B* — 4 AC = O

Si l'on suppose en même temps BD — aAE = o,

la valeur de y se réduit à ,

d'où l'on déduit

(2Ày + Ba? + D)a — (D* — 4AF) = o... (N)

Cela posé, il peut arriver qu'on ait

D*— 4AF>o, D* — 4AF = o, D* — 4AF<o.

* Dans le premier cas , le premier membre est évidemment la différence de deux carrés* et il peut se décomposer dans les deux facteurs du premier degré

aAy + Bx + D + l/D* — 4AF,

iky + Bx + D — l/D*— 4AF,

qui, égalés séparément à o, donneront chacun pour lieu géométrique une ligne droite. Ces droite^ sont parallèles j puisque le coefficient de x est le même dans les deux équations.

Ce qui établit une différence entre cette variété de la seconde classe et celle qui correspond à la troisième, c'est que l'un des carrés dont se compose le premier membre de l'équation (N) est indépendant de x et de y.

Dans le cas de D* — 4AF = o , l'équation (N) se réduit à

(aAy + Bx + D)ft= o;

c'est-à-dire que le premier membre de la proposée est un carré parfait * et ne peut représenter qu'une seule droite,

Enfin » si D*— ^ÂF est plus petit que o, le premier membre de l'équation (N) est la somme de deux carrés* dont l'un est indépendant de jc et de v, somme qui né peut jamais être nulle; ainsi la courbe ne saurait exister.

Dans le cas du point j on a bien aussi une somme de deux carrés,, mais dont chacun, étant fonction de x, y, peut être égalé séparément à o.

359. La seconde classe de courbes présente aussi , par rapport à son équation, un caractère tout particulier qui mérite d'être remarqué.

Les trois premiers termes, Ày* + Bay-f- Cx% de l'équation générale peuvent , à cause de la relation

B* — 4AC = o, d'où B = at/À.V/C,

être rais sous la forme

c'est-à-dire que leur somme forme un carré parfait* La réciproque est vraie.

360. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que de la classification des courbes, eu égard à leur étendue; actuellement, il s'agit de faire voir comment, une équation numérique étant donnée, on peut construire la courbe qui lui appartient.

Or, il est une construction que l'on doit répéter pour chaque exemple particulier, si l'on en excepte toutefois ceux qui correspondent aux différentes variétés, parce qu'alors cette construction devient tout-à-fait inutile.

Reprenons la valeur générale de y , gaJftg+PU. ' y/ (B*— 4AC)*a+2(BD-2 AE)*+D'-4ÏF )