvelle, tant sous le rapport des propriétés des figures que Ton y considère, que sous le rapport de ses usages pour la démonstration et pour la généralisation des propositions de Géométrie.
297. Reprenons les formules (5); les coordonnées a?, ?/, de la nouvelle figure sont comptées sur les mêmes axes que les coordonnées X, Y de la figure proposée. Si Ton veut se servir de deux systèmes d'axes coordonnés différents^ on pourra simplifier les formules, comme dans le cas des figures à trois dimensions, et les réduire à la forme
Ces formules expriment la construction des figures homographiques les plus générales, de forme et de position. Les deux axes ox, oy élant considérés comme deux droites appartenant à la seconde figure, les axes OX, OY sont les droites correspondantes, dans la première figure; l'une de ces droites^ OY, est prise parallèle à la droite qui correspond, dans la première figure, à l'infini de la seconde, et cette droite est celle qui a pour équation
298. On peut encore trouver des formules répondant à toute la généralité de construction des figures homographiques, et néanmoins un peu plu^ simples que ces dernières.
En eiïet, qu'on rapporte les points de la première figure à deux axes coordonnés, dont l'un, OX, soil la droite qui correspond, dans cette figure, à rinfini de la seconde, et dont Taulre, OY, soil pris arbitrairement ; et qu'on rapporte les points de la seconde figure à deux axes coordonnes dont le premier, ox, soil la droite qui correspond à Pinfini de la première figure, cl l'autre, oy, soil la droite correspondant à Taxe OY de la première figure ; on aura, d'après le Ihéorème (176), les équations
Ainsi ces deux équations, quoique très simples, expriment les figures homographiques les plus générales.
Ce sont précisément les formules données par Newton.
Nous pouvons donc dire que les formules de Newton sont aussi générales que celles de Waring, puisque les unes et les autres répondent à la forme et à la position, les plus générales, des figures homographiques. Mais il y a cette différence entre les unes et les autres, que dans celles de Waring, les points sont rafqiortés à un même système d'axes coordonnes, tandis que, dans celles de Newton, il y a deux systèmes d'axes coordonnés différents.
299. Jusqu'ici nous avons supposé, aux deux figures, une généralité absolue de position l'une par rapport à l'autre. Mais une question se présente naturellement : c'est de rechercher quelle position relative il faut donner aux deux figures, pour qu'étant rapportées à un même système d'axes coordoimés, elles soient exprimées par les formules les plus simples.
Les considérations précédentes conduisent à la solution de cette question. En effet, quelles que soient les formules relatives à un même système d'axes coordonnés, ces formules donneront lieu, si l'on change la position relative des deux figures, à des formules de même forme, relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Les formules relatives à un même système d'axes coordonnés ne pourront donc pas être plus simples que les formules les plus simples, relatives à deux systèmes d'axes coordonnés. Celles-ci sont les for-
mules (7). Il faut donc voir si ces formules conviennent à un même système d'axes coordonnés, c'est-à-dire si l'on peut placer deux figures homographiques données, de manière qu'il existe, dans leur plan, un système d'axes coordonnés pour lequel les formules qui lient entre elles les deux figures soient de la forme
Voici la solution de cette question.
Que Ton cherche la droite I, dans la première figure, qui correspond à l'infini de la seconde; et la droite J', de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première. Que l'on place les deux figures de manière que les deux droites soient superposées sur une même droite L. Cette position, qui laisse encore quelque chose d'arbitraire, puisqu'on peut faire glisser l'une des deux droites sur l'autre, satisfait à la question. On prendra la droite L pour l'axe des //. Voici comment on déterminera l'axe des x. Il existe toujours, dans deux figures homographiques quelconques, quelle que soit leur position, une certaine droite qui, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est elle-même son homologue dans l'autre. (Voir ci-après, § XXV.) Ainsi, pour la position que nous venons de donner aux deux figures, il existe une telle droite. C'est celte droite qu'on prendra pour l'axe des X.
