A HA

et observons qu'elle se compose de deux parties distinctes, l'une rationnelle et l'autre radicale. Désignons la première par 3/, et concevons que l'on ait construit l'équation

„' (ft* + p)

y- jx — .

DES COURBE* DU SECOND DEGRÉ. fâS

qui représente une ligne droite , dont on fixe ordinairement la position , en faisant successivement y = o , x sa o , et déterminant les valeurs correspondantes de x et de y.

Soit BC (fig. 197) cette droite; il est évident que , pour obtenir les deux valeurs de y correspondantes à une valeur quelconque x = AP, il faut , après avoir mené par le point P une parallèle à Taxe des y, ce qui donne PQ pour l'ordonnée correspondante de la droite, il faut, dis- je, porter, à partir du point Q , et tant au-dessus qu'au-dessous de cette droite, deux parties QM, QAî' égales à la partie radicale; les points M, M', ainsi obtenus , appartiennent à la courbe.

On voit, d'après cette construction, que la droite BG jouit de la propriété de passer par les milieux de toutes Us cordes de la courbe, parallèles à Vaxe des j. Donc (n° 258) cette ligne est un des diamètres de la courbe.

Observons maintenant que, pour la première et la troisième, classes , le radical pouvant être mis sous la forme

- h/tp ~ 4AC) (* ~ x,) (x ~ x#)

(x y xu sont supposés des racines réelles) , si l'on pose x = x', ou r = x", ce radical devient nul, et les deux valeurs de y, correspondantes à chacune de ces valeurs, se réduisent à l'ordonnée du diamètre. Donc les points D, E, où les parallèles GG', HH' rencontrent ce diamètre, appartiennent aussi a la courbe, qui d'ailleurs est tangente, en ces points , aux deux parallèles , puisque chacune d'elles peut être considérée comme une sécante dont les deux points d'intersection se réunissent en un seul.

Lorsque, dans la troisième classe, les racines a/, x" sont imaginaires, le radical ne peut s'anéantir pour aucune valeur de xy et la courbe ne rencontre pas le diamètre BC ; mais comme elle doit avoir tons ses points situés symétriquement par rapport à cette droite, sur des parallèles à l'axe des y, il faut conclure qu'elle se compose de deux branches distinctes , qui s'étendent indéfiniment au-dessus et au-dessous du diamètre ;

de même que, dans l'hypothèse oi xf, x* sont réelles, la courbe se compose de deux branches qui s'étendent indéfiniment a droite et » gauche des deux parallèles GO', HH'.

Relativement à la seconde classe, pour laquelle le radical re~

vient à ± — j l/a(BD— aA£) (x — x'), puisqu'il n'existe que

la valeur x=x' qui puisse anéantir ce radical, la courbe ne rencontre son diamètre qu'au seul point D d'intersection de ce diamètre avec la parallèle GG' , à laquelle la courbe est d'ailleurs tangente en D ; et alors cette courbe s'étend indéfiniment au-dessus et au-dessous du diamètre , soit a la droite, soit a la gauche de GG', suivant que le coefficient BD— ±A£ est positif ou négatif.

Cette construction préliminaire est commune à toutes les courbes dont on a les équations particulières.

. 36 1. On peut encore se proposer d'obtenir d'autres points remarquables ; ce sont ceux où la courbe rencontre les axes.

Si , dans l'équation

Ay* + Bxy + Cx* + Dy + Ex + F=s o,

on fait successivement j = o et x = o , il en résulte

Cx' + Ex + Fnro, Ay* + Dy + F = o;

et | en considérant la première de ces deux équations, suivant que les deux valeurs de x sont réelles et inégales j réelles et égales j ou imaginaires , la courbe rencontre l'axe des x en deux points j ou en un seul point j c'est - à - dire lui est tangente, ou bien, n'a aucun point commun avec cet axe. Si l'on a Ctro, l'une des valeurs de x est finie, et l'autre est infinie; ce qui veut dire que la courbe rencontre l'axe des x en deux points, dont l'un est situé à une distance finie j et Fautre à une distance infinie. Lorsque l'on a , à la fois , C = o , E = o , les deux points d'intersection sont situés l'un et l'autre à l'infini. Même raisonnement par rapport à l'axe des y.

nxs xlufsis. 447

Ces principes généraux étant établis, passons à des applications particulières.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, dans toutes ces applications, les axes rectangulaires; mais les constructions seraient analogues dans le cas d'axes obliques.

Premièbe classe. Courbes limitées dans tous lis sens

ou Ellipses.

