DES ASYMPTOTES

sera grande, plus par conséquent les abscisses des points de rencontre de la courbe avec les parallèles à l'axe des x . . . . (jr =y ±z f) seront grandes.

Ainsi la droite y=y est telle, que toutes les parallèles menées au-dessus ou au-dessous d'elle rencontrent la courbe en des points d'autant plus éloignés de l'axe des ^ qu'elles sont plus voisines de cette droite.

Donc la courbe se rapproche sans cesse et autant que l'on veut de la droite y = y'.

Voici de nouveaux exemples relatifs à la troisième classe de courbes.

i°. j*— 4^y + ax* + 6y — ç)r+ aso; équation d'une hyperbole qui ne rencontre pas son diamètre.

2°. .y*— l^xy + 4* + 3 = o; équation d'une hyperbole dont l'une des asymptotes est parallèle à l'axe des x. {Voye% n°* 3^i et 373.)

3°. ^•— 2xy— 2=0. L'hyperbole est rapportée a son centre comme origine, et Tune des asymptotes est parallèle à l'axe des x.

4°. ^— x*+x=o. Si les axes sont rectangulaires, l'hyper* bole est équilatère et rapportée a des axes parallèles aux axes^ principaux.

5°. zxy — x+ 1=0. La courbe est rapportée à des axes

parallèles aux asymptotes. ( Voyez n°* 37a et 3y3.)

6°- y* — axy -J- ay + 4* — - 8 =: o. La courbe se réduit à un système de deux droites qui se coupent (n° 358).

Ce dernier exemple présente une circonstance remarquable, lorsqu'on résout l'équation par rapport à x.

n 4 y*-Mv — 8 On trouve x = J- *— 7 — .

ou, effectuant la division conformément à la méthode indiquée ci-dessus pour déterminer les asymptotes,

D'où il semble résulter que la courbe se réduit à une seule ligne droite.

Mais observons que , comme la division s'est faite exactement, c'est que le numérateur de la valeur de x peut se mettre sous

la forme r<- + a } (jty — 4) - Ainsi la valeur de x revient à

ajr — 4

d'où 9 chassant le dénominateur et transposant >

équation qui peut être satisfaite,

soit lorsqu'on pose *y — 4 = °> d*ou J" = 2 >

soit lorsqu'on pose x — 3- — 2 = 0, d'où y = 2x — 4*

Ainsi la courbe se réduit à un système de deux droites, et non pas à une seule droite, comme on Pavait cru d'abord-

application de la méthode de discussion précédente à d'autres

courbes,

374* La méthode exposée précédemment pour la discussion, des équations du second degré peut également s'appliquer à des équations d'un degré supérieur, pourvu que l'on puisse opérer la séparation des variables.

Nous nous bornerons à une seule application, qui suffira pour montrer comment il faudrait opérer dans tous les cas semblables.

Soit l'équation y* — x*y + xxy — x3 + ay -f- 7.x = o , . . . (1 ) qui est du troisième degré, mais qu'on peut résoudre par rap«* port à y* On en déduit

d'autaks cousais. 47 *

X* — 2JC — 9 1 y i

désignons la première partie de cette valeur de y par y

(fîg. ao6), et construisons d'abord le lieu géométrique Fig.ao6.

xa— ax — a

Cette équation revient à x*— ax — ay'— a = o, et donne

x = i dbl/ay'-f- 3j d'où Pon voit que le lieu géométrique est une parabole qui a pour diamètre, ou plutôt pour axe principal^ la ligne EE' menée parallèlement à l'axe des^y, à une distance ÀP = i ; la limite de cette courbe est d'ailleurs DE menée parallèlement a AX par le point D, pour lequel on a

a/+3s=:o, ou y = — - = AD.

En faisant y' = o , on trouve

x=i±^3+ ou x = AQ, etx:=AQ\ Soit encore x s o ; la valeur de y se réduit à

ainsi la courbe passe encore par le point B, pour lequel AB=— i .

x*™- • ax-™ a La parabole correspondante k y' ±i est suf-

ïisamment déterminée , et peut être représentée par la courbe IŒQ'R'.

Je dis maintenant que cette parabole doit être considérée comme un diamètre de la courbe cherchée.

En effet , pour une valeur de x quelconque, AP', il faut, après avoir construit l'ordonnée P/B' correspondante de la parabole , porter, à partir du point B', au-dessus et au-dessous de cette

courbe , une partie égale à la valeur du radical - |/x* •+- 4- On

voit donc que la ligne RQEQ'R' passe par les milieux de toutes les / cordes de la courbe cherchée j qui sont parallèles à Vax* des y ; donc (n° a58) cette ligne est un diamètre.

ActueUement , si nous observons que le radical |/** + 4

revient à **• \f i+ \j on peut mettre l'expression (a) sous la forme

x% — ax — 2

et si Ton applique à cette équation les raisonnemens qui ont été faits n° 369, on prouvera facilement que la courbe cherchée a pour asymptotes le système des lignes représentées par l'équation

- xa — aa? — a . x*

.Cette équation , considérée successivement avec le signe supérieur/ et avec le signe inférieur, devient

y* =s:-af — x~~if et y=B — x — 1.

La seconde de ces deux - ci est celle d'une ligne droite LL' passant par les deux points B, B", pour lesquels ÀB= — - 1 et ÀB* = — i.

Quant à la première , on en déduit

et, en la construisant, on obtient une nouvelle parabole SIS' ayant pour axe principal II' (ou x = -}, et pour sommet le point I , qu'on obtient en posant

11 est à remarquer que les deux asymptotes LL', SIS'

d'avtu» oovekj. 4?'

ont le point B commun et se touchent en ee point 5 car la