Ce théorème donne lieu à plusieurs conséquences
D'abord on en conclut, comme nous l'avons fait voir (n*' 313), un théorème où n'entre point la considération du plan II, et qui est exprimé par l'équation
Sa , S6 ,,
— : So' ± — : S6' = const.
ap bp
353. Maintenant, prenant pour le plan n, dans le théorème général, le plan polaire du point fixe 0, par rapport à la première surface, et supposant
ce plan polaire à l'infini, le point 0 sera le cenire de celle surface; les rapports
ap bp
a'n b'ir
seront égaux à l'unité, et l'équation deviendra
Sa S6 -±--con8t.
Ce qui prouve que :
Quand deux surfaces du second degrés de révolution, ont un foyer commun ; si, par ce point, on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'un diamètre de la première surface; la somme ou la différence de ces deux rayons, divisés, respectivement, par les rayons de la seconde surface qui ont la même direction queux, est constante.
Ce sera la somme^ si la première surface est un ellipsoïde, et la différence^ si elle est un hyperboloïde.
354. Le rayon mené d'un foyer à un point quelconque d'une surface de révolution est égal au rayon mené par le second foyer, parallèlement au premier, mais en sens contraire. D'après cette remarque, on voit aisément que le théorème peut prendre cet énoncé :
Si l'on a deux surfaces du second degré, de révolution, placées d'une manière quelconque dans l'espace; la somme ou la différence des deux rayons vecteurs menés, des deux foyers de la première, à un point quelconque de cette surface, divisés, respectivement, par les rayons vecteurs de la seconde surface, menés respectivement de ses deux foyers, parallèlement aux deux premiers, sera constante.
335. Ce théorème est une généralisation assez remarquable de la propriété, connue, des foyers d'une surface du second degré. Car si l'on suppose que la seconde surface soit une sphère, on a précisément cette propriété ; c'est-à-dire que :
La somme ou la différence des rayons vecteurs menés, des deux foyers d'une surface du second degré, de révolution, à un point de la surface, est constante.
336. Si Ton suppose, au contraire, que la première surface soil une sphère, on aura ce théorème :
Si, par les deux foyers d'une surface du second degré , de révolution, on mène deux rayons vecteurs sous une même direction quelconque, la somme de leurs valeurs inverses sera constante.
Ce qui revient à dire que :
Toute corde menée par un foyer d'une surface du second degré, de révolution, est divisée en ce point en deux parties, dont la somme des valeurs inverses est constante.
«337. Supposons, dans le théorème (352), que la seconde surface soit une sphère; les lignes S«', Sb', seront des rayons de celte sphère; on peut les faire passer dans le second membre de l'équation, qui devient :
Sa SI)
— ih — = const.
ap bp
Ce qui prouve que :
Si, d'un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on mène deux rayons vecteurs aux extrémités d'une corde de la surface, qui tourne autour d'un point fixe ; la somme ou la différence de ces deux rayons, divisés, respectivement, par les perpendiculaires abaissées, de leurs extrémités, sur le plan polaire du point fixe, pris par rapport à la surface, sera constante.
Ce sera la somme, si le point tixe est pris au dedans de la surface, et la différence, s'il est pris au dehors.
338. Si, dans le théorème (351), le point fixe est le foyer commun aux deux surfaces, on aura
■ Sa Sb
il restera donc
= const. :
ap bp
a'r b'ir -±-= const.
ce qui prouve que :
Si, par un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on tire une
transversale quelconque, qui rencontre la surface en deux points ; la somme des distances de ces points, à un point transversal quelconque, divisées, respectivement, par leurs dislances au foyer, sera constante.
359. Si Ton prend, pour le plan transversal, le plan directeur correspondant au second foyer de la surface, on en conclut que :
Si, d'un foyer d'une surface du second degré, on mène deux rayons aux extrémités d'une corde passant par le second foyer ; la somme de ces deux rayons, divisés, respectivement, par les distances de leurs extrémités au second foyer, sera constante.
Dans ce théorème, comme dans le précédent, c'est la somme que nous prenons et non la différence, parce que, dans les deux cas, le point autour duquel tourne la corde de la surface est dans son intérieur.
360. Quand une corde d'une sphère tourne autour d'un point fixe, les tangentes trigonométriques des demi-angles que les rayons de la sphère, menés aux extrémités de la corde, font avec le rayon mené au point fixe, ont un produit constant *. Supposons que la sphère ail son centre au foyer d'une surface du second degré, de révolution : ces deux surfaces seront homologiques, et le foyer sera leur centre d'homologie. Les points qui correspondront, dans la surface de révolution, aux extrémités de la corde de la sphère, seront sur les prolongements des rayons menés à ces extrémités; on conclut donc, de la propriété de la sphère, cette propriété des surfaces de révolution :
Si, d'un foyer d'une surface du second degré, de révolution, on mène deux rayons aux extrémités d'une corde tournant autour d'un point fixe; le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles que ces deux rayons feront avec la droite qui joint le foyer au point fixe, sera constant, quelle que soit la corde menée par ce point,
* Ce produit est égal à §^^, R étant le rayon de la sphère, et D la distance du point fixe à son centre.
Ce théorème, considéré dans le cercle, est dû à Lagrange, qui s'en est servi pour résoudre le prohlème d'inscrire à un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés. (Voir Mémoires de l'Académie de Berlin, année 177G, pag. 280.)
361. Si le point fixe est pris au dehors de la surface, et que la corde soit menée tangentiellement à la surface, son point de contact sera sur une courbe plane. D'après le théorème^ le rayon vecteur mené à chaque point de celle courbe fera un angle constant avec la droite menée, du foyer, au point fixe; d'où l'on conclut ce théorème :
Le cône qui a pour' sommet un foyer d'une surface de révolution et pour base une section plane de la surface, est de révolution et a pour axe la droite menée, du foyer, au sommet du cône circonscrit à la surface suivant sa section plane.
362. Si la corde, en tournant autour d'un point fixe, reste toujours dans un même plan, ses extrémités seront sur la section faite par ce plan, dans la surface; et le cône qui aura cette section pour base et le foyer de la surface pour sommet, sera de révolution ; d'où Ton conclut que :
Si, autour d'wie droite fixe, menée par le sommet d'un cône de révolution, on fait tourner un plan transversal, il coupera le cône suivant deux arêtes telles, que le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles quelles feront avec la droite fixe, sera constant.
363. Par la considération du cône supplémentaire, formé par les perpendiculaires aux plans langenls du premier, on conclut, de ce théorème, le suivant :
Etant donnés un cône de révolution et un plan fixe mené par son sommet; si, par une droite prise dans ce plan et passant par le sommet du cône, on mène deux plans tangents à cette surface; le produit des tangentes trigonométriques des demi-iîiclinaisons de ces plans tangents^ sur le plan fixe, sera constant.
364. Ce théorème et le précédent donnent lieu à deux propositions de la Géométrie de la sphère, dont voici l'énoncé :
i° Un petit cercle étant tracé sur une sphère; si, autour d'un point fixe, on fait tourner un arc de grand cercle qui rencontre le petit cercle en deux points ; le produit des tangentes trigonométriques des demi-arcs compris entre ces deux points et le point fixe, sera constant.
2° Un petit cercle étant tracé sur une sphère; si, par un point pris
arbitrairement sur nu arc de grand cercle fixe, on mène deux arcs de grands cercles, tangents an petit cercle; le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'ils feront avec tare de grand cercle fixe, sera constant,
36o. La première de ces deux propositions peiil ôlre considérée comme répondant au théorème de Géométrie plane qui exprime la propriété {\cs> segments des cordes qui se coupent dans le cercle.
