Reprenons les valeurs de A'*, B'9 obtenues (n° 3oo
3«j4 DIAMÈTRES CONJUGUAS.
pour Pellipse, et remplaçons, dans ces expressions, sin'ce, cos*«, sin**' , co***' par leurs valeurs en fonction de tang«; savoir:
cos # as ' m sin * r= " %
ï+tang*a* t + tang**
i , tang*«
«n«V»L«t w»A*B'(i+tang*«) ,. A'B'(i + tang»./)
équations qui, réunies à l'équation de condition
tang*.tang«= — — ,
renferment les six quantités A, B, A', B', tanga, tang*'; donc si l'on élimine entre ces équations les quantités tanga, tango.', on doit nécessairement parvenir à une certaine relation entre les quantités A* B, A' , B7.
Ofc, des deux premières équations, on déduit
, . B*(A»~AT*) . . , B»(Aa— V)
,,, , # . , * ,B* (A'— A") (A»— B") d'où ta**!, tang** =j;V(A^B.)(B^Ba)-
D'un autre côté , la troisième équation donne
^ , B* tang**. tang**^— ;
on a
-i ii*- (A*— A")(A» — B") donc la relation ^-.y^y»—^ = » >
ou chassant le dénominateur et développant les calculs , A*— A*A'«— A^'^- A'^ss A'»B"— B*B" — A'»B« + B*; réduisant et transposant
Donc enfin, sj l'on, divise par A*— B\ on trpu^ç . ., , À''+B*s:A»+lIft, ou 4A'•^-4I^s=:4A,l
ce qui prouve que, dans l'ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est égaie à la somme des carrés des axes.
En opérant de la même manière par rapport à FJ^ypei^ole, on trouverait
À'» — B'«=A*— Bf, ou 4A^— 4»^=4A» — 4B»;
c'est-âi-dire. fc différée des cadrés a^g diamètre^ coyugtffa égale à la différence dey cqjçrfa a\s g*?*,»
3o& Au reste, cette dernière propriété et celle du parallélogramme circonscrit ou inscrit, peuvent se déduire très simplement d'un calcul assez important en lui-même, et qui a pour objet, étant donnée V équation ofune ellipse ou (F une hyperbole rapportée à un certain système de diamètres con~fugues* de retrouver V équation de la même courbe rapportée au système de ses axes principaux. '
Pour résoudre cette question par rapport à l'ellipse, nous ferons usage des formules du n° 231 ,
x sin (C — *) — y cos (C — a) xsip«4-.y
cosce
sinC ^ smC
qui servent à passer d'un système oblique à un système rect«>gttlwe de même origine
Substituant ces valeurs dans Inéquation de la courbe ,
et chassant le dénominateur, on obtient la transformée
[ A'acos** + B'»cos* (C— *)] f +[2A'*sin«cosfle— 2B'*3in(ff— a)cos(C— et)] xf } tr^'B^sin^C. + [A'a$in9*+B'9sin*(É— *) j ±*
Gomme le nouveau système d'ares <fpit jouûr de la propriété
caractéristique des diamètres conjugués (n# 258), il faut que le terme en xy disparaisse, ce qui exige que l'on ait
À'*sin*cas^— B'*sin(C — #s)cos(C — «)s=oj... (i)
et alors, l'équation se réduit a
+ {Aasinf*4-Ba6ina(ff — *)}a?a J v '
II résulte d'ailleurs de la nature de la transformation , que le système de diamètres conjugués actuel est un système rectangulaire; donc ce système est celui des axes principaux, puisqu'on a reconnu (n° 262) que c'est le seul système de diamètres conjugués perpendiculaires entre eux.
