Conséquences de la propriété du n
Première. Comme, pour fixer la position de la tangente en Fig. 170. un point donné M (fig. 170), on a pris (n° ag5) MG = MF, et qu'après avoir tiré la droite FG, on a abaissé du point M une perpendiculaire sur FG. il s'ensuit que cette dernière droite est divisée en deux parties égales au point I. Donc, si l'on joint le centre au point I qui peut être regardé comme le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente, on formera deux triangles' semblables FOI , FF'G , puisque l'on a OF = OF' et IF = IG. Ainsi ces triangles donnent. • . . F'G : OI t: F"F : OF; mais OF est la moitié de FF", et par construction, F'G est égal à 2A; donc OI = A.
D'où résulte la propriété suivante : Si de Vun des foyers d'une ellipse , on abaisse une perpendiculaire sur une tangente quelconque,, la distance du centre au pied de la perpendiculaire est égale à la moitié du premier axe; en d'autres termes , le lieu géométrique des pieds de toutes les perpendiculaires abaissées de l'un quelconque des foyers sur les tangentes à la courbe j est la circonférence de cercle décrite sur 2 A comme diamètre.
Cette propriété a également lieu pour l'hyperbole, et se dé* Fîg. 171. montre de la même manière (fig. 171).
298. Seconde conséquence. Soient abaissées des points F et F' Fig.170. (fig. 170) les deux perpendiculaires FI, FT sur la tangente RR'j on vient de démontrer que les distances OI, OI' sont égales à A.
Cela posé, si des points Q , F on mène OL , FI/ parallèles à la tangente, on a , d'après la figure,
IF = IL + LF' ;
IF =I'L'=Ï'L — LF";
d'où Ion déduit I'F X IF = I'L — LF'*;
KT OIS HAYONS VKCTJWJRB. 365
mais les triangles rectangles I'OL, F'OL dans lesquels OI' =3 A et OF' = c ou {/ A* — i£ f donnent
71* = A* — "ÔL , Fi! = cft — ÔL;
on obtient donc
I'F X IF = Aa — ÔL*— ca +^ÔL= A* — c% = B*.
Donc, dans l'ellipse, le produit deti perpendiculaires abaissées des deux foyers sur une tangente ., es/ ^gol a» cûrrr^ de la moitié du second axe.
Dans l'hyperbole , on trouve VF* X ÏF = — B* (fig. 171), Fig.i7T.
parce que les deux perpendiculaires sont placées en sens contraire par rapport à la tangente.
299. Troisième conséquence. Soit mené le diamètre mm (Jig. 170) conjugué de celui qui passe par le point de contact Fig. 170. de la" tangente RR'. Tirons d'ailleurs les rayons vecteurs FM , F'M et la ligne OI qui joint le centre au pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente.
On a vu ( n° 292 ) que le diamètre mm est parallèle à la tangente; d'ailleurs OI est parallèle à F'M , à cause de la similitude des triangles FOI, FF'G; donc la figure OIMH est un
parallélogramme , et l'on a MH =s OI =: A.
Ainsi, dans l'ellipse et l'hyperbole, la partie d'un rayon vecteur comprise entre la tangente et le diamètre conjugué de celui qui passe par le point de contact j est égale à la moitié du premier axe.
Toutes ces propriétés, qui ont été facilement déduites de celle de la tangente par rapport aux rayons vecteurs, trouveront leur application dans la suite.
"366 D* 1/ ELLIPSE KT DE 3LIIYPKHfiOLE
§ IL Propriétés de V Ellipse et de UHjrperbole rapportées à leurs diamètres conjugués.
3oo. La propriété caractéristique de tout système de diamètres conjugués consistant (n° 258) en ce que chacun d'eux divise en deux parties égales toutes les cordes de la courbe menées parallèlement à l'autre, il en résulte que,' si l'on rapporte la courbe à un semblable système , la nouvelle' équation ne doit renfermer que les carrés des coordonnées et une quantité toute connue, c'est-à-dire doit être de même forme que celle de la courbe rapportée à ses axes principaux. Nous pourrions donc établir immédiatement, pour l'équation de la courbe rapportée à l'un de ces systèmes, My* rfc Nx* =± P, équation qu'on pourrait ensuite, à l'aide d'une transformation analogue à celle des n°* 233 et 239, ramener à celle-ci :
A'y ±: B"x» = ±: À,ftB\
Mais on conçoit que, pour chaque système dont on donne la direction, les constantes À' et V qui, comme il est aisé de le voir, représentent les demi-diamètres x doivent avoir avec les demi-axes certaines relations. Or, ce sont ces relations qu'il s'agit maintenant de déterminer*
Pour y parvenir d'une manière générale, nous nous proposerons la question suivante : L'équation d'une ellipse ou d'une hyperbole rapportée à ses axes principaux j étant donnée * on demande de rapporter la courbe à un nouveau système tel ^ tjtie la nouvelle équation conserve la même forme, Cest une simple application de la transformation des coordonnées.