La seconde correspond aussi à un théorème de Géométrie plane, consistant en ce que :
Si, de chaque point d'une ligne droite tracée dans le plan d'un cercle, on mène deux tangentes au cercle ; le produit des tangentes trigonométriques des demi-angles qu'elles feront avec la droite fixe, sera constant.
366. Les deux propositions précédentes peuvent être considérées comme exprimant, la première, une propriété de quatre points pris arbitrairement sur la circonférence d'un petit cercle de la sphère; et la seconde, une propriété de quatre arcs de grands cercles tangents à un petit cercle. Sous ce point de vue, ces deux propositions seront très utiles dans la Géométrie de la sphère. Nous en ferons diverses applications dans un autre moment.
On peut dire encore que la première exprime une propriété du quadrilatère sphérique inscrit à un petit cercle; et la seconde, une propriété du quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle.
^ XXll. Méthode pour les relaticxs angulaihes. — Transformation
DE LA sphère en UN SPHÉROÏDE APLATI.
367. Considérons deux figures homographiques, à trois dimensions; qu'elles soient coupées respectivement par deux plans homologues quelconques P, P' : les sections seront deux parties homologues des deux figures, de sorte qu'elles seront elles-mêmes deux figures planes homographiques. On pourra placer les deux corps de manière que ces deux figures planes
soient la perspective Tune de l'autre; c'est-à-dire de manière que les droites joignant les points a de la première aux points homologues a' de la seconde, concourent en un même point 0 de l'espace. (Gela sera démontré dans le paragraphe XXVI.)
Considérons ce point 0 comme appartenant à la première figure : il lui correspondra un point 0', dans la seconde figure; et, aux droites Oa, correspondront les droites O'a', De sorte que les deux figures seront placées de manière que toutes les droites issues du point 0, daiis la première, rencontreront toutes leurs homologues, respectivenient, en des points situés sur un même plan P'.
EJ, plus généralement :
Deux droites homologues quelconques rencontrent, respectivement, les deux plans V, P', en deux points a, a', qui sont en ligne droite avec le point 0.
368. Maintenant, prenons pour le plan P', qui est arbitraire, celui dont le correspondant, dans la première figure, est à l'infini : les points a seront à l'infini. On peut donc dire que :
Les deux figures seront placées de manière que, si l'on prend deux droites homologues quelconques, une parallèle à la première, menée par le point 0, rencontrera la seconde sur le plan fixe P'.
369. Réciproquement, une figure étant donnée, nous pouvons en construire une seconde, qui ait une telle forme et une telle position, par rapport à la première, que cette relation ait lieu.
En effet, une figure étant donnée, prenons, dans l'espace, cinq points arbitraires a', b', c', d', 0', pour former la figure homographique; et convenons que ces points correspondront à cinq points de la première figure, que nous allons déterminer.
Que le point 0' corresponde à un point 0 pris arbitrairement dans la figure proposée. Que les points a', b', c' correspondent, respectivement, aux points de cette figure situés à l'infini sur les droites Oa', Ob', Oc' ; et (|ue le point (/' corresponde à un point de la première figure, pris sur la droite menée du point 0 au point â' où la droite O'd' rencontre le plan a'b'c'.
MEiMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 807
Nous pourrons, avec ces données, construire la figure homographiiiue de la proposée.
Il est clair que, dans celle figure, le plan a'b'c' correspond à Pinfini de la proposée.
Le poinl â' correspond au point situé à Pinfini sur la droite 0^'. Ainsi les quatre points a', b' , c', <J', situés dans un même plan, correspondent à quatre points situés sur les droites Oa', 0^', Oc', 0;^. Ce qui prouve que la figure située dans le plan a^b'c' est en perspective avec son homologue dans la première figure. Par conséquent tout autre poinl e' du plan a'b'd a son homologue h l'infini sur la droite Oi'. Il s'ensuit que :
Toute droite, dans la seconde fujure, aura son homologue, dans la première, parallèle à la droite menée du point 0 au point oii cette droite de la seconde figure rencontre le plan a'b'c'.
Et si Ton regarde le point 0 comme faisant parlie de la seconde figure, et qu'on le fasse entrer dans les propriétés de cette seconde figure, on voit i\uaux angles que différentes droites de la première figure font entre elles, correspondront des angles égaux, faits par les droites menées du point 0 aux points où les droites homologues, dans la seconde figure, rencontrent le plan a'b'c'.
Diverses applications de celle méthode parliculière vont en faire connaître parfaitement l'usage.
370. Supposons que la figure proposée soit une sphère ayant son centre au point 0 : la seconde figure sera une surface du second degré. Prenons le poinl 0', qui est arbitraire, sur la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le plan P'. Celle surface sera alors de révolution autour de la droite 00', parce que tout sera symétrique de part et d'autre d'un plan mené par celle droite. Ce moyen de déformation donnera donc des propriétés des surfaces du second degré, de révolution, correspondant à des propriétés de la sphère.
Après avoir disposé du point 0' et du plan P', nous pouvons encore prendre arbitrairement un point (/' pour correspondre à un point (/ de la
sphère, en observant celle seule condilion que les droites Od^ O'd' se rencontrent sur le plan P'. Ainsi, avec un point 0' et un plan P' déterminés, on pourra former une infinité de surfaces de révolution, homographiques à la sphère; et les propriétés de la sphère produiront des propriétés de ces surfaces.
Nous pouvons faire en sorte que l'une de ces surfaces ait son centre au point 0, centre de la sphère.
En effet, prenons le point d de la sphère sur la droite 00'; le point correspondant d' de la surface sera aussi sur la droite 00' ; et ce point d' peut êlre pris arbitrairement sur celle droite. Cherchons en quel lieu il doit élre placé pour que la surface ait son centre au point 0.
Remarquons que le point 0' correspond au point 0 de la première figure, et que le plan P' correspond au plan à Tinfini de celte première figure. Ce plan à l'infini est le plan polaire du point 0, par rapport à la sphère; le plan P' est donc le plan polaire du point 0', par rapport à la surface de révolution. Donc, si le point 0 est le centre de celle surface, on aura ÔZ^OO'.OJ'.
On doit donc prendre le point d' de manière que l'on ait cette égalité; et alors la surface aura son centre au point 0.
Pour déterminer un point m' de la surface, correspondant à un point donné m de la sphère, on mènera, par le point m, les deux droites mO, md, dont les correspondantes passeront par les points 0' et d' respectivement. La première passera par le point où la droite Oin perce le plan P', et la seconde passera au point où une parallèle à la droite md, menée par le point 0, perce ce plan P'. Ainsi le point m' sera déterminé.
Si la droite Om est parallèle au plan P', la droite O'm' sera parallèle à Om, On trouve aisément, par une comparaison de triangles semblables, que 0'm'=Orf'. Donc, une corde de la surface, menée par le point 0', perpendiculairement à l'axe de révolution, est égale au diamètre dirigé suivant cet axe. Cela prouve que ce diamètre est le plus petit de la surface; car s'il était le plus grand, on ne pourrait pas inscrire à la surface une corde qui lui fût égale. Ainsi la surface est un ellipsoïde aplati. El le
poinl 0' jouit de celle propriété qu'il est pris sur 1 axe de révolution, de manière (ju'une corde menée par ce point, perpendiculairement à cet axe, esl égale au diamèlre de rdlipsoïde dirigé suivant ce même axe.
Le plan P' est le plan polaire du point 0', par rapport à rdlipsoïde. Si Ton veut le déterminer direclement, sans chercher d'abord le poinl 0', on trouve celte expression remarquable de sa dislance au centre de rellipsoïde :
La valeur inverse du carré de la distance de ce plan, au centre de l'ellipsoïde^ est égale à la différence des valeurs inverses des carrés des deux demi-axes principaux de l'ellipse génératrice de rellipsoïde.