Ainsi, l'on doit regarder l'équation (2) comme celle de l'ellipse rapportée a son centre et à ses axes» Cependant, pour qu'on puisse la comparer à Aay* + Baxa = AaBa , il est nécessaire que le second membre soit le produit des coefficient de jr% et x*. Mais, pour la ramener à cet état, on sait (n° 233)
qu'il suffît de multiplier les deux membres par un facteur K
égal èrr^; M, N désignant les coefficiens à& y*f x*, et
P la quantité toute connue qui est dans le second membre»
Calculons donc cette valeur de & relative à l'équation (2);
on a
A'*B'asinaC
[A'acosa*+B'ac*sa(C— <*)] CA^sin^+F^sin*^— «)] '
Effectuant les calculs indiqués au dénominateur , et observant que l'équation de condition (1), étant élevée au carré, donne
À'< sin1 * cos* * + B'< sina (S — a) cosa (C— a) = 2A'*B'asin et cos « sin (ff — et) cos (^ — et),
on reconnaît que ce dénominateur prend la forme
\ A'aB/ft [ sina « cosa (C — a) + sina (C — ce) cosa «
-+• 2 sin « cos (C — a) sin (£— a) cos et ] , ou A'âB" [ sin « cos (C — a) -f sin (C — m) cos «]%
ou bien enfin , A'*&È sina (• + € — #) = A'aB'B sina £
DLurèiuuBs coasmvis* 377
Donc la valeur de K devient K = w.nj» . . „ = .1 ;
A 'ir* nxr Q
ce qui prouve que l'équation (2) n'a besoin: d'aucune préparation pour être comparée a l'équation
On a donc immédiatement les relations suivantes
À'* COS* m + B" COS* (ff — m) =; A», A'» sin* m + V* sin* (C — «) = B*,
A'ftB'* sin* É = A**.
Les deux premières relations , ajoutées entre elles, donnent
A'* + B'*=rA* + B\
Quant à la troisième , elle donne sur-le-champ
A'B'sinf = AB.
Or , C étant l'angle que les deux diamètres conjugués font
entre eux, on a ff = «' — *;
d'où l'on déduit A'B' sin (*' — «) == AB.
En reprenant absolument les mêmes calculs à Fégard de l'hyperbole» on trouverait les relations
A'» — B* = Aa — B*, A'B' sin (*' — *) = AB.
N, B. Si, dans la question précédente, on veut déterminer l'angle * que forme le nouvel axe des x avec l'ancien, il suffît de résoudre l'équation de condition (1) par rapport
à ÛL.
En la multipliant par 2 , on peut la transformer ainsi : A'* sin aa — B'a sin (2Ê — 2*) = o [à cause de 2 sin et cos et = sin 24, 2 sin (C — ce) cos (C— *) = sin 2 (€ — a)2 ,
ou bien , développant sin (2C — 2*) , et divisant par cos 2*,
A'* tang 2a — B'* sin 2C + B'* cos 2C tang a«^:o;
37$ PUMtaHEA CQfiWQVé*
j B'* sin 2C
donc ^^^A^yccf
L'angle a* étant construit, on le diviserait en deux, parties égales, et l'on obtiendrait la direction de Xwat des. axes principaux; l'autre serait çTaiUeurs déterminé, puisqu'il doit être perpendiculaire au premier.
309. Dans l'ellipse, il existe un certain système de diamètres conjugués qui mérite une attention particulière ; c'est celui des Fig.164. deux diamètres H', hV (Jig. 164) parallèles aux cordes supplémentaires AC, B& (Voyez n° a8i.)
Puisque le triangle ACB est isoscèle, les angles CAB, ÂfiC sont égaux ; donc aussi les angles 109 , LOA sont égaux.
Or, a cause de la symétrie de la courbe par rapport aux axes AB, CD, il est évident que deux diamètres qui font des angles égaux avec AB , o*e part et d'autre du centre , doivent avoir des longueurs égales ; ainsi l'on a , pour ce système particulier, II7 ou 2A'=LL'ou aB', et l'équation de la courbe, rapportée à ce système , devient
c'est-à-dire que l'équation est de la forme de celle du cercle rapportée a son centre et à des axes rectangulaires.
D'où l'on peut conclure qu'une équation telle que
y% + 4^ =î= 4* , qui exprime une circonférence de cercle lorsque les axes sont rectangulaires , représente , dans l'hypothèse 4'*xes obliques , une ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués égaux.
Ce système est d'ailleurs unique 4aP* toute ellipse;; car pour que deux diamètres soient de même longueur , il faut que leur inclinaison sur le grand axe soit la même des deux côtes du centre \ et pour qu'ils soient conjugués j ils doivent être parallèles à un .certain système de cordes supplémentaires ( n° 280). Or , il n'y a que les deux cordes AC , BC qui jouissent de la propriété de faire des angles égaux avec AB ; pour tout autre système AM , BM , on a évidemment '
mAMkvm oc*ww*très. 379
AM > BM ; o?où angle MBA > MAB.
