B.-4AC

reste positif, quelque valeur que l'on donne à x ; ainsi les valeurs de y correspondantes sont toujours réelles ; et 1a courbe sJ étend encore indéfiniment dans tous les sens.

Il résulte de la discussion précédente que les courbes do second degré peuvent être divisées en trois classes bien distinctes : courbes limitées dans tous les sens > courbes limitées dans un seul sens , et courbes illimitées ou indéfinies dans tous les sens.

La première classe renferme comme variétés, un point ou une courbe imaginaire ; la seconde, un système de deux droites parallèles j une seule droite, ou deux droites imaginaires ; enfin > la troisième, un système de deux droites qui se coupent*

Ces résultats s'accordent avec ce qui a été dit (n° 256).

35^. Un seul cas semble échapper à la classification précédente : c'est celui ou les carrés des variables nJ entrent pas dans r équation; mais alors, cette équation étant de la forme

Bxy + fcy + Ex + F = o,

il est évident que, pour une valeur de x quelconque, celle de y sera toujours réelle ; ainsi la courbe est nécessairement illimitée. En effet, la quantité B* -<- £A£ se réduisant à B* , est essentiellement positwe ; donc la courbe est de la troisième classe.

Nous verrons plus loin dans quelle situation sont les axes par rapport à la courbe, dans ce cas particulier.

Si l'équation était privée du terme en y*, on pourrait la résoudre par rapport à x, comme on l'a résolue par rapport à y, et la discussion serait la même. On voit .d'ailleurs que la courbe est de la troisième classe j puisque B1 — ÇAC se réduit encore à B*.

CABACT&A18 ANALYTIQUES DE^ VAHlÉTi*. 44 f

358. Il peut être utile de connaître la forme qui caractérise l'équation générale (i), lorsqu'elle doit appartenir à l'une des variétés des trois classes.

Considérons d'abord la première et la troisième classes.

Si l'on suppose les deux racines x' et x*, réelles et égales , la valeur de y devient

ou ebassant le dénominateur et transposant la partie rationnelle,

2Àjr + Bx -4- D = ± (x — x') i/B* — 4AC;

ou bien , élevant au carré et transposant tous les termes dans, le premier membre,

(aAy + Bx + D)f — (Ba — 4AC) (x— x')» = o (M)

•Eu effectuant les calculs et remettant pour x sa valeur, on retrouverait nécessairement la proposée , puisqu'on n'a fait autre chose, par ces transformations, que de recomposer cette équation.

Cela posé , si B* — 4AC est négatif* le premier membre de l'équation (M) exprime alors la somme de deux quantités essentiellement positives * laquelle somme ne peut être égale à o , à moins que l'on n'ait séparément ,

aÀy 4-Bx+Dsbo, x — x' = oj

d'où l'on déduit

, Bx' + D

Ainsi la courbe se réduit à9 un point , lorsque le premier membre est la somme dé deux quantités positives * dont chacune est fonction de x, y\ et réciproquement.

Mais si B* — %AC est positif ', on peut considérer le premier membre de l'équation (M) , comme la différence de deux

44 2 CÀRACTÈKM ANALYTIQUES

carrés, qui est décomposable dans le produit dé deux foc du premier degré enx et y, savoir :

aA^ + Bx-f D+(x — x') V^B8 — 4AC, et 2Ay + Bx + D — (x — x') V/B* — 4ACf

lesquels, égalés séparément à o, donneront chacun pour lieu géométrique , une ligne droite.

Ces deux droites se coupent , car le coefficient de x est nécessairement différent dans les deux équations.

Ainsi, la courbe dégénère en un système de deux droites qui se coupent j lorsque le premier membre de l'équation proposée est la différence de deux carrés dont chacun est fonction de x, y ; et réciproquement

Soient maintenant x' et x" imaginaires, B* — 4^-C étant négatif. Le trinôme du second degré en x de la valeur générale de y, devenant , comme on l'a tu plus haut ,