Méthode générale pour déterminer les asymptotes

Lorsque, par la séparation des variables , dans une équation, l'on a reconnu que la courbe a des branchée infinies * une des questions les plus importantes à résoudre, consiste à rechercher les asymptotes rectilignes ou curvilignes (n° a64) que ces branches peuvent avoir.

Reprenons l'équation générale du second degré , résolue par rapport a la variable y , savoir :

y = (JHHD) ± L y/nu? + aj„ + ~p .;. (l)

[m y ri, p désignant les quantités Ba— 4^» BD«-aAE,. D* -^ 4AF; voyez n° 356].

Le trinôme nuf-^znx+p peut' être transformé ainsi:

Dans l'hyperbole, m ou B* — 4 AG est essentiellement positifs

mais h quantité £ — ~ peut être iiuJifiÊremmeot positive ou négative. Elle n* saurait être ou&; car fi Ion avait

m isj* »

»»*a + 2/20? +p serait un carré parfait, et la courbe se ré* duiraît (n° 358) à nn système de deux droites ; faisons donc

le trinôme revient encore à

et l'équation (1) se change en celle-ci :

y: 0to+D)y(*+s)t/*t/-7 — F~ #%

7 2A - al V,±:7 ^v'" • (»)

Or , jq dis que si l'on pose

les deux droites représentées par l'équation (3) sont asymptote* h la courbe.

En effet, remarquons d'abord que le< valeurs de v et de y

/{go CONSTRUCTION

ont une partie commune, — — — 1 4U* n,est autre cnoJte

que l'ordonnée du diamètre. Ainsi , pour démontrer que les branches de la courbe se rapprochent sans cesse et autant que Ton veut de ces deux droites, il suffit de faire voir que la différence des deux parties non communes diminue de plus en plus à mesure que x augmente, à partir d'une certaine valeur, et qu'elle devient nulle quand x est infini. Pour le prouver , soit

il en résulte

w* — tt.a=n=:

4A"' d'où

Or il est évident qae plus x augmente ( à partir de x ' ~, valeur qui donne x -( =tt o),plus les valeurs de

m w, augmentent aussi; elles deviennent même infinies lorsqu'on suppose a; = oo. Donc, dans les mêmes circonstances, leur différence diminue sans cesse et finit par devenir nulle.

Les deux droites que représente l'équation (3) jouissent donc de la propriété caractéristique des asymptotes.

N. S. On peut observer, pour la pratique, que l'équation (3) se déduit immédiatement de l'ftjuation (i) en extrayant la racine carrée du trinôme

bbs Asymptotes. fôt

nu^ + aïup-f-p on m(**-f- — *+t-]

et ne tenant compte que des deux premiers termes de la racine.

370.. Construction des asymptotes. Il nous reste encore à fixer la position de ces droites par rapport aux axes.

Pour cela , reprenons l'équation (3) , en y remplaçant m et 7? par leurs valeurs ; il Tient

(Bx+D) ^ j/B' — 4AC/ aAE — BD\ y%~ aA ~" 2Â V* B« — 4AC>/'

Or si l'on compare cette équation avec celle du diamètre,

aA

on reconnaît que les asymptotes se coupent sur le diçmètre, en un point pour lequel on a

2AE — BD ,, , aAE — BD

*~ ~B^4ÂC = °' doù* = B--4AC"

Portant cette valeur dans l'équation du diamètre, on trouve,

* ♦ -aa r e> < aCD — BE toute réduction faite, y = ■=? nvr»

j B — 4AG

Nous verrons bientôt que ces valeurs ne sont autre chose que les coordonnées du centre de la courbe, par lequel on sait déjà (n° 264) que les asymptotes de l'hyperbole doivent passer.

Le point commun aux deux asymptotes étant déterminé , il suffit de mener par ce point deux droites faisant avec l'axe des «des angles qui (dans le cas d'axes rectangulaires) aient pour tangentes,

flrr-B+V/B'-4AC ^^-B-j/B»-4AC.

2 A ^ aA

construction qui peut se faire aisément dans chaque cas particulier.

Soit repris le premier exemple du n° 368 ,

y =5 — x + a rfc i/3x* — 3a; — 6.

La racine carrée de 3(a^ — a? — a) étant (jc— -j |/^ > on obtient pour Péquation des deux asymptotes,

^sr: — X + 2dt/x J|/3.

Si l'on pose a? = °> il en résulte xa-,

d'où , substituant dans yz=z — a: ■+■ a , j/ s= r .

Fig.îo3. Ces râleurs sont les coordonnées du point O (/Sg>. 2o3) par lequel les asymptotes doivent passer. %

Après avoir mené par ce point une parallèle à AX et pris sur cette parallèle , OR = i , on élève du point R une perpendiculaire à AX , sur laquelle on porte, a partir du point I (pour lequel RI = OR = i) , deux distances IS , IS' égales à |/3 ; et les deux points S , S' appartiennent aux asymptotes , car on a

RS = — i + i/3, RS' = — i — v/3.

Donc OS , OS' ou LU, *KR.' sont les asymptotes cherchées.

La construction serait la même, si les axes étaient obliques; seulement , les valeurs de a et de a' n'exprimeraient plus des tangentes, mais des rapports de sinus.

On a représenté également dans la figure ao4, les deux asymptotes de la courbe relative au second exemple.

Le trinôme $x* — 5x ■+• a ou 4(x* "~ 7 x *+* -jdonnant

zÇx — - j pour les deux premiers termes de la ratine carrée»