RAPPORTÉE AUX B1AHÀTRBS CONJUGUÉS. S

ventent les points de contact relatifs à chaque couple de tangentes j toutes les lignes de jonction jouissent de la propriété de* concourir en un même point, qui se troupe placé sur le diamètre conjugué du diamètre parallèle à la droite donnée.

Lorsque la droite est extérieure à la courbe, le point de concours est intérieur, et réciproquement. Gela résulte évi-

A'a demment de l'expression x*= -7-, qui, pour a/> A', donne

x" < A', et pour x' < A', ... x° > A'.

La réciproque de cette proposition est également vraie; mais nous renvoyons, pour la démonstration, à celle que nous en avons donnée , par rapport au cercle (n° ai 5).

317. Remarque* Si le point de la droite LL', par lequel on 'mené les deux tangentes, est situé en R, c'est-à-dire sur le

diamètre OX, comme on a pour ce point, y' = o, l'équation (1)

devient B'»xV = A'*B'» : d'où x" = ^.

Substituant cette valeur dans l'équation (a) , on en déduit nécessairement pour y", deux valeurs égales et de signes contraires.

Ce qui démontre que la ligne qui joint les points de contact des deux tangentes menées par un point quelconque , est divisée en deux parties égales par le diamètre qui passe par ce point, et est parallèle au conjugué de ce diamètre.

3 18. L'ellipse étant toujours rapportée à deux diamètres conjugués AB, CD (jig. 176), soient menées les deux cordes Fig. 176. supplémentaires AK, BK. On a, pour les équations de ces droites rapportées aux axes OX , O Y ,

{ m , m' désignant ici des rapports de sinus ).

Appelons^/, j/ les coordonnées du point K ; les équations précédentes dev iennent pour ce point, j^a= w^a/r-A'), y= m'(j/+A') .

388 DE LA TANOKNfE

y'* d'où Ton déduit m . m' as /<t * — -7- .

lVun autre côté, la relation À'*/* + ffVsA^B'» donne

Aya-BV-'A"); d'oà *; = ^.

B'* Donc m. 7n = — -tt^.

Même relation que pour les cordes menées des extrémités du

grand axe.

B/ft On trouverait pour l'hyperbole, m.m' = «pj •

319. Première conséquence. Menons une tangente quelconque MR, et le diamètre OM qui passe par le point de contact.

On a trouvé (n° 3i5) pour le coefficient de x dans Péqua-

V*x* tion de la tangente, a = — ■ ,s tt.

D'ailleurs, l'équation du diamètre étant y=a'x, puisqu'il passe par le point x*, y"9 il >en résulte y" = a'x* , d'où Fon,

déduit a = w ;

il vient donc, a.a= — tt;,

relation qui, comparée avec la précédente m.m =— ™,

donne. »«•••• . tz.a =77». m.

Donc si l'on suppose AK. parallèle à OM , auquel cas on a m = a', il en résulte a = 7» ; c'est-à-dire que MB. est parallèle à BK.

Ainsi, pour mener une tangente en un point donné M d'une ellîpscf, dont on ne connaît de position qu'un diamètre AB, il suffît de Joindre le centre au peint M, de tirer la corde AK parallèle à OM., puis de mener MR parallèlement à la seconde corde supplémentaire BK.

RAPPORTJ&E AUX DIAMiTHE3 CONJUGUAS. 389

Ce moyen a l'avantage de ne supposer connus de position, ni les axes ni les foyers de la courbe.

. Seconde conséquence. Soit ON le diamètre conjugué du diamètre OM qui passe par le point de contact de la tangente MR. Puisque y ainsi qu'on vient de le voir, la corde AS. étant parallèle a OM, la seconde corde BK est parallèle à la tangente, et qu'on sait d'ailleurs (n° 292) que cette tangente est parallèle au diamètre ON, il s'ensuit nécessairement que le diamètre ON est aussi parallèle à la corde supplémentaire BK.

