AB ^ A* + B* . . AB

d4>u swC =± A> , -^ et 7 .sin C = — .

Observons encore que, si l'on joint les points A, B aux points

3$4 api L'BTfKJLaOUL

C,D, extrémités du second axe, la figure ainsi formée est un losange dont les côtés sont parallèles aux asymptotes , et qui est quadruple du losange OIB1' construit sur les coordonnées du point B\

Or, le premier se compose é? idemmeat de quatre triangles BOC,COA, AOD,DOB, moitiés respectivement des -quatre rectangles OBEC, OAeC, OAe'D , OBE'D; ce qui prouve, d'une autre manière, tyze le grand losange est la moitié du rectangle construit sur les axes , ou que le petit losange est moitié du rectangle construit sur les demi-axes.

La figure ADBC , qui a pour expression ( A* + B* ) sin C , on aAB, s'appelle, on ne sait trop pour quel motif, la puissance de l'hyperbole. Dans le eas de l'hyperbole èquUafmre j cette puissance se réduit à 2A* , et le losange devient un carré qui a pour côté A y/ 2.

3&4« Proposons-nous actuellement de mener une tangente en Pi&I79*un point donné M [fig. 179) de l'hyperbole, en employant la méthode du n° 198.

Soient (**, y") les coordonnées du point M, (*',y) celles d'un second point de la courbe.

L'équation de l'hyperbole étant jy«^\ -« (»)

la sécante sera représentée par le système des trois équations

. xy = k\ (*)

Pour obtenir la valeur du coefficient -, *, retranchons

les deux relations (3) et (4) l'une de l'autre; it rient

s'y — x*y* = o; équation qui, par l'introduction des deux termes — x*y*y*+*y*' q«i se ttétruisent , se changa en

^(y~y*)+y(^-*')=o; d'où £=£ = -£.

RAPPOBTix A SES ASYMPTOTES. SgS

Donc la sécante est encore représentée par les équations suivantes

— / = — ?r(*— *V-.. et xy=k\

Maïs si Pon veut que cette droite devienne tangente, il faut supposer a/ = x" et y = y;cequi donne

équations dont la première est celle de la tangente demandée, lorsqu'on suppose que la seconde est satisfaite.

3*5. Remarque. Pour passer de la sécante à la tangente, il a suffi évidemment d'introduire la condition x'z=x", puisque y' n'entre pas dans les deux équations de la sécante- Et, en effet, il résulte de l'équation de la courbe, xy=zk*, qui ne donne qu'une seule valeur de y correspondante à

une valeur de x% et réciproquement, que la condition

jf'ssx" entraine nécessairement y' =y . Il n en est pas de même, lorsque la courbe est rapportée à ses axes ou à un système de diamètres conjugués, parce qu'à la même valeur de x, il correspond toujours deux valeurs de y; ainsi, Pon doit, dans ce cas, introduire les deux conditions à la fois.

Si l'on appliquait la méthode générale du n° 196, c'est-àdire que l'on combinât entre elle* les deux équations xy = ft% et y — y'z=za(x — x'), pour former , soit une équation en x seulement, soit une équation en y, on trouverait, pour la condition qui exprime que les deux valeurs de x7 ou celles de y sont égales, la relation unique (y^ — ax'y^ /±ak* = o, sans aucune solution étrangère (n° 197); et cela s'explique en observant que les deux valeurs de x ne peuvent être égales, sans que celles dey ne le soient «n même temps, et réciproquement.

3a6. Voyons les conséquences qu'on peut tirer de l'équation de la tangente, y — j**b — £7 (x— x").

3g6 db l'hypebbolb

Soit fait dans cette équation, y = o ; il en résulte

*%• '79» Or, cette valeur de x—x* est égale à la distance OR (Jig. 179) diminuée de l'abscisse OP, c'est-à-dire à la soutangente PR; d'ol l'on Toit que PR = OP. Donc , à cause des triangles semblables OTR, PMR, on a nécessairement MR = MT; ainsi, la portion 'A* une tangente comprise entre les asymptotes , est divisée en deux parties égalée au point de contact; propriété déjà démontrée n° 3o5.

Actuellement, les deux triangles OMP, PMR donnent ,

(Trigon., n°9a)... \ % ^J ^ J

l MR =x"H-/â~**V •

cosMPR cosMPR

tfoàPon déduit OM— MR=4*y .cosMPR=4*y -cosÉj

is l'équation x*y=k%=s — -j-*- donne 4^r^#=At + Bt;

d'ailleurs, on a Cs=a«, d'où cosC=cosa« — sin*«, oa mettant pour oos*«, sin'a, leurs valeurs trouvées n° 322 9

Donc l'expression de OM — MR devient

OM — MR=A» — B\ Or, on a obtenu (n° 307) la relation A's— B^seiA*— 8e;

donc enfin, OM — MR=A'â— B>.

Ainsi, en supposant que OM soit le demi-diamètre A', oa peut conclure que MR représente le demi-diamètre B'j c'est- '• que la portion de tangent*, TR, représente en grandeur