371. Dans ce qui va suivre, nous désignerons toujours le plan en question par P', et son pôle par 0'. Il esl bien entendu que ce plan et ce point ne sont pas arbitraires, et qu'ils sont, au contraire, absolument délerminés. Seulement, si on les prend à droite de Téqualeur de la surface, il existera pareillement, à gauche, un pareil plan et un pareil poinl. Nous regrettons de n'avoir pu donner, à ce plan et à ce point, des dénominations particulières. Ces dénominations pourraient tirer leur origine de celle de foyer et de plan directeur; car le plan et le point en question ont une relation directe avec le fofjer et le plan directeur d'un ellipsoïde de révolution allongé. Voici cette relation : si l'on fait la transformation polaire de cet ellipsoïde, par rapport à une sphère concentrique^ on obtient un ellipsoïde aplati, dans lequel le plan et le point en question correspondent, respectivement, au foyer et au plan directeur àe l'ellipsoïde proposé.
372. Concevons une sphère ayant son centre au poinl 0, et l'ellipsoïde de révolution, aplati, formé homographiquement comme nous l'avons dit ; prenons le plan P' et le poinl 0' de cet ellipsoïde; ce plan correspond à l'infini de la première figure; et ce point correspondra au point 0, centre de la sphère.
Nous allons passer en revue dilférentes propriétés de la sphère, qui s'appliqueront à rellipsoïde.
Tout cône qui a pour base une section plane de la sphère et pour sommet le centre de cette surface, esl de révolution.
8iO MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.
A ce cône correspond, dans Tellipsoïde, un second cône ayanl pour base une section plane de cette surface, et pour sommet le point 0': et ce second cône rencontre le premier sur le plan P'; d'où Ton conclut que :
Tout cône, qui a pour sommet le point 0' et pour hase une section plane de l' ellipsoïde f rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre de la surface, paraît être un cercle.
373. Un cône circonscrit à la sphère est de révolution. A ce cône correspond un cône circonscrit à rellipsoïde, qui rencontre le plan P' suivant une conique correspondant à Tinlini du premier cône. Si donc par cette conique on fait passer un cône qui ait son sommet au centre de rellipsoïde, il sera parallèle au cône circonscrit à la sphère; donc
Tout cône circonscrit à l'ellipsoïde rencontre le plan P' suivant une conique qui, vue du centre, paraît être un cercle.
374. Un plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de contact; donc
Un plan tangent à l'ellipsoïde, et la corde menée du point 0' au point de contact, rencontrent le plan P' suivant une droite et en un point qui sont tels, que la droite menée du centre, à ce point, est perpendiculaire au plan mené par le centre et par cette droite.
375. Deux plans tangents à la sphère font des angles égaux avec la corde qui joint les points de contact; donc
Etant menés deux plans tangents à l'ellipsoïde, et la corde qui joint les points de contact ; si, par les droites suivant lesquelles ces deux plans i^encontrent le plan P', on mène deux plans passant par le centre de la surface, ils seront également inclinés sur la droite menée du centre au point où la corde qui joint les points de contact rencontre le plan P'.
376. Dans la sphère, deux droites polaires réciproques sont à angle droit; donc
Deux droites, polaires réciproques par rapport à l'ellipjsoïde, rencontrent le plan P' en deux points qui sont tels, que les droites, menées de ces points au centre de l'ellipsoïde, sont à angle droit.
MEMOIRE DE GÉOiMÉTKIE. 811
377. Trois diamètres conjugues de la sphère sont reclangulairos; donc Trois axes conjugues de l'ellipsoïde, relatifs an point 0', rencontrent le
plan P' en trois points tels, que les droites, menées du centre de C ellipsoïde à ces trois points, sont rectangulaires,
378. Beaucoup d'aulres propriétés de la sphère s'appliqueraient, avec la même facilité, à rellipsoïde aplati. Il est inutile de nous étendre davantage sur cet objet.
Comme nous Pavons dit ci-dessus, la théorie des polaires réciproques, ou plus généralement, le principe de dualité, établit une relation très simple enire rellipsoïde de révolution, allongé ou aplati, et peut servir à passer des propriétés de Pun aux propriétés de l'autre ; de sorte que nous aurions pu déduire les théorèmes précédents des propriétés, connues, de rellipsoïde allongé. iMais ce n'était pas là notre but. Nous avons voulu donner une méthode qui servît à tirer directement, des propriétés de la sphère, les propriétés de l'ellipsoïde aplati, de même que, par la théorie des figures homologiques, on peut démontrer celles de l'ellipsoïde allongé. (Fo«>§§XIXetXXr.)
§ XXIII. Méthode propre pour toutes sortes de relations de longueurs,
d'aires et de volumes.
379. Dans la transformation homographique d'une figure, le plan situé à l'infini peut être pris pour son homologue dans la nouvelle figure.
Dans ce cas, les formules générales, qui nous ont servi à la construction des figures homographiques [§ XV, équations (a)], se sont simplifiées et sont devenues
(1) . . . . af/ = i.a'r/', U = fi.^'d', rd=^v.r'd'. (l'q. (r/), il" -283.)
Ces formules expriment que :
Etant pris trois axes coordonnées quelconques Ox, Oy, Oz, dans la pre-
mièi^e figure; ci, dans la seconde ^ trois axes coordonnes O'x', O'y', O'z', qui soient précisément les droites correspondant aux premiers axes ; six, y, z, désignent les coordonnées d\in point quelconque m de la première figure ^ rapportée aux trois premiers axes, et x', y', z' , les coordonnées du point correspondant de la seconde figure , rapportée aux trois autres axes, on aura
(2) x-= ix', X = fjLy', z = vz,
\ fj., V étant trois constantes.
Réciproquement, quand, entre les points de deux figures rapportées à deux systèmes d'axes coordonnés quelconques, on a ces relations, ces deux figures sont homographiques, et ont cela de particulier, que le plan situé à Tinfini, considéré comme appartenant à l'une d'elles, est lui-même son homologue dans Taulre.
380. Des formules (2), nous déduirions aisément toutes les propriétés des deux figures, et notamment celles sur lesquelles vont reposer les applications que nous allons faire de ce mode de transformation ; mais nous préférons, pour ne point nous écarter de la voie purement géométrique que nous avons suivie jusqu'ici, déduire ces propriétés, particulières aux deux figures, de la théorie générale des figures homographiques.
381 . Soient donc deux figures homographiques telles, que le plan situé à l'infini dans la première soit lui-même son homologue dans la seconde. Les propriétés caractéristiques des deux figures sont, sous Ic rapport des relations descriptives, que, à deux droites parallèles dans l'une, correspondent deux droites parallèles dans l'autre; ei, conséquemmenl, à deux plans parallèles dans l'une, correspondent deux plans parallèles dans l'autre; cela est évident;
Et, sous le rapport des relations métriques, que deux droites homologues sont divisées en parties proportionnelles par des points homologues ; c'est-àdire que a, b, c, d, .... élant des points de la première figure^ situés en ligne droite, et a\ h' , c', d', les points correspondants de la seconde figure.
les spgmenis ab, cd,..., sont proporlionnels aux segmenis a'b', c'd',,,„ En eïïe\, on a
6a (la b'd d'à' bc ' de b'e' ' d'c' '
Supposons le point f/à Tinfini : le point d' sera aussi h l'infini ; et Téquation deviendra
ba b'a' bc^Vë' '
Ainsi les segmenis ab, bc sont proporlionnels aux segments a'b', b'c'.
i382. Il suit de là que, quand une droite de la première figure est divisée en parties égales, la droite homologue, dans la seconde figure, est aussi divisée en parties égales par les points correspondant aux points de division de la première droite.
383. Les deux sortes de relations, descriptives ou métriques, que nous venons de reconnaîlre à nos figures homographiques, donnent lieu à trois propriétés principales de ces figures ; propriétés sur lesquelles reposent les applications auxquelles ce mode de déformation est propre.
