USAGE
valeurs qui, reportées dans V équation J[x, y) = o9 donneront V équation polaire demandée.
Lorsque les axes sont rectangulaires, ce qui a lieu communément, on a
Csâioo", d'où sinC = i, sîn(£ « — v — «) = cos (vv+ *) ;
\ et les formules deviennent
a:s==a + rcos(i> + «), y=£ + rsin(y4-«)«- • 0»)
Outre, cette hypothèse, on peut encore supposer que la droite fixe soit parallèle à Taxe des x\ auquel cas on a m = o , et les formules détiennent
xs=a4-rcos v9 y=b + rsln v. ... (3)
EnBn , dans ces mêmes circonstances , on peut prendre pour pôle l'origine même des anciennes coordonnées; et les formules se réduisent à
x = rcosf , ^sssrsinv. . . (4)
Les deux derniers systèmes sont ceux dont l'emploi est le plus fréquent.
347» Pour donner une prem$re idée de leur usage, proposons-nous de déterminer V équation polaire du cercle , en pre- **g> 1911 nant pour pôle un point quelconque O (fig. 19O situé sur le plan de ce cercle.
-L'équation du cercle rapporté à son centre et à des axes
rectangulaires , étant y* + oc* = Ra ,
il suffit de remplacer jr et x par leurs valeurs (3); ce qui donne en développant et ordonnant par rapport à r,
r*+ 2 (6 sin v -j- a cos v)r + a*+ b% — R*= o
(la droite fixe, à partir de laquelle se compte l'angle v, est une ligneOB parallèle à ^'axe des x).
Désignons par r , r" les deux racines de cette équation;
DM COORDONNÉ» tOLAIRZS. 4(9
on a, d'après an principe connu,
Or 9 cette relation étant indépendante de Pangle v que fbVme la direction du xayon -vecteur OM arec OB, il s'ensuit que pour deux lignes quelconques Mm, M'»', menées par le point O, on a la relation
OMxOro=OM'XOm', ou OM :OM' :: Om'tOro;
ce qui prouve que deux cordes se coupent, dans un cercle, en parties réciproquement proportionnelles*
Tant que le point O est intérieur au cercle , a* •+• i* , ou ÀO ,
est plus petit que AC ou R9; ainsi, a% + î1 — *R*.est négatif. Cela doit être, puisque les disUneas OU, Om sont comptées
en sens contraire l'une de l'autre,
Si, au contraire, le point O est extérieur, oonran? en O',
a* +6», ou A& est plus grand, que 11», et e^-f-A^-u-R» est positif. La propriété des sécantes se trouva d'ailleurs démontrée, puisque la relation ci-dessus donne O'N X O7* égal k une quantité constante, quelle que soit l'inclinaison de la sécante.
Il en est de même de la propriété de la tangente par rapport à la sécante; car le triangle rectangle àEKV donne évidemment
O'DssÀO'— àD=±**+4*— R*; d'oïl O'D^OTSTxO'/i.
348. Soit encore proposé de trouver l'équation polaire de l'hyperbole, en prenant pour pôle le centre même de la courbe, et pour droite fixe le premier axe.
Il ne s'agit, pour cela, que de substituer les valeurs. ......
x = r cos v et y == r.sin v (fig. 1^7) dans l'équation Fig. 13;
Ay-BV = -A*;
il vient (Aa sin* y — B» cosa v) r1 = — AgB*
420 iQUATlOV lOhAMBM
rfcAB
d'où r =
cas v • l/B* — A* tang* v
' Q» , ce résultat dénoatre d'abord que si , pas) le point O , Pon ji&e «ne ligne quelconque M/fc', les deux parties OM-, Om «ont
ifaaks Qtd* signes coutruires..
De plus, pour que la valeur de r soit réelle, il fant que l'on
B* aiÇ tfljigV plqs. petit,. ou tout au plus égal à — .
Soit tâng*v = — J il en résulle tangv=db —.
On yok dane que les droites menées. par le point O, de manière qu'elles forment avec AX des angles avant pour tan-
geotes ++r •t**»*— , ces droites, dis-je, déparent les lignes
qui rencontrent la courbe de celles qui ne la rencontrent pas. (Voyez n° aoo.J
., Ce qui précède suffit pour faire entrevoir avec quelle facilité tihe transformation de coordonnées rectilignes en coordonnées polaires, met en évidence certaines propriétés des lignes courbes.
