DE LA PARABOLE

constante qui dépend toutefois de la position du point A/ sur là courbe.

Pour déterminer par l'analyse la valeur, de cette constante, nous- exécuterons une tranfbrmation ayant pour but de rapporter la parabole à un nouveau système d'axes* tel que l'équation conserve la même forme que lorsque la courbe est rapportée à ses axes principaux.

L'équation de la parabole rapportée à ses axes étant

substituons pour x9 y leurs valeurs

x = x cos a + y cos & + a, y = x sin « + y sin *' + 4,

au moyen desquelles ( n° 219) on passe d'un système rectangulaire à un système oblique d'origine différente, il vient

sinV.jr*+asin«sin«.xy+sinVi.*'-f {ibsinm — zpcos*)yi

+(aisin«— ap cos*)x >=o..(a) -+* A*— apa J

Or > |iar hypotbèse, cette équation doit se réduire à la forme y* = kx ; donc il faut poser les différentes conditions

sin«'.siu«=o, $in*«=o, frsin*' — pcos«'=o, ft1— 2pa=o;

et Péquation (2) devient alors v*= . T / . x. . . (3) ^ " sin* •

Comme la seconde des conditions établies entraîne nécessairement la première» il s'ensuit que , pour déterminer «, • , a, 6, nous n'avons réellement que trois équations distinctes. Ainsi, le nombre des systèmes d'axes* par rapport auxquels l'équation conserve la forme ci-dessus, est infini.

La relation sin m = o nous apprend d'ailleurs que le nouvel axe des x} qui , d'après la forme de l'équation (3) , n'est autre chose qu'un diamètre, est parallèle à1 l'axe principal. Donc,

hàpporteji aux axes conjugues. 411

dansja parabole, tous les diamètres sont des parallèles à l'axe principal; résultat déjà connu (n° 260) .

En second lieu, l'équation &* — • 2pa = o , étant ce qne devient y*=2px, ou^* — 2/wr=o, lorsqu'on y remplace x ety par les coordonnées a et b de la nouvelle origine, on doit conclure que cette origine est placée sur la courbe. En donnant à a une valeur arbitraire, on tirera de l'équation &*— - 2pa=o, la valeur correspondante de b ; et le point A' déterminé par ces valeurs, représentera la nouvelle origine.

Enfin , l'équation b sin *' — p cos *' = o , donne

tang«'=j,

expression semblable à celle a = £ , qui a été trouvée pour

la tangente à la parabole;. ce qui prouve que le nouvel axe des y est tangent à la courbe.

fous ces résultats s'accordent avec ce qui a été dit (n° 258) sur les axes conjugués.

De la relation tang *' = £ on déduit cos* *'=

\/b* + p*' et par conséquent, sin9 « = tang* «ÉcosV = ,%P~ a = — £«- ;

Or, si l'on suppose que AG soit l'abscisse de la nouvelle origine A' rapportée aux anciens axes, et qu'on tire le rayon vecteur FA', on sait que ce rayon vecteur a pour exprès-

sion, û+^. Donc -^-£-7 = £A'F ; c'est-à-dire que le

paramètre de la parabole rapportée à un système d'axes conr juguésj ou bien, le coefficient de x., dans V 'équation (3), est égal au quadruple de la distance du foyer à la nouvelle origine.

41* DE ItjL TAKGENTB

Désignant par ap' ce nouveau paramètre , on obtient enfin

pour l'équation de la parabole rapportée à Pan de ses diamètres.

Nous pourrions ici, comme pour Pellipse et l'hyperbole, nous proposer, réciproquement, de passer de l'équation de la parabole rapportée a un système d'axes conjugués, à celle de la courbe rapportée à ses axes; mais ce calcul ne conduirait à aucun résultat important.

34o. L'équation y*=zprx9 ou ±-s=z2p' , prouve que, pour

un système quelconque d'axes conjugués, les carrés des ordonnées sont proportionnels aux abscisses correspondantes; c'est la propriété du n° 329 , généralisée, puisque les axes principaux formeut un système particulier d'axes conjugués.

Cette propriété étant vraie, quelle que soit l'inclinaison des axes, on peut, par un procédé semblable à celui qui a été employé (n° 3i4)> construire la parabole, connaissant l'angle de deux axes conjugués et le paramètre correspondant. Fig. 186. Soient fiX., A Y (fig. 186) les deux axes conjugués donnés. Elevez au point A une perpendiculaire à AX., et construise* sur AX^AT '., considérés comme axes principaux j une parabole AIRS ayant 2p' pour paramètre ; menez ensuite de différent points P , P' . . . des parallèles à ÀY' et A Y,, et prenez des parties PM, VM' .... égales à PN^ FW. . .. ; les points M , M',. • • appartiendront à la courbe demandée.( A>y est le n° 386 pour1 cette même question.)

34i* En résolvant le problème des tangentes, d'après la méthode du n°33i, on trouve pour l'équationde la tangente, lorsque

le point donné est sur la courbe, y —y" = y («* -— x') > oa >

simplifiant d'après la relation y*% = %px* , yy* = p' (x + x") . Soit fait dans la seconde équation, jr=o; on trouve Fig. i85. x = — x» ; c'est-à-dire {fig. i85) , A'R = — A'P.

raffobt£e aux axks co^j doués. 4'3

L'hypothèse y = o, introduite dans la première , donne ....

x= x*=s— 21- =3 ax* ; ce qui prouve que &z soutan-

gente PR «** négative et numériquement double de l'abscisse du point de contact.

Ces résultats sont analogues à ceux du n° 333.

Quant à la soimormale j la propriété démontrée n° 334 ne peut avoir lieu dans le cas d'axes conjugués obliques; car le coefficient de x, dans l'équation de la normale, dépend essentiellement de leur inclinaison.

342. Supposons actuellement qu'il s'agisse de mener une tangente par un point N (Jig. 1 87 ), ou fx', y), pris hors de la courbe; Fig.187. on a, pour déterminer les coordonnées x',y*fda point de

contact , les équations y"*t=&px* et yy"-=.p' (x'-f- x").

Mats au lieu d'effectuer l'élimination, qui n'offrirait aucun intérêt, on peut, en regardant x", y" comme des variables* construire les lieux géométriques de ces équations.

La première représente évidemment la parabole déjà cons- . truite.

Quant à la seconde, qui représente une ligne droite, en y

y- = o, ) (X'=-f ' faisant successivement 4 -.* « /on Irouve < je Px

Si l'on porte, sur les axes AX, AY, des parties AI, AH res-

pectivement égales a — xf — 7> et qu'on tire la droite IH,

on a le lieu géométrique demandé; ainsi les points M, m, où cette droite de jonctiou coupe la courbe, sont les points de contact des deux tangentes qui doivent passer par le point N.

Comme le résultat *" = — xf correspondant à y = o , ne dé- v pend pas de l'ordonnée y du point N , il s'ensuit que, si Ton prend un second point N' sur une parallèle à l'axe des y menée