Ptemier exemple

{Les trois premiers termes y% — fay + 4*1 forment (n° 35p,) un carré parfait , {y — 2x)\]

Cette équation revient à '

y* — 2(2* — i) j = — 4xm + *)x + i ,

et donne , par sa résolution ,

Posant y = ax — i', on trouve pour- ^f=co, x=-

et pour x = o , y = — » i j donc le diamètre est représenté

par la ligne BC (Jig. 201 ), menée par les points B, C, pou* Fif.901-

lesquels on a AB = — »-i, ÀC=~.

Comme l'hypothèse 3x -f- 2 = 0, d\>ït x= — x,

anéantit le radical et réduit ainsi les deux ordonnées de la courbe à celle du diamètre, il s'ensuit que la droite GG' me-

née à la distance AGs= — r, parallèlement à l'axe des y,

est la limite de la courbe ; et le point D où cette parallèle rencontre le diamètre, est celui où elle est tangente à la courbe, qui doit, à partir, de oe point, s'étendre indéfiniment au-dessus et au-dessous de son diamètre, dans le sens des x positifs.

Faisons successivement dans l'équation (i),

yzz:o9 et xso; il en résulte 4** — 7X— 1 = o , et y* •+• %y — 1 =0.

4^4 COKSTBUCTIOW k

La seconde, qui est la plus simple, donne

y = — i ±: i/aj

or, comme on a déjà , sur la figure', AB = — i , il suffit évidemment de porter sur AT, et à partir du point B, deux distances BK, BK' égales à \/i ou BH (en supposant. ...

AH = aAC = i); et les points K, K' appartiennent à la courbe.

Quant à la première, on trouve

x*=r — g — - =s -g- et — g, a très peu près.

Prenant dono AI = i + g et AI' = «*- g,

on obtient 1,1' pour deux nouveaux points de la courbe, qui se trouve suffisamment déterminée de forme et de position , puisqu'elle passe par les cinq points K, I', D, K', I, et qu'elle doit être tangente à GG'.

Mais rien n'empêche d'obtenir de nouveaux points, en don* nant a x des valeurs particulières , et construisant les valeurs correspondantes dey.

On peut également construire la limite dans le sens de Taxe des y, en résolvant l'équation par rapport à x.

Second exemple.:

y* — axy + x* — %y + x -f- 4 = o. Cette équation donne

fig.309. Le diamètre passe par les points B, C (fig. aoa), pour les-1 quels on a AB = a, AC = — a, et fait avec Taxe des x, un angle de 5o°.

De plus, comme l'hypothèse x =a o , anéantit le radical , il s'ensuit que l'axe des y est la limite de la courbe et lui est

DES PAJUBCXLfS. ^SB

tangente an point B. Cest d'ailleurs ce qu'on reconnaît en faisant x = o dans l'équation ; on trouve en effet

d'où jr = a, jp = a.

Soit fait y = or dans la même équation; il vient

dont les racines sont évidemment imagiqaires ; ce qui prouve que la courbe ne rencontre pas l'axe des x.

Pour obtenir de nouveaux points, faisons xs=AP= t; il en résulte y=&3 db [/3-9 donc, si Pon porte sur la ligne PQ, et à partir du point Q^ deux distances QM, Qm. égales à \/S ou i,7, les deux points M, m appartiendront à la courbe.

Soient encore x = 3; il vient y = 5 rfc y/9 =5 ± 3,

Ainsi , en prenant AP' = 3 et portant sur P'Q', à partir du

point Q', deux distances Q'M', QV égales à 3, on aura

, deux nouveaux points M', m. La courbe est ainsi suffisamment

déterminée.

366. On observera toutefois que comme, «Paprès la discussion , les deux lignes BE , BT forment un système (Taxes conjugués j si l'on connaissait le paramètre à ce système, la courbe pourrait être construite par le procédé dpi n° 34o.

Or, en désignant par np' ce paramètre , on a ipz=z — ^ ,

. MQ et BQ étant les coordonnées du point M rapportées à ce

système ; mais on vient de trouver pour AP = 1 , MQ = y 3 ;

d'ailleurs, le triangle rectangle BHQ donne,

BH ou AP = BQ.cos QBH,

ou , comme* tang QBH = 1 , d'où cos QBH = -y- ,

456 coNrraucTioN

Ainsi, BQ = AP . |/a = {/*; donc enfin,

La même observation est applicable à toutes les courbes de la seconde classe.