CLASSIFICATION V

Deuxième hypothèse, B* — fybC — °-

. Cette .hypothèse réduit la quantité sous le radical à une expression du premier degré en a:; et si l'on appelle x la racine que donne ce binôme égalé à o, on peut le mettre

sous la forme a(BD — aAE) (x — a/).

Or, il peut également se présenter trois circonstances : ou le coefficient BD — xAE est positif , ou il est négatifs ou bien > il est égal à o.

Dans le premier cas, il est évident que, pour toute valeur de x plus grande que x9 , le facteur x — x' , et par conséquent, 2(BD — 2ÀE) (x — x') , est positif; mais, pour toute valeur de x plus petite , cette expression est négative. Donc , si AG {fig* J97) '^présente cette valeur a/, qui peut d'ailleurs être positive ou négative, et que, par le point G, l'on mène GG' parallèle à AT , la courbe s'étendra indéfiniment à la droite de cette parallèle, mais n'aura aucun point à sa gauche» puisque, pour des valeurs de x égales à AG, ou plus grandes que AG , les valeurs de y correspondantes sont réelles , tandis qu'elles sont imaginaires pour des valeurs de x plus petites que AG.

La conséquence serait tout-a-fait contraire, si le coefficient BD— -aAE était négatif; c'est-à-dire que la courbe s'étendrait alors indéfiniment, dans le sens des x négatifs , mais serait limitée dans le sens des x positifs, par la parallèle AG.

Si l'on a BD— 2ÀÉ=o , en même temps que B*— 4AC=o , la valeur générale de y devient

équation du premier degré en x , qui exprime alors un sys~ tème de deux droites parallèles ; car le coefficient de x est le même dans les équations des deux droites.

Soit, comme cas particulier de celui que nous examinons k

DM 0OUHBXS OU SECOND DBORJ. 4^9

D* — %AF ^ °* kes deux valeurs de y se rédoîsent à une seule y = — i ~i — ; et la courbe dégénère en un* seule ligne

droite.

Enfin , s'il arrive que Ton ait D* — 4ÀF < ° » k* deu* droite» parallèles sont imaginaires; en d'autres termes, l'équation (5) 7i* représente rien.

Troisième hypothèse, B* — ^kC > o.

11 peut, comme dans la première hypothèse, se présenter trois circonstances principales : ou les valeurs x', x", du trinôme du second degré en x, égalé à o , sont réelles et inégale*, ou réelles et égales j ou imaginaires.

Dans le premier cas, comme ce trinôme peut être mis sous

la forme (B* — 4AC) (x — af) (x — x") , .... (6)

toute valeur de x comprise entre x' et x*, rend les deux facteurs x — x* y x — x" de signes contraires; donc leur produit et par conséquent, le produit précédent, est négatif ; ainsi la valeur dey correspondante est imaginaire. Mais pour une valeur quelconque de x, non comprise entre x' et x*, les facteurs x — x', x — x" sont de même signe; donc leur produit, et par conséquent le produit (6), est positif, et la valeur correspondante de y est réelle. •

D'où il suit que, GG', H H' (fig. 197) représentant toujours les parallèles à l'axe des y, menées aux distances AG=x', AH=x*, la courbe n'a aucun point entre ces deux parallèles; mais elle s'étend indéfiniment à droite et à gauche de ces parallèles.

Si les deux racines x', x" sont réelles et égales, le trinôme en x

prend la forme (B* — 4AC) (x — x')* ,

et la valeur générale de y se réduit à

équation qui représente un système- de deux lignes droites qui