36a. Soit, pour premier exemple , l'équation

jf*— - a*y + 3ar*+ay — 4jr~3 = o,... (i) ou ordonnant par rapport à y,

y — a(x — i) y = — 3x*-J- 4* + 3; on en déduit y = x — i ± ^ — -aa?ft+ax-J-4* • • (2)

Égalant à o le trinôme sous le radical, on obtient

,. , i . i J i dt 3

jc* — je — a = o, d'où x = -3: - t/Q = — — :

ce qui donne a: = a , x=5 — i ; et la valeur de ^ revient à

y = x — i ±: |/ — a(ar-f-i)(a? — a)... (3)

La courbe existe donc ; mais elle est limitée par les droites LL', MM' (fig 198) menées parallèlement à Paie des y , à des Fig.198. distances AG, AH respectivement égales à — 1 et + a.

Construction du diamètre, .y'— x — 1. \

Pour ysjo, on Irpuve x = 1 5 et pour x = o, y= — 1.

Donc ce diamètre passe par les poifits C et B, pour lesquels AGssi, ABs=-^-i.

Les points I et Y où le diamètre rencontre les parallèles LL',MM', appartiennent aujssi à la courbe, qui touche d'ailleurs lea parallèles en ces points, puisque pour l'abscisse de ckacun de ses points, les deux ordonnées de la courbe se réduisent à celle du diamètre.

Soit fait successivement x=o, .7 = 0, dans l'équation (1),

il vient j^+sy— -3eao; d'où y= — ï±:|/4> ou ^==st y ys= — 3»

et a;* — 51- 1 =0; d'où ar=5±x l/i3.

Les deux premiers points (x=o, y=ai) (x=o, ^- 3),

se construisent facilement, en prenant sur l'axe des y y des dis-

"" tances À,D=i, AD'= — 3, et les points D, D' appartiennent

à la courbe.

2 1 Quant aux deux autres points (y =0, a? = --f,sl/i3),

2 1 {y = oy x = ^— -\/j3), ît faut évaluer approximativement

\/i3-9 on trouve |/i3 = 3}6 à un dixième près; ce qui donne x = 1,8 et j: es= — o,5.

Prenons donc sur Taxe des x, deux parties AE= 1,8, AE' = — o,5, on aura E,E'pour deux nouveaux points de la courbe.

Comme elle doit passer par les six points D,lY,Ef]?,I,I', et qu'elle est tangente aux deux parallèles LL' , MM' , on peut la regarder comme suffisamment déterminée de forme et de position.

Cependant, si l'on résout l'équation (1) par rapport à x, on

obtient x — ^w^ — \ l/— -ay" — ay +13.

Soit FF* le nouveau diamètre correspondant à j/= * , j pour avoir les limites de la courbe dans le sens des y ^ posons

. -» « ! 1 . 1 / — — idz5,2 — 2y»— a,y+i3=o; d'où y=— 1-±- K *7= =*,i

et — 3,i.

En portant sur Taxe des y, deux parties A& = 2,i et AK* = — 3,i puis menant par les points K, EL" deux parallèles KK' et K"K" à l'axe des x, on obtient les limites demandées; les points F, F' où ces parallèles rencontrent le second

SES ELLIPSES. fâg

diamètre construit, sont d'ailleurs les deux points de contact de la courbe avec ces parallèles.

Second exemple ... . y*+ %*y + 3*1 — 4* = q. . . (i)

On déduit de cette équation , y = — x ± V— 2*(* — 2) .

Le diamètre passe par l'origine et fait avec l'axe des x un ailgle de i5o°j on l'obtient en prenant AR=i (Jig. 199), etFig.199. élevant une perpendiculaire RO =*— 1 , puis joignant les points À et O.

Comme x = o et x = 2 anéantissent le radical, il s'ensuit

que la courbe rencontre son diamètre au point A, et au point I

correspondant à l'abscisse AG = a.' «

Faisons dans l'équation (1), y = o, puis * = o; il vient

i*« 3**— 4*==0> d'où *=°> * = 5> a°« ^*=o.

Les deux valeurs de x indiquent que la courbe passe par l'origine et par le point £ pour lequel on a ÀE = §.

Quant à l'expression ^*=o, d'où y = o3 y = o; elle indique que l'axe des y est tangent à la courbe au point A; ce qu'on savait déjà, puisque Aï est une des limites.

Résolvons l'équation (1) par rapport à x; on en déduit ,'

Soit Fï" le diamètre correspondant k x*= £--i •

on tire de jr*+ *y — 2 = 0, y =s — 1 r£ j/3, c'est-à-dire, y = 0,7 et ^ sa — 2,7 à 1*7» dixième près*

Donc si l'on prend sur AT, AK = o,7, AK" = — 2,7, et qu'on mène les parallèles KJL', K/TL*, les points F, F' ou ces parallèles rencontrent le second diamètre, sont de nouveaux points de la courbe , qui se trouve suffisamment déterminée de forme et de position, puisqu'elle doit passer par les points A, F, E, I, F*, et qu'elle est tangente aux. quatre droites AT, GI et KX' , KIT.

