partie non commune de leur équation étant — , si Ton pose

xsso, il en résulte y = — 1.

Ce même point appartient aussi , comme on l'a vu plus haut , .au diamètre parabolique RQEQ'Il'.

Il ne nous reste plus qu'à déterminer quelques points de la courbe cherchée.

Soit d'abord fait ^«o dans l'équation (1); il en résulte

— tfS+axŒO, ou ^(jc4 — a) = o; d'où x = o, ,x = +\/af x — -~ j/a;

ainsi la courbe passe par l'origine À et par les points G, G', pour lesquels on a . AG =4/2 , AG'= ~V/'a* Soit encore x =5 o , on trouve

^g + a^==o, d'où ^ = 0, ,y = — 2;

donc la courbe passe par le nouveau point H pris sur l'axe des y 9 k une distance AH = — 2.

Faisons ensuite x = 1 dans l'équation (2); ir vient

ce qui donne les nouveaux points E*, E", pour lesquels on a

AP=i, PE = — -, EE* = ii/5, EE"= — -^5. Posons enfin 1 = 2 = APr \ on trouve

ta — '1 rfc-y'ao.

Ces deux valeurs construites donnent encore les points K et K' pour deux points de la courbe.

Ije lieu géométrique cherché devant passer par les points K , G , E", A > puis K', E*, H , G', et ayant pour asymptotes la

4^4 DàTE&MJXATKHl DU CfUiTft* XT DUS AXIS

parabole SIS' et la droite LL', est nécessairement représentée par les deux lignes indéfinies KGE'AT", G'HN'E*K\ . '

N. B. Si Pon combine l'équation de la courbe avec l'équation y = — x — a , qui est celle d'une droite parallèle à l'asymptote LL' et menée a la distance A.H=— a, on trouve pour résultat de cette combinaison, x* =s o et ^ = — a ; ce qui prouve que la droite HH' est tangente à la courbe au point H. Cela justifie la forme donnée en ce point à la branche G'HK'.

On trouverait encore que l'équation

x*y + axy — x* + y = o

p. „ représente une courbe, telle que DEADf (fig. 207), passant par l'origine, et tangente en ce point à l'axe des x ; elle a d'ailleurs pour asymptotes , les droites a: = — 1 et ^ = 1.

Ceux qui désireraient étendre leurs connaissances sur la discussion des courbes de degré supérieur au second , peuvent

1 consulter Pouvrage de Gumeh , ayant pour titre : Introduction

à F Analyse des lignes courbes.

§ II. Détermination du centre, et des axes, par la transformation des coordonnées.

3^5. Nous avons vu (n° a5o et suivans) qu'on peut toujours > une équation du second degré à deux -variables étant donnée, la ramener à l'une des formes My* -|- Nx* = P, y* = Qx, par deux transformations de coordonnées ; savoir , par un changement de directions d'axes , ensuite, par une translation . d'origine. Noua allons reprendre cette question avec de nouveaux détails , en renversant toutefois l'ordre des deux transformations , parce que la méthode du n* a5o a l'inconvénient d'introduire des quantités irrationnelles dans les coefficiens de x et de y.

L'équation générale des courbes du second degré étant

Àyft + Bxy + Cx' + Dy4-Ex + F==o,*.. (1)

dams l'elmfw et l'hyperuols. 47^

remplaceras xçty par les formule* x = x -f- a, y&zy + b, et propoàons - nous de déterminer a, b àe manière à faire dis-' paraître les termes du premier degré en a? et eay. Il vient, par œtte substitution ,

. Af + Bxy + Ca^ + (aAft + Ba + D)^ + (2Ca-f-Bfc + E)x + A&a + 3ab + Ga* +Vb+ Ea +F = o.,. .(a)

Or, puisqu'on Tcut que cette équation ne renferme plus les termes linéaires en x et en y > il faut que l'on ait

2A& + Ba-f D = o, 2Ca-f-B6+E = o;.... (3)

et alors l'équation se réduit à celle-ci :

Ay* + Bxy + Cx* + ¥' = o (4)

Les trois premier* coefficiens A , B , C sont les mêmes que dans la proposée.