Occupons-nous d'abord de l'ellipse, qui a pour équation
Ay + B'jfrsÀ^BV Substituons dans cette équation, à la place de x, y7 les valeur»
x = x cos « + y cos *' y y = x sin a -f- y sm « ,
KAfPOBTiia A LB0RS DIAMETRES CQNIOOUÊS. £67
qui (n° 219) servent à passer d'un système rectangulaire à un système obliqué de même origine.
11 vient, par cette substitution ,
(A.Sin,»'4-B*cosV)y*+2(A*sin«sin«/+B'cos4JCos«»')xy+
(AVmtt*-f B'cos**)^ = A*Bft.
Mais par hypothèse , l'équation ne doit renfermer que les carrés des variables et la quantité toute connue; il faut donc que le coefficient de xy soit égal à o j ce qui donne
A'sin « sin *' 4" B'cos « cos «' = o , . . . . (i)
et l'équation se réduit à
(A*sins« +B»cosV)y" + (A9siV*+ B9cosfl«)xft = A»B» ... (2)
Si Ton divise l'équation (1) par cos «cos*', elle devient
B* Aatang* tang«' + Ba=o; d'où tang«tang«' =— • — .
Comme on n'a qu'une seule équation pour déterminer les angles «,/, il s'ensuit que le nombre des systèmes de diamètivs conjugués est infini. Cet le relation est d'ailleurs identique avec celle du n° 261 *, et les conséquences qui en ont été déduites se reproduisent également ici.
Soit fait successivement dans l'équation (2),
xd
., . fi 1 A'sin* «-+- Ba cos* *
uen resuite. . .< '
o, ) ( y Aasina*'-r.Bacosa*
Ces expressions représentent les carrés des distances OM,Om {fig. i68v), ou des demi diamètres conjugués. Donc, en désignant Fig.i68« par 2A', 2B',les longueurs totales MM', mm', on a les relations
AflB» *) ç f A*B*
A = tt^z — nr< — r » / l A 8I n * + B*cos,« = -r-^,
Au*in'* + B'cos9* ( 1 A •
A.Ba > d0U < AtR,
B'a=A„:„,,, " rr?i AasinV+BW«'=A
A'sin9* + B*cosV ' ; l ^ B'a '
368 niAnàruM oovjuovss.
Substituant ces valeurs dans l'équation (a) , on obtient enfin
pour l'équation de F ellipse rapportée & un système quelconque de diamètres conjugués.
Comme pdur x = ±: A', cette équation donne y = o, et que, réciproquement, pour y = ± B', on a x* = o, on doit conclure que les droites menées par les points M , M7, m , m parallèlement ?lux deux diamètres, sont tangentes à la courbe, propriété qui a déjà été reconnue (n° 391)* l
Pour l'hyperbole, on obtiendrait les équations* ' '
A*sin«sra« — B*cos« cos« = 0, d'oîi tang* tangos —
et ( AWa'— B*cosV)y» + ( A'sm^e^B'oos'*)***2: — A*B%
dont la première exprime que les nouveaux axes forment un système de diamètres conjugués, et la dernière représente la courbe rapportée à, ce système*
Soit fait successivement dans cette équation, ,
. Ï A-sinU — B•cosa«,
on trouve }
Mais il faut observer que de ces deux carrés , l'un est positif, l'autre est négatifs car on a vu (n° 2Ô3) que, pour tout système de diamètres conjugués, l'un est transverse et l'autre non traiwerne; d'où il suit que, si la valeur de x correspondante à jr = o, est réelle , celle de y correspondante à x= o doit être imaginaire j ou réciproquement ( voyez d'ailleurs le n° suivant ).
