Soit l'équation
y*+zxy— 2*a— 4j — *+*o = o... (i);
BBS HYPfiHBOLBS. 4^7
on en déduit y » — * + a ±: 1/3** — 3* — 6, ou , décomposant le trinôme sous le radical ,
f = — * + a:fcl/3(*+i)(* — a).
Construisons d'abord le diamètre BG (fig. 2o3) correspondant Fig.ao&,
à l'équation • • • • j/ = — * + 2j
les parallèles CC , GG' à Paxc des .y, menées aux distances ÀC = a, ÀG=— i, sont tangentes à la courbe, aux points C, E; de plus, elles sont telles que la courbe n'a aucun point situé entre ces droites, mais elle s'étend indéfiniment à droite et à gauche* En faisant successivement y=-o, x=o, dans l'équation (i),
on trouve aj^-f»*— io = o, don *= a, *==—-,
puis y* — 4y + 10 = °> valeurs imaginaires;
ce qui prouve que la courbe ne rencontre pas l'axe des y, mais
qu'elle passe par deux points C , D de l'axe des x , pour lesquels
on a AG = 2. ÀD = .
On obtiendrait de nouveaux points en substituant à la place de x les valeurs particulières * = 3,4>" et x = — 3, — 4>--> mais ce qui précède suffit pour donner une idée assez exacte de la position de la courbe par rapport aux axes.
Second exemple.
Soit l'équation ,?*— - 2*7— 3**— oy + 7* — i==o ;.. .(1)
on en tire y = x-{- 1 db 1/4*'— 5*+ a.
Le trinôme sous le radical, égalé à o, donne lieu à des valeurs imaginaires ; ce qui prouve que la courbe ne rencontre pas le diamètre qui a pour équation , . . . ,/= * + 1 , . . . et est d'ailleurs représenté par la droite CB (fig. 204). Fi* ao^
458 M&ruoDS g£n£ralb
Les hypothèses jr = o et *= o donnent d'ailleurs
3*t-?-74P+ 1=0, d*ou **=-£- et *=SSR» * P®11 V*^*'* puis y%m-*y — i s=o, d'où jf = i ± |/a.
Prenant donc sur Paie des x, AD' =2 77, AD = g, et sur
Taxe des ^, BE = |/a, BF = — \/a h d'où AE= 1 + V% ■ÂFsp 1 — |/a> on obtient quatre points D', D, E, F par lesquels la courbe doit passer.
On aurait de nouveaux points en attribuant a a? de nouvelles valeurs , tant dans le sens positif que dans le sens négatif, puis construisant les valeurs correspondantes de y. Mais l'analyse , suivante fournira des élémens propres a- fixer -d'une manière plus complète la forme et la position de la courbe , dans le* exemples qui viennent d'être traités.