349- Passons maintenant à la détermination des équations polaires des trois sections coniques, dans le cas le plus usité, celui ou Ton prend pour pôle l'un des foyers de la courbe, et pour droite fixe, le premier axe.
Fig.192. Ellipse. Soit F (fig. 192) le foyer pris pour p^le; on a dans ce cas, b = o, a = c} et les formules (3) du n° 346 deviennent
»r = c + r cas v^ y = rsini/.
Substituons ces valeurs dans l'équation de la courbe,
iy+BVsrA'B1,
ou plutôt, Ay -f (Aft— c») x* = Aâ(A*— c*)
(afin de n'avoir dans les calculs que deux constantes A et c).
DE l'eIXIME. 431
Il Tient (Aft— c% cosV) iH^^— c*)c.eoJv . r— (Aa— ca)a== o ; d'où
i j r ' '- ti
— (A*— c>)c.co8^dry/(Aft--c>)VcosV^-(A>--ca)tt(A,--c,cosV)'
A* — c*cosft*> ?J
ou, réduisant la quantité sotrô le radical ,
(A*—- c*) (— ccos 1/ rh A) A* — c* cos* v '
expression qui, considérée successivement avec le signe supérieur, puis avec le signe inférieur, donne, toute
faite ,
r=- — et ras-
A + c cos *> ' A — c cos f "
'Discussion. De ces deux valeurs, la piemière est essentiellement positive ; car A* — c* , ou B*, est positif, et quand bien même , cos v serait négatif, comme un cosinus ne peut surpasser
l'unité, et que c, ou {/ A* — B% estiuomdrequeA, onapéce*-
sairement A ■+• c cos v > o.
La seconde est, par la même raison, essentiellement négative; et cela doit être, puisque, pour une positiou quelconque du rayon vecteur, on a toujours deux points M et m, N et n , dans une position inverse l'une de l'antre , par rapport' ait point F. Mais en faisant abstraction du signe de la seconde valeur , on voit qu'elle se déduit de la première , en changeant cos v en — cos v; d'où il résulte que celle-ci suffit à elle seule, pour donner tous les points de la courbe, avec la condition de faire passer l'angle v par tous les états de grandeur, depuis c* jusqu'à 4<>o0.
Faisons diverses hypothèses sur l'angle v, et déterminons les valeurs correspondantes d§ r.
Soient v = o , d'où cos v = i ; on prouve
4^a iQlTATIQK POLÀIftE
r-£ £- = A-c = FB;
v = ioo°, «Toi cos v = o j donc r = j r= — = FN ^
demi-paramètre;
v = 2000, d'où cos v = — i \ donc r = A + c = FA;, v = 3oo°, d'où coa v = o ; donc
Dans l'hypothèse de v = ioo°, la seconde râleur générale x
A* — c* Bâ de r devient r ==•-— ■ ■ = r.
Ces hypothèses suffisent pour faire voir que l'équation
t = A . ■ représente tons les points de la courbe» aussi
A-f-ccosv r
bien que l'équation Ay + B* xft = AW.
35o. Hyperbole. L'équation de cette courbe rapportée à ses axes, étant
Ay-BVs-A*, ou Ay— (c1— Aa)^*=— À^c*— A»),
il faut substituer à la place de y et de x9 les valeurs y 5= r sin v et x = c + r cos v ou plutôt, x=c — r cos v ; parce que Ffg.193» les sommets B et A (fig* 193) de la courbe, se trouvant placés à gauche du point F, on doit compter l'angle v dans le sens FB4; ce qui revient à remplacer v par 200? — v dans la formule X = c -f- T COS V.
On trouvera par cette substitution, et après les simplifications qui ont déjà été exécutées pour l'ellipse >
•A+ccosi*' A— scostf
DK l/lIYFBlIBOUft. 42^
La discussion de ces valeurs mérite beaucoup d'attention.
Tant que l'angle v est moindre que iooQ, eos v est positif et diminue de plus en plus , à mesure que v augmente jusqu'à cette limite; donc la première expression de r est positive et augmente de plus en plus, depuis r = c — A, ou FB, qui correspond évidemment à v = o, ou cos v — i , jusqu'à '
r = — r — ou - qui correspond à v = ioo°, ou cos v =^ o.