Supposons ,- ce qui est toujours permis , qu'on ait pris pour axe des x le diamètre transverse; dans ce cas , l'expression de x* est positive, mais celle de y% est négative. Désignant donc U première par A'*, et la seconde par — B'*, ou obtient les relation*
dum^tbba ootiiwuis. 36g
A*5În*«— B*eos*«' L, - ) . A'* '
A*sin**'—B*cos9« J l B*
Reportant ces valeurs dans l'équation de la courbe, on obtient,
toute réduction faite,. . . A'y — B^x* = — A'*B'*.
Si , au contraire, on égalait la première à — B'*, et la seconde -à A'*, on trouverait B'*y* — A'*x* = A^B** pour l'équation de l'hyperbole rapportée an diamètre non transperse j comme axe des x (voyez n° 24°)*
3oi. On peut démontrer directement que les deux expressions de x* et y* sont de signes contraires.
En effet, mulUplions4es entre elles; il vient pour leur produit,
(A* sina • — Ba cos* «) (A- sin* *' — B* cos a • )*
Or, si l'on développe le dénominateur, on trouve
A4sin»«sin'« + B* cos*« cos1* — A*B* (tin** cos*#+ sin* « cosV );
mais la relation A* sin m sin «' — B* cos * cos *' = o , donne
A4sin* «sin8/ -f~ B* cos* m cos* m = sA'B* sin« sin«' cos « cos «';
done le dénominateur devient
A*B* (2 sin « sin m cos* cos •' — sin* m eus* • — sin9 m oosV);
expression qui se change encore dans la suivante
— A*B* (sin «' cos «— sin« cos/)*, ou — A*B* sin* (•'—«).
A*B* Ainsi , le produit ci-dessus se réduit à — . , ■■; — —t .
r -»A.BBftsiii» («— «) '
ou bien enfin . à — ■. , , , r.
sin*(# •— «)
Ce résultat étant essentiellement négatif, prouve que les deux valeur» de x* et y* sont de signes contraires.
Désignant donc, comme on l'a fait dans le n° précédent , la valeur de x* par A'a, celle de j^* par — B't , on parvient à cette
'Ï70 Diiaiïïnis coKjruofcis.
ABfta
relation ramrqdaHe , — k'W=L^-r
*m*(ï7— *)' cflèk .... A'.Br«««i(«' — A0=A.ft.
Les mêmes calculs effectués sur les expressions
À s Ka A *"R*
A*sin*« + Bftcos>-^ "",AW#+.Bicoig#M relatives à l'ellipse, donneraient pour résultat, A'^sin* (*' — •) = AeB*; d'où A'.B'.stn (*' — «) = A.B.
3oa. Voyons ce que signiGe un semblable résultat en Géométrie.
Fig. 168. Soient MM', mm! (J$g. 168) deux diamètres conjugués par les extrémités desquels on a mené des tangentes qui, comme on l'a déjà tu , déterminent un parallélogramme TTYt , lequel , d'ailleurs, est évidemment quadruple du parallélogramme OMTro.
Si du point m, on abaisse mi perpendiculaire sur OM , on aura évidemment OMTm s= OM Xmi=A'x mi; mats le triangle rectangle Oim donne mi = Om.sin mOi, ou bien,
mi = B' . sin mOM = B' sin ( * — «); donc OMT/wz^A'.B'.sinV--»).
D'où l'on peut conclure que le parallélogramme construit sur As demi' diamètres conjugués OM., Om est égal au 'rectangle construit sur les demi- axes*
Ce résultat est tout-à*fait indépendant du système de diamètres conjugués que l'on considère.
Comme la Relation A'.B' sin (*'-—#)= A. B, peut se trara- Wmer en <!el!e*c& ïA'.aB'sin («' — «) = 2A.2B, on peut encore dire que tous les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, dont les côtés sont respecft&Smhït parallèles à deux diamètres conjugués j ont une surface constante *pour tous les systèmes de diamètres conjugués., et égalé au rectangle construit sur les axes.
3o3. *N. B. Cette slirfaoe côMtmte jouit de la propriété
eoimraiiis. 3ji
tfètre un minimum parmi cdUes des différons paralléiogr^miiiet» que l'on peut, en général , circonscrire à une ellipse donnée.
