RAPPORTÉE A SES ASYMPTOTES

le diamètre conjugué tS de celui qui passe par le point de contact; c'est la seconde propriété du n° 3o5.

De là résulte aussi immédiatement cette propriété , que les parallélogrammes inscrits à l'hyperbole ont leurs sommets placés sur les asymptotes»

Considérons encore une sécante quelconque à l'hyperbole, SS' (fie- 179)> et désignons par (x' >y) les coordonnées du point N, par (x* , ym) celle du point N'.

On a trouvé (n° 3^4) pour le système des équations propres à représenter cette sécante,-, j^— ^'=»— *L (x— x?) r.. x*y*=h?. Or, si l'on fait dans la première, ^ = o, l'on obtient

x — x' = £Jl = x'; c'est-à-dire, OS' -*-OQ' ou Q'S^OQ;

et par conséquent , Q^ = Q*N.

D'où l'on* voit que les deux triangles NQ"S, N'Q'S' sont égaux, puisqu'ils sont équiangles et qu'ils ont un côté égal. De la résulte nécessairement NSssN'S'; ce qui démontre que les deux parties d'une sécante comprises entre la courbe et les asymptotes,, sont égales entre elles (n° 3o6).

Nous avons cru devoir revenir sur des propriétés déjà établies, pour faire voir le parti qu'on peut tirer de la combinaison de l'équation xy=k*, avec celle de la ligne droite; mais on doit reconnaître que les démonstrations qui en ont été données précédemment sont préférables à celles-ci.

327. La dernière propriété fournit un moyen aussi simple qu'expéditif de construire une hyperbole, dès que l'on connaît les asymptotes et un seul point de la courbe.

Soient LL', KK' (fîg. 180) les deux asymptotes, et M le point Fig.180. donné de position sur leur pian. A

Menez de ce point j des droites sous toutes les directions pos* ,1 sibles, et à partir des joints 8j s'^ 8ff>. . . ou ces droites ren- \ , contrent h * asymptote KK.', prenez des parties sm^ s'm'j 8*m% . . .

3g8 de L'mrrjwoui happortAb a ses asymptotes.

égales aux distances SM ^ SfHj STM.,.. .. A* poû»* M 4 ceux où £*« mêmes droites rencontrent t autre asymptote ; les pointe mfmtm*, ainsi déterminés, appartiennent à la courbe.

Remarque* que, par cette construction! Von obtient à la Jbia des points de l'une e£ l'autre branches; car la proposition des sécantes a été démontrée, même pour une sécante telle que Mm" ou Mm*.

On peut, dans cette même circonstance! déterminer les axée en grandeur et en direction.

D'abord , si l'on divisé en deux parties égales l'angle C des deux asymptotes, ainsi que son supplément, on aura les directions des deux axes.

En outre | le point M étant connu de position, ses coordonnées x , y parallèles aux asymptotes , sont aussi connues.

On a donc la relation a/y=A*, on A.%-\-B*=fac'y >• • • (0

mais on a aussi (n° 238). . . tang -C = :± -~ ;

d'où B'ssA'tang'ic... (a)

Combinant entra elles les équation» (i ) et (a), en troare

A»(i + tM#ie)=4*y;

d'où

et par conséquent A = a oot - C |/ x' y ,

B==Àtang-C=at»ng-C.coi-£ l' x'/ =»*"*-* V*V .

CAftACrèltBS DES POINTS DE «A CO0K0B. 3g9

§ IV- DE Là PARABOLE.

Propriétés de cette courbe] rapportée à ses axes

principaux.

3^8. Commençons, ainsi que pour l'ellipse et l'hyperbole, par indiquer les caractères analytiques ou géométriques qui distra-» guent les points pris sur la courbe f de ceux qui sont placés as dehors ou en dedans.

i°. Soit y* = apx l'équation de la parabole MAro.

Considérons les trois points N, M , N' {fig. i8t ) situés sur Fig.i8i« une* même perpendiculaire à Taxe des x, et dont le premier se trouve hors de la courbe, le second sur la courbe , et le troisième en dedans.

On a évidemment HP > MP et N'P < MP ; donc, puisque

pour le point M , MP=t=2p.AP, ou y% — %pxTs;Q9

il s'ensuit que, pour le point extérieur N, on a y* — - zpx > o,

et pour le point intérieur N', y% — zpx < o.

N. B. Si le point extérieur avait la position N", l'abscisse AP* de ce point serait négative, et l'on aurait à fortiori

f~ apx>o.