Quant à F, on a F,= A6» + Boi-rfCaa4-D3+Ea + F;

mais on peut simplifier cette expression. En effet, si r*on ajoute entre elles les équations (3) , après avoir multiplié la première par b9 la seconde par a, on trouve

aA&* -f aBoi + 2C04 + Db + Ea = 0 , d'où Ton déduit Ai* -f Bab + Ca* = <D&^-Ec)

V— F i Di + Eg

et par conséquent, . . . F^= F -f- ■ ;..-.# (5)

c'est sous cette forme que nous rappellerons plus tard la valeur dé F.

Les équations (3) donnent d'ailleurs pour a, b,

2AE— BD aCD — BE a~B*— 4AC* "-&— 4AC,#" W

valeurs qu'on pourrait reporter dans F'; mais cela est inutile. Observons actuellement que l'équation (4) restant la même»

476 D&TBKMlNAVHnr DU CBNTBB ET DBS AXX8

lorsqu'on y change x et 'y en — x et --y , est telle, que si x',y Fig. 20$. représentent les coordonnées d'un point quelconque M(j5g\ ao8) de la courbe rapportée au nouveau système OX', OTr, auquel cas cette équation est satisfaite par af, j/,,eHe le sera aussi par — a?', —y'. Or, il est évident qne les deux points (a?', j/), ( — a;', — jf') sont en ligne droite avec la nouvelle origine O, et à même distance de ce point. • .

D'où Fou voit que le point O jouit de la propriété de diviser en deux parties égaies toutes les cordes de la courbe qui passent par ce point; donc (n° a3o) la nouvelle origine est le centre de la courbe.

Les valeurs de a et de b sont en efiçt celles qu'on a obtenues (n° 370) [pour les coordonnées du centre.

Concluons de là que l'équation Ay* + Bxy + Cx* + V— o , est la forme caractéristique des équations de toutes les courbes «lu second degré qui ont un centre, lorsqu'on y suppose transportée l'origine des coordonnées.

Comme l'hypothèse B9— - 4^C = o rend les expressions (6) infinies, il s'ensuit que là. parabole n*a pas de centre* ou que son centre est situé à l'infini. En d'autres termes, on ne peut, pour la parabole, faire disparaître à la fois les deux ternes linéaires en x et en y.

N, B. Lorsque, par cette première transformation de coordonnées, on trouve F'=o, ce qui ramène l'équation à

Ay + Bry + Cxa = o,

on peut conclure que la courbe se réduit à son centre, ou k un système de deux droites qui passent par le centre.

En effet , cette équation donne

et l'on voit que, suivant qu'on aura B*— 4AC < o ou > o , l'équation sera vérifiée par le système unique {y =s o , a; = o) ,

dk l'sxaipsb et ds l htpebbolb. 477

ou bien , représentera un système de deux droites passant par l'origine.

Observons encore que tontes les conséquences précédentes sont Traies, quelle que soit l'inclinaison des axes.

376. Admettons que la courbe soit une ellipse ou une hyperbole! auquel cas la transformation précédente est toujours possible , et voyons maintenant comment on peut faire évanouir le terme en xy de l'équation (4)*

. Or 9 ce calcul a déjà été exécuté (n° a5o) sur l'équation générale. Substituons dans (4) les formules (n° 220)

x = x cos « —y sin «, y = x sin » +y oos«,

au moyen desquelles on passe d'un système rectangulaire à uu autre système rectangulaire; et posons

2 (A — C) sin « cos m -+• B (cos* « — sin* #) == a. ♦ . . (7)

puis

M =5 A cos* « — B sin « cos * + C sin* «, N — A sin* *-f-Bsin*cos«-f-C cos*«,

l'équation (4) se trouve alors ramenée à la forme

My* + Mr* = P.

11 reste encore à déterminer l'angle « et les valeurs correspondantes des coefticiens M et N. Pour cela , il ne s'agit que de reprendre les calculs du n9 a5i.