Quand v surpasse ioo°, cos v est négatif et augmente numériquement; il en est de même de c cos v, et pour que* A + c cos v reste positif, il faut que v soit moindre que l'angle
A pour lequel on a A + ccosvs^o; d'où cos v = \ et
par conséquent,
I tangv=Vsec*v— i = \J ^— *= — £>
c'est-à-dire que si l'on mène par le point F , la ligne FG parallèle à l'asymptote OL , l'angle t* ne doit pas être plus grand queOFG.
Soit v as OFG, d'où cos \t = -; il en résulte
r SS r 2= = 00.
Cela doit être, puisqu-'alors le rayon vecteur est parallèle à OL.
Lorsque v dépasse l'angle OFG, la première expression de r devient négative; mais observons que, comme cette expression ne change pas, si l'on remplace v par — v (car on sait, n° 5zy que cos — v = cos -f- v), elle est susceptible de représenter la portion Bmmmf . . . . , tout aussi bien que la portion BM"M". . . . de la première branche.
Il suffit, pour une valeur quelconque donnée à y, OFM*, par exemple, de décrire du point F comme centre, et d'un
4*4 AqUÀTION FOUàlft£ DS i/hYP*HBOLB.
rayon égal à la râleur correspondante de r, un arc de cercle M*Dm", puis de prendre Dm*= DM*.
Voyons maintenant ce que devient la seconde expression, lorsqu'on fait passer l'angle v par diflerens états de grandeur.
On peut mettre celle seconde expression sous la forme
ç cos v — A' Cela posé, soit d'abord v = o ; il vient
De plus, on voit que r restera positif, tant que l'angle v aura une valeur moindre que celui pour lequel on a
ecosv — A = o, d'où cos^= — , ettang v== —j
c'est-à-dire tant que le rayon vecteur sera situé entre FA et FK' parallèle à la seconde asymptote OH'.
A Soit v = OFK' , d'où cos v= — ; on trouve
Dans la même hypothèse, la première expression générale de r devient
r=— — * = £.— A -« £L = fi=1fn.
A A 2A aA a
Pour une valeur de v plus grande que OFK', la seconde expression devient négative; mais, d'après la remarque faite ci- dessus, cette seconde expression représente non-seulement la portion AmS, mais encore la portion Am'S' de la seconde branche.
ÉQUATION FOLA1M JUS JUA FAHABOUl. fo5
IL résulte de cette discussion , que la première branche de l'hyperbole est représentée en rayons positifs , par la première expression de r, pour des valeurs de o positives ou négatives et comprises entre zéro etOFG, ou entre zéro et OFK;
Que la seconde branche est aussi représentée en rayons positifs par la seconde expression de r, pour des valeurs de v , positives ou négatives et comprises entre zéro et OFK', ou entre zéro et OFG'.
Il n'en est donc pas de l'hyperbole comme de l'ellipse. Dans celle—ci , la première expression de r est suffisante pour représenter tous les points de la courbe en rayons positifs; mais dans l'hyperbole, la considération des deux expressions est indispensable.
35 1. Parabole. En faisant pour cettç courbe, relativement a la manière de compter l'angle *>, la même observation que pour l'hyperbole, on sera conduit à substituer dans l'équation y*=2.px {fig. 194)> le» valeurs y=-t sin *»,*=:- — roosv. Fig. 19 j« / 2
On obtient par cette substitution, et observant que
sin'i' = 1 — cosV ,
(1 — cos* n) r* -f- %p cos i».r — jpa ss o,
» ', — pcos vdz V^d'cps6 v -f p* ( 1 — cos9 1>) p(— cos v:± 1 )
1 — cos* v 1 — cos'v
donc r = — -J- , et r = —
1 + cos v 1 — cos v
La première expression est essentiellement positiçe, et la seconde négative; cela tient à ce que, pour une position quelconque MFtk du rayon vecteur, les deux points M, m sont toujours en opposition par rapport au point F.
Mais la première peut, donner à elle seule tous les points de la courbe, si l'on fait varier l'angle v depuis o° jusqu'à 4oo°.