Ces trois propriétés sont les suivantes :
i" Le rapporl de deux segmenis, pris sur deux droites parallèles quelconques, dans la première figure, esl égal au rapport des deux segments correspondants, dans la seconde figure.
2" Le rappo7't des aires de deux polygones plans quelconques, situés dans deux plans parallèles, appartenant à la première figure, est égal au rapport des aires de deux polygones correspondants, dans la seconde figure.
3" Les volumes de deux parties correspondantes des deux figures sont dans un rapport constant.
384. Nous allons démontrer successivement ces trois propositions. Soient ab, cd deux lignes parallèles dans la première figure, et a'b', c'd'
les deux lignes correspondantes, de la seconde figure. II faut prouver que
ab a'b' cd c'd'
Les deux lignes ac, bd se coupent en un point e; el Ton a
ab ea cd ec
Pareillement, les lignes a'c', b'd' se coupent en un point e' ; et Ton a, parce que les lignes a'b'j c'd' sont parallèles,
Or,
ea e a
ec e c
donc les premiers membres des deux équations sont égaux; c'est-à-dire que
ab a'b'
CCI c a
385. Soient deux aires planes T, U, situées dans deux plans parallèles, et appartenant à la première figure; et soient T', U', les aires correspondantes, dans la seconde figure; elles seront aussi dans deux plans parallèles entre eux.
Quelles que soient les formes des deux polygones T, U, on peut les décomposer, chacun, en un certain nombre de petits parallélogrammes, tous égaux entre eux, et ayant leurs côtés [)arallèles à deux axes fixes. T contiendra m de ces parallélogrammes, et U en contiendra ?i. Le rapport des aires des deux polygones sera y. Tous ces petits parallélogrammes auront pour correspondants, dans la seconde figure, d'autres parallélogrammes, el ceux-ci seront aussi égaux entre eux (382); de sorte que les deux polygones T', U' seront divises en autant de parallélogrammes, respectivement, que T, U; par conséquent le rapport de leurs aires sera aussi -. Il sera donc égal au rapport des aires des deux premiers polygones.
386. II nous resie à démontrer la Iroisième proposition : deux parties correspondantes, des deux ligures iioinograpliiques, ont leurs volumes dans un rapport constant.
Soient V, V les volumes de deux polyèdres correspondants : il faut démontrer que le rapport ^ est constant, quels que soient les deux polyèdres, c'est-à-dire que v et v' étant les volumes de deux autres polyèdres correspondants, on aura
En effet, que l'on divise chacun des deux corps V, v en un certain nombre de petits rhomboïdes égaux entre eux, en menant Irois séries de plans parallèles, dont les plans de chaque série soient également éloignés cnlre eux; supposons que les deux corps conlienneni, le premier m rhomboïdes, et le second n ; le rapport de leurs volumes sera -.
Les deux corps correspondanis V, v', dans la seconde figure, seront divisés aussi en m et n rhomboïdes, différents des premiers, mais qui seront aussi égaux entre eux. De sorte que le rapport des volumes de ces deux corps sera^. Il est donc égal au rapport des volumes des deux premiers corps. C. Q. F. P.
387. Les Irois propositions que nous venons de démonlrer serviront pour faire la Iransformation des relations de dislances, d'aires et de volumes d'une figure.
La transformation des relations de volumes se fera immédiatement, puisque les volumes des différentes parties de la nouvelle figure sont proportionnels aux volumes des parties correspondantes de la figure proposée.
388. Pour opérer la Iransformation des relations de dislances et des relations de surfaces, concevons qu'une sphère fasse partie de la figure proposée. Il lui correspondra, dans la nouvelle figure, un ellipsoïde.
Soient une ligne quelconque AB de la figure proposée, et R le rayon qui lui est parallèle. Il y aura, dans la nouvelle figure, une ligne A'B' et
816 MÉiMOlKE DE GÉOMÉTRIE.
un demi-diamèlre D' de l'ellipsoïde, parallèle au rayon R, et l'on aura
(585) n II
d'où
AB
AB
Donc :
Pour faire la transformation cVune relation entre certaines lignes d'une figure proposée, il suffit de remplacer, dans cette relation, ces lignes par les lignes correspondantes de la figure homographiqiie, divisées respectivement par les demi-diamètres d'un ellipsoïde quelconque, qui leur seront parallèles, et muUipliées par une constante.
Si la relation proposée est homogène, on prendra celle conslanle égale à l'unilé.
389. Pour les relations d'aires, concevons toujours une sphère faisant partie de la ligure proposée. Soient S une aire plane, et 1 la surface du carré conslruil sur deux rayons rectangulaires de la sphère, compris dans un plan diamétral parallèle au plan de l'aire S. Il y aura, dans la seconde figure, une aire plane S' et la surface 2' du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués de rdlipsoïde correspondant à la sphère, ces demidiamètres élant compris dans le plan diamétral parallèle au plan de l'aire S'; el l'on aura
d'où
2 est une conslanle, quelle que soit la direction du plan de l'aire S. Conséquemment :
Pour faire la transformation d'une relation entre des aires planes d'une figure, il suffit de substituer, dans cette relation, à ces aires, les aires correspondantes de la figure honiographique, divisées respectivement par leâ
surfaces des parallélogrammes construits sur deux demi-diamètres conjugués d'un certain ellipsoïde, compris dans les plans parallèles à ceux de ces aires, et multipliées par une constante.
Si la relation proposée est homogène, on prendra celle conslanle égale à Punilé.
390. Enfin, nous pouvons énoncer, loul de suite, celle troisième règle : Pour faire la transformation d'une relation entre les volumes de différentes parties d'une figure, il suffit de substituer à ces volumes, dans cette relation, les volumes des parties correspondantes de la seconde figure, multipliés respectivement par une constante.
Si la relation proposée est homogène, on prendra cette constante égale à l'unité.
391. On voit que ces principes de transformation introduironl généralement, dans la nouvelle figure, la considération d'un ellipsoïde.
Cela donne lieu aux observations suivantes, dont l'application se présentera dans beaucoup de questions :
4" Cet ellipsoïde auxiliaire est indéterminé de position; el généralemenl il est indéterminé de forme ;
2" S'il se trouve une sphère dans la première figure, on doit prendre dans la seconde figure, pour l'ellipsoïde auxiliaire, l'ellipsoïde même correspondant à la sphère, ou du moins un ellipsoïde homothétique (semblable el semblablement placé) ; parce que deux corps homothétiques, dans la première figure, donnent lieu, dans la nouvelle figure, à deux corps qui sont aussi homothétiques entre eux ;
3" Dans les théorèmes qui, par leur nature, sont susceptibles de l'application du principe des relations contingentes, on pourra substituer^ à l'ellipsoïde auxiliaire, une autre surface du second degré.
392. Nous allons faire diverses applications de ce mode de déformation homographique.
Prenons d'abord une sphère : le principe de déformation donnera un ellipsoïde à trois axes inégaux ; et les propriétés de la sphère se convertiront immédiatement en propriétés de rellipsoïde. Il est évident qu'au centre de
la sphère correspond le centre de l'ellipsoïde; et qu'à trois diamètres rectangulaires de la sphère correspondent trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.
393. Le cube construit sur trois rayons rectangulaires quelconques a toujours le même volume ; donc
Le rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde a toujours le même volume, quel que soit le système de ces trois diamètres.
Soient a, b, c les trois demi-diamètres principaux de l'ellipsoïde : le volume du rhomboïde construit sur trois autres demi-diamètres conjugués sera toujours égal à abc.
394. Le volume de la sphère est égal au cube construit sur le rayon, multiplié par -t:; donc
Le volume de l'ellipsoïde est égal au volume du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués, multiplié par - t., c est-à-dire égal à 3 71 abc.