On déduit d'abord évidemment de l'équation (7) ,

dOU COSM = , 81D2«=-

D'un autre côté, ajoutons et retranchons successivement

47$ DKTJâWBUTtON DV CtWTftX ET SES AXES

les valeurs de M et de N ; il vient -

M + N==A + C, M— N = (A — C)cos2* — Bsina#j d'où, substituant pour cos 2«, sin 2* leurs valeurs, M + N = A + C,

M — N = ^ = gyA- C + B».

Donc enfin

Mais avant d'appliquer les formules qui précèdent a des exemples, nous devons faire une remarque sur la manière de les employer.

L'angle 2« étant donné par la formule tang 2« = — ,

est aigu ou obtus, suivant que cette tangente est positive ou

négative; mais, dans les deux cas, son sinus est positif. Or,

on a trouvé

sin 2* sa — -

ou plutôt, sin 2«

yA-C + B' — B =fc y/a^"c + B*

à cause du double signe dont un radical doit toujours être affecté; et pour que celte expression reste positive, il faut que le radical soit pris avec le signe + , si B est négatif, et avec • le signe —, lorsqu'au contraire B est positif.

Les valeurs générale* de M et de H deviennent donc

i dans l'eixivss t* lïnmxÊoUu 479

M=s i (A + C) dz l \/Â~^~C + BS

les signes supérieurs correspondant à B négatif* et les signes inférieurs à B positif.

377. Cela posé y toîcî le tableau des formules dont il faudra faire usage , pour toute équation particulière représentant une ellipse ou une hyperbole, si l'on veut rapporter la courbe à son centre et à ses axes :

Equation proposée,

i°. Évanouissement des termes linéaires 1 par une translation d'origine,

2AE — BD . aCD — BE ^p , Di+Eg B»— 4AC* B*— 4AC> r~ r1 l •

Équation résultante , Àj* + Bxy + Gr* + F' = o.

a°. Évanouissement du terme en xy, par un changement de direction d'axes,

N =i(A + C)qrI y/lZZc'+V,

Equation résultante, M^*+Nx'=cP.

4&> DETEEMlNATION DU CENTRE ET DES AXES

Applications à diffërens exemples.

i°. y* — *xy •+ 3jd* + ay — 4* — 3 = oj c'est le premier exemple traité (n° 362) par la séparation des variables.

On a

Assi, B = — a, Ca= + 3, D=2, E = — 4, F = — 3;

ce qui donne , d'après les formules du tableau précédent ,

a = -, i?=— i et F'ss — §.

*ïg.*)8. Soient AC = -, CO = — i; OX', OY' {fig. ao8) re-

présentent les nouveaux axes par rapport auxquels l'équation est de la forme •

y% — %xy + 3x* — 2 = o.

On trouve ensuite

tang2« = — 1, M = a-f-l/a, N=a — |/a, P= 9

(comme B est ici négatif* on a pris les signes supérieurs dans les expressions de M et W).

Soit menée par le point O une droite OB qui forme avec OX', un angle ayant pour tangente — 1; divisons l'angle BOX' en deux parties égale? j les deux lignes OX*y OY* sont les nouveaux axes par rapport auxquels l'équation est enfin ramenée à la forme

Pour comparer cette équation a celle-ci :

Ay+Bax*=A*B*, et en déduire les valeurs des demi-axes A et B, il faut

DAMS L'ELLIPSE ET l/llYFBHBOLE; 4&1

(n° 233) la multiplier par

ce qui donne

d'où Ton déduit

ou, calculant ces valeurs ào,i près,

A = 2,7 et B=i,i.

Connaissant ces demi-axes, on peut aisément construire la courbe dont la position, par rapport aux axes primitifs, doit être semblable à celle qui est indiquée par la figure 198, correspondante au même exemple (u° 362).

2.°.y* + *xy — 2X* — 4.7— x+ ,0=°; c'est le premier exemple de la troisième classe (n° 368).

