D'après cela, le théorème (337) donne le suivant
Si, autour d'un point fixe 0, on fait tourner une corde d'une surface du second degré ; que, d'un second point fixe S, on mène aux extrémités a, b de celte corde, deux droites qui rencontrent la surface en deux autres points a', b' ; et qu'on appelle ap, bp les perpendiculaires abaissées, des points a, b, sur le plan polaire du point 0, et a'vr, h'n les perpendiculait^es abaissées, des points a', b', sur un autre plan fixe mené arbitrairement; on aura
Sa Sa' S6 S6'
— : — zf. — : ; — == const.
ap aV bp o'tt
On prend le signe + quand le point 0 est à l'intérieur de la surface, et le signe — , quand il est au dehors.
342. Si le plan fixe pris arbitrairement est à l'infini, l'équation se réduit à
Sa Sb
— : Sa' ± — : S6' = const (338)
ap bp
343. Si le point 0 est le centre de la surface, son plan polaire est à l'infini, et l'équation, d'après le théorème (339), se réduit à
Sa S^
— - rfc — - = const.
Sa' Sh'
Donc :
5/, d'un point fixe, on mène deux rayons aux extrémités d'un diamètn
d'une surface du second degré, ils rencontreront la surface en deux autres points; et la somme ou la différence des deux rayons , divisés, respectivement, par les segments compris entre le point fixe et ces deux autres points, sera constante.
Ce sera la somme, si la surface est un ellipsoïde, el la différence, si elle est un liyperboloïde.
344. Si, sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré, on prend deux points fixes, situés de part et d'autre et à égale distance du centre; les droites menées de l'un de ces points aux extrémités d'un autre diamètre quelconque, seront égales, réciproquement, aux droites menées de l'autre point aux extrémités du même diamètre. D'après cela, on peut donner au théorème précédent cet autre énoncé :
Si, sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré, on prend, de part et d'autre et à égale distance du centre, deux points fixes, et que de ces points on mène des rayons à un point quelconque de la surface, la somme ou la différence de ces deux rayons, divisés, respectivement, par les autres segments faits sur eux entre les points fixes et la surface, sera constante.
Ainsi soient F, F' les deux points fixes pris sur un diamètre quelconque d'une surface du second degré, de part et d'autre el à égale dislance du centre; que, de ces points, on mène deux rayons aboutissant à un même point quelconque m de la surface, et rencontrant cette surface en deux autres points n, n' ; on aura, quel que soit le point m,
Fm F'm
± = CODSt.
Vn F'n'
Ce sera + si la surface est un ellipsoïde, et — si elle est un hyperboloïde.
343. Dans les trois théorèmes des numéros 337, 338, 339, les deux surfaces peuvent se réduire à des coniques situées sur un même cône ; alors on aura diverses propriétés des cônes du second degré.
Ainsi le théorème (337) donne le suivant :
Étant faites deux sections planes dans un cône du second degré ;si, autour d'un point fixe, pris dans le plan de la première section, on fait tourner une corde qui rencontre cette courbe aux points a, b, et que ap, bp soient les perpendiculaires abaissées de ces points sur la polaire du point fixe, prise par rapport à cette première section, et a'^, h'n les perpendiculaires abaissées, des points homologues de la seconde section, sur une droite fixe menée arbitrairement dans le plan de cette courbe ; on aura, en appelant S le sommet du cône,
Sx Sa' Sb Sb'
— : -— - dt — - : 7— = const, ap a TT bp b TV
Ce sera le signe -f quand le point fixe pris dans le plan de la première section sera intérieur à cette courbe, et le signe — quand il sera au dehors.
346. Si la droite prise dans le plan de la seconde section est à l'infini, Téquation devient
Sa Sf)
— : Sa ± — : So = const, ap bp
347. Si le point fixe, pris dans le plan de la première section, est le centre de cette courbe, la polaire de ce point est à l'infini, et l'équation devient
Sa Sb
— ± — = const.;
Sa' S6'
ce qui exprime que :
Si l'on fait deux sections planes dans un cône du second degré, la somme ou la différence des arêtes menées aux extrémités d'un diamètre quelconque de la première section, divisées respectivement par les segments compris sur ces arêtes, entre le sommet du cône et la seconde section, sera constante.
Ce sera la somme, si la première section est une ellipse, et la différence, si elle est une hyperbole.
348. Si^ dans le théorème (346), on suppose que le cône soil de révolulion, el que la seconde section soit un cercle, les arêtes Sa', S^' seronl de longueur constante ; on aura donc Téquation
Sa S6
— ± — = const.;
ap bp
ce qui exprime que
Une section plane quelconque étant faite dans un cône de révolution; si, autour d'un point fixe du plan de celte courbe, on fait tourner une droite qui la rencontre en deux points ; la somme ou la différence des distances de ces deux points au sommet du cône, divisées respectivement par leurs distances à la polaire du point fixe, prise par rapport à la courbe, sera constante.
Ce sera la somme, quand le point fixe sera pris à l'intérieur de la courbe, et la différence, quand il sera pris au dehors.
349. Si le point fixe est le centre de la courbe, l'équation devienl
So rb S6 = consl.
D'où l'on conclut que :
Quand un cône de révolution passe par une section conique, la somme ou la différence des arêtes aboutissant aux extrémités d'un diamètre de cette courbe est constante.
Ce sera la somme, si la courbe est une ellipse, et la différence, si elle est une hyperbole.
350. Si, dans le théorème (347), on suppose que le cône soit de révolulion, el que la première section soit un cercle, son centre sera sur l'axe du cône, el le théorème prendra cet énoncé :
Quand un cône de révolution passe par une conique, la somme des valeurs inverses des arêtes comprises dans un plan quelconque, mené par l'axe du cône, est constante.
§ XXI. Propriétés nouvelles des surfaces du second degré, de révolution,