395. Quand deux sphères sont concentriques, les plans tangents à la plus petite retranchent, de la plus grande, des segments égaux; donc :
Quand deux ellipsoïdes sont concentriques et homothétiques, les plans tangents au plus petit retranchent, du plus grand, des segments équivalents.
Les secteurs correspondant à ces segments sont aussi équivalents.
Les cônes circonscrits à l'ellipsoïde, suivant les bases des segments, ont donc des volumes égaux.
396. Prenons ce beau théorème d'Archimède : Un segment de sphère e$t au cône qui a même base et même hauteur, comme le rayon de la sphère, plus la hauteur de l'autre segment, est à la hauteur de cet autre segment. (/>e/a sphère et du cylindre ; livre IJ, proposition 3.)
On en conclut immédiatement cet autre théorème, démontré aussi par Archimède, pour l'ellipsoïde de révolution seulement [Des sphéroïdes et des conoïdes, proposition 32) :
Un segment d'ellipsoïde quelconque est au cône qui a même base et même sommet, comme la moitié du diamètre qui aboutit à ce sommet, plus
la partie de ce diamètre, non comprise dans le segment, est à celte mémo partie.
Nous appelons sommet du segment rexirémilc du demi-diamèlrc qui passe par le centre de la base du segment.
397. La surface de la sphère est égale à quatre fois celle d'un grand cercle ; donc
Si l'on considère un ellipsoïde comme un polyèdre d'une infinité de faces infiniment petites, l'intégrale double qui donnera la somme de toutes ces faces, divisées respectivement par les aires des sections faites, dans l'ellipsoïde, par des plans diamétraux parallèles à ces faces, sera égale à i.
398. Soient une sphère et deux plans fixes menés par son centre. Si, autour de ce point, on fait tourner un troisième plan, de manière que la somme des angles dièdres qu'il fait avec les deux plans fixes, soit constante, ce plan enveloppera un cône du second degré; et le produit des sinus des angles que chaque arête de ce cône fait avec les deux plans fixes, sera constant *.
L'aire du triangle sphérique déterminé, sur la sphère, par les deux plans fixes et par le plan mobile, est constante, puisque la somme des trois angles de ce triangle sera toujours la même; conséquemment le volume de la pyramide sphérique, comprise sous ces trois plans, est aussi constant. Le cône percera la sphère suivant une conique sphérique. Le produit des dislances de chaque point de celte courbe, aux deux plans fixes, est constant ; ce qui prouve que cette courbe est sur un cylindre hyperbolique, dont les deux plans fixes sont les plans asymptotes. On conclut de là que :
Etant donnés un ellipsoïde et deux plans fixes menés par son centre ; si, autour de ce point, on fait tourner un troisième plan, de manière que la portion de l'ellipsoïde comprise dans l'angle Irièdre formé par ces trois plans ait son volume constant, le plan mobile enveloppera un cône du second degré ; et la courbe d'intersection de la surface de l'ellipsoïde, par ce cône,
* J ai «iémoiUré ces deux propositions dans mon Mémoire sur les propriétés générales des cônes du second degré, îirt. 24 et 26.
sera située sur un cylindre hyperbolique, dont les plans asymptotes seront les deux plans fixes.
399. Si, par un point fixe S, on mène une transversale qui rencontre une sphère en deux points a, a', on aura
Sa . Sa' = const.
Donc
Si, par un point fixe S, on mène une transversale qui rencontre un ellipsoïde en deux points a, a', on aura
Sa . Sa'
—^ = consl ;
D étant le demi-diamètre de l'ellipsoïde, parallèle à la transversale.
400. Si, par un point fixe, on mène des droites aux extrémilés a, b d'un diamètre quelconque de la sphère, on aura
Sa -t- Sf^ = consf.
Donc
Si, d'un point fixe, on mène des droites aux extrémités d'un diamètre quelconque d'un ellipsoïde, la somme de leurs carrés, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, est constante.
Ainsi Ton a
Sa S6
consl.
Par le théorème précédent :
Sa. Sa' S6.S//
On conclul de là
Sa S6
^=eonsl.
C'est le théorème du numéro 34-3 (§ XX).
MEMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 82!i
401. La somme des carrés des droites menées des exirémilés d'un diamèlre, à un point quelconque de la sphère, est constante et égale au carré de ce diamètre; donc
La somme des carrés des droites menées, des exirémilés d'un diamèlre de l'ellipsoïde, à nn point quelconque de cette surface^ divisés respectivement par les carrés des diamètres parallèles à ces droites, est constante et égale à l'unité.
Ainsi soient A, B les extrémités d'un diamètre de Pellipsoïde, el m un autre point quelconque de celte surface ; soient I), D' les diamètres parallèles aux deux droites mA, wiB; on aura
402. Si, sur un diamètre d'une sphère el sur son prolongement, on prend deux points, conjugués harmoniques par rapport aux exirémilés du diamètre, le rapport des dislances de ces deux points, à un point quelconque delà sphère, sera constant; donc
Si, sur un diamèlre d'un ellipsoïde, on prend deux points, conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de ce diamètre ; les distances de chaque point de l'ellipsoïde, à ces deux points, divisées respectivement par les demidiamètres parallèles aux droites sur lesquelles se mesurent ces distances, ont un rapport constant.
403. Si Ton a un système de points dans l'espace, el leur centre des moyennes dislances; puis que, de ce point comme centre on décrive une sphère; la somme des carrés des dislances d'un point que!con(|ue de celle sphère, à tous les points du système, sera constante; donc
Si l'on a un système de points dans l'espace, et un ellipsoïde qui ait son centre de figure au centre des moyennes distances de tous ces points ; la somme des carrés des droites menées, d'un point quelconque de l'ellipsoïde, à tous les points, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera constante.
404. Soient un cercle, el deux axes coordonnés rectangulaires, menés par son centre. Qu'on mène deux rayons quelconques reclangulaires : soient x', y' les coordonnées de rextrémité du premier, et x", y" les coordonnées de rexlrémilé du second. On aura, évidemment :
x" = =fc î/', y" = rp x'.
Faisons la déformation homographique : nous aurons une ellipse, deux axes coordonnés Ox, 0^, dirigés suivant deux diamètres conjugués, puis deux autres diamètres conjugués. On en conclut ce théorème :
L'équation d'une ellipse rapportée à deux axes conjugués étant
si l'on représente par x', y', x", y" les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués quelconques, on aura
Ces relations entre les coordonnées des extrémités de deux demi-diamètres conjugués sont très simples et peuvent servir à démontrer rapidement les diverses propriétés, connues, de ces diamètres. Elles pourraient être introduites avec avantage dans la théorie analytique des sections coniques, où on les démontrerait directement.
405. Que l'on prenne le théorème de Cotes, et qu'on le transporte à l'ellipse, en observant qu'à des secteurs égaux dans le cercle, correspondront des secteurs équivalents dans l'ellipse; on aura le théorème suivant :
Si l'on mène dans Vellipse 2n demi-diamètres, qui divisent sa surface en 2n secteurs équivalents, et qu'on appelle nio, m^, nig,... les points de division consécutifs ; que, d'un point 0, pris à volonté sur le demi-diamètre Cm^, ou sur son prolongement, on mène des droites à tous les points de^ division :
1» Le produit des droites menées à tous les points de division de rang pair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites^ sera égal à
Cm,
2° Le produit de toutes les droites menées aux points de division de rang impair, divisé par le produit des demi-diamètres parallèles à ces droites, sera égal à
cô"
Cm
Nous pourrions dire que les points de division Wq, m^, .... sont pris de manière que l'intégrale de rélémenl de l'arc d'ellipse, divisé par le demidiamèlre parallèle à la direction de cet élément, a la même valeur entre deux points de division consécutifs quelconques.