De cette manière, l'axe des y, considéré comme appartenant à la première figure, correspond à l'infini de la seconde ; et, considéré comme appartenant à la seconde figure, il correspond à l'infini de la première. Et l'axe des x, considéré comme appartenant à l'une des deux figures, sera son homologue dans l'autre. Donc, d'après les théorèmes (176) et (177), on aura les formules
Ce qu'il fallait démontrer.
300. Ainsi nous pouvons dire que, étant données deux figures dont les points se correspondent im à un, et sont liés par les équations suivantes entre
les coordonnées X, Y de chaque point de la première pfjure et les coordonnées X, y du point correspondant de la seconde figure, rapportées aux mêmes axes coordonnés :
aX ^- 6Y — i a'X + C'Y — 1
on peut, en changeant la position relative des deux figures, trouver un si/stème d'axes coordonnés tel, que les relations entre les coordonnées de deux points correspondants soient de la forme
Celhéorème est Tun de ceux dont la démonslralion semblerait être parliculièremenl du domaine de l'Analyse, puisqu'il s'agit d'un changement de système d'axes coordonnés. Mais celle voie serait longue et dilïicile, parce qu'il ne suffît pas de changer le système de coordonnées; il faut encore changer la position relative des deux figures proposées, ce (jui exigerail, en Analyse, de très longs calculs. Les considérations géométriques, au contraire, procurent une démonstration extrêmement simple du théorème, et une solution de la question qui en dépend.
§XVII. Théorie des figures homolggiques. — Leur construction.
301. Soient a, b, c, d quatre points d'une figure dans l'espace; formons une figure homographique, dans laquelle les quatre points correspondant à ces points, respectivement, soient ces points eux-mêmes.
Soient un cinquième point m de la figure proposée, et m' son homologue dans la figure homographique. Soient «, B, y les points où les trois plans mbc, mca, mab rencontrent les trois arêtes ad, bd, cd du tétraèdre abcd, et a', B', y', les points où les trois plans m'bc, mUa, m'ab rencontrent les mêmes arêtes. Nous avons vu qu'on aura
(i) . . . . — = i— - — =^--, — = x— ;. {8\V,n»274.) ^ ' rf« da'' (/g '^dê' cy cr'
Le point m' peut être pris arbitrairement dans Tespace. Supposons qu'il soit situé sur la droite dm; et soit â le point où cette droite rencontre le plan abc. On aura
aa. aoi' âm âm' dx (Jet' dm dm' '
parce que Tun et l'autre membre de celte équation expriment le rapport anharmonique des quatre plans abc, mbc, m'bc, dbc. Comparant celle équation à la première des trois précédentes, on en conclut cette valeur de l :
âm rW dm dm'
On trouvera que /^ et v ont la même valeur; de sorte que les trois coefficients constants l, //, v, sont égaux entre eux.
302. Réciproquement, quand ces trois coefficients sont égaux, chaque point m' de la seconde figure est situé sur la droite menée, du point correspondant m, au sommet d du tétraèdre abcd. Car soit m" le point où le plan mbc rencontre la droite dm : on aura
au aa âm ^m" dx dx' dm dm"
Soit m'" le point où le plan m'ac rencontre la même droite dm; on aura
66 66' âm âm'"
of6 d6' dm dm'" '
Les premiers membres de ces deux équations sonl égaux, puisque nous supposons, dans les équations (1), X = ^; les seconds membres sont donc égaux aussi; d'où l'on conclut que les points m", m'" se confondent; c'està-dire que les deux plans m'bc, m'ca passent pa île même point de la droite dm; ou encore que les deux droites cm', dm se rencontrent.
Ainsi, quand 1 = ^i, les deux droites dm, cm' se rencontrent toujours quels que soient les deux points homologues m, m'.
MÉMOIRK DE GÉOMÉTRIE. 775
Pareillement, si Ton a X=v, les deux droites r/m, bm' se rencontreront. Donc si Ton a en même temps X=/x=i/, les deux droites cm', bm' rencontreront la droite dm; c'est-à-dire que le point m' sera sur la droite dm.
Ainsi, quand, dans les équations (i), on a X=-^ = v, deux points homologues quelconques des deux figures sont toujours en ligne droite avec le point d.