De là on peut conclure que deux diamètres respectivement parallèles à deux àordes supplémentaires qui partent des extrémités d'un diamètre quelconque, forment un système de diamètre* conjugués.

C'est la proposition du n° 280 généralisée.

Cette propriété et la précédente ont lieu pour l'hyperbole.

320. D'après cela , pour fixer sur l'ellipse ou sur l'hyperbole, la position d'un système de diamètres- conjugués faisane entre eux un angle donné * il faut, sur un diamètre, quelconque AB., décrire un segment de cercle capable de P angle donné ; ce segment, qui d'abord passera parles points A etB, coupera la courbe en un autre point K tel, que si l'on tire les cordes AR, BK, et que par le centre on mène ensuite OM, ON qui leur soient parallèles, on obtiendra les deux diamètres demandés.

La même construction s'applique à l'hyperbole.

N. B. On observera toutefois que , pour l'ellipse , cette cons* traction n'est pas toujours possible, parce que les angles formés par des cordes qui s'appuient sur un diamètre ont des limites déterminées.

En effet, on a vu (n° 281) que les angles des diamètres conjugués d'une ellipse ont pour maximum , l'angle obtus correfr* pondant aux deux cordes supplémentaires qui joignent les extrémités du grand axe à l'une des extrémités du petit axe, et pour minimum, le supplément de cet angle; or, en vertu du numéro précédent, tout angle inscrit et appuyé sur un dia-* mètre est toujours égal à celui d'un certain système de diamè-

3go DE LA TÀNOBNTB, etc.

très conjugués; donc ces angles ont le même maximum et 4e même minimum que ci-dessus. '

Ainsi, avant d'exécuter la construction précédente, il faudrait s'assurer si l'angle donné se trouve dans les limites qui viennent d'être assignées.

32i. Nous terminerons cette théorie par la question suivante:

Une ellipse ou une hyperbole étant tracée sur un plan , déterminer son centre et ses axes principaux: en grandeur et en direction.

Fig.t?7* Soit une courbe LHL'H' (Jig. 177 ) que Ton sait être une ellipse , mais dont on ne connaît aucun élément

D'abord , pour trouver le centre , tirez deux cordes quelconques mm'., nn', parallèles entre elles j et Joignez les milieux de ces deux cordes par une droite HH', qui, d'après ce qui a été dit (n° 258) , sera un diamètre. Prenant ensuite le milieu de ce diamètre* vous aurez le centre demandé.

Actuellement , pour obtenir les axes, on pourrait, après avoir tracé un diamètre quelconque LL', décrire (n°3ao) une demi - circonférence j et Joindre les points L ^ L' au point K où cette demi-circonférence rencontre la courbe; puis enfin * mener par le point O les deux diamètres AB> CD parai* ieles à LK,VK.

Mais il est plus simple de décrire du point O, comme centre avec le rayon OL', un are de cercle qui coupe l'ellipse aw point K, puis de diviser cet arc en deux parties égales au point I ; et la ligne de jonction OI représente la direction de l'un des axes.

Car, d'après la construction, les demi -diamètres OL', OK sont égaux -, ce qui exige qu'ils fassent des angles égaux , soit avec le premier , soit avec le second axe.

DX i/lIYPSUFOLS RAFFOETig A SES ASYMPTOTES. 3$1

£ III. De THjrperbole rapportée à ses asymptotes.

3m. II résulte de tout ce qui a été dit jusqu'à présent sur l'ellipse et l'hyperbole, que toutes les propriétés de la première courbe existent également dans la seconde , à certaines modifications près, pour quelques-unes; mais la réciproque n'est pas vraie ; nous voulons dire que l'hyperbole jouit de plusieurs propriétés qui ne peuvent appartenir à l'ellipse : ce sont les propriétés relatives aux asymptotes. Pour en compléter l'ensemble, nous allons nous proposer de rechercher l'équation de ? hyperbole rapportée à ses asymptotes * comme axes coordonnés.