Le calcul conduit aux mêmes résultats ; en effet , on a trouvé ( n° 3oo )
A"g= . ** — et B*= A*
A*sin*« + B*cos*« "" — A*sinV+B'cos,«"
Egalons entre elles ce* valeurs, et voyons c$ qui en résume ; on déduit d'abord de cette égalité,
A*sia*«>+Bicos*«:ŒA*sin»«+B*co8*«/,
ou, remplaçant cos*«, cos*« par leurs valeurs 1 — - sin*«, 1 — sin* m ,
(A» — B*) sin»* + B* = (A*— B*) ain*«'-f- B* ;
on, réduisant, (A* — B*) (sin* • — sin* m) s= o. . . (1)
Cela posé, tant que la courbe est une ellipse proprement dite, A9*- B* est différent de o , et cette condition se réduit à
sin* m — sin* « = o ; d'où sin #' = r£ sin * ;
de cette nouvelle relation et de l'équation tang « tang*' = — —>
qui fait voir que les deux tangentes doivent être de signes contraires, on tire
008 «' ss z% cos * ;
donc, divisant ces égalités membre à membre,
tang * = — tan§ « ;
ce qui prouve déjà que deux diamètres conjugués ne peuvent
être égaux qu'autant qu'ils forment avec l'axe des x des angles
supplément l'un de Fautre.
B* Cette valeur de tang •', reportée dans tang « . tang #'= — -ji 1
donne d'ail
tang* « = — ; d ou tang « =^ 3: -r-
36o Diluent» coimnroés.
(Le signe supérieur correspondant ù tanga, le signe inférieur correspond à <*'.)
D'où l'on Toit que les diamètre» conjugués égaux forment avec l'axe des x, des angles dont les tangentes sont respectai
ment exprimées par' + t- et — — . Ainsi ces diamètres sont
parallèles aux cordes AC et BC.
Si l'ellipse devient un cercle, auquel cas onai1— B*=:o, l'équation (i) est satisfaite , quels que soient ce et «t7; c'est-àdire que tous les diamètres conjugués sont égaux dans le cercle; ce qui est évident
3io. Dans Fhyperbole quelconque, il ne peut exister de système de diamètres conjugués égaux; car, d'après la relatibn A'»— 8'*= A* — B*', si l'on suppose A7 = B', il en résulte nécessairement A = B ; et , réciproquement, A = B donne À' = B'. D'où il suit que l'hyperbole équilutère est la seule qui puisse avoir des diamètres conjugués égaux; et tous les systèmes de diamètres conjugués de cette hyperbole aont des systèmes de diamètres égaux.
Ainsi l'équation y* — x9 = — k* , dans le cas où la courbe est rapportée h des axes obliques, représente encore une hyperbole éf uilatére. ?■
3 11. Rapprochons les diverses relations que nous avons obtenues entre les grandeurs et les directions des axes et des diamètres conjugués; ces relations sont au nombre de quatre principales, savoir :
A'i+B/a=AA + BB» A'B'sinC = AB, tang*'tang*=— ^,
G s= «' — et , pour l'ellipse ;
A'*— B'»= A* — B% A'B' sin C = AB , tang*' tang * = ^ , C = *' — a , pour l'hyperbole.
Ces équations renfermant sept quantités A , B, A', B', «, et, C, on peut se proposer cette question générale : Étant données trois de ces sept quantités , déterminer les quatre autres»
DiAMÀraga cou j rouis. 38i
Mais nous nous bornerons à résoudre les <knx samntes : PREMiàBE./ Connaissant les deux axes a" une ellipse et l'angle
G que deux diamètres conjugués font entre eux, déterminer ces
diamètres en grandeur et en direction.
On a d'abord; pour déterminer A.', B', les deux relations
j. d'où ) amC
oA'B- = j£*, ) (A'-B-^A'+B»-^,
sm t J l smb
et par conséquent ,
a' - I \f* + B' + ^ + z \A + Bm - -AB
a V smb 2 V ;
sinÉ'
r^^A' + B' + ^-il/A' + B--.^.
2 V sinC a V sinC
Quant à la valeur de #, l'équation Atiang*Ung*/-+-B8= o, devient* par la substitution de C+* à la place de «' ,
A 'tang « tang (C + «) + B*= o ,
ou, développant tang(C-f-c) et chassant le dénominateur, puis ordonnant , A* tang* « + (A* — B*) tang € . tang « -f» B* e= • ; donc
Uiig«=~(A'^to^-dbi^y(A^B')'tui»g;CiqÂ^.