Soit v =0, d'où cosy=ij on trouve r=- =FA-,
4^6 £q9ation» hxlaihks
v = ioo°, ou cosv = o; il en résulter =p= FNj
v = 200°,cosv = — i; donc r==- = oo;
v = 3oo°,cos v = o; donc r=-=FN.
352. Pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous exposerons le moyen d'obtenir les équations polaires des trois courbes , directement; c'est-à-dire en partant des définitions de ces courbes. >
EllipBt. On a trouvé (n° 228) que le rayon vecteur FM, ou Fîg. iga. r , a pour expression , A — -j- (Jig. 192) , * représentant la distance du point O au pied de la perpendiculaire MP.
Gela posé , soit x' la distance FP ; on a évidemment x=c-f-x/ j mais le triangle rectangle FPM donne af = r cos v; d'où x = c + r cos v.
Substituant cette valeur dans l'expression r=A— — ,
. . ^ À* — c (c+ r 00s v) À* — - c* — cr cos l'on obtient r = ' — = . *
d'où l'on déduit r = A* "~ *
A + c cos v
ex Pour le rayon Fm, on a également r = A — r- ;
mais ici
x ou Op = c— Fp = c — *, et j/rrrreos pFi?i=:rcosv d'oii «sc-r cos v.
, A — c(c — rcosv) A* — c* + crcosv
Donc r as ^— r - = ; — - j
À» — c* et par conséquent , r =
A — c cos v
DBS TROIS COUBB0. 4*7
On obtient l'expression du second rayon indépendamment
de son signe, parce qu'on l'a cherchée directement, Mais en
tant que les deux expressions sont liées entre elles par une
même équation, elles doirent y entrer arec leurs valeurs cor-
relatives,
ex Hyperbole. On a trouvé (n° 235) FM ou r = -r- — A
{fig* 193) y mais la figure donne a: ou OP = c — a/, x'=rcos v j Fîg. 193. d'où df = c — rcosv;
c(c — rcosv) .- c* — À* — cr cosv
donc r sa — — — A = — ,
c* — À* * et par conséquent. r = - — : .
* A + c cos v
Pour le point m, on a Tm ou r = - — |- A j
mais x ou Op = Fp — FO = a/ — c, a/ = r cos v, d'où
x = r cou v — c j
, c(rcosv— c) . cr cosv — c* + A*
donc r s= -J- A :s= ~ ■ ,
(cft Aft^ ca A*
et par conséquent, r = -r— - i — .
A — %c ços v ccos v — A
Le second rayon a une expression tout- à-fait identique arec celle du n° 35o ; et cela doit être, puisque ce rayon est tantôt positif , tantôt négatif.
Parabole. On a obtenu (n° 24*) FM ou rzssx -f £ (Jtg. ig4) ; Fig.ictf.
mais x ou AP=s^— -a/, a/ =rcost>; d'où x=- — rcosv;
donc r=sp — r cos v, et par conséquent, r =s — -£ .
^ 1 + cos v
On obtiendrait de même le second rayon vecteur, mais abstraction faite de son signe.
4*8 SECTIONS COKIQUBS SXMBLABLES.
Des sections coniques semblables.
Les propositions qui suivent ne se rattachent à aucune tle» théories précédentes j mais elles n'en sont pas moins importantes à connaître.
353. Deux ellipses on deux hyperboles sont dites semblables, lorsqu'elles ont leurs axes proportionnels. Ainsi , soient A et B les demi- axes d'une première ellipse, a et b ceux d'une seconde ellipse; ces deux courbes seront semblables, si l'on a la proportion
A : B :: a : fc, ou a : a :: B : b.
Cette dénomination rient de ce que les deux courbes jouissent alors des mêmes propriétés que les figures semblables de la Géométrie; c'est ce que nous nous proposons de démontrer.
Pour plus de simplicité, nous placerons les deux courbes Fîg.ig5. l'une sur l'autre (fig- 19^) > de manière qu'elles soient concentriques, et que leurs axes se confondent.
Soient donc deux ellipses pour lesquelles OA, Oa, désignant les demi-grands axes, les moitiés des seconda sont déterminées par les parallèles AG , Acj en sorte que l'on a
oa : Oa :: oc : Oc, ou a : a :: b : b... (i)
Cela posé, i°. considérons une ligne quelconque OL menée par le centre, et appelons D, d les demi -diamètres OM, Om; T, X, les coordonnées du point M, et y, x, celles du point m.