On pourrait généraliser, de même, le théorème de Moivre.
§ XXIV. Suite du précédent. — Démonstration géométrique des diverses
PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS d'uNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ.
406. Soient trois rayons rectangulaires r, r', r" d'une sphère, et trois autres rayons rectangulaires p, p', p" ; le sinus de l'angle (|ue le rayon p" fait avec le plan des deux rayons r, r', est égal au sinus de l'angle que le rayon r" fait avec le plan des deux rayons p, p' ; donc le rhomboïde construit sur les trois rayons r, r', p" a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois rayons r", p, p'. On conclut de là que :
Quand on a deux systèmes de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, le rhomboïde construit sur deux diamètres du premier système et un diamètre du second, est égal au volume du rhomboïde construit sur les trois autres diamètres.
Nous avons déjà démontré (393) que le rhomboïde construit sur trois
diamètres conjugués quelconques a loujours le même volume; on peul donc dire que :
Ëtanl donnés deux systèmes quelconques de trois diamètres conjugués, le rhomboïde construit sur trois quelconques d'entre eux a le même volume que le rhomboïde construit sur les trois autres.
407. La somme des carrés des cosinus des angles que les Irois rayons r, r'y r" font avec le rayon p, est égale à Tunité ; donc la somme des carrés des projections orthogonales des (rois rayons r, r', r" , sur le rayon p, est constante, quel que soit le système des trois rayons rectangulaires r, r', r" ; on en conclut que :
Si l'on projette trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un axe fixe, par des plans parallèles au plan conjugué à cet axe ; la somme des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
408. Si l'on mène une droile perpendiculaire aux plans projetants, la projection orlhogonale d'un diamclre, sur cette droile, sera égale à sa projection sur le diamclre fixe, multipliée par le cosinus de Pangle que ce diamèlre fait avec la droile; on en conclut que :
La somme des carrés des projections orthogonales de trois diamètres conjugués, sur une droile fixe, est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
409. Si Ton fait les projections sur trois droites rectangulaires, el qu'on fasse la somme de leurs carrés, on aura pour résullat que :
La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante.
410. Appliquant à ce théorème le principe du numéro 388, on le généralise de celte manière :
Étant donnés deux ellipsoïdes quelconques, la somme des carrés de trois diamètres conjugués du premier, divisés par les carrés des diamètres du second, qui leur sont parallèles respectivement, est constante.
411. Et si la première surface est une sphère, on en conclut que :
La somme des valeurs inverses des carrés de trois diamètres rectangulaires d'un ellipsoïde est constante.
412. La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des exlrémilés de trois rayons reclangulaires de la sphère, sur un diamélre fixe, est conslanle ; donc
Si, des exlrémités de trois demi-diamètres conjugues quelconques d'un ellipsoïde, on abaisse, sur un diamètre fixe, des obliques parallèles au plan conjugué à ce diamètre ; la somme des carres de ces obliques, divisés respectivement par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles, sera constante.
413. Soient les trois rayons rectangulaires r, r', ;" ; In somme des carrés des cosinus des angles que les trois plans qu'ils déterminent deux à deux font avec un plan donné, est égale à l'unité ; on en conclut que la somme des carrés des projections orthogonales des parallélogrammes construits sur ces rayons deux à deux, sur le plan donné, est constante ; donc
Un rhomboïde étant construit sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde, si l'on projette ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué à ce plan; la somme des carrés des projections sera constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
414. Si Ton mène un plan perpendiculaire aux droites projetantes, on aura les projections orthogonales des faces du rhomboïde sur ce plan ; elles seront égales aux projections sur le premier plan, multipliées par le cosinus de Pangle des deux plans ; d'où il suit que :
Les faces du rhomboïde construit sur trois diamètres conjugués quelconques d'un ellipsoïde, étant projetées orlhogonakment sur un plan fixe; la somme des carrés de leurs projections est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
41 0. Faisant les projections sur trois plans rectangulaires el ajoutant leurs carrés, on en conclut que :
La somme des carrés des faces du rhomboïde construit .sur trois diamètres conjugués est constante.
41(5. Substituant, dans ce théorème, au parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, l'aire de la section faite, dans l'ellipsoïde, par le
plan de ces deux diamèlres, et appliquant au théorème le principe de transformation du numéro 389, on a le suivant :
Étant donnés deux ellipsoïdes concentriques ; la sonwie des carrés des aires des sections faites, dans le premier, par trois plans conjugués, divisés respectivement par les carrés des aires des sections faites, par les mêmes plans, dans le second ellipsoïde, est constante.
417. Si la première surface est une sphère, il s'ensuit que :
Dans un ellipsoïde, la somme des valeurs inverses des carrés des sections faites par trois plans rectangulaires, est constante.
Pour appliquer ce théorème et le précédent aux hyperboloïdes, on substituera, aux aires des sections diamétrales, les aires des rhombes construits sur deux diamètres conjugués, compris dans les plans de ces sections.
418. On voit, par les théorèmes précédenis, que les propriétés des faces des rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués, sont analogues aux propriétés relatives aux longueurs de ces diamètres. El, en effet, les unes se peuvent déduire des autres facilement, au moyen du théorème suivant :
Si, par le centre d'une surface du second degré, on élève, sur chaque plan diamétral une perpendiculaire proportionnelle à l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués, compris dans ce plan ; l'extrémité de cette perpendiculaire sera sur une seconde surface du second degré.
Soient Oa, Ob, les deux demi -diamètres conjugués pris dans le plan diamétral, et Oy la perpendiculaire élevée sur leur plan, laquelle est égale à Taire du parallélogramme construit sur Oa et 06. Concevons le demi-diamètre Oc qui forme, avec les deux premiers, un système de trois demi-diamètres conjugués ; menons le plan tangent à la surface, au point c, et la perpendiculaire Op sur ce plan. Celle perpendiculaire sera en raison inverse de l'aire du parallélogramme construit sur Oa et Ob, d'après le théorème (393). Donc O7 est en raison inverse de Op. Donc le point y appartient à la surface polaire réciproque de la proposée, prise par rapport à une sphère auxilliaire concentrique. Celte surface polaire est du second degré ; le théorème est donc démontré.
419. Reprenons une sphère, et soient r, r', r" trois rayons reclan-
gulaires ; menons un diamèlre fixe p. Le plan langcnl à i'exlréniilé du rayon r rencontre le diamèlre p en un point dont la distance au centre de la sphère a sa valeur inverse égale au cosinus de Panglc que le rayon r fait avec le diamètre p : donc les plans tangents aux extrémités des trois rayons r, r', r" font, sur le diamètre pj trois segments dont les valeurs inverses ont la somme de leurs carrés constante. Ainsi :
Les plans tangents à une surface du second degré, aux extrémités de trois demi-diamètres conjugués, rencontrent un diamètre fixe en trois points, dont les dislances nu centre de la surface ont la somme des carrés de leurs valeurs inverses constante.
420. Soient les trois rayons rectangulaires r, r', r", et un plan fixe P. Projetons sur ce plan, par des droites parallèles au rayon r", le parallélogramme construit sur les deux premiers rayons r, r' : la projection sera égale à ce parallélogramme, divisé par le cosinus de Pangle que son plan fait avec le plan P ; donc la valeur inverse de cette projection sera égale à la valeur inverse du parallélogramme, multipliée par le cosinus. Si Ton projette de même, sur le plan P, les deux autres parallélogrammes construits, Tun sur r et r", l'autre sur r', r", on aura trois projections dont la somme des valeurs inverses des carrés sera égale à une constante. On en conclut^ dans les surfaces du second degré, une propriété que nous pouvons énoncer ainsi :
Les faces du rhomboïde construit sur trois demi-diamètres conjugués d'une surface du second degré, rencontrent un plan fixe suivant six droites qui sont parallèles deux à deux, et qui, prises quatre à quatre, déterminent trois parallélogrammes ; la somme des valeurs inverses des carrés de ces trois parallélogrammes a une valeur constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
On peut exprimer ce théorème de celte manière :
Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués quelconques d'une surface du second degré ; si Pon projette chacune de ses faces sur un plan fixe, par des droites parallèles au diamètre conjugué au plan de la face projetée ; la somme des valeurs inverses des carrés des projec-
lions sera constante, quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués.