Pour que cette valeur soit réelle, il faut que tang*£ soit
£A9B* plus grande ou au moins égale à a» — RM»' ^^"dire que
l'angle £, s'il est aigu, soit au inoins égal à celui dont la tan-
aAB gente est — =-, et s'il est obtus, qu'il soit au plus égal a
' i • • » -» — aAB
celui qui a pour tangente, Tâ~~S**
Supposons tang* S = (A.__By. *'<* tangC = ± jj^g; ,
38a mutâmes commuas.
et portons cette valeur dans l'expression de tang *; eile se
nédntt à tang « et - *— ~ X ±1 j^-gj = .+. ^ ;
Ba
ce qui donne | à cause de la relation tang « tang «' = — — ,
tang« = — p lang«*= j-
Ce résultat s'accorde avec ce qui a été dit n° 281 ; car on a
reconnu dans ce numéro que les deux diamètres parallèles aux
Fîg. 164. cordes AC, BC (Jlg. 164) forment entre eux le plus grand et le
plus petit angle possibles, suivant que Ton considère l'angle
IOL, ou son supplément IOL'.
La réalité des valeurs de A' et de B' correspond aux menu»
aAB '
circonstances ; car en posant A* «4- B* : — 5 = o , on trouve
' r sm£
* ^ aAB et par feonséqu&nt , tang C == zt . ^^ .
La détermination de A' et de B' au moyen des équations
AB A* •*- B'V» A1— # , AV =s= -r-^ , relatives à l'hyperbole , ne
81 II o
serait pas aussi facile; on parviendrait par l'élimination de B', \ une équation du quatrième degré en A', résoluble à la manière de celles du second degré.
3ia- Sboomkb qobstion. Étant donnés deux diamètres conjugués d'une ellipse* et VangU qu'ils font entre eux* déterminer les axes en grandeur et en direction*
Or, les équations A* + B»=i=A'a-f B'*, aAB ss aA'B sin C,
1 u / (A + B)a = Afa + B"+aA'B'sinCf
donnent sur-le-champ, { ( A B j, = A,, + ^^ffsln€f
sin
DiAHferùs coiwwHris. 383
d'où
A = - i/A"+B"+2A'B'sinff + £ l/A"+B"— aA'B'sinC, B = i /Â7^B'a+2A'B/sin£ — i l/A'»+B'*— 2A'B'sinC.
Ces vafeurs sont toujours réelle», car de (A'— B*)* >^>> l'a** déduit A'k+ B* > 2 A'B' , et à fortiori, A"+ B'* > 2^ sin f.
Quant à l'angle *, on pourrait le déterminer d'après l'équa-
B* tîon tàog * tang (C -+• *) = — — ; et il faudrait substituer
ensuite pour A.*, B* leurs valeurs, ce qui entraînerait dans des résultats très compliqués. Mais cet angle a déjà été calculé plus simplement (n° 3o8) ; on a trouvé
B'*sin2£
•3>i3. CotisideVonfc actuellement 4es équations 4e l'elHpseét de i'bypefl>ole, ttrpportées à un système de diamètres conjugués-,
savoir: AV+^'-ra = A"B", Jl+? — V>j*=s — £«V*9
et voyons les conséquences qu'on peut en tirer.
Gomme ces équations sont- absolument les mémes,aux aocens près, .pour A, B, que celles de ces courbes rapportées a leurs axes, on conçoit que plusieurs des propriétés établies au «commencement de ce chapitre doivent se reproduire ici, par rapport aux diamètres conjugués.' Observons en outre que, pour passer de l'ellipse à l'hyperbole, il suffit encore de changer B'* en — B'ft dans l'équation de la première courbe.
Cela posé, soient OB, OC (fig. 17$), deux demi-diamètres Fig. 175. conjugués donnés en grandeur et en direction , dans l'ellipse que nous supposons rapportée a ces diamètres comme axes.
On tire de l'équation A'V + ^V F= A'§B'â ,
ou bien, comme
tT .1.7 ~T7 — *- :
384 DK *** TANOBNTB
PM=y, OP=x, OB=A', d'où APs=A'+a?, PB^A'— v,
PAf B'
APxPB A'*#
Donc le c<wW âfzui* ordonnée parallèle à l'un des diamètres conjugués* est au rectangle des distances des extrémités de l'autre diamètre au pied de V ordonnée* dans un rapport constant. Cette propriété est analogue à celle du n° 2^5.
