A LA PERSPECTIVE ET A LA CONSTRUCTION DES BAS-RELIEFS

433. Une figure plane, et sa perspective sur un plan, sont deux figures homographiques ; car elles satisfont à la condition conslilulive des figures homograpliiques, savoir que, à chaque point et à chaque droite de l'une, correspondent un point et une droite dans l'autre.

Il suit de là que les relations générales, descriptives et métriques, de deux figures homographiques, et les propriélés qui en dérivent, s'appliquent à deux figures planes qui sont la perspective Tune de Tautre.

De ces propriélés, on n'a considéré, généralement, que celles qui sont purement descriptives; et c'est sur elles qu'ont reposé la plupart des applications que l'on a faites de la Perspective en Géométrie spéculative, depuis que Desargues et Pascal, il y a deux cents ans, ont introduit celte méthode dans la théorie des coniques. En fait de relations mélriques, on s'est horné généralement aux relations harmoniques; et quoique Pascal, dans son Essai pour les coniques, ait mis au nombre des propositions principales qui lui servaient, dans son Traité complet de ces courbes, la propriété que nous appelons égalité des rapports an harmoniques de deux groupes de quatre points correspondants, on n'a pas tiré de cette proposition, si simple et si féconde, tout le secours qu'elle pouvait apporter dans les applications de la Perspective, en Géométrie rationnelle. Aussi ces applications nous paraissent n'avoir pas reçu tout le développement dont elles étaient susceptibles. L'élément le plus important et le plus indispensable en Géométrie, les relations mélriques, manquaient à celte théorie.

Ces relations métriques sont les mêmes que celles que nous avons démon-

(rées pour les figures homographiques les plus géiiéralcs. Elles dérivent, comme celles-là, de Pégalité des rapports en harmoniques de deux groupes de quatre points correspondants. Nous allons les reproduire ici, en adaptant leur énoncé aux figures particulières que Ton considère dans la Perspective.

436. 1° Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, le rapport des distances d'une droite quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances de la droite correspondante, dans la seconde, aux deux points correspondant à ces deux points fixes, dans une raison constante.

437. 2° Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, le rapport des distances d'un point quelconque de la première, à deux droites fixes de cette figure, est au rapport des distances du point homologue de la seconde, aux deux droites correspondantes, dans une raison constante.

438. Dans ce second principe, une droite de chacune des deux figures peut être située à l'infini; ce qui donne lieu aux deux corollaires suivants, qui seront utiles dans beaucoup de questions :

Premier corollaire. Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, la distance d'un point quelconque de la première, à une droite fixe prise dans le plan de cette figure, est dans une raison constante avec le rapport des distances du point homologue de la seconde figure, à deux droites fixes : la première correspond à la droite prise dans le plan de la première figure, et la seconde est l'intersection du plan de la seconde figure avec le plan mené par l'œil, parallèlement à celui de la première figure.

439. Second corollaire. Quand deux figures planes sont la perspective l'une de l'autre, si l'on mène, dans le plan de la première, la droite correspondante à l'infini de la seconde (c'est-à-dire la droite qui est l'intersection du plan de la première figure avec le plan mené par l'œil, parallèlement à celui de la seconde), et, dans le plan de la seconde figure, la droite qui correspond à l'infini de la première ; les distances de deux points homologues

quelconques des deux figures, à ces deux droites, respectivement, auront leur produit constant.

440. Ces théorèmes, qu'on n'avait pas encore donnés, je crois, permettront d'appliquer les principes de la Perspective, dans beaucoup de questions où Ton n'a point encore songé à en faire usage. Par exemple, on généralisera les propriétés des diamètres conjugués et celles des foyers des sections coniques, comme nous l'avons fait, à l'égard des surfaces du second degré, par la théorie des figures homographiques. Mais il est inutile d'entrer dans plus de développements à ce sujet.

Passons à d'autres rapprochements entre la théorie de la Perspective et celle des figures homographiques.

441. Puisqu'une figure plane, et sa perspective sur un plan, sont deux figures homographiques, on doit se demander si, réciproquement, deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être considérées comme la perspective l'une de l'autre; ou, en d'autres termes, si deux figures planes homographiques quelconques peuvent toujours être placées sur une même surface conique.

Si cela est, on conçoit que le problème de la perspective d'une figure plane sera réduit à une question de simple Géométrie plane, sans considération aucune de Géométrie à trois dimensions; savoir, de construire la figure homographique d'une figure donnée, qui satisfasse à certaines conditions de forme et de position.

Il est donc important de résoudre la question que nous venons de poser.

442. Pour parvenir à sa solution, observons qu'une figure homographique d'une figure proposée sera parfaitement déterminée, si l'on connaît quatre points qui doivent correspondre, un à un, à quatre points de la figure proposée; de sorte que la question se réduit à celle-ci :

Étant donnés deux quadrilatères plans, dont les sommets de l'un correspondent, un à un, aux sommets de l'autre, on demande de les placer dans l'espace, de manière qu'ils soient la perspective l'un de l'autre.