D étant ici positif, il faudra prendre les signes inférieurs) dans les expressions de M et de H.

On a

A=i, B=2, C = — 2, p = — 4, E=5— t, F=io; <To&

1 * 3 —, an 2*7

«=^-f ^= -> r = -^, et ^+2xy — 2X» + -^ = o.

On trouve ensuite

tang2* = --, M = j-X— , N= ^~

et P = 4-

Jjjjfa V&TKfmiX±TlOJi DES AXSS PRINCIPAUX

ce qui donne pour nouvelle transformée!

Cette équation représente évidemment une hyperbole rapportée à son axe non transverse comme axe des xy et c'est en effet ce qu'indique la figure 2o3, qui correspond au même exemple traité n° 368 par la séparation des variables.

Pour la c&mparer à l'équation By — A*jc* = A*B* (n° *4o) ,

il faut la multiplier par ^^ ou ^» ce qui donne

et par conséquent,

B* = \ (v/i3 + i) as: 5,i8, d'où B ss 2,2 J o

kk= | (l/i3 — i) == 2,93, d'où A = 1,7.

Nous engageons les commençons a appliquer les formules précédentes aux divers exemples de la première et de la troisième classe , qui ont été traités par la séparation des variables. .

378. On ne peut plus suivre la même marche, dans le eas delà parabole, puisqu'on obtient pour a, b des valeurs infinies. Il n'y a pas d'autre moyen que de faire évanouir d'abord le terme en xy , ce q ci, comme on l'a vu (ti° 35i) , donne lieu à la disparition de l'un des carrés, ensuite le terme en y et la quantité toute connue, ou bien le terme en x et la quantité toute connue, suivant -qu'on trouve le coefficient de x* ou de y* égal à o.

Déterminons les formules relatives à cette double transformation de coordonnées.

DAVt JUA * ABAJOUE. 4#3

La relation B* — 4AC = o, pu Ea =7: 4AC , réduit

l'expression zfc y A.— C + B* à

dH/A* — aAC + C* + 4AC, ou ±(A + C);

donc les valeurs de tang aa , sin ft« , eus 2«j M, N , deviennent - •

tenfea*=-Â=c' TO8a*=ï5^y ,in2i=*5£c)'

M = i(A+C)±i(A+C), N = i CA+Qqr I(A + C) ;

c'est-à-dire

M=?A+C, Naso, ou bien, Mao, N = À + C,

suivant que B est négatif pu positif; car la remarque dp n* 376 y relative au signe de sin 2*, est applicable au cas que nous considérons ; et comme À + G est essentiellement positif

dans la parabole, si Pou veut que sin a*, ou — - ,

-?- 'A. T" tj /

soit toujours positif, il faut que A +-C soit affecté du signe supérieur lorsque B est négatif % et du signe inférieur lorsque B est positif.

On a d'ailleurs trouvé (n° 35o) pour les ooefficiens de x et de y, dans l'équation transformée,

R = D cos a. — E sin a , S ■ iD sin « + E cos * . expressions qui , à cause de

— cos 2* cos «^ - / . :--*./ ,

se réduisent , lorsque B est négatif , à

Dy'A— El/Ç ' Di^ + EVA

et, lorsque B est positif, à

ffgl DETERMINATION DES AXÉS 1&INCIFÀUX

Par cette première transformation , l'équation devient Mf'+By+Sx+Fsxo, ou NjeH-R'j- + S'a?-r-F==o.

En supposant qu'elle soit ramenée à la première forme , il 'faut, pour chasser le ternie eu y et la quantité toute connue, remplacer x , y par x -+- a , y + l ; et si l'on pose

aMè+R^o, MA*-f- Ri ■+• Sa + F = o, d'où l'on tire

R —W>% — Rfr — F R»^-4FM 4 = "^ÎM> a~ US = I4MS »

•on obtient pour la dernière transformée , My*+ Sx = 0.

Si, au contraire, l'équation était Nx%+Ky+ S'a; -fF=o» on trouverait