Puisque les trois points O, m, M sont en ligne droite, on a
et comme M, m. appartiennent aux deux courbes , on a aussi
A'Y" = B1 (A* — X*) , a»y * = b* (a* — **) j d'où, divisant l'une par l'autre ces deux équations et ayant
et par conséquent, -- «sa -— a= -— =s -7 . . . . (2)
SgÇTJOMS OONIQVSS 9WÊÊMLA9LM* 4*9
égard à la relation (i) ,
mais on a déjà .... Y1!)1 !! ï1: i1;
donc X* : a;» :: A* — X* : û* — x% ou a4Xâ === AV,
Ainsi, les lignes MP et mp} OP et Op, OM et On», sont dans le rapport des axes A et a,
2°. Soient deux autres points M' , m placés sur une même ligne OL' , et nommons D' , d! les demi-diamètres OM', Om ; on obtiendrait de même D' l o? Il A Z a H T> Z d; donc, aï l'on tire les cordes MM', mm', on forme ainsi deux triangles semblables OMM', Omrri , qui donnent
MUT : mm II D : d :; A : a\
de plus, les cordes MM', mm! sont parallèles.
3°. Concevons actuellement qu'on ait inscrit aux eliipsea. deux polygones dont les sommets soient deux à deux en ligne droite avec le centre; il résulte de la proposition precé-* dente, que ces polygones ont leurs cotés parallèles et respectivement proportionnels; donc ils sont semblables. Ainsi, les contours de ces polygones sont proportionnels aux demi-axes des deux ellipses , et leurs surfaces sont entre elles comme les carrés de ces demi-axes.
Ces deux résultats étant vrais, quel que soit le nombre des côtés des polygones , le sont encore à la limita-
D'où l'on peut conclure que les contours E> e^ des deux ellipses, sont entre eux dans le rapport des demi-axes, et leurs surfaces S et s., dans le rapport des carrés de ces demi-axes; c'est-à-dire que l'on a
e : e :: a : «, et s : s :: a* : a*.
Cette dernière relation se déduit encore de l'expression trouvée n° 277, pour la surface de l'ellipse.
On a en effet S = xA.B, s = xa.b'}
43o sfierioNS conïquis semblables.
dou . -=*— . T =s — .
Il en est de même de deux secteurs elliptiques correspondais aux mêmes diamètres.
4°. Soient F,/*, les foyers des deux ellipses; et désignons par C, c, les excentricités OF, Q/"; on a
C = {/JT^z^Jl yji — ^, c «= a yj i — j>
donc, à cause de la relation (i), . • . . C ; c II A : a. . ♦ • (3)
5°. 11 résulte des relations (2) et (3) que, si l'on joint le» points M y m aux points F, y*, on forme ainsi deux triangles semblables OMF,Q/7*/', qui donnent FM ; //»,:: OF : O/ X À : <*; de pins, ces rayons recteurs sont parallèles.
C'est ce qu'on pourrait encore reconnaître au moyen des équations polaires des deux ellipses. *
6°. Soient les tangentes MR, mr; on a trouvé (n° z84) pour les soutangentes PR , pr,
TO Aft — X* aa — x*
PR = — ^— ,/>; = — — ;f
., , PR A» — X* a: Xa a: X A
pr aa — ûp* X or4 X * a
et pour les sounormales ¥S,ps}
Aa — Ba „ Ca v rfl
PS= — — . X sa —.X, ps=z-s;
d ou — = — = — •
ps x a
- N. B. L'expression
A» R* Bft
SECTIONS CON1QUBS *EMM*A*l-BS 4^f
ne dépendant que de l'abscisse du point M, et du rapport des axes, il s'ensuit que, pour toutes les ellipses semblables, les normales menées aux points M , in* . . * . qui correspondent à la même abscisse QP, rencontrent le grand axe au même point S.
