ES ES

Es ""Ts'

d'où

Es = f'S.

Cette équation fait voir que le point E est sur une droite parallèle aux deux droites I, J', et distante de la première, I, d'une quantité égale à la distance du point S à la seconde J'. C'est sur cette droite que se couperont, deux à deux, toutes les droites correspondantes des deux figures. Ainsi la seconde condition de la question sera remplie. Ce qu'il fallait prouver.

444. Maintenant si l'on veut placer les deux figures dans l'espace, de manière qu'elles soient la perspective l'une de l'autre, il suffira de faire tourner l'une d'elles, la seconde par exemple, autour de la droite sur laquelle se coupent les droites correspondantes. Pour chaque position de

celle figure il y aura perspective : le lieu de l'œil variera de position ; et Ton démontre aisémenl, par des comparaisons de triangles semblables, que, dans toutes ses positions, l'œil se trouve toujours sur une circonférence de cercle, dont le centre est sur la droite 1, et dont le plan est perpendiculaire à cette droite. Quand le plan de la seconde figure aura fait une domi-révolulion, il se retrouvera abaltu sur le plan de la première figure. Cette position des deux figures, comprises encore dans un même plan, présentera une seconde solution de la question que nous avons résolue : Placer deux quadrilatères dans un même plan, de manière, elc.

Nous aurions pu obtenir directement celle seconde solution, comme la première; mais pour cela il aurail fallu retourner le plan du second quadrilatère et l'appliquer de nouveau sur celui du premier.

445. Puisque deux quadrilatères, dont les sommets se correspondent un à un, peuvent être mis en perspective, on en conclut que deux figures planes homographiques quelconques peuvent être placées de manière à être la perspective l'une de l'autre.

446. // suit de là que deux figures qui sont des perspectives différentes d'une même figure plane, peuvent être placées de manière à être la perspective l'une de l'autre»

Ou, en d'autres termes :

Quand deux cônes passent par une même courbe plane j de quelque manière qu'on les coupe respectivement par deux plans, les deux courbes d'intersection pourront être placées sur un troisième cône.

Donc, si l'on fait la perspective B d'une figure plane A, puis la perspective C de la figure B, puis la perspective D de la figure C, et ainsi de suite, toutes ces perspectives étant faites sur des plans quelconques et pour des positions différentes de l'œil, la dernière figure pourra être produite directement par une perspective de la première.

447. Le problème que nous avons résolu au sujet de deux quadrilatères plans donne lieu naturellement à celle autre question :

Étant donnés deux pentagones gauches quelconques, dont les sommets de

l'un correspondent, un à un, aux sommets de l'autre, peut-on les placer dans l'espace de manière que leurs sommets correspondants soient sur des droites concourant en un même point, et que leurs côtés correspondants se coupent en des points situés sur un même plan 9

Le premier pentagone élanl regardé comme appartenant à une figure quelconque, le second déterminera une figure homographique ; la question revient donc à celle-ci :

Deux figures homographiques quelconques, à trois dimensions, peuventelles être placées de manière à être homologiques 9

La réponse à celte question est négative, ainsi que nous allons le démontrer.

Que Ton cherche, dans la première figure, le plan I qui correspond à l'infini de la seconde ; et, dans celle-ci, le plan J' qui correspond à Tinfini de la première.

Que, par un point m de la première figure, on mène une droite ma parallèle au plan I ; et qu'on cherche la droite homologue m'a' de la seconde figure : elle sera parallèle au plan J' ; car le point «', où elle rencontrera ce plan, correspondra au point a, situé à l'infini, sur la droite ma de la première figure ; mais ce point a, situé à l'infini, est sur le plan I, puisque ma es! parallèle à ce plan ; donc son correspondant a', dans la seconde figure, est à l'infini. Donc la droite m'a' est parallèle au plan J'. Ainsi toutes les droites 7na, mb, me, ...., menées par le point m, parallèlement au plan I, ont leurs homologues m'a' , m'b' , m'c', ...., parallèles au plan J'. Si les deux figures étaient placées homologiquement, les deux plans I, J' seraient parallèles entre eux, et les droites ma, mb, me, ...., seraient parallèles, respectivement, aux droites m'a', m'b', m'c', .... Or, on peut bien placer les deux figures de manière que les plans I, J' soient parallèles entre eux, et que deux droites correspondantes ma, m'a' soient parallèles entre elles; alors deux autres droites correspondantes mb, mb" seront aussi parallèles entre elles ; mais aucune des autres droites me, md, .... de la première figure, ne sera, en général, parallèle à sa correspondante.

su MÉMOIRE DE GEOMETRIE.

En effet, prenons deux figures homographiques quelconques -, plaçons-les de manière qu'une droite quelconque ab de la première coïncide avec son homologue a'b' dans la seconde, et que, de plus, les deux points correspondants a, a' coïncident; il existera sur ces droites un second point 6 qui coïncidera avec son homologue b' ; et il n'en existera pas un troisième, sans quoi les deux droites seraient divisées en parties égales * ; ce qui est un cas particulier de la division homographique de deux droites.

Supposons donc les deux points a, b, de la première droite, superposés sur les deux points a'^ b' de la seconde. Soient m, m' deux points homologues quelconques des deux figures ; menons du premier, aux points a, b, c, .... de la première droite, les rayons ma, mb me, ....; et, du second, aux points correspondants de la seconde droite, les rayons m'a', m'6', m'c', .... Menons par la droite ab (a'b') un plan transversal quelconque ; regardons-le comme appartenant à la première figure, et soit Q' son homologue dans la seconde ; puis, regardons-le comme appartenant à la seconde figure, et soit P son homologue dans la première.

Maintenant, faisons la transformation homographique du système des deux figures, de manière que le plan transversal passe à l'infini, c'est-à-dire que son homologue, dans les nouvelles figures, soit à l'infini : les deux plans P, Q',

* Soit t le point de la droite ab qui correspond à l'infini de la droite a'b', et soit/ le point de celle-ci qui correspond à l'infini de la première. Considérons, sur ab, les quatre points a, b, if et l'infini, et sur a'b' les quatre points correspondants, a', (ou a, puisque ces deux points sont superposés), 6', l'infini, et j'. Égalant les rapports anharmoniques de ces deux groupes de quatre points, on aura

ba b'a

hi j'a

Celle équation fait voir que si les points b et b' coïncident, on a bi = j'a; condition qui détermine la position commune des points h, b'.

Les deux points a', b', coïncidant avec leurs homologues, a, 6, deux autres points homologues c, c', ne peuvent pas coïncider, à moins qu'il n'en soit de même de tous les autres points d, d', etc. Car si les quatre points a, b, c, d correspondent, respectivement, aux quatre points a, 6, c, d' , on trouve, en égalant les rapports anharmoniques, que les points d, d' coïncident.

MÉMOIKE DE GÉOMÉTRIE 845

deviendront parallèles entre eux ; ce seront les deux plans que nous avons désignés ci-dessus par I et J'. Les droiles ma, mb deviendront |)arallèles, respeclivemenl, aux droites m'a', m'b' ; mais les autres droites, me nul ne deviendront pas parallèles à leurs correspondantes. Les deux figures ne seront donc pas homologiques.