2°. Suivant la définition de la parabole (n° 241 ) , chacun de ses points M est à égale distance du foyer F et de la directrice LL'i mais si l'on considère deux points R et R', F un au dehors et l'autre en dedans de la courbe , en menant par ces points ' QHM', Q"MTL' parallèles à AX, puis joignant le point F aux % points R et M', R' et M*, on a d'abord ,

pour le point R , FR + RM' > FM' ou M'Q* ; donc FR > RQ' ;

c'est-à-dire que la distance d'un point extérieur au foyer est plue grande que sa distance à la directrice.

Pour le point, R', FR'<FM" + MffR', ou <Q"M*+M"R';

4<>0 UELATI0N BNTBJB KE* CAMlfcs OIS OBDOMNififl.

d'où FR'< Q'B.'; ainsi la distance cfun point intérieur au foyer est moindre que sa distancé à la directrice*

Y 3ag. De l'équation y=zpx,on dédoit — = a/?'; ce qui

fait Toir que, dans la parabole, le carré d'une ordonnée esta l'abscisse correspondante dans un rapport constant appelé le paramètre de la courbe ; en d'autres termes , les carrés des or~ données sont entre eus comme les abscisses correspondantes; ou les ordonnées croissent comme les racines carrées des abscisses).

Ce dernier caractère établit une différence sensible entre le cours de la parabole et celui de chacune des branches de l'hyperbole. En eftet, puisque Von a pour celle-ci :

, il en résulte que les valeurs de y croissent presque proportionnellement aux abscisses pour des valeurs de x un peu considérables. L'hyperbole s'élève donc beaucoup plus rapidement audessus de l'-axe des x qu'une branche parabolique. Enfin, lorsque x est très grand , le cours de l'hyperbole est presque celui d'une

ligne droite ayant pour équation y=z-x; tandis que le cours

de la parabole approche beaucoup de celui d'une ligue «boite parallèle à l'axe des x.

L'équation y* = *px donnant encore ap : y 1 1 y l x, on peut' en conclure le moyen suivant de décrire la parabole par points :

P renés sur le premier axe principal j étala gauche de Vori- • Fig.ith. jrô* A (fig* 182) , une distance AC égale à ap; élevé* sur AX de différens points PjP'j P"... des perpendiculaires* puis décrivez sur les lignes CP, CP^ CP" . . . ., comme diamètres j des circonférences; enfin ,par les points Q> Q'^ Q*. • .., où ces circonférences rencontrent le second axe* menés des parallèles au premier; les points M , M', M" . . . déterminés par la rencontre

MESURE »'tJN SSGMShT PAKABOUQUB* 401

de ces parallèle* avec lès perpendiculaires, tout des points de la parabole demandée.

En effet , pour une abscisse quelconque AP, tous avez

ca:aq::aq:ap, ou 2d:mp::mp:ap-, d'où mp=2^.ap.

Les points de la branche inférieure se déterminent en prolongeant les perpendiculaires de parties égales à elles-mêmes. 1

33©. Mesure d'un segment parabolique. Afin de suivre le \

même ordre que pour les deux autres courbes, proposons-nous de déterminer Faire d'un segment compris entre un arc .

de parabole MAro , et une corde Mm perpendiculaire au premier axe, ou simplement Paire du demi- segment APM.

Pour y parvenir , considérons sur l'arc AM {fig. i83) uneFig.i83. suite de points M , M', M', ... ; et de tous ces points , menons des perpendiculaires et des parallèles à l'axe AX; ces droites déterminent des rectangles RPP'M', R^PT^M*,. . . • que nous nommerons rectangles intérieurs ^et d'autres rectangles R'QQ'M', R'QfQ'M",* . . . qui seront appelés rectangles extérieurs.

Or, en désignant par x et y, x' et y', x" et y* . . . . les coordonnées des différens points M , M", M*, . . . . on a pour la

surface s du rectangle intérieur RPP'M', s = y (x — a/) , et pour celle du rectangle extérieur correspondant t , / = a/ '(y — j/) ;

d'où l'on déduit \ ss £(x~ *)

Biais, puisque les points M, M'... se trouvent sur la courbe, on a les relations >y*= apx, y,% = zpx', qui donnent

ap ap 7

il vient donc , par la substitution ,

4©2 mesuhb b'uk segment parabolique.

On obtiendrait pour les deux rectangles suivans ,

et ainsi des antre*.

Observons maintenant que les points M, M'» M*. . . . peuvent être pris sur la courbe , de telle manière qu'on ait la

suite de rapports égaux , ^ss-^zs-^ — i -j- m f

m étant une fraction constante aussi petite que l'on veut ( il suffit , pour cela , de prendre sur ÀY des parties.