421. Si, d'un point de Tespace, on abaisse des perpendiculaires sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par un point fixe, la somme des carrés de ces perpendiculaires sera conslanle et égale au carré de la dislance des deux points ; donc
Si, d'un point m de l'espace, on abaisse, sur trois plans diamétraux conjugués quelconques d'un ellipsoïde, trois obliques parallèles, respectivement, aux trois diamètres conjugués à ces plans; la somme des carrés de ces obliques, divisés, respectivement, par les carrés des demi-diamètres qui leur sont parallèles, sera constante, et égale au carré de la droite menée du point m au centre de rdlipsoïde, divisé par le carré du demi-diamètre compris sur cette droite.
Ainsi, soient a, b, c Irois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde ; prenons leurs directions pour celles de trois axes coordonnés Ox, Oy, Oz ; et soient x, y, z les coordonnées d'un point m de l'espace ; soit Orf le demidiamèlre de la surface, compris sur la droite 0«/. On aura l'équation
a;* \f z^ Om
quel que soit le système des Irois demi-diamèlres conjugués a, b, c. Celle équation fait voir que la quantité
est plus grande ou plus petite que Tunité, suivant que le point m est pris au dehors ou au dedans de l'ellipsoïde; et qu'elle est égale à l'unité, quand le point m est pris sur la surface ; c'est-à-dire que l'équation
apparlienl à tous les poinls de la surface.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 8i9
422. Soient deux droites fixes menées par le centre de la sphère : la somme des produils des cosinus des angles qu'elles font avec Irois rayons reciangulaires est égale au cosinus de l'angle qu'elles font enlre elles; ainsi celle somme est conslanle, quel que soit le système des trois rayons rectangulaires. On conclut de là que la somme des produils des projections orlliogonales des trois rayons, sur les deux droites, est constante. El si Ton conçoit deux plans diamétraux, respeclivement perpendiculaires aux deux droites fixes, on peut dire que la somme des produits des perpendiculaires abaissées, des extrémités des trois rayons rectangulaires, sur les deux plans, est conslanle.
A ces trois perpendiculaires correspondronf, dans la figure homographique, les obliques abaissées des extrémités de trois demi-diamèlres, conjugués à ces plans. Ces obliques seront proporlionnelles, respectivemenl, aux perpendiculaires abaissées des mêmes points sur les deux plans fixes. On a donc ce théorème :
Élanl menés deux plans fixes par le centre d'an ellipsoïde ; la somme des produits des perpendiculaires abaissées, des extrémités de trois demidiamèlres conjugués, sur ces deux plans, sera constante.
Si les deux plans sont conjugués, celle somme est égale à zéro.
423. Si Ton conçoit deux droites, respeclivement perpendiculaires aux deux plans, les perpendiculaires abaissées sur ces plans seront égales aux projections orlhogonales des demi-diamèlres sur ces droiles; on peut donc dire que :
La somme des produits des projections de trois demi-diamétres conjugués, sur deux droites fixes, est constante.
Si les deux droites se confondenl, on aura, comme simple corollaire, le théorème (408).
424. Soient deux plans fixes et trois plans rectangulaires quelconques, menés par le centre de la sphère : la somme des produits des cosinus des angles que ces trois plans feront avec les deux plans fixes sera constante et égale au cosinus de l'angle des deux plans. II s'ensuit que si l'on conçoit trois rayons rectangulaires, la somme des produits des projections, sur les
deux plans^ des rhombes conslruils sur ces rayons pris deux à deux, sera conslanle.
On conclul de là un théorème semblable, à l'égard des projections des parallélogrammes faits sur trois demi-diamètres conjugués pris deux à deux; ces projections étant faites sur deux plans fixes, par des droites parallèles aux diamètres conjugués à ces plans; et si Ton conçoit deux autres plans, respectivement perpendiculaires à ces deux droites, les projections orthogonales, sur ces plans, seront égales aux premières projections, multipliées par les cosinus des angles que les premiers plans font, respectivement, avec les deux nouveaux. On peut donc énoncer ce théorème :
Un rhomboïde étant construit sur trois demi-diamètres conjugués d'un ellipsoïde; stl'on projette orlhogonalement chacune de ses faces sur deux plans fixes, et qu'on fasse le produit de ces deux projections; la somme de ces produits est constante, quel que soit le système des trois demi-diamètres conjugués.
Si les deux plans se confondent, on a le théorème (4^14).
425. Si, par un point fixe, on mène dans la sphère trois cordes rectangulaires, la somme de leurs carrés sera constante {Géométrie de position^ pag. 166); donc
Si, par un point fixe, on mène dans un ellipsoïde trois cordes parallèles à trois diamètres conjugués quelconques; la somme de leurs carrés, divisés respectivement par les carrés de ces diamètres, est constante.
Le point fixe peut être pris sur la surface de Tellipsoïde.
426. Si, par un point pris dans Tintérieur d'une sphère, on mène trois plans rectangulaires, la somme des aires des trois sections est constante (Géométrie de position, pag. 167); donc'
Si, par un point fixe, pris dans l'intérieur d'un ellipsoïde, on mène trois plans parallèles à trois plans conjugués quelconques ; la somme des aires des trois sections, divisées respectivement par les aires des sections diamétrales faites par les plans conjugués, sera constante.
§ XXV. Réflexions suu la théorie des iiciues homoguaphiqles. — Démonstration de quelques-unes de leurs propriétés générales.
427. Nous n'avons considéré^, dans ce Mémoire, la théorie des figures homographiques que comme mélhode de transformalion, propre à la démonslralion el à la généralisation des propositions de Géométrie. Mais cette théorie est susceptible de développements d'une autre nature. Deux figures homographiques, situées d'une manière quelconque dans l'espace, donnent lieu à un ensemble de proposilions assez nombreuses, qui apparliennenl à la théorie propre de ces figures; el ces proposilions pourront, soit dans leur généralité, soit dans divers cas particuliers, être utiles el offrir des résultats intéressants. Par exemple, deux corps semblables, ou deux corps égaux, quelles que soient leurs positions dans l'espace, forment un système de deux figures homographiques : les propriétés générales de ces figures apparliendront donc aux deux corps. La théorie des figures homographiques conduira ainsi aux propriétés générales du déplacement fini quelconque, ou du mouvement infiniment petit, d'un corps solide dans l'espace.
On voit donc que cette théorie mérite d'être étudiée pour elle-même, indépendamment de ses usages pour la Iransformalion des figures. Aussi nous comptons revenir sur cet objet.
Nous nous bornerons, dans ce moment, à faire connaître seulement deux propriétés générales des figures homographicjues, qui trouveront des applications fréquentes dans diverses recherches géométriques. Elles justifieront la forme des énoncés que nous avons donnés à deux propriétés des coniijues, dans nos Notes XV et XVI ; el nous en déduirons une propriété t>articulière à deux figures homographiques planes, dont nous avons fait usage précédemment (§ XVI, n« 299).
Ensuite nous appliquerons, dans le paragraphe suivant, la théorie des figures homographiques à la Perspective, particulièrement à une question dont nous avons parlé au sujet de la Perspective de Slevin (Note XVIII);
question dont ce savant Géomèlre hollandais n'a résolu que des cas particuliers, et qui depuis n'a jamais reçu une solution complète.
