Mainlenani, écrivons l'équalion (2) sous la forme
i^ /S6=bSa\ Sa' ~ *"■ l Sa.S6 / *
On sait, par une propriété générale des surfaces du second degré, que d étant le demi-diamètre de la surface, parallèle à la sécante Sab, on a g^;^=const., quelle que soit la direction commune de ce diamètre et de celte sécante. Il vient donc
i . Sb±Sa
Sa' d" '
Or, si le point S est à Tinlérieur de la surface, (Sa 4- Sb) est la corde comprise dans la surface, sur la droite Sab ; et si le point S est au dehors de la surface, (S6 — Sa) est cette corde; la désignant par c, on a donc, dans les deux cas,
OU
So = — — ; A«' C
ce qui exprime que :
Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une droite qui rencontre une surface du second degré en deux points, et qu'on porte sur cette droite, à partir du point fixe, un segment proportionnel au carré du diamètre de la surface qui lui est parallèle, divisé par la corde comprise sur cette droite dans la surface ; r extrémité de ce segment sera sur une surface du second degré, qui sera homologique à la proposée. Le point fixe sera le centre d'homologie des deux surfaces, et le centre de figure de la seconde.
On déduit de là plusieurs théorèmes relatifs à l'expression - , correspondant aux différentes propriétés connues des diamètres d'une surface du second degré. Nous n'avons pas besoin d'insister sur cet objet.
XX. Propriétés générales, nouvelles, des surfaces du second degré.
337. Les propriétés générales des surfaces géométriques/ démontrées dans le paragraphe XVIII, s'appliquent aux surfaces et aux courbes du second degré, et donnent lieu à de nombreux corollaires, où se trouvent plusieurs propriétés nouvelles de ces surfaces et de ces courbes. On y distinguera particulièrement certaines propriétés concernant leurs foyers. Nous réunirons celles-ci dans le paragraphe suivant. Nous allons présenter d'abord des propositions d'une plus grande généralité.
Supposons, dans le théorème (312), que les deux surfaces soient du second degré : par une droite prise dans le plan fixe on pourra mener deux plans tangents à la première surface; la corde qui joindra les deux points de contact passera par un point fixe, qui sera le pôle de ce plan, par rapport à cette surface. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
Quand deux surfaces du second degré ont un centre d'homologie ; si, autour d'un point fixe, on fait tourner une corde de la première surface, les rapports des distances des extrémités de cette corde au centre d'homologie et au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les rapports des dislances des deux points homologues dans la seconde surface, au même centre d'homologie et à un plan fixe mené arbitrairement, auront leur somme ou leur différence constante.
Ce sera la somme, si le point fixe est pris à l'intérieur de la surface, et la différence, s'il est pris au dehors.
Ainsi soient a, b les extrémités de la corde de la première surface ; a', b' les points homologues de la seconde ; ap, bp les perpendiculaires abaissées, des points a, b, sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la première surface; et a'n, b'n les perpendiculaires abaissées, des points a', b', sur un plan fixe n mené arbftrairement ; on aura
Sa Sa' S6 Sb'
— : —r- rb — : -—- = const.
ap aTT bp b ^
338. Si le plan fixe mené arbitrairement est à l'infini, on conclut, du ihéorème (313), celui-ci :
Quand deux surfaces du second degré ont un centre d'homologie;si, autour d'un point fixe, on fait tourner une corde de la première surface; la somme ou la différence des rapports des distances des extrémités de la corde au centre d'Iwmologie et au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les distances des points homologues de la seconde surface, au centre d'homologie, sera constante.
Ainsi l'on a
Sa ^ , S6
— : Sa' H : S6' = const.
ap bp
On prendra le signe -f- quand le point fixe sera intérieur à la surface, et le signe — , quand il sera extérieur.
339. Si ce point fixe est le centre de la première surface, son plan polaire sera à Tinfini, et le théorème prendra cet énoncé :
Quand deux surfaces du second degré sont homologiques ; si. du centre d'homologie, on mène deux rayons aux extrémités d'un diamètre de la première surface, la somme ou la différence de ces rayons, divisés respectivement par les rayons menés aux points homologues de la seconde surface, sera constante.
Ce sera la somme quand la première surface sera un ellipsoïde, et la diff'érence quand elle sera un hyperboloïde.
Si, dans ce théorème on suppose que le centre d'homologie des deux surfaces soit le centre de figure de la première, on obtient le théorème du numéro (33/1-), que nous avons démontré directement.
340. Dans les trois théorèmes précédents, on peut supposer que la seconde surface se confonde avec la première, de manière que deux points de celle-ci, situés en ligne droite avec le centre d'homologie, seront homologiques; et le plan d'homologie sera le plan polaire du point pris pour centre d'homologie. Car soient «, a' les points où une droite, menée par le point fixe S, rencontre une surface du second degré, et soit a le point
79b MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
où elle renconlre le plan polaire P du point S; on aura, comme on sait,
Sa «a Sa ca
— = — ; , OU -:;—,: — = 1 = const. ;
Sa' a.a' Sa' a.a'
ce qui prouve que les points a et a' peuvent être considérés comme appartenant à deux figures honiologiques (308).
Si le point S est pris au dehors de la surface, son plan polaire, qui est le plan d'homologie, divisera la surface en deux nappes, qui pourront être considérées comme étant les deux figures homologiques.