Il est clair que, dans cette question, les quatre côtés du premier quadrilatère rencontreront, respectivement, les quatre côtés correspondants di

second, en quatre poinis qui seront sur une même droite, intersection des plans des deux figures. Et l'on sait que si, autour de cotte droite, on fait tourner le plan d'une des deux figures, pour l'appliquer sur l'autre, les deux figures se trouveront, sur ce plan, dans les mômes conditions que dans l'espace, c'est-à-dire que les droiles joignant les sommets du premier quadrilalére, respectivement, aux sommels correspondants du second, concourront encore en un même point. (C'est l'un des théorèmes de Desargues. Voir Deuxième Époque, § 28.)

443. D'après cela, le problème se ramène à cette question de Géométrie plane :

Étant donnes dans un plan deux quadrilatères quelconques, dont les sommets de l'un correspondent, un à un, aux sommets de l'autre, on propose de les placer, dans leur plan, de manière :

1** Que les droites joignant les sommets de l'un aux sommets correspondants de l'autre, concourent en un même point ;

Et 2° que les côtés correspondants se rencontrent, un à un, en quatre points situés en ligne droite.

Solution. On regardera les quatre sommets a, h, c, d du premier quadrilatère, comme appartenant à une première figure quelconque, et les quatre sommets a', h' , &, d' du second, comme appartenant à une seconde figure, qui doit être homographique à la première. Nous savons construire cette seconde figure; c'est-à-dire que nous savons trouver tous ses points correspondant à des points donnés de la première; et, réciproquement, nous savons déterminer à quels points de la première figure correspondent des poinis, désignés, de la seconde. La construction des points des deux figures sert à déterminer leurs droites correspondantes (§ XV, n° 272).

On cherchera la droite 1 qui, dans la première figure, correspond à l'infini de la seconde; et la droite J' qui, dans la seconde figure, correspond à l'infini de la première.

On placera les deux figures de manière que les droites I, J' soient parallèles entre elles. Le côté ab de la première figure rencontre la droite I en un point e qui correspond au point e' situé à l'infini, dans la seconde

figure, sur la droite a^b', A une droite quelconque egy menée par ce point e, correspondra, dans la seconde figure, une droite e^g' parallèle à la droite a'b'. Menons eg parallèle, elle-même, à la droite a'6'; et supposons qu'on ail déterminé la droite e'g^ qui lui correspond.

Pareillement, par le point /", où le côté cd rencontre la droite I, menons une parallèle fh à la droite c'rf'; et soit f'h' la droite correspondante dans la seconde figure (le point f étant à Tinfini).

Les droites eg, fh se rencontreront en un point S, et les droites e^g' , f'h' se rencontreront en un second point S'.

On placera les deux figures de manière que les angles eS/", e'^'f, qui sont égaux, soient superposés l'un sur l'autre; et le problème sera résolu.

Démonstration. Remarquons d'abord que les deux droites I, J', dans cette position des figures, seront encore parallèles entre elles; ce qui est évident.

Maintenant, les droites Se, Sf de la première figure, ont pour correspondantes, dans la seconde, les droites S'e', S'p ; les- points S et S' se correspondent donc. Par conséquent, quand l'angle e'S'f est superposé sur l'angle eS/", le point S est lui-même son correspondant dans la seconde figure; et les droites Se, Sf sont elles-mêmes aussi leurs correspondantes dans la seconde figure. Il existe donc une troisième droite qui est ellemême sa correspondante dans les deux figures (paragraphe précédent, n" 434).

Le point situé à l'infini, sur la droite I, considéré comme appartenant à la première figure, est à l'intersection de la droite I et de la droite située à l'infini; son homologue est donc, dans la seconde figure, à l'intersection de la droite située à l'infini et de la droite J'; c'est-à-dire que ce point est lui-même son homologue dans les deux figures. Par conséquent la droite Si, menée par le point S, parallèlement aux droites I, J', est elle-même son homologue dans les deux figures, de même que les deux droites Se, Sf. Il suit de là qu'une quatrième droile quelconque SA- sera aussi son homologue dans les deux figures, parce que les quatre droites Se, Sf, Si, Skà

considérées comme appartenant à la première figure, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre droites correspondantes, dans la seconde tigure. Les trois premières de celles-ci sont Se, % et Si ellesmêmes; la quatrième est donc aussi la quatrième du groupe.

Il suit de là que deux points homologues quelconques a, a', des deux figures, sont en ligne droite avec le point S; ce qui est Tune des deux conditions du problème.

Il reste à prouver que deux droites homologues quelconques se rencontrent sur une droite fixe.

Soit E le point de rencontre de deux droites homologues ab, a'b' ; si Ton considère ce point comme appartenant à la première figure, son homologue sera sur la droite SE et sur la droite a'b' ; ce sera donc le point E lui-même. Soient £ et 9' les points où la droite SE rencontre les deux droites I et J'. Considérons, sur la droite SE, les quatre points de la première figure qui sont S, e, E et l'infini; et les quatre points homologues de la seconde figure, lesquels sont S, l'infini, E et y'. Égalant le rapport anharmonique des quatre premiers points à celui des quatre autres, on a