Ainsi nous pouvons dire que
Deux figures homographiqiies, à trois dimensions, ne peuvent pas, en général, être placées de manière à être homologiques.
W suit de là que les figures homographiques sont d'une forme plus générale que les formes homologiques.
449. Toutes les propriétés des figures homographiques s'appliquent aux figures homologiques ; conséquemment elles doivent s'observer dans la construction des bas-reliefs. Ainsi les diverses relations métriques qui existent entre deux figures homographiques^ ont lieu aussi entre une figure à trois dimensions et sa perspective-relief, de même qu'entre une figure plane et sa perspective sur un plan. Et si, au lieu de supposer qu'un relief est fait pour une position unique de l'œil, de même qu'une perspective plane, on le considère plus généralement comme une représentation d'un objet, dans laquelle des points correspondent à des points et des surfaces planes correspondent à des surfaces planes ; alors la théorie des reliefs ne serait autre que la théorie générale des figures homographiques ; il y aurait simplement à prescrire certaines règles générales à observer dans la disposition des données de la question pour produire, selon la destination du relief, la plus parfaite illusion pour telle et telle place du spectateur. Mais ces règles d'ordonnance ne pourraient point être absolues, et dépendraient, dans chaque question, de l'expérience et du sentiment de l'artiste : après quoi il resterait à construire géométriquement le relief, considéré comme figure homographique de l'objet qu'on veut représenter.
§ XXVII. Note (§ XI n° 228). — Construction graphique des tangentes
ET DES cercles OSCULATEURS DES COURBES GÉOMÉTRIQUES.
450. Que l'on applique le ihéorème du paragraphe XI à une courbe plane gëomélrique; et que l'on prenne le point m infiniment voisin du point de la courbe où l'on veut mener la tangente; que les trois transversales mi, mj, ij soient menées arbitrairement ; et que les points a, b soient ceux où les deux premières rencontrent l'arc de la courbe duquel le point m est infiniment voisin; cet arc sera pris pour la tangente, et le rapport^ sera égal au rapport des sinus des angles que les deux droites mj, mi font avec cette tangente. Après avoir remplacé le premier rapport par le second, on pourra supposer que le point m soit sur la courbe même ; alors en substituant, dans l'équation du numéro 227, au rapport^ le rapport des sinus des angles B, a que les deux droites mj, mi font avec la tangente à la courbe au point m, on aura l'équation
sine mh' .mh" .... im ia' .ia" .... jc.jc' .je' .... X : ~ 77T, X
sin a ma' .ma".... jm.jb' .jb" .... ic.ic' .ic" ....
Tous les facteurs du second membre sont des segments faits sur les trois transversales arbitraires mi, mj, ij\ de sorte que le second membre est connu. Conséquemment la direction de la tangente est déterminée.
Ainsi ce problème des tangentes, qui a eu une si grande célébrité il y a deux cents ans, qui était « le plus beau et le plus utile » que Descartes ait désiré savoir, se trouve résolu géométriquement, d'une manière tout à fait générale et très simple, pour les courbes mêmes auxquelles s'appliquaient les deux solutions analytiques de ce philosophe.
Si l'on applique l'Analyse à cette solution, on obtiendra la formule employée en Géométrie analytique.
451. L'équation (2) conduit, avec la même facilité, à la solution d'un problème d'un ordre plus élevé que celui des tangentes, du problème des cercles oscillateurs aux différents points d'une courbe géométrique.
En effet, soient pris, sur une courbe géométrique, trois points consécutifs bj a, b'f infiniment voisins. Par le point a soit menée, arbitrairement, une droite rencontrant bb' en m, et la courbe aux points a', a", .... Soient 6", 6'", .... les points où la corde bb' rencontre la courbe; et menons une transversale quelconque qui rencontrera ma en /, mb en j, et la courbe en c, c', c", .... On aura l'équation
ma.ma' .ma" ... jb.jb' .jb" ... ic.ic' .ic" ...
ta. ta .ta ... mb.mh .mb ... je .je .je ...
Concevons le cercle qui passe par les trois points b, «, b' ; et soit e le point où la droite ma le rencontre; on aura
ma.ms = mb.mb']
d'où
mb.mb' me = ;
ma
el, d'après l'équation ci-dessus.
ma' ma" ... jb .jb' .jb" ... ic. ie' . ic' nit = X ■ . . . ,. X
mb"... ia.ia'.ia" ... jc.jc' je" ...
Pour chaque transversale menée par le point a, on aura une équation semblable. Ainsi Ton déterminera autant de points qu'on voudra du cercle passant par les trois points 6, a, b'. Et si l'on suppose que ces trois points se confondent, on aura le cercle osculateur à la courbe. Alors la droite bb' devient la tangente à la courbe, au point m; et ce point m se confond avec le point de réunion des trois points b, a, b'. La formule devient donc
ma' .ma" ... jm.jb" ... ic.ic .ic" ...
me = X . . , . „ • X V
mb" ... im .ia'.ia' ... je. je. je'
La tangente au point m étant connue, il suffira de déterminer un seul point f, pour que le cercle osculateur soit connu. Si l'on veut calculer son diamètre.
on mènera la transversale mi perpendiculaire à la tangente; alors l'expression de nu sera la longueur du diamètre du cercle.
On converlira aisément cette solution graphique en la formule analytique connue.
452. 11 est important d'observer que, pour ce genre de solution graphique des deux problèmes que nous venons de résoudre, la courbe doit être tracée complètement, de manière que les transversales menées la rencontrent en autant de points réels que la courbe en comporte; c'est-à-dire, en autant de points réels qu'il serait indiqué par le degré de l'équation de la courbe, exprimée dans le système de coordonnées en usage.
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