L'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes étant

substituons à la place de x et dey les valeurs

x = x oos « + jr cos «',

y œ x sin « -f- y sin •' p

pitres a faire passer î« courbe d'un système rectangulaire a un système oblique ( voyez n* 219)-, il vient

(**«»'•' — B*cm>m')y* 1 •+■ (aA'sin a sin/ — 2B* cos « cos /) xy \ = — AfBa .... (a) .+ (A* sin** — Bft cos*«) x* S

Gela poté, prenons pour «ouvel aie des x, l'asymptote OK (Jig. 178) située au-dessous du premier axe, et pour nouvel Fig.ijS. axe4es y, Pasymptote OL; les angles «, «' ont aiors une valeur déterminée (n° 238) par les équations

tang# = — ^f lang«'s=5-; d'où l'on déduit

cos« = — , sin* = —

cos/ =-—4=, sin ' B

3<p DS i/hTPXRBOLB

et par. conséquent ,

A" «in* - — B» cos* - =

A» sin* m — B' eos» • = ^ — - = o,

aA'sin* sin « — air cos« oos « = — tFt-s;*

IFon l'on voit que les termes en y* et en x' disparaissent par l'effet de cette transformation; et si l'on met dans l'équation (2) la râleur dn coefficient de xy , on obtient , tonte réduction faite,

Ceète équation 9 qui ne renferme que le rectangle des variables et nne quantité toute connue, est la forme caractéristique de l'équation de toute hyperbole rapportée à «es asymptotes considérées comme axes coordonnés.

En effet, supposons qu'on veuille, réciproquement, déterminer », m dans l'équation (a) , de manière que les termes en x* et en ^ disparaissent; il faut établir les relations

A* sin1*' — B*cosâ«'=so, A' sin**— B» cos' *=o.

Or, la première donne

A'tang*« — B*=o; d'où tang«' = :fc^,

• B la seconde donne aussi tang * = ± — t

ce qui prouve que, si l'on prend pour «' l'angle dont la tan-

B gente est + -r- , il faut prendre pour « celui qui a pour tan-

gente — «j. Donc les nouveaux axes par rapport auxquels l'équation est ramenée a la forme ay = ft' , sont les asymptotes de la courbe.

Il est d'ailleurs visible, d'après cette équation, de laquelle on

RAPPORTES A 8X8 ASYMPTOTES. 3g3

déduit jr = — , ou ar = — , que plus x augmente , plus y

diminue ; et si l'on suppose que x soit plus grand qu'aucune

grandeur donnée, y devient moindre qu'aucune grandeur

donnée; et réciproquement. Ainsi les nouveaux axes jouissent

de la propriété caractéristique de» asymptotes (n* 264).

A* + B* 3a3. Faisons, pour plus de simplicité, T — = k%\

l'équation (3) devient xy = k*.

Appelant C l'angle LOK des deux asymptotes (Jig. 178) , et multipliant les deux membres de cette équation par sîn C ,

l'on obtient xy sin C = ft'.sin C.

Cela posé, soient M un point quelconque de la courbe, MP, MQ les coordonnées de ce point parallèles aux asymptotes ; on forme ainsi un parallélogramme OPMQ, qui a pour mesure de

sa surface, OP X MH = xy sin £.

Or, cette expression est égale à k* sin £, quantité constante et indépendante de la position du point M.

Donc tous les parallélogrammes construits sur des coordonnées parallèles aux asymptotes sont équivalent entre eux*

N. B. Il est aisé de reconnaître que cette surface constante est égale à la moitié du rectangle OBEG construit sur les demiaxes.

En effet, l'angle € des deux asymptotes étant double de l'angle LOX,ona

sin C = sin 2#' = a sin m 00s **;

maison a trouvé (n° 3aa)

cos« =— 7==i . sin m =