MP . , Î*Q

par le moyen des relations 2/> = --5 et ip = - •-,-»• .

Le paramètre à l'axe principal étant connu, on peut en déduire facilement la position du foyer et celle de la directrice.

344 Aux questions précédentes, s'en rattache une autre, qui a rapport aux trois courbes du second degré.

Une portion de section conique étant tracée sur un plan, on propose de déterminer la nature de cette courbe j c'est-à-dire de reconnaître si la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

Tracez deux cordes parallèles dans une première a puis dans une seconde direction ; joignez les milieux des deux premières cordes et les milieux des deux autres. Suivant que ces lignes de

4l6 COORDONNEES POLAIRES.

jonction se couperont en dedans de l'arc donné, ou au dehors de cet arc , ou qu'elles seront parallèles j la courbe sera évidemment une ellipse, une hyperbole , ou une parabole.

Quant a la détermination des diflerens élémcns de la courbe, on aura recours aux moyens indiqués (n°*3xo, 3a i et 343).

§ IV. Équations polaires des trois courbes du second

degré.

345. Jusqu'à présent , nous avons supposé une courbe déterminée de position sur un plan, par le moyen d'unie équation entre deux variables exprimant les distances de chacun de ses points à deux droites fixes comptées parallèlement à ces droites ; mais il existe un antre moyen qui , dans certains cas, offre des Fig. 190. avantages sur le précédent (Jig* 190).

Pour fixer ies idées sur ce nouveau mode de représenter analytiquement les lignes, considérons une courbe quelconque jtiMm'j une droite Ofi déterminée de position sur le plan de cette courbe, et un point fixe O sur cette droite. Menons de ce point | nommé pôle s à un point quelconque M de la courbe une ligne OM appelée rayon vecteur; et désignons par r ce rayon vecteur, par v l'angle qu'il forme avec la droite fixe OB.

H est évident que si , de quelque manière que ce soit, on parvient à établir une relation entre r et f, qui soit vraie pour tous les points de la courbe et rfait lieu que pour ces pointa, la courbe sera entièrement déterminée; car, en donnant à y une série de valeurs v\ v* ^ <F9 . . . . on tirera de la relation f{jrt v) = o , des valeurs correspondantes r9 , r*, r9. . . . pour r. Formant alors au point O des angles LOB, L'OB. . . . égaux à v', p", . . . • et portant sur OL, OL',. • . . des parties égales k r', r*,. . . • on obtiendra des points M, M',. . . . qni appartiendront à la courbe.

Les variables r et v sont ce qu'on appelle des coordonnées polaires, et l'équation /(r,v) =0 est dite V équation polaire de la courbe.

COOH DONNEES F0LAIKES. 4K7

346. Une courbe étant tracée sur un plan , on peut se proposer de déterminer directement une équation polaire de cçtfa» courbe, en prenant d'une manière convenable \ep6le et la droite fixe menée par ce point. Mais ordinairement, on suppose que la courbe est déjà fixée par le moyen d'une première équation entre des coordonnées rectangulaires ou obliques (celles-ci s'appellent coordonnées rec H lignes) ; et il s'agit alors d'en déduire une équation entre des coordonnées polaires. Or, cette transformation de coordonnées peut être facilement exécutée*

•Soient, en effet, ÀX, ÂY (Jig. 190) deux axe» par rapport auxquels on a une équation telle que f(x> y) a» o.

Menons par le point fixe O les lignes OX', OY' parallèles à ces axes, et désignons par a, b, les coordonnées ÂH, OH du pôle O, par a. l'angle BOX', par C l'angle des deux axes'; le rayon vecteur OM et l'angle MOB seront d'ailleurs, comme ci-dessus, représentés par r et v. ,

Cela posé, la figure donne évidemment

AP ou x = a -J- OK, MP ou y = b + MKj

1 tuais on a, d'après le triangle yOK,

j OK : OM :: sin OMK : sin OKM,

* MK : OM :: sin MOK : sin OKM;

r sin (C — v — m)

d'où l'on tite i * OK

sin

mk = '**?+*).

sinC

Substituant ces valeurs dans les expressions de x et de y} on obtient

, rsin(ff — v — *) , , rsinCv-f-*) , x

xz=a-\ i-—; S y=*b-\ . - ,»».. (1)

sin C ^ sin C