428. Quand on prend, dans deux figures homographiques, trois droites qui se correspondent; aux points a, b, c, d, .... de la première, correspondent des points a'^ b', c', d',,.. de la seconde; et quatre quelconques des premiers points ont leur rapport anbarmonique égal à celui des quatre points qui leur correspondent.
Nous dirons que les deux droites sont divisées liomographiquement par les points a, b, c, ... et a', b,' c', . .
Pareillement, aux plans A, R, C, ... menés par une droite de la première figure, correspondent des plans A', R', C, .... passant par la droite corresl)ondantc de la seconde figure. Et le rapport anbarmonique de quatre quelconques des plans A, R, C, .... est égal à celui des quatre plans correspondants. Nous dirons que les premiers plans forment un faisceau, que les plans correspondants forment un second faisceau , et que ces deux faisceaux de plans sont homographiques.
Si les figures étaient planes, au lieu de faisceaux de plans, nous considérerions des faisceaux de droites; et nous dirions que deux faisceaux correspondants sont homographiques.
Ainsi, en résumé :
Deux droites sont divisées homographiquemenf , quand le rapport enharmonique de quatre points quelconques de la première est égal au rapport enharmonique des quatre points correspondants de la seconde ;
Deux faisceaux de droites, compris dans un même plan ou dans deux plans différents^ sont homographiques, quand le rapport anbarmonique de quatre droites quelconques, du premier faisceau, est égal au rapport anbarmonique des quatre droites correspondantes, du second faisceau ;
Et deux faisceaux de plans sont homographiques, quand le rapport anbarmonique de quatre plans quelconques, du premier faisceau, est égal au rapport anbarmonique des quatre plans correspondants, du second faisceau.
429. Les deux propriétés générales du système de deux figures homographiques, que nous allons démontrer, sont les suivantes ;
Première proposition. Quand deux droites, placées d'une maniéi'e quelconque dans r espace y sont divisées homographiquement, les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondants, forment un hyperboloide à mie nappe.
En effet, quaire poinls de division a, b, c, d, de la première droite, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre poinls correspondants a', 6', c', d', de la seconde droite. Il s'ensuit (ainsi que nous l'avons démontré dans notre Note IX, page 306) qu'une droite quelconque, qui s'appuiera sur trois des quaire droites aa', bb' , ce', dd\ s'appuiera nécessairement sur la quatrième ; d'où il suit que ces quaire droites appartiennent à un liyperboloïde à une nappe.
430. Seconde proposition. Quand on a, dans l'espace, deux faisceaux de plans homographiques, les droites suivant lesquelles se coupent deux à deux les plans correspondants, forment un hyperboloïde à une nappe.
Celte proposition résulte directement de la précédente. Car soient L, V les axes des faisceaux; A, B, C, D, .... les plans du premier faisceau, et A', B', C, D', .... les plans correspondants du second : les plans A, B, C, D, .... rencontreront la droite L' en des poinls a, 6, c, (/, .... ; et les plans A', B', C, D', .... rencontreront la droite L en des poinls a', b', c', d', .... Les quaire poinls a, b, c, d ont leur rapport enharmonique égal à celui des plans A, B, C, D; les quaire poinls a', b', c', d' ont leur rapport anharmonique égal à celui des plans A', B', C, D'. Mais, par hypolhèse, le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quaire plans correspondants A, B, C, D. Donc le rapport anharmonique des poinls a, b, c, d est égal à celui des points a', b', c', d'. Donc les quatre droites aa', bb', ce', dd' appartiennent à un hyperboloïde à une nappe. Or : la droite aa' est l'intersection des plans A, A' ; bb' est rinterseclion des plans B, B', et ainsi des autres; donc, etc.
431. Les deux propositions précédentes ont leurs analogues dans la Géométrie plane, et celles-ci exigent des démonstrations particulières.
Première proposition. Quand deux droites, situées dans un même plan, sont
divisées homographiquement, les droites qui joignent deux à deux les points de division correspondants, enveloppent une conique, tangente aux deux droites proposées.
Cela résulte évidemment de la propriété anharmonique des tangentes d'une conique, que nous avons démontrée dans la Note XVI.
432. Seconde proposition. Quand on a, dans un plan, deux faisceaux homographiques, les droites de l'un rencontrent respectivement les droites correspondantes de l'autre en des points situés sur une conique passant par les centres des deux faisceaux.
Cela résulte de la propriété anharmonique des points d'une conique, démontrée dans notre Note XV.
433. Cette proposition et la précédente conduisent à une propriété remarquable du système de deux figures homographiques^ situées dans un même plan, dont voici l'énoncé :
Quelle que soit la position de deux figures homographiques dans un même plan, il existe généralement trois points qui, considérés comme appartenant à la première figure, sont eux-mêmes leurs hornologues dans la seconde; et trois droites qui, considérées comme appartenant à la première figure, sont elles-mêmes leurs homologues dans la seconde ;
Deux des trois points peuvent être imaginaires, le troisième est toujours réel ;
Et deux des trois droites peuvent être imaginaires, et la troisième est toujours réelle *.
Il est évident que, quand les trois points sont réels, les trois droites sont précisément celles qui joignent deux à deux ces trois points.
Pour démontrer le théorème, concevons, dans les deux figures, deux faisceaux correspondants, dont les centres soienl 0, 0' ; les droites de Pun rencontreront respectivement les droites correspondantes de l'autre en des points situés sur une conique. Pour deux autres faisceaux ayant leurs centres en deux points correspondants û, û', on aura pareillement une
* C'est celte proposition dont nous avons fait usage dans un paragraplie précédent (n" 299).
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIR. «35
seconde conique. Les deux coniques passeront par le point d'intersection des deux droites Où, O'û', parce que ces deux droites sont des rayons correspondants, dans les premiers faisceaux, ainsi que dans les deux autres. Soient A, B, C les trois autres points d'intersection des deux coniques; je disque chacun de ces points, considéré comme appartenant à Tune des deux figures, est lui-même son homologue dans Pautre. En effet, les droites O'A, û'A de la seconde figure, correspondent respectivement aux droites OA, ûA de la première; donc le point d'intersection des deux premières correspond au point d'intersection des deux autres; c'est-à-dire que le point A, considéré comme appartenant à l'une des deux figures, est lui-même son homologue dans l'autre.
Maintenant, les deux coniques ayant toujours un point d'intersection réel, point de concours des deux droites Où, O'Q', elles auront un second point d'intersection réel; donc l'un des trois points A, B, C est toujours réel.
Quand les poinis A, B, C sont réels, chacune des trois droites AB, BC, CA, considérée comme appartenant à l'une des deux figures, est évidemment sa correspondante dans l'autre figure; de sorte qu'on peut dire que, dans deux figures homographiques situées dans un même plan, il existe, généralement, trois droites dont chacune est elle-même son homologue dans les deux figures ; et de là on peut conclure que, de ces trois droites, l'une est toujours réelle; parce qu'une question qui admet trois solutions en a toujours une réelle, mais on démontrera cela directement, par un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour démontrer la réalité d'un des trois points. Au lieu de prendre des faisceaux correspondants, on prendra des droites divisées homographiquement, et l'on considérera les coniques enveloppées par les droites joignant les points de division correspondants. D'après ce qui précède, celte démonstration est sans difficulté.
Ainsi le théorème est démontré dans toutes ses parties.
434. Quand on sait, a priori, que deux des trois points A, B, C sont réels, on en conclut que le troisième est réel aussi, parce qu'alors les deux coniques qui servent à déterminer ces points ont trois points d'in-
terseclion réels; par conséquent^ leur quatrième point d'intersection est réel.
Pareillement, quand deux des trois droites en question sont réelles, la troisième est nécessairement réelle.
§ XXVI. Application de la théorie des figures homograpiiiques,
