CLASSIFICATION

Il résulte encore des principes établis (Algèbre» n° m), sur les trinômes du second degré que, pour toute râleur de x comprise entre x et x" (ces lettres désignent des quantités réelles quelconques, positives ou négatives), les facteurs x—x\ x — x" sont de signes contraires; donc leur produit. ... •• {x — x') (x — x") est négatif; et comme, par hypothèse, B* — 4^C est lui-même négatif, il s'ensuit que l'expression (4) ou la quantité sous le radical de la valeur de y , est positive; ainsi cette dernière valeur est nécessairement réelle.

Mais si l'on donne à x des valeurs non comprises entre x' et x° , les facteurs x — x4 , x— x" sont de même signe; donc le produit (4) est négatif , et les valeurs correspondantes dey sont imaginaires.

Concluons de là, que si AG, AH représentent les racines xf , x* , et qu'on mène par les points G, H deux parallèles GG', HH' à l'axe des y, la courbe a une infinité de points entre ces parallèles; mais elle n'en a aucun, nien-decà, ni au-delà. La courbe est donc limitée par ces droites, dans le sens positif, et dans le sens négatif des x.

Supposons actuellement que les racines xf et x" soient réelles et égales. Dans ce cas , le trinôme du second degré en x prend

la forme (B* — 4AC) {x -*x")\

et l'on voit que, pour toute valeur de xt différente de x' 9 cette expression est essentiellement négative j et la valeur de y correspondante est imaginaire.

Mais si l'on suppose x = x' , le radical disparaît, et la valeur

qe y devient y s= — j— —

Donc lorsque les racines a/, x" sont réelles et égales, la courbe se. réduit à un seul point,

(Bx' + D) * = *>? = ;j—

Admettons enfin que ce* racines soient imaginaires.

DES COURBES DU SECOND D£Ob£. 4^7

Gomme on sait que, dans ce cas, si l'on désigne, pour abréger , le trinôme en x par mx% + aiu: + P y on Peut 'e transformer ainsi :

[0 + £)' + *']' °U C"--4AC,[(x+i) '+*],

k* étant essentiellement positif, il s'ensuit que, quelque valeur qu'on donne à a:, le signe de la quantité sous le radical de la valeur de y est négatif, et par conséquent, que cette valeur de y est imaginaire* Donc la courbe est elle-même imaginaire, c'est-à-dire que l'équation (i) ne peut rien représenter. \

Nous reviendrons tout à l'heure sur la forme caractéristique qui convient à l'équation (i), dans les deux cas précédera.

N. B. Quand les deux racine* x' , x" sont réelles et inégales, il résulte de l'inspection de la valeur générale de y , qui ne renferme x qu'au numérateur, et dont le dénominateur À ne peut être nul, puisque ce serait supposer Ba— 4AC positif, il résulte, dis-je, de cette inspection, qu'à des valeurs de x limitées, il doit correspondre des valeurs de y limitées* Ainsi la courbe est limitée dans tous les sens.

D'ailleurs, si l'on résout J'équation (i) par rapport à x, on trouve une expression en y, dont la quantité sous le radical, est un trinôme du second degré en y, ayant pour coefficient de y, B8— 4àC, et qui, étant égalé à o, donne lieu à deux racines, y > y" 7 réelles et inégales, lorsque x1 , x" sont elles-mêmes réelles et inégales; car, autrement, la courbe serait imaginaire, ou se réduirait à un seul point , ce qui serait contre l'hypothèse. Ces valeurs y' , ya étant construites et représentées par AK, AL, si l'on mène par les points K. et L deux parallèles KK', LL' à l'axe des x, on obtient les limites de la courbe dans le sens des y\ en sorte que la courbe est entièrement renfermée dans le parallélogramme NIRS.