3 14. La liaison qui existe entre l'ordonnée et l'abscisse d'un point quelconque de la courbe étant la même, soit qu'on suppose les deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle droit, soit qu'on suppose qu'ils font un angle quelconque, on peut en conclure le moyen suivant de construire l'ellipse, connaissant un système de diamètres conjugués en grandeur et en direction. *
Soient OB, OC les demi-diamètres donnés. Au point O élevez OC perpendiculaire à OB et égal à OC/ puis sur les deux lignes OB., OC' considérées comme les demi-axes d'une ellipse* décrivez la' courbe AC'BD'A., d'après l'un des moyens connus. Élevez aux points V* P\.. des ordonnées PN> PTï'.,... à cette courbe; menez ensuite les lignes PM., P'M'... parallèles à OC, et respectivement égales à PN., P'N'... ,* les points M, M'., appartiendront à la courbe cherchée, qui sera alors représentée par ACBDA.
En effet, il est évident que pour les mêmes abscisses, les ordonnées des deux courbes sont égales.
Les résultats précédens sont, en tout point, applicables à l'hyperbole ( voyez le n° 386 pour cette même question).
3i5. Le problème des tangentes étant résolu par la méthode du n° a83, pour une ellipse rapportée à un système de diamètres conjugués, conduirait, dans le cas où l'on donnerait te Fig. 176. point de contact (x* ,y) {Jig. 1 76) , a Péquation
y—y =— av(x~ x)'
BJUPFOBTiB AUX D1AX&THSS CONIOGOis. 385
dans laquelle a = — pr-, n'exprimerait plus ime tipgef*tft
trigonométrique, mais bien (n* 139) le rapport des sinus des angles que forme la tangente MR avec les deux diamètres conjugués OB , OC
Cette équation, à l'aide de la relation
se réduit d'ailleurs à la forme Â!*yy' + Wxx'z* A'^S
Faisons dans cette équation , y =î o ; il en résulte' x =i -^-;
«test la valeur de l'abscisse OR du point e& la tangente vent* contre l'axe des x->et si de cette distance , on retranche xf on OP, on obtiendra pour la valeur delà sooiangentePft, -
PR
On parvient au même résultat, en posant^*» o^daflrf l'éqva* tion non simplifiée de la tangente, et ©herdiant 'la valeur ooé« respondante de x — • x°*
Il vient eu effet, pour y = o, a? — i* == w*5"'
ou, à-tansede ta relation /
Ce résultat est analogue à celui qui a été obtenu (n° 2Ô5) pour la soutangente de l'elfipse rapportée & ses axes principaux.
Quanta Péquation delà normale et a Pexpression de là sounormale, elles seraient plus compliquées" que celles du ri6 286, puisqu'il faudrait faire entrer en considération la condition de perpendiculaire de deux droites, dans l'hypothèse d'axes obliques.
3 16. Nous pouvons actuellement généraliser la proposition du n° 289.
Soit LL' (fîg. 176) une droite menée à volonté dans le plan
386 DE LA TANCEBTK
oYune ellipse, et proposons-nous de mener par les différent points H',H'... de cette droite, des tangentes à la courbe.
Pour cela, supposons la courbe rapportée à un système de diamètres conjugués OX , OT, dont Pnn soft parallèle à la droite donnée, ce qui est toujours possible. Désignons par af,yies coordonnées du point H', et par x9, y* celles du point de contact de l'une des tangentes menées par ce jtoint.
L'équation de cette tangente sera de la forme
y — y = a (x — x')) a ayant pour Taleur — ,-^.
Or, pour déterminer x", y", on a les deux équations
AY/ + B'V/=A'>B\..(0,Ay>+BV==A^...(2)
Mais au lien d'effectuer l'élimination de x?> y" entre ces équations, on' peut construire les lieux géométriques qu'elles représentent. ( Voyez n° 289. )
La seconde n'est autre chose que l'ellipse déjà tracée* Quanta l'équation (1) qui représente une ligne droite, faisons
successivement „ ' > ; il en résulte
Ces deux, résultats étant construits et portés respectivement de O en P, et de O en G , détermineront «ne ligne PG, dont les intersections M', tri avec la courbe seront les points de contact des deux tangentes que Ton peut mener du point H'.
Gela posé, comme la valeur ar" = — , correspondante à
y* = o , est indépendante de l'ordonnée y' du point H', on peut conclure que si , par un second point H' de la droite LL', on mène deux tangentes H*M", ctU'Wjla ligne de jonction Wm* passera nécessairement par le même point P de la droite OX. En général, si des diffèrens points d'une droite LL' tracée à volonté sur le plan d'une ellipse ( ou d'une hyperbole ) ., on mène des tangentes à cette courbe j et qu'on joigne successi-