7°. La similitude des triangles MPR, mpr, qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, prouve que les tangentes MR, Tttr, sont parallèles; donc (n° 29a) les deux demidiamètres conjugués des diamètres OM,0/n, sont situés sur une même droite; et si l'on appelle A', B' les demi-diamètres conjugués de Fa première ellipse , a', V les demi-diamètres conjugués correspondais de la seconde, on a la proportion
On pourrait multiplier indéfiniment les conséquences qui résultent de la comparaison de deux ellipses semblables ; mais celles qui viennent d'être développées suffisent pour démontrer que deux ellipses qui ont leurs axes proportionnels, ont tous leurs ilémens homologues , proportionnels et également inclinés, s'ils sont linéaires; ou dans le même rapport que les carrés des ' axes, si ce sont des éléraens de superficie.
Les mêmes propriétés s'appliquent à l'hyperbole, et se dé* montreraient d'une manière tout-à-fait analogue.
On reconnaît en outre, i°. que deux hyperboles semblables,
dont les axes sont dans la même direction, ont les mêmes
asymptotes, puisque -r- et - expriment les tangentes trigono-
métriques des angles que ces droites font avec l'axe des x.
2°. Que deux hyperboles équilatères sont toujours sembla- Il b ilesj puisque les rapports -r- et - sont égaux l'un et l'autre à
l'unité.
354. Deux paraboles quelconques sont toujours des figures semblables.
Eu effet, soient îP, ip {fig. 196) les paramètres de deux F,8,,96-
43a SECTIONS OONIQUKS SEMBLABLES.
paraboles» que nous supposerons placées l'une sur l'autre, de manière que leurs axes coïncident ; F et f en sont les foyers. i°. Prenons deux abscisses AP, À/> telles , que l'on ait la
proportion ap : Ap :: af : à/, ou x : x :: p : p-f
et désignons par Y, y les deux ordonnées correspondantes. On a les équations
. Ta=aP.xf y* = *p.x-, d'où Y%:y :;PX:px;
mais , par hypothèse ,
x : x :: p : />; d'où — px : Px :: p* : P*-f
donc
Ta : y* :: P* : p% ou Y : y :: p : P :: x : x. . . (i)
D'où l'on peut conclure que les trois points A , m , M sont en ligne droite , et, de plus, que l'on a
am : Am :: x : x :: p : p..
a°. Joignant les points F, y aux points M , m, on forme ainsi deux triangles semblables , AFM, Afin, comme ayant un angle égal compris entre calés proportionnels; donc les rayons vecteurs FM, fm , sont parallèles ; et l'on a en outre, la proportion
fm : fm :: af : kf :: p : p.
3°. Soient deux antres points ni et M' placés sur les deux courbes, comme le sont les points M, m; on obtiendrait de même A AI' ! krrl \\ P : p, et par conséquent,
AM' : km' :: am : km.
Donc si l'on tire les cordes MM', mm'i9 ces cordes sont parallèles et dans le rapport Pîp.
Concevons maintenant que l'on ait inscrit aux arcs AM , Am deux portions de polygone dont les sommets M et m , M' et m ,... soient, deux à deux, en ligne droite avec le point A; ces portions de polygone sont semblables, comme ayant leurs
SSCTIOKS COMIQUES SSMBLABLES. /\35
côtés parallèles et respectivement proportionnels; d'où il sait que leurs contours sont dans le rapport P l p , et leurs surfaces dans le rapport P* : p\ -
Cette double proposition étant traie pour les limites de ces deux polygones, on a également
arc AM : arc km \\ P : p, et AMP : Amp :: Pa ! p*.
Ce dernier résultat se déduit encore de l'expression obtenue (n° 33o) pour l'aire d'un segment parabolique.
On a trouvé AMP = x X.Y, Amp = - x.y\
• AMP X . Y d'où - = — ,
Amp x .y
et par conséquent,
AMP=X X X*£ Amp x ' x . xa *"" p* *
et ainsi de suite ; d'où l'on voit que les élémens homologues de deux paraboles quelconques sont dans le rapport de leurs paramètres * si ces élémens sont linéaires, et dans le rapport des carrés de ces mêmes paramètres , si l'on considère des élémens de superficie.
355. Les ellipses et les hyperboles qu'on obtient, en coupant un cône par une suite de plans parallèles entre eux, sont des courbes semblables.
En effet; l'équation générale des sections coniques étant (n° 268)
on
on en
S—Z^-TvIpàixC.x — sia (m + €).x*),