AQ'=AQX-i-, AQ'=AQ'X--J-, puis de

mener par les points Q^ Q". . . des parallèles à AX).

s s' Au moyen de cette condition , les rapports -, -,... deviennent

d'où , en vertu d'un principe connu , j4-a/ + ** + ... S

TTr+r+rr.' ou T = a + m'

ce qui démontre déjà que le rapport entre la somme des rectangles intérieurs et celle des rectangles extérieurs est égal à la quantité constante a •+- m.

Cela posé, comme il est évident que, si l'on prend pour m une très petite fraction, la somme des rectangles intérieurs différera fort peu du demi-segment AMP ; que la somme des rectangles extérieurs différera aussi fort peu de la ligure mîxti— ligne AMQ, et que ces différences seront d'autant plus petites , que la fraction représentée par m aura une moindre valeur , on peut conclure qu'à la limite , c'est - à- dire que , lorsqu'on supposera m = o , les deux sommes de rectangles se confondront avec les surfaces AMP, AMQ, et l'on aura nécessairement

AMP

^M0 = 2 , d'où AMP = aAMQ ; ainsi, APMQ = 3AMQ,

et par conséquent ,

AMQ = iAPMQ, ou AMP=|APMQ==|:r.>

Donc enfin f la surface du demi-segment -parabolique .AMP est égale aux deux tiers du rectangle construit sur les coordonnées extrêmes,

II résulte de là qu'un segment parabolique est une surface carrable; ce qui n'a lieu ni pour le cercle ni pour l'ellipse, dont les aires dépendent du rapport de la circonférence au diamètre.

Problème des Tangentes.

33 1. Pvoposons-nous actuellement de mener une tangente a la parabole par un point (x*, y") donné sur la courbe.

Une droite menée par ce point et par un second point (j/, y') de la courbe , est représentée par le système des trois équations

jn '

y» =s *px',. (a)

Pour obtenir la valeur de •*•? — **-„, retranchons les équations (2) et (3) l'une de l'autre • il vient

Ainsi , la sécante est encore exprimée par les deux équations

j,~/=îy,+?(*~^ et y

m as 2px .

Mais pour que cette droite devienne tangente, il faut que

4<>4 PROBLBMS

l'on ait à la fois y'=y"9 x' = x* ; ce"qui donne

dont la première est l'équation de la tangente, lorsqu'on suppose que la seconde est satisfaite.

33a. Remarque. Comme Péqnatîon y— y*sss> , , n{x— x')

est indépendante de x , il s'ensuit que l'hypothèse y = y* suffit pour établir le contact de la droite. Cela tient à ce que , l'équation de la courbe étant y* = apx , à une valeur dey il ne correspond qu'une seule valeur pour x; ainsi , dès qu'on suppose que deux ordonnées de la courbe sont égales, il doit en être de même des abscisses correspondantes. La réciproque n'est pas vraie.

Aussi y en appliquant la méthode générale du n° 196, ce qui revient à combiner entre elles les deux équations

on trouve pour le résultat de l'élimination de y,

a*x* -f- a [a (y — ax') — p] x + ( y'— ax')*= o,

et pour le résultat de l'élimination de x ,

cry* — a/y — ap (ax* — y') = o.

Pour que les deux racines de l'équation en x soient égales , il faut que l'on ait

[a (y ax') - Py - a* (/- axj = o ,

ou, développant la première partie, supprimant les deux quantités a% (y — ax*)*, — <*" (y9 — <**)*> qui *e détruisent , et ordonnant par rapport à a ,

apr'.û* — apy'.a +p"= o.. . . (1)

Quant aux deux valeurs de y , elles deviennent égales au moyen de la condition p* + aap (a jf — yf) = o ,

DJtt TAMOSNTS9. 4°^

ou, ordonnant par rapport à af

2px' . a* — zpy . a «4" P* = ° > • • • • (2)

résultat identique arec le résultat (i).

Mais on voit que la seule hypothèse que les deux valeurs de y soient égales , conduit à la véritable condition de contact , sans condition étrangère ; tandis que celle qui exprime l'égalité des deux valeurs de x , donne Heu à une première équation qui renferme les solutions a = oo , a = oo , puis* qu'on a supprimé des termes en a4 et a3.

Si l'on suppose le point (a/, y) donné sur la courbe, comme on a alors y'* = zpx'9 l'équation (i) devient

y'*a% — 2£y'a+p' = o, ou ( jr'a — p)* = o ; d'où a= ^7.

C'est en effet la valeur du coefficient de x — - x* dans l'équation de la tangente (en remplaçant toutefois y' par y').