363. Troisième exemple. ... y* — ary -f- a*0— 3s -f- 2 =o. Celte équation donne

Fîg. aoo. î^ diamètre est une droite AE (./%-. aoo) passant par l'origine, et faisant un angle de 5o° avec l'axe des x\ les limites de la courbe sont deux, parallèles à Paxe des y , menées aux distances AG = i , AH = 2 ; et la courbe est tangente à ces decut parallèles, aux points D, E.

Les hypothèses ,y==o, jr = o, introduites successivement dans l'équation , donnent *■•— 3* •+■ a œ o , j^«+- a = #, équations dont les racines sont imaginaires; ce qui prouve que la courbe ne rencontre pas les axes.

Mous pourrions, comme dans les deux exemples précédera, déterminer les deux limites dans le sens -des y\ mais nous allons avoir recours à une autre construction, qui peut s'appliquer a toutes les courbes de la première classe.

Cette construction est fondée sur la propriété ( n° 29a) qui consiste en ce que, si Ton forme un parallélogramme sur «11 système de diamètres conjugués, la courbe est tangente aux quatre côtés de ce parallélogramme.

D'après cela, puisque DE représente un diamètre en grandeur et en direction ,1e point O, milieu «le DE, est le centre

AC -t ATI de la courbe. Ce point a pour abscisse, AI ou ,

x' + xm

c'est-à-dire, , *' et ** désignant les deux racines de

l'équation x* — 3* ■+» a = o , ou du trinôme sous le radical égalé à o; or, en vertu d'une propriété des équations «du second degré, on a *' -f- *" = 3, coefficient du second terme

pris en signe contraire; donc ou ÀI = -; ce qui

est d'ailleurs évident, puisque l'on a déjà pris AG = i et AH=a.

D'un autre côté, comme DE divise en deux parties égales

DBS ELUP5B5. ^\

toutes les cordes parallèles à AY, il s'ensuit que IO représente en direction le diamètre conjugué de DE; donc , si l'on

fait x = -, dans l'expression |/— x* -+• 3* — a, le ré-

sultat sera la valeur du demi-diamètre conjugué. Cette hypothèse donne

Ainsi, en prenant, à partir du point N, deux parties ON = - et ON' = — I, onobtierit NN'=i, pour le

diamètre conjugué de DE; et le parallélogramme LL'M'M construit sur ces deux lignes est tel , que la courbe doit être tangente à ses côtés, et en leurs milieux D, E , N , N'.

Cette construction est propre à donner une idée très nette de la forme et de l'étendue de la courbe.

Dans les figures relatives aux deux premiers exemples, nous ayons tracé ce même parallélogramme.

Le premier exemple, dont le radical est (n° 362)

x' 4- x" 1 donne pour l'abscisse du centre, = -= ÀR {fig. 198). Fig.198.

et pour .la valeur correspondante de ON ,

ON== y/— ax— 2=| !/a, d'ou NN'=3i/a.

Le second exemple dom\le radical est {/— 2(xa— ax) , donne pour l'abscisse du centre, '

et pour la valeur de ON (fig. 1 99) , Kg, Igg.

ON= V/— a . — 1 = 1/2; d'où NN' == 2J/2.

45a CONSTRUCTION JOê ELLIPSE».

On fait usage.de cette construction, pour éviter la détermination des deux limites dans le sens des y, et principalement , dans le cas on la courbe ne rencontre pas les axes.

Au reste, pour obtenir d'autres points de la courbe, il suffirait de donner à x des valeurs particulières, et de construire les valeurs de y correspondantes.

364* Nous proposerons pour exercices, les exemples suivans :

i°. ,y* + 2J^y4"2X*"" *y — 5x+i=o; la courbe est une ellipse tangente à l'axe des y qui forme alors l'une des limites;

a°, 4y* — " a xy + ** — 8ty + 4x+4=°î la courbe est une ellipse tangente aux deux axes coordonnés;

3°. 4jA+2-r*-K4y — 4r — 5r=o. Si. les axes sont rectangulaires, la courbe est une ellipse, dont les axes principaux sont parallèles aux axes donnés, puisqu'il n'y a pas de terme enxy;

4°. y* + x* — 3^ -+- ax -f- 1 =3 o . Dans le cas d'axes rectangulaires, cette équation appartient à un cercle. Mais la méthode précédente de discussion ne suffit pas pour le faire reconnaître; il faut avoir recours à ce qui a été dit n° 1 77 ;

5°. y* — 4*y + 5xÉ — ay -+• 5 = o ; la courbe se réduit à un point j car on peut (n° 358^ mettre l'équation sous la

forme ty — ax — iJ^+C* — a)* = o; •

6°. ^* — a*y -f-a**— ajr-+-4— °î '• courbe est imaginaire, car l'équation revient a

CONSTHUOTION DES PARABOLES. £$&

Seconde classe. Courbes illimitées dans un seul sens ,.

ou Paraboles.