En effet, considérons, par exemple, un parallélogramme U V VU' , dont deux côtés soient les tangentes menées par les extrémités da diamètre mmr , et les deux autres côtés soient les tangentes menées par les extrémités <a"mm diamètre *#' non conjugué de mm'. Prolongeons d'ailleurs mi jusqu'à sa rencontre en / avec la base U'V. On a pour la surface de ce parallélogramme, U'V x ml.
Mais le triangle rectangle mlm! donne ml = mm', sin mm'l9 • > • * ■'
ou ml = 2B' X sin mOM. = aB'.sin (*' -—0). .
D*un autre côté, il est évident que U'V, qui est parallèle à MM' , est plus grand que MMr ou 2A' , puisque les côtés OU', VV' sont extérieurs a Felli pse.
Done U'Vf,X ml est plus grand que 2A' X *V sin («' — *).
Ce qu'il fallait démontrer. • •
3o4- La propriété du n0>3o» est également applicable à l'hyperbole. Soient MM', NN' deux diamètres conjugués quelconques; si Ton suppose que MM' {fig* 169) représenté le Kg. 169. diamètre 2A/, et qu'on prenne sur la direction de NN', Om = Om' = B , le parallélogramme OMTm a pour expression* OMxOm.sin mOM = À'.B'.$in (*' — «) ; et le
parallélogramme que forment les tangentes TT' , U* avec les droites Tf , TY menées par les points m, m', parallèlement à MM', est égal à 2À' X aB'.sin (*'—«). N
Or, on a vu (n° 3oi ) que ces expressions sont respectivement égales à À X B et 2A X 2B; donc, etc.
Les parallélogrammes tels que TT if dont les côtés sont parallèles et égaux a deux diamètres conjugués, sont dits des parallélogrammes inscrits à l'hyperbole.
v 3o5. On peut remarquer , par rapport au rectangle EEW construit sur les axes, que comme les asymptotes OL, OH ont été déterminées (n* 238) en prenant sur la perpendiculaire élevée au point B , deux parties BE , BEf égales à la moitié du
372 DIAMÀTRBS CONJUGUÉS.
seçpud axe, les sommets E^ E'., e j e de ce parallélogramme rectangle * sont situés sur les asymptotes.
Or, je dis que cette propriété est commune à tous les parallélogrammes inscrits dont nous Tenons de parler.
Pour le démontrer , nous rechercherons d'abord quelles sont les. équations des asymptotes rapportées à un système de diamètres conjugués OM , ON , pour lesquels l'équation de la courbe
est À' V -+ B' x» =— A" B'a (0
Comme ces droites sont les seules qui , menées par le centre, rencontrent la courbe à l'infini , il suffît de combiner l'équation
y= ax (2) avec l'équation (1), puis d'exprimer que
les valeurs communes de x et de y sont infinies.
Or il résulte de cette combinaison
A'V - B'âx* = — À'*B" , d'où a = — —-'- ,
< • ii' * • w
valeur qui devient infinie lorsqu'on suppose B'* — A'aa*=o,
d'où a = ±: 77.
A . Portant cette valeur dans l'équation (2) , on obtient enfin
B Donc les asymptotes qui ont pour équations , y = -J- -r x ,
B et y = — -r- x9 lorsqu'elles sont rapportées au système des
axes principaux, sont représentées par
quand on les rapporte à un système de diamètres conjugués. ]tfg.i74» Ainsi, soient OM, ON (JLg. 174) deux diamètres conjugués
auxquels on suppose la courbe rapportée-, l'équation y — ±: -rj x
représente les deux asymptotes rapportées au même système > les x se comptant sur OM et les y parallèlement à ON.
D(AMàTB£8 CONJUGUAS. 373
Cela posé, soit fait dans cette équation, ce = A/; il en résulte y = zfc B' ; ce qui prouve que si , au point M , on* mène une parallèle à NN' , ou, ce qui revient au même (n° 29a) , une tangente à la courbe, les parties MT, MT" de cette tangente,, corn-' prises entre le point de contact M et Us deux asymptotes * sont égales entre elles j et, de plus , égales chacune à la moitié du diamètre conjugué de MM'.
Même résultat pour la tangente menée au point M'.
Donc si l'on joint les points T, * et T, *', la figure ainsi formée ne sera autre chose que le parallélogramme dont les côtés sont égaux et parallèles a aA', 2B'.
