CHAPITRE VI

Discussion de V équation générale du second degré à ' deux variables. Détermination du centre et des axes. Considérations générale^ sur les sections coniques. Applications de ces principes.

§ l*r. Discussion de l'équation du second degré par la sépara*

tion des variables.

356. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, de faire voir comment on peut déduire de la résolution même d'une équation du second degré à deux variables, c'est-à-dire parla séparation des variables, déduire, dis-je, ta nature, la forme , et même la position , par rapport à des axes quelconques , de la courbe représentée par cette équation. Nous reviendrons ensuite sur la double transformation de coordonnées, à l'aide de laquelle il est toujours possible (n°*25o, a5a et 253) de ramener l'équation à l'une ou l'autre des deux formes

DBS COURBES DU SBOOND DBGttA. ^iS

Reprenons l'équation générale

A^*+Ba?:y^Gra + D<y + Ex+F=©,... (i)

qui peut %tre mise sous la forme

, Bx + D . C E F

On tire de cette équation résolue par rapport à y , '

=— (B^P)dz^ v/rB'^ACy+aCBD-aAEjjr+D^AF.CS)

Cela posé, soient AX, AY (ftg. 197) les deux axes auxquels Fig.197. on suppose que la courbe est rapportée. En donnant à co une suite de valeurs, on obtiendra pour y des valeurs correspondantes qu'on pourra construire, lorsque toutefois ces valeurs seront réelles.

Comme la quantité sous le radical de la valeur de y, est un trinôme du second degré en x, et que le signe d'une semblable expression dépend principalement, comme l'on sait, de celui du premier terme , nous sommes conduits a faire sur le coefficient B* — 4AC, les trois hypothèses suivantes:

B»— 4AC<o, B» — 4AC = o, Bg— 4AC>o. Première hypothèse, B*— 4AC<^o, ou négatif.

Dans cette hypothèse générale, le trinôme du second degré , égalé à o, peut donner lieu à trois circonstances : ou les deux racines de cette équation résolue sont réelles et inégales * ou ' elles sont réelles et égales > ou bien , elles sont imaginaires.

Considérons d'abord le premier cas, et désignons par xf , x* les deux racines; ce trinôme peut (Algèbre, 5* édition, n° 98) , être mis sous la forme

(B* — 4AQ {x — x') {x